\documentstyle[12pt,leqno]{article}
\textwidth 15cm
\oddsidemargin 0.96cm
\evensidemargin 0.96cm



%NOTA BENE :  "\pmatrix et \endpmatrix, non compris en latex,
% sont remplaces 
%par \matrice et \findematrice dont la definition suit
%exemple d'utilisation :
%$A=\matrice
%a  & b  \\
%c & d  \\ \findematrice $

\def\matrice{\left(\begin{array}{cccccccccc}}
\def\findematrice{\end{array}\right)}

\def\aligne{\begin{array}{cccccccccc}}
\def\findaligne{\end{array}}

\def\systeme{\left\{\begin{array}{ccccccccc}}
\def\findesysteme{\end{array}\right}




\def\nin{\not\in}                 % la negation de \in
\def\indic{1\!\!1}                % fonction indicatrice
\def\levelset{\chi}           % la surface de niveau
\def\meas{\mathop{\rm meas}}      % mesure de
\def\setB{\SetB}

\def\complex{l\!\!\!C}
\def\mes{\hbox{mes}}
\def\sin{\hbox{sin}}
\def\cos{\hbox{cos}}
%rappel : \overline{cequ'onveut}

\def\real{I\!\!R}
\def\natural{I\!\!N}
\def\relative{{\bf Z}}
\def\rational{{\bf Q}}
\def\complex{{\bf C}}
\def\mes{\hbox{mes}}
\def\sin{\hbox{sin}}
\def\cos{\hbox{cos}}
\def\med{\hbox{med}}
\def\interieur{\hbox{\rm Int\'{e}rieur}}
\def\signe{\hbox{\rm Signe}}
\def\vect{\hbox{\rm Vect}}
\def\Re{\hbox{\rm Re}}
\def\support{\hbox{\rm Support}}
\def\supp{\hbox{\rm Support}}

\def\fb&{\begin{equation}}
\def\fe&{\end{equation}}

%rappel : \overline{cequ'onveut}
\newtheorem{thf}{Th\e or\ee me}%[chapter]
\newtheorem{cor}{Corollaire}%[chapter]
\newtheorem{pro}{Proposition}%[chapter]
\newtheorem{Def}{D\e finition}%[chapter]
\newtheorem{lem}{Lemme}%[chapter]
\newtheorem{exa}{Exemple}%[chapter]

\newtheorem{rem}{Remarque}%[chapter]%  remarque 
\def\drem{\begin{rem}\rm}%  sans
\def\frem{\end{rem}}%      		italique !

\newtheorem{exo}{Exercice}%[chapter]
\newtheorem{propr}{Propri\e t\e}%[chapter]
\newtheorem{Exer}{Exercice}%[chapter]  %Exercice

\def\dexer{\begin{Exer}\rm}    %sans
\def\fexer{\end{Exer}}        %italique !

\def\skipaline{\vspace{4 mm}\noindent}

\def\fb& {\begin{equation}}       % debut d'une equation
\def\fe& {\end{equation}}         % fin d'une equation
\def\enddemo{\hfill $\large\circ$ \newline\newline}     % fin de preuve
\def\Varphi{{\bf \varphi}}
\def\e {\'{e}}
\def\ee {\`{e}}
\def\eee {\^{e}}
\def\e {\'{e}}
\def\ea {\'{e} }
\def\ee {\`{e}}
\def\eee {\^{e}}
\def\a {\`{a} }
\def\aa {\^{a}}
\def\ii {\^{\i}}
\def\iii {\"{\i}}
\def\ccaadd{ c'est-\`{a}-dire }

\def\u {\`{u} }

\def\uu {\^{u}}

\def\oo {\^{o}}
\def\ooo {\"{o}}


\def\skipaline{\vspace{4 mm}\noindent}





\begin{document}
\noindent{\bf Partiel d'analyse, magist\ee re de Math\e matiques, ENS Cachan,
Novembre 2000
}

\noindent {\it  Le polycopi\ea et les notes sont autoris\e s. Ne pas red\e
montrer ce qui est prouv\ea dans le polycopi\e .  Se contenter de citer pr\e cis\e
ment les passages du polycopi\ea utilis\e s.}

\dexer
\label{exercice1}
Soit $u$ : $[0, +\infty[\to [0, +\infty[$, une bijection strictement croissante.

