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Examen d’analyse fonctionnelle, E.N.S. Cachan magistère, 2010

On recommande très vivement la précision dans la rédaction. En particulier, donner systématiquement des références explicites du polycopié pour TOUS les théorèmes, propositions, définitions utilisés dans les démonstrations.

Exercice 1 Topologie Soit E un espace muni de deux topologies O et O′. On suppose qu’il y a une base de voisinages U pour O et une base de voisinages U′ pour O′ telles que tout élément de U′ contient un élément de U et vice-versa. Montrer que O = O′.

Exercice 2 Topologie Soit X un espace compact, Y un espace séparé et f : X → Y une bijection continue. Montrer que f^{−1} est continue.

Exercice 3 Topologie

1) Vérifier que d(x, y) = |\frac{1}{x} − \frac{1}{y} | est une distance sur X =]0, +∞[.

2) Vérifier que la topologie donnée par cette distance est la même que la topologie induite sur X par la topologie habituelle sur IR.

3) Montrer que ]0, 1] est une partie complète de X.

4) Expliquer le dicton: “la complétude n’est pas une notion topologique.”

Exercice 4 Espaces de Hilbert Montrer que C^{0}([0, 1]) muni du produit scalaire f.g = ∫_{0}^{1} f(x)g(x)dx n’est pas un espace de Hilbert.

Exercice 5 Séries de Fourier et convergences

1) Développer en série de Fourier en cosinus la fonction 2π-périodique définie sur ] − π, π[ par f(x) = |x|.

2) En quel(s) sens la série converge-t-elle vers f? (Examiner toutes les convergences de suites de fonctions que vous connaissez)

Exercice 6 Calcul de limites faibles

1) La suite u_{n}(x) = cosnx converge-t-elle faiblement dans L^{2}([0, 2π]) et si oui, quelle est sa limite faible? Cette suite converge-t-elle fortement?

2) Mêmes questions pour u_{n}(x) = cos^{2}(nx).

3) Mêmes questions pour u_{n}(x) = 11_{[0,1]}cosnx.

4) Mêmes questions pour u_{n}(x) = cos^{2}(nx)11_{[0,1]}.

Exercice 7 Espaces de Sobolev On va montrer que toute fonction de H_{per}^{1} vérifie le théorème fondamental de l’analyse:

u(y) − u(x) = ∫_{[x,y]} u′(t)dt.  (1)

1) Considérons u_{n} := ∑_{|k|≤n} c_{k}(u)e^{ikt}, la série de Fourier tronquée de u. Montrer en relisant la preuve de la proposition 7.4 que u_{n} converge uniformément vers u et que u′_{n} tend dans L_{loc}^{2} vers u′.

2) Remarquer que u_{n} vérifie bien (1) et en déduire que u vérifie encore (1).

On se propose maintenant de montrer que de toute suite bornée dans H_{per}^{1}([0, 2π]) on peut extraire une sous-suite convergeant uniformément sur [0, 2π]. Pour cela on suivra l’une des deux démarches suivantes:

3) Première méthode: Déduire de (1) qu’il existe une constante C dépendant de u telle que |u(x)|^{2} ≤ C ∫_{[0,2π]}(|u′(t)|^{2} + |u(t)|^{2})dt. Expliciter C.

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4) Déduire également l’existence d’une constante telle que pour x, y ∈ [0, 2π], u(x) − u(y) ≤ C|x − y|^{\frac{1}{2}} .

5) Conclure en utilisant le résultat des deux questions précédentes et le théorème d’Ascoli-Arzela appliqué à une suite bornée dans H_{per}^{1}.

6) Seconde méthode: montrer que si u_{n} est une suite bornée dans H_{per}^{1} alors une sous-suite encore notée u_{n} converge faiblement dans L^{2}([0, 2π]) vers une fonction u ∈ L^{2}([0, 2π]) et u′_{n} converge faiblement dans L^{2}([0, 2π]) vers une fonction v ∈ L^{2}([0, 2π]).

7) Montrer en utilisant la définition de la dérivée au sens des distributions que v = u′.

8) Déduire que u_{n} tend uniformément vers u. Exercice 8 Parmi les applications u : C_{0}^{∞}(IR) → IR qui suivent, déterminer celles qui sont des distributions sur IR. Expliquer.

