  
\documentstyle[12pt,leqno]{article}
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\textwidth 15cm
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\def\Abstract{\small\noindent\bf Abstract. \rm}
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\vspace{4 mm}\noindent}

 \begin{document}  
\def\aire{\mathop{\rm aire}\nolimits}
\def\trace{\mathop{\rm trace}\nolimits}
\def\epi{\mathop{\rm Epi}\nolimits}
{\it Ecole Normale Sup\e rieure de Cachan.  Magist\ee re de Math\e matiques, cours
d'Analyse Fonctionnelle}

\vskip 0.5truecm 
\centerline{\sc Transformée de Fenchel}

\vskip 0.5truecm

Dans toute la suite, $E$ d\e signe un espace vectoriel norm\ea et $E'$ son dual.

\bigskip
\noindent
{\bf  1.} Soit $f : \real^N\to \real\cup \{+\infty, \; -\infty\}$ une fonction.  

(a) Montrer que 
$f$ est semicontinue inf\e rieurement (s.c.i.) si et seulement si l'\e pigraphe
$\{(x, \lambda), \;f(x)\leq\lambda\}.$ est ferm\e .  Rappel : on dit que $f$
est semicontinue inf\e rieurement en $x$ si $f(x)\leq \lim\inf f(x_n)$ pour toute 
suite $x_n\to x$. 
On notera $\epi(f)$ l'\e pigraphe de $f$.

(b)  Montrer que $f$ est 
convexe si et seulement si son \e pigraphe est convexe.  

(c) Montrer que si $f_i$ est une famille 
de fonctions  convexes alors $\sup_if_i$ est convexe et que si $f_i$ est une famille 
de fonctions  s.c.i. alors $\sup_i f_i$ est s.c.i..


\bigskip
\noindent
{\bf  2.} 
(a) Soit $f: E\to \real\cup\{+\infty\}$. On dira que $f$ est propre si 
son domaine $\{x, f(x)\neq +\infty\}$ est non vide.   On appelle {\it Transform\e e de 
Fenchel-Legendre} de $f$ la fonction $f: E' \to \real\cup\{+\infty\}$ d\e finie 
par 
$$
f^\star(y)=\sup_{x\in E} <y, x>-f(x).
$$  
D\e duire de la question pr\e c\e dente que $f^\star$ est convexe et
s.c.i..  De m\eee me, si $f: E'\to \real\cup\{+\infty\}$, on consid\ee re 
$$f^\star(x)=\sup_{y\in E'} <y, x>-f(y).$$ Montrer que $f^\star$ est convexe s.c.i..


(b) Donner un exemple de fonction propre $f$ telle que $f^\star$ ne soit pas propre.
Montrer que si $f$ est convexe s.c.i. et propre, $f^\star$ l'est aussi.
Indication : si $f$ est propre ($\exists x_0, \; f(x_0)<+\infty$)
 s\e parer par un hyperplan de $E\times \real$ l'\e pigraphe et 
le point $(x_0, f(x_0)-1)$. En d\e duire que $f^\star$ est propre.


\bigskip
\noindent
{\bf  3.} Soit $E$ un espace vectoriel norm\e . On dit que  $C$ un c\o ne "pointu", 
si c'est un c\o ne tel qu'il existe $y\in E'$ v\e rifiant $<y, x>\leq 0$
 pour tout $x\in C$. De m\e me, $C'$ est appel\ea 
  un c\o ne pointu de $E'$ s'il existe
 $x\in E$ tel que $<y, x>\leq 0$ pour tout $y\in C'$. 
 On pose si $C\subset E$
 $$C^\star=\{y\in E', \; \;\forall x\in C, \;\; <y, x>\leq 0\}$$
 et de m\eee me, si $C'\subset E'$,
  $$C'^\star=\{x\in E, \; \;\forall y\in C', \;\; <y, x>\leq 0\}.$$
  Remarquer  que si $C$ est non vide, alors
   $C^\star$ est un c\o ne convexe ferm\ea pointu.
  Montrer en utilisant un th\e or\ee me de s\e paration de Hahn-Banach que
     $C\subset E$ est un c\o ne convexe ferm\ea pointu si et seulement si 
  $C^{\star\star}=C$.
  