\newline
a) Montrer que $xu(x)=\int_0^xu(t)dt+\int_0u(x) u^{-1}(t)dt.$
\newline
b) On pose $U(x)=\int_0^xu(t)dt$ et $V(y)=\int_0^yu^{-1}(t)dt$. D\e duire que
$xy\leq U(x)+V(y)$.
\newline
c) Que donne cette formule si $u(s)=s^\alpha $, $0<s<+\infty$ ?
Conclure que si $U(f)\in L^1$ et $V(g)\in L^1$, alors $fg\in L^1$.
\fexer

\dexer
Soit $f$ une fonction mesurable \a valeurs r\e elles. On consid\ee re 
$h : [1, +\infty]\to \real^+$ d\e finie par 
$h(p)=||f||_{L^p}.$ 
\newline
\newline 
(a) Montrer qu'il existe $p_0$ tel que $h$ soit continue
sur $[1, p_0]$, et $h(p)=\infty$ pour $p>p_0$.
\newline
\newline
(b) Montrer que $p\to Log h(p)$ est convexe sur $[1, p_0]$.
\fexer


\dexer Applications du th\e or\ee me de Banach-Steinhaus \a l'\e tude de propri\e t\e s
g\e n\e riques de suites et s\e ries (I)
\newline
\newline
(a)  Soient $c_0$ l'ensemble des suites de complexes $(\xi_n)_n$ convergeant
vers 0, muni de la norme $||\xi||_\infty=\sup_n |\xi_n|
 et soit $l^1$ l'ensemble des suites $\alpha_n$ telles que 
$\sum_n |\alpha_n|<+\infty.$ Montrer que ce sont des espaces de Banach 
et que $c_0'=l^1$.
\newline
\newline
(b)
Montrer que si $\sum_n \alpha_n \xi_n$ converge pour toute suite 
$\xi_n$ telle que $\xi_n\to 0$ quand $n\to \infty$, alors 
$\sum_n |\alpha_n|<+\infty.$
\newline
\newline


(b) On consid\ee re les op\e rateurs $T_n(\xi)=\sum_{i=1}^n \alpha_i\xi_i$.
Par hypoth\ee se, on a $\sup_n T_n(\xi)<+\infty$ pour tout $x$. Par
 le th\e o\ree me de Banach-Steinhaus, on en d\e duit que 
 $\sup_n ||T_n||<+\infty.$  Mais 
 $$
||T_n||=\sup_{\sup_i |\xi_i|\leq 1} |\sum_i^n
 \alpha_i\xi_i|=\sum_i^n |\alpha_i|.$$
 Donc $\sup_n\sum_1^n |\alpha_n|<+\infty,$ soit $\sum_i|\alpha_i|<+\infty.$
 \newline
 \newline
 
 \fexer
 
 \dexer
Dans un espace topologique, on appelle $G_\delta$ toute intersection 
d\e nombrable d'ouverts. On appelle de m\eee me $F_\sigma$ toute
union d\e nombrable de ferm\e s  (Notations dues
 \a Hausdorff ; en  allemand Gebiet = ouvert, Summe = somme
et Durschnitt = 
intersection.)  Les $G_\delta$ denses sont intuitivement des ensembles "gros".
On va en particulier donner une condition simple pour qu'ils ne soient pas 
d\e nombrables :
\newline
\newline 
(a) Montrer que dans un espace m\e trique complet $E$ sans point isol\e , aucun ensemble
d\e nse et d\e nombrable ne peut \eee tre un $G_\delta$. (Supposer le contraire
et 
\newline
\newline
(a) Soit $x_n$ les points d'un ensemble d\e nombrable dense de $E$.  Supposons que
$E$ soit un $G_\delta$.  Alors $E=\bigcap O_n$, o\u chaque $O_n$ est ouvert et dense.
Soit $U_n=O_n\setminus \bigcup_{k=1}^n \{x_k}.$ Alors $U_n$ est aussi un ouvert 
dense, mais $\bigcap V_n=\emptyset$, ce qui contredit le th\e or\ee me de Baire.
\newline
\newline