1) < u, φ >= |φ(0)|;

2) < u, φ >= ∫_{0}^{1} e^{t}φ^{(k)}(t)dt, k ∈ IN;

3) < u, φ >= sup_{t∈IR} φ(t);

4) < u, φ >= ∑_{j=0}^{∞} φ^{(j)}(0)

5) < u, φ >= ∑_{j=0}^{∞} φ^{(j)}(j). Exercice 9 Si u ∈ D′(IR) est une distribution sur IR, on définit sa translatée de h ∈ IR par

< τ_{h}u, φ >=< u, τ_{−h}φ >,

où on note τ_{h}φ(x) = φ(x − h).

1) Vérifier que τ_{h}u est une distribution.

2) Vérifier la compatibilité des deux définitions, à savoir que si u ∈ L_{loc}^{1} et ũ la distribution qui lui est associée canoniquement, τ_{h}ũ = τ_{h}u au sens des distributions.

3) Montrer que si u ∈ D′(IR),

\frac{τ_{−h}u − u}{h} → u′

au sens des distributions.

4) Donner une formule de discrétisation du même type pour approcher u′′. Exercice 10 Soit (c_{k})_{k∈Z} une suite à croissance lente, c’est-à-dire vérifiant pour au moins une valeur de M ∈ IN une inégalité du type

∀k ∈ Z, |c_{k}| ≤ C(1 + |k|)^{M}.

Montrer que la série

∑_{k∈Z} c_{k}e^{ik.x}  (2)

converge au sens des distributions. Indication: utiliser directement la définition de la convergence au sens des distributions.

2) Montrer que la somme de cette série définit une distribution 2π-périodique, c’est-à-dire telle que τ_{2π}u = u. Indication: montrer cette relation pour la série tronquée et argumenter que l’on peut passer à la limite. Exercice 11 On pose x = (x_{1}, x_{2}) ∈ IR^{2}, k = (k_{1}, k_{2}) ∈ IR^{2} et on note k.x = k_{1}x_{1} + k_{2}x_{2} leur produit scalaire. On rappelle que les fonctions e_{k}(x) = \frac{1}{2π} e^{ik.x}, k ∈ Z^{2}, forment une base hilbertienne de L^{2}([0, 2π]^{2}) et qu’on a donc pour toute fonction u ∈ L^{2}([0, 2π]^{2}),

u = ∑_{k∈Z^{2}} c_{k}(u)e^{ik.x}, avec c_{k}(u) = \frac{1}{(2π)^{2}} ∫_{[0,2π]^{2}} u(x)e^{−ik.x}dx,  (3)

la convergence de la série se vérifiant au sens de L^{2}([0, 2π]^{2}).

1) On considère la fonction définie sur [0, 2π]^{2} par

u(x_{1}, x_{2}) = ∑_{k_{1},k_{2}∈IN^{∗}} \frac{1}{k_{1}^{2} + k_{2}^{2}} e^{ik_{1}x_{1}}e^{ik_{2}x_{2}}.

Montrer que cette série converge (en un sens que l’on précisera) et que u ∈ L^{2}([0, 2π]^{2}).

2) Montrer que ∑_{k_{1},k_{2}∈IN} \frac{1}{k_{1}^{2}+k_{2}^{2}} = +∞. (On pourra comparer cette série double à une intégrale double).

3) Montrer que les séries ∑_{k_{1},k_{2}∈Z} \frac{k_{1}}{k_{1}^{2}+k_{2}^{2}} e^{ik_{1}x_{1}+k_{2}x_{2}} et ∑_{k_{1},k_{2}∈Z} \frac{k_{2}}{k_{1}^{2}+k_{2}^{2}} e^{ik_{1}x_{1}+ik_{2}x_{2}} ne convergent pas dans L_{loc}^{2}.

4) Calculer les dérivées partielles premières de u, \frac{∂u}{∂x_{1}} et \frac{∂u}{∂x_{2}} .

5) Montrer que u ∉ H_{loc}^{1}(IR^{2}).

6) Montrer que ∑_{k∈Z^{2}} e^{ik.x} = (2π)^{2} ∑_{l∈Z^{2}} δ_{l}. Indication : considérer les sommes finies ∑_{|k_{1}|≤N, |k_{2}|≤N} e^{ik.x} et utiliser le résultat en dimension 1.

7) Montrer que u est solution, au sens des distributions, de −Δu = C ∑_{m,n∈Z} δ_{m,n}, C constante à préciser. En déduire que l’équation −Δu = δ_{0} dans D′(] − π, π[^{2}) a une solution u ∈ L_{loc}^{2}(] − π, π[^{2}) qui n’est pas dans H^{1}.