\documentclass[11pt,a4paper]{article}
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% ensembles Q R N Z C
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\begin{document}
\author{}
 \date{}
\title{Analyse  Partiel du 20/11/01} 
\maketitle
{\it Les notes de cours et de TD sont autoris\'ees.}
\\ \\
{\bf Exercice 1} 
\\ \\
1) Soient $E, F, G$ trois espaces de Banach. Soit $a : E\times F \rightarrow G$ une 
application bilin\'eaire. On suppose que $a$ est s\'eparement continue c'est \`a 
dire,
$$\forall x \in E, \quad y \in F \mapsto a(x,y) \mbox{  est continue et}$$
$$\forall y \in F, \quad x \in E \mapsto a(x,y) \mbox{  est continue.}$$
Montrer que $a$ est continue sur $E \times F$ i.e. $\exists M >0$ tel que $\forall 
(x,y) \in E \times F$, $\Vert a(x,y) \Vert_G \leq M\,\Vert x \Vert_E \Vert y 
\Vert_F$.\\
2) Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions polyn\^omiales \`a une variable et \`a 
coefficients r\'eels. On munit $E$ de la norme 
$$\Vert p \Vert = \int_0^1 \vert p(t) \vert dt.$$
Soit $a : E\times E \rightarrow \RR$ d\'efinie par $a(p,q) = \int_0^1 p(t)q(t) dt$. 
Montrer que $a$ est s\'eparement continue mais non continue sur $E\times E$.
\\ \\
{\bf Exercice 2} Hahn-Banach 1ere forme g\'eom\'etrique pour la topologie 
$\omega\star$.\\ \\
Soit $E$ un espace de Banach. Soient $A$ et $B$ deux parties non vides et convexes 
de $\Ep$ telles que $A\cap B = \emptyset$. On suppose que $A$ est ouverte pour la 
topologie faible $\star$.\\
On se propose de montrer que $\exists x \in E$, $x\not= 0$, $\exists \alpha \in \RR$ 
tels que  $<a,x> \;\leq \alpha \leq \;<b,x>$, $\forall a \in A$ et $\forall b \in B$.\\
1) V\'erifier que $\exists \xi \in \Epp$, $\xi \not\equiv 0$ et $\exists \alpha \in 
\RR$ tels que $<\xi,a>\;\leq \alpha \leq\;<\xi,b>$, $\forall a \in A$ et $\forall b 
\in B$.\\
2) Soit $J$ l'injection de $E$ dans $\Epp$ d\'efinie par 
$$< J(x),f >_{\Epp,\Ep}\; =\; < f,x >_{\Ep,E},\,\,\forall f \in \Ep,\,\,\forall x\in 
E.$$
Montrer qu'il existe $x_1,...,x_N \in E$ tels que $\bigcap_{1\leq i \leq N} \ker 
J(x_i) \subset \ker \xi$ et conclure.
\\ \\
{\bf Probl\`eme}
\\ \\
A - Pr\'eliminaires :\\ \\
Soit $E$ un espace de Banach et soit $\Ep = {\cal L}(E,\RR)$ son dual topologique. 
On note $J$ l'injection de $E$ dans $\Epp$ d\'efinie par 
$$< J(x),f >_{\Epp,\Ep}\; =\; < f,x >_{\Ep,E},\,\,\forall f \in \Ep,\,\,\forall x\in 
E.$$ 
Enfin, pour toute partie $A \subset E$, on notera $\overline{A}$ l'adh\'erence de $A$ pour 
la topologie de la norme.\\
1) Soit $A \subset E$, montrer que $\overline{A}$ est compact (fort) si et seulement 
si 
de toute suite de points de $A$, on peut extraire une sous-suite convergente dans 
$E$.\\
2) Soient $M$ un s.e.v. de $E$ et $N$ un s.e.v. de $\Ep$. On note
\begin{eqnarray*}
M^{\bot} & = & \{ f \in \Ep :\, < f,x > = 0,\,\forall x \in M \},\\
N^{\bot} & = & \{ x \in E \,:\, < f,x > = 0,\,\forall f \in N \}.
\end{eqnarray*}

a) Montrer que $\overline{M} = (M^{\bot})^{\bot}$ et $\overline{N} \subset 
(N^{\bot})^{\bot}$.