\bigskip
\noindent
{\bf  4.} (a)  On associe \a chaque fonction propre
 $f:E\to \real\cup\{+\infty\}$ le c\o ne pointu
de $E\times \real^2$, $$C(f)=\real^+\{(x, \lambda, -1), \; \; \lambda\geq f(x)\}$$ 
et \a $g: E'\to \real\cup\{+\infty\}$ le c\o ne pointu de $E'\times \real^2$,
$$C'(g)=\real^+\{(y, -1, \mu), \; \; \mu\geq g(x)\}.$$ 
Remarquer que $(E\times \real^2)'$ est identifiable \a $E'\times \real^2$. On notera
$$<(y, \alpha, \beta), (x, \lambda, \mu)>=<y, x>+\alpha\lambda+\beta\mu$$
 le crochet 
de mise en dualit\ea de ces espaces.
V\e rifier  que 
$$C'(f^\star)=C(f)^\star \hbox{  et  } C(g^\star)=C'(g)^\star.$$

(b) Remarquer que $C(f)$ est un c\o ne convexe pointu non vide si et seulement si 
$f$ est convexe s.c.i. et propre.


\bigskip
\noindent
{\bf  5.} En d\e duire en utilisant le 3)
  qu'une fonction est convexe s.c.i. si et seulement si 
$f^{\star\star}=f$.



\bigskip
\noindent
{\bf  6.} Exemple 1.  Soit $C$ un convexe de $E$. On consid\ee re sa fonction
caract\e ristique, $\indic_C(x)=0$ si $x\in C$, $\indic_C(x)=+\infty$
sinon.  

(a) Calculer $\indic^\star(y)$.  

(b) On pose $|y|_C=\indic^\star(y)$. Montrer que 
c'est une semi-norme sur $E'$ si et seulement si $C$ est sym\e trique par rapport à 0. 
(Remarque utile : $f(-x)^\star=f^\star(-x)$.)

%(c) On suppose que $E, ||.||$ est un espace de Banach.
%Montrer que $|.|_C$ est
% une norme d\e finissant la topologie canonique sur 
% $E'$
%  si et seulement si en plus $C$ est d'int\e rieur non vide.
%(Utiliser l'application de dualit\e et le th\e or\ee me de l'application ouverte).%



\bigskip
\noindent
{\bf  7.} Exemple 2. 

(a) Soit $E=\real$ . On pose pour $1<p<+\infty$, $f(x)=|x|^p.$ 
 Calculer 
$f^\star(y)$. (On posera $p'=\frac {p-1}p$.)  V\e rifier par le calcul que l'on 
a bien $f^{\star\star}=f$.



(b) On prend $E=\real^N$ muni de la norme euclidienne et on identifie $E'$ et $E$.
 On pose pour $1<p<+\infty$, $g(x)=||x||^p.$ 
 Calculer 
$g^\star(y)$.


\bigskip
\noindent
{\bf 8} Montrer que si $f$ est une fonction quelconque $E\to \real\cup\{+\infty\}$
 minor\e e par une
forme affine  : $f(x)\geq <y_0, x>+\alpha$, alors 
$f^\star$ est propre. (Raisonner comme au 2).
 Montrer que l'\e pigraphe de $f^{\star \star}$ est 
l'enveloppe convexe ferm\e e
 de l'\e pigraphe de
$f$ :  Interpr\e ter aussi $f^{\star\star}$ comme 
la plus grande fonction convexe $g$ s.c.i. telle
que $g\leq f$ et utiliser que $f\geq g\Rightarrow f^\star\leq g^\star.$




\end{document}