(b) Formulation pr\e cis\e e du th\e or\ee me de Banach-Steinhaus : En reprenant la d\e monstration 
du th\e or\ee me de Banach-Steinhaus, montrer  que si $E$ et 
$F$ sont deux espaces de Banach et $T_i$ une famille d'op\e rateurs lin\e aires
continus de $E$ dans $F$, on a l'alternative suivante :
\newline
-ou bien $\sup_{i\in I} ||T_i||<+\infty$
\newline
-ou bien  $\sup_{i\in I} ||T_i(x)||=+\infty$ pour $x$ dans un $G_\delta$ dense de 
$E$.
\newline
\newline
(c) On note $C(T)$ l'espace des fonctions  $f:\real\to \complex$  continues et 
$2\pi-p\e riodique, muni de la norme de la convergence uniforme et 
$L^1(T)=L^1(0, 2\pi)$.
Pour $f\in C(T), $ on  consid\ee re pour $n\in \natural$ les sommes partielles de la s\e rie de 
Fourier de $f$, 
$$
s_nf(x)=\frac 1 {2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)D_n(x-t)dt, 
$$
o\u 
$$
D_n(t)=\sum_{-n}^n e^{ikt}.
$$
Connaissez-vous des conditions suffisantes sur $f$ pour que 
$s_nf(x)$ tende vers $f(x)$ ?
\newline
\newline
(b)
\newline
\newline
(c)
On va montrer qu'il n'est pas vrai que $s_nf(x)$ converge vers $f(x)$ pour tout 
$f\in C(T).$ et pour tout $x$.
On pose 
$$s^\star f(x)=\sup_n|s_nf(x)|, \;\; \hbox{ et } S_nf=s_nf(0).$$
Montrer que la forme lin\e aire sur $C(T)$,
$f\to S_nf$, v\e rifie
\fb&
 \label{majoration1}
$||S_nf||\leq ||D_n||_{L^1}.
\fe&
Montrer que cette in\e galit\ea est la meilleure possible, c'est-à-dire 
qu'il existe  pour tout $n$ une suite de fonctions $f_k\in C(T)$ telles que 
$||S_nf_k||\to ||D_n||_{L^1}.$
\newline
\newline
(c)
\newline
\newline
(d) Montrer que 
$$D_n(t)=\frac{\sin(n+\frac 12)t}{\sin t}.$$
Dessiner $D_n(t)$ pour $n=4$. 
\newline
\newline
(d) D\e montrer que $||D_n||_{L^1}\to \infty$ quand $n\to \infty.$
\newline
\newline

(d) Compte tenu de $|\sin x|\leq |x|,$ on a
$$||D_n||_{L^1}\geq \frac 2\pi\int_0^\pi |\sin(n+\frac 12)t|\frac{dt}t=
\frac 2\pi\int_0^{(n+\frac 12)\pi}|\sin t|\frac {dt}t
$$
$$>\frac 2\pi\sum_{k=1}^n\frac 1{k\pi}\int_{(k-1)\pi}^{k\pi}|\sin t|dt=\frac 4{\pi^2}
\sum_{k=1}^n \frac 1k\to \infty.$$
\newline
\newline
(e)  D\e duire que $||S_n||\to \infty$ quand $n\to \infty$, puis que  pour tout $x$ 
dans $\real$,
$s^\star f(0)=\infty$ pour tout $f$ dans un $G_\delta$ dense de $C(T), not\ea 
$E_x$.
\newline
\newline
(e)  La premi\ee re relation d\e coule imm\e diatement des questions (?) et (?).
Les op\e rateurs $S_n$ \e tant continus sur $C(T)$ et v\e rifiant 
$\sup_n ||S_n||=+\infty$, il existe par la formulation pr\e cis\e e (a) du 
th\e or\ee me de Banach-Steinhaus un $G_\delta$ dense $E_0$ de $C(T)$ tel que 
$s^\star f(0)=+\infty$ pour tout \e l\e ment de $E_0$. Mais on peut appliquer 
ce m\eee me r\e sultat \a tout point $x$ de $\real$, ce qui permet de conclure.
\newline
\newline
(f)
D\e duire de (?) et de (?) qu'il existe un $G_\delta$ dense $E$ de $C(T)$ tel que 
pour tout $f$ dans $E$, l'ensemble
$\{x, s^\star f(x)=\infty\}$ est un $G_\delta $ dense de $\real$. 





\fexer


\dexer
\newline
\newline 
(a)
\newline
\newline
(b)
\newline
\newline
(c)
\newline
\newline
(d)
\fexer


\dexer
\newline
\newline 
(a)
\newline
\newline
(b)
\newline
\newline
(c)
\newline
\newline
(d)
\fexer


\dexer
\newline
\newline 
(a)
\newline
\newline
(b)
\newline
\newline
(c)
\newline
\newline
(d)
\fexer


\dexer
\newline
\newline 
(a)
\newline
\newline
(b)
\newline
\newline
(c)
\newline
\newline
(d)
\fexer



\end{document}