b) Si $E$ est r\'eflexif, montrer que $\overline{N} = (N^{\bot})^{\bot}$.\\
3) a) Soit $A$ est une partie de $E$, v\'erifier que $J(\overline{A}) \subset 
\overline{J(A)}$.\\
b) Si $A$ est une partie ferm\'ee de $E$, montrer que $J(A)$ est ferm\'e dans $\Epp$.\\
c) Montrer que $J:E \rightarrow J(E)$ est un isomorphisme d'espaces de Banach. En 
d\'eduire que si $A$ est une partie de $E$ telle que $J(A)$ est compact dans $\Epp$ alors 
$A$ est compacte.\\ \\
B - Adjoint d'un op\'erateur : \\ \\
Soient $E$ et $F$ deux espaces de Banach, on note ${\cal L}(E,F)$ l'ensembles des 
applications lin\'eaires et continues de $E$ dans $F$. On d\'efinit l'application 
$\Tadj : \Fp \rightarrow \Ep$ par 
$$< \Tadj f, x >_{\Ep,E} = < f, Tx >_{\Fp,F},\quad \forall f \in \Fp,\,\forall x \in 
E.$$
1) Montrer que $\Tadj \in {\cal L}(\Fp,\Ep)$, $\Vert T \Vert = \Vert \Tadj \Vert$ et 
que $\Tadj : (\Fp, \sigma(\Fp,F)) \rightarrow (\Ep, \sigma(\Ep,E))$ est continue.\\
2) On note $N(T) = \{ x \in E : Tx = 0 \}$ et $R(T)$ l'image de T. Montrer que
$$N(\Tadj) = R(T)^{\bot}\quad \mbox{et} \quad N(T) = R(\Tadj)^{\bot}.$$
3) a) Montrer que $\overline{R(T)} = F$ $\Longleftrightarrow$ $\Tadj$ est 
injectif.\\
b) Si $E$ est r\'eflexif, montrer que $\overline{R(\Tadj)} = \Ep$ 
$\Longleftrightarrow$ 
$T$ est injectif.\\
4) On note $B_E = \{ x \in E : \Vert x \Vert \leq 1 \}$. On dit que $T$ est compact 
si 
$\overline{T(B_E)}$ est compact (fort) de $F$.

a) V\'erifier que $T \in {\cal L}(E,F)$, $\dim R(T) < \infty$ $\Longrightarrow$ $T$ 
est 
compact.

b) Montrer que $T \in {\cal L}(E,F)$, $T$ compact, $R(T)$ ferm\'e dans $F$ 
$\Longrightarrow$ $\dim R(T) < \infty$.\\
5) Soit $T \in {\cal L}(E,F)$, $T$ compact.

a) On pose $K = \overline{T(B_E)}$. Soit $(f_n)_n$ une suite dans la boule unit\'e 
ferm\'ee de $\Fp$. Montrer qu'il existe une sous-suite $(f_{n_k})_k$ de $(f_n)_n$ et 
il 
existe $\vfi \in {\cal C}(K,\RR)$ telles que $f_{n_k} \rightarrow \vfi$ dans ${\cal 
C}(K,\RR)$ (i.e. $\sup_{z \in K} \vert f_{n_k}(z) - \vfi(z) \vert \rightarrow 0$).

b) En d\'eduire que $\Tadj$ est compact.\\
6) On note $J_E$ (respectivement $J_F$) l'injection de $E$ dans $\Epp$ d\'efinie 
dans 
les pr\'eliminaires (respectivement celle de $F$ dans $F^{\prime \prime}$).

a) V\'erifier que $J_F \circ T = T^{\ast \ast} \circ J_E$  o\`u  $T^{\ast \ast} = 
(\Tadj)^{\ast}$.

b) Montrer que $\Tadj$ compact $\Longrightarrow$ $T$ compact.\\
7) Un exemple :

a) Soit $E= L^2(0,1)$ l'espace de Lebesgue usuel. Soit $K \in L^2\left( (0,1)^2 
\right)$. 
Pour $f \in E$, on d\'efinit $T(f)$ par 
$$T(f)(x) = \int_0^1 K(x,y) f(y) dy.$$
Montrer que $T \in {\cal L}(E,E)$ et que $\Vert T \Vert \leq \Vert K \Vert_{L^2}$.

b) Soit maintenant $E = {\cal C}([0,1])$ muni de $\Vert\;\Vert_{\infty}$. On suppose 
que 
$K \in {\cal C}\left( [0,1]\times[0,1] \right)$. Montrer que $T \in {\cal L}(E,E)$ 
et est 
compact.\\ \\
C - Op\'erateurs \`a image ferm\'ee :\\ \\
Soit $T \in {\cal L}(E,F)$. Pour $x \in E$, on notera $d(x,N(T)) = \inf_{w \in N(T)} 
\Vert x -w \Vert_E$.\\
1) Montrer que $R(T)$ est ferm\'e dans $F$ $\Longrightarrow$ $\exists K>0$, $\forall 
y 
\in R(T)$, $\exists x \in E$ tel que $Tx=y$ et $\Vert x \Vert \leq K \Vert y \Vert$. 
(On pourra utiliser le th\'eor\`eme de l'application ouverte.)\\
2) Montrer que $R(T)$ ferm\'e $\Longrightarrow$ $R(\Tadj) = N(T)^{\bot}$.\\
(Pour $f \in N(T)^{\bot}$, consid\'erer la forme lin\'eaire $g$ d\'efinie sur $R(T)$ 
par $g(y) = f(x)$ si $y=Tx$ et montrer que $f \in R(\Tadj)$.)\\
3) On suppose que $T$ v\'erifie la propri\'et\'e suivante: $\forall B$ partie ferm\'ee 
born\'ee de $E$, $T\left(\overline{B}\right)$ est ferm\'e (fort) dans $F$. On se propose 
de montrer qu'alors $R(T)$ est ferm\'e dans $F$.\\
Soit $y \in \overline{R(T)}$.

a) V\'erifier qu'il existe une suite $(x_n)_n \subset E$ et une suite $(w_n)_n 
\subset 
N(T)$ telles que $T(x_n - w_n) \rightarrow y$ dans $F$ et $d_n \leq \Vert x_n -w_n 
\Vert \leq 2 d_n$ o\`u $d_n = d(x_n,N(T))$.

b) On souhaite montrer qu'il est impossible que $\Vert x_n -w_n \Vert \rightarrow 
+\infty$. On raisonne par l'absurde et on suppose donc que $\Vert x_n -w_n \Vert 
\rightarrow + \infty$. Soit $u_n = \frac{x_n -w_n}{\Vert x_n -w_n \Vert}$ et 
$A=\{u_n, 
n \geq 1\}$. V\'erifier que $0 \in T\left(\overline{A}\right)$ et montrer que 
$\exists 
n_0 \in \NN$, $\exists z \in N(T)$ tels que $\Vert x_{n_0} - z \Vert < d_{n_0}$.

c) Montrer que $y \in R(T)$.\\ \\
Question suppl\'ementaire :
Soit $E$ est un espace de Banach r\'eflexif et soit $F$ un sous-espace vectoriel 
ferm\'e 
de $E$, montrer que $\forall x \in E$, $\exists y \in F$ tel que $\Vert x-y \Vert = 
d(x,F)$.\\ \\
D - Op\'erateurs faiblement compacts :\\ \\
1) On note $\Lambda$ l'application r\'eciproque de $J: E \rightarrow J(E)$. Montrer que 
$J$ est continue de $E,\sigma(E,\Ep)$ dans $\Epp,\sigma(\Epp,\Ep)$ et que $\Lambda$ est 
continue de $J(E),\sigma(\Epp,\Ep)$ dans $E,\sigma(E,\Ep)$.\\
Si $A \subset E$ et $B \subset \Ep$, on notera $\overline{A}^{\omega}$ l'adh\'erence de 
$A$ pour la topologie faible et $\overline{B}^{\omega\star}$ l'adh\'erence de $B$ pour la 
topologie faible $\star$ $\sigma(\Ep,E)$.\\
On dit que $T \in {\cal L}(E,F)$ est faiblement compact si $\overline{T(B_E)}^{\omega}$ 
est compact faible dans $F$. \\
2) Soit $T \in {\cal L}(E,F)$ un op\'erateur faiblement compact.

a) Montrer que $T^{\star\star}\left(\overline{J(B_E)}^{\omega\star} \right) \subset 
\overline{J_F\left(\overline{T(B_E)}^{\omega} \right)}^{\omega\star}$.

b) En admettant que $\overline{J(B_E)}^{\omega\star} = B_{\Epp}$ (vu en TD), montrer que 
$T^{\star\star}(B_{\Epp}) \subset J_F\left( \overline{T(B_E)}^{\omega} \right)$ puis que 
$T^{\star\star}(\Epp) \subset J_F(F)$.\\
3) Soit $T \in {\cal L}(E,F)$, v\'erifier que $J\left( \overline{T(B_E)}^{\omega} \right) 
\subset \overline{J(T(B_E))}^{\omega\star} \subset T^{\star\star}(B_{\Epp})$. En d\'eduire 
que $\overline{J(T(B_E))}^{\omega\star}$ est compact faible $\star$.\\
4) On suppose maintenant que $T \in {\cal L}(E,F)$ v\'erifie $T^{\star\star}(\Epp) \subset 
J_F(F)$. Montrer que $T$ est faiblement compact.\\
5) Si $E$ ou $F$ est r\'eflexif, montrer que tout op\'erateur lin\'eaire continu de $E$ 
dans $F$ est faiblement compact.\\
6) Soit $T \in {\cal L}(E,F)$. On suppose que $T$ est faiblement compact, montrer que 
$\Tadj : F^{\prime}, \sigma(\Fp,F) \rightarrow \Ep, \sigma(\Ep,\Epp)$ est continue.\\
(On pourra v\'erifier que $\forall \xi \in \Epp$, $\exists y \in F$ tel que $\forall f \in 
\Fp$, $<\xi,\Tadj f> = < f,y>$.)\\
7) D\'emontrer la r\'eciproque de la question pr\'ec\'edente. 


 \end{document}