

\section*{Examen d'analyse fonctionnelle, E.N.S. Cachan magistère, 2010} \pagestyle{myheadings}
  \noindent{\it On recommande très vivement la précision dans la rédaction.
En particulier, donner systématiquement des références explicites du polycopié  pour TOUS les théorèmes, propositions, définitions utilisés dans les démonstrations. }

\medskip


\dexer {\bf Topologie} Soit $E$ un espace muni de deux topologies $\mathcal O$ et $\mathcal O'$. On  suppose qu'il  y a une base de
voisinages $\mathcal U$ pour $\mathcal O$ et une base de voisinages $\mathcal U'$ pour  $\mathcal O'$ telles que  
tout élément de $\mathcal U'$ contient un élément de $\mathcal U$ et vice-versa. Montrer que  $\mathcal  O=\mathcal
O'$.


\fexer



\dexer {\bf Topologie}\newline Soit $X$  un espace compact, $Y$ un espace séparé et $f: X\to Y$ une bijection continue. Montrer que
$f^{-1}$ est continue.


\fexer

\dexer {\bf Topologie}

 \quest 1) Vérifier que $d(x,y)=|\frac 1 x-\frac 1 y|$ est une distance sur $X=]0,+\infty[$.

\quest  2) Vérifier que la topologie donnée par cette distance est la même que la topologie induite sur $X$ par la
topologie habituelle sur $\RR$.


\quest  3)  Montrer que $]0,1]$ est une partie complète de $X$.

\quest 4)  Expliquer le dicton: ``la complétude n'est pas une notion topologique.'' 
\fexer





\dexer {\bf Espaces de Hilbert} Montrer que $C^0([0,1])$ muni du produit scalaire $f.g=\int_0^1 f(x)g(x)dx$ n'est pas un espace de Hilbert.

%\nada{\it Soit $f\in L^2(0,1)$ qui ne soit pas continue et $f_n$ dans $C^0$ qui tend vers $f$. Donc $f_n$ est de Cauchy
%pour la norme $L^2$. Si $C^0$ était complet $f_n$ convergerait vers un élément $g$ de $C^0$ dans $L^2$ et on aurait
%donc toujours par la réciproque de Lebesgue $f=g$ presque partout, une contradiction. }
\fexer

\dexer {\bf Séries de Fourier et convergences}

\quest 1) Développer en série de Fourier en cosinus la fonction $2\pi$-périodique définie  sur $]-\pi,\pi[$ par $f(x)=|x|$.

\quest 2) En quel(s) sens la série  converge-t-elle vers $f$? (Examiner toutes les convergences de suites de fonctions que vous connaissez)

%\quest 3) En utilisant le développement  de Fourier de $f$, calculer $A=:\sum_1^\infty \frac 1{n^2}$ et
%$B=:\sum_1^\infty \frac 1 {n^4}.$
 \fexer





\dexer{\bf Calcul de limites faibles}

\quest 1) La suite $u_n(x)=\cos nx$ converge-t-elle
faiblement dans $L^2([0,2\pi])$ et si oui,  quelle est sa limite
faible? Cette suite converge-t-elle   fortement?

\quest 2) Mêmes questions pour $u_n(x)=\cos^2(nx)$.

\quest 3) Mêmes questions pour  $u_n(x)=\indic_{[0,1]}\cos nx$.

\quest 4) Mêmes questions pour $u_n(x)=\cos^2(nx)\indic_{[0,1]}$.
\fexer

%\dsolution \quest 1) Soit $f\in L^2(\real)$ : est elle aussi par
%l'inégalité de Cauchy-Schwartz dans $L^1([0,1])$ et le lemme de
%Riemann-Lebesgue nous assure que $\int
%f(x)\indic_{[0,1]}\sin(nx)dx\to 0$. Donc la suite converge
%faiblement vers 0. On voit aisément que $\int \sin^2(nx)dx\geq C>
%0$ et donc la suite ne converge pas fortement. En effet, si elle
%convergeait fortement, sa limite devrait être la limite faible et
%donc 0.
%
%\quest 2) On écrit $u_n(x)=\indic_{[0,1]}(\frac 12{1-\cos(2nx)}$
%et par le même raisonnement qu'au 1) on déduit que $u_n$ tend
%faiblement vers $\frac 12\indic_{[0,1]}$, et qu'elle ne converge
%pas fortement. \fsolution

\dexer    {\bf Espaces de Sobolev}
On va montrer  que  toute fonction de $H^1_{per}$ vérifie le théorème fondamental de l'analyse:
\begin{equation}\label{integrationentrexety}u(y)-u(x)=\int_{[x,y]}u'(t)dt.
\end{equation}
 
  \quest 1) Considérons $u_n:=\sum_{|k|\leq n} c_k(u)e^{ikt}$,  la série de Fourier tronquée de $u$. Montrer en relisant la preuve de  la proposition 7.4 que $u_n$ converge  uniformément vers $u$ et que $u'_n$ tend dans $L^2_{loc}$ vers $u'$. 
  
  \quest 2) Remarquer que  $u_n$ vérifie bien (\ref{integrationentrexety}) et en déduire que
  $u$ vérifie encore (\ref{integrationentrexety}). 

\medskip On se propose maintenant de montrer que 
 de toute suite
bornée dans $H^1_{per}([0,2\pi])$ on peut extraire une sous-suite
convergeant uniformément sur $[0,2\pi]$. Pour cela on suivra l'une des deux démarches suivantes:

\quest 3) {\it  Première méthode:} Déduire de (\ref{integrationentrexety}) qu'il existe une constante $C$ dépendant de $u$  telle que
$|u(x)|^2\leq C \int_{[0,2\pi]}(|u'(t)|^2+|u(t)|^2)dt.$ Expliciter $C$.

\quest 4) Déduire également l'existence d'une constante telle que pour $x,y\in[0,2\pi]$, 
$u(x)-u(y)\leq C|x-y|^\frac 12$. 

\quest 5) Conclure en utilisant le résultat des deux questions précédentes et  le théorème d'Ascoli-Arzela appliqué à une suite bornée dans $H^1_{per}$. 

\quest 6) {\it Seconde méthode:} montrer que  si $u_n$ est une suite bornée dans $H^1_{per}$ alors une sous-suite encore notée  
$u_n$ converge faiblement dans $L^2([0,2\pi])$  vers une fonction $u\in L^2([0,2\pi])$ et
$u'_n$ converge faiblement dans $L^2([0,2\pi])$  vers une fonction $v\in L^2([0,2\pi])$.

\quest 7) Montrer en utilisant la définition de la dérivée au sens des distributions que  $v=u'$.

\quest 8) Déduire que $u_n$ tend uniformément vers $u$.
  

 \fexer




\dexer Parmi les applications $u: C_0^\infty(\real)\to\real$ qui  suivent, déterminer celles qui sont  des
distributions sur $\real$. Expliquer.

\begin{description}
  \item[1)] $<u,\varphi>=|\varphi(0)|$;
  \item[2)] $<u, \varphi>=\int_0^1 e^t\varphi^{(k)}(t)dt,$ $k\in \natural$;
  \item[3)] $<u, \varphi>=\sup_{t\in\real} \varphi(t)$;
    \item[4)] $<u,\varphi>=\sum_{j=0}^\infty \varphi^{(j)}(0)$ 
    \item [5)]$<u,\varphi>=\sum_{j=0}^\infty \varphi^{(j)}(j).$
\end{description}


\fexer

\dexer \label{discretisationdistribution} Si $u\in \mathcal
D'(\real)$ est une distribution sur $\real$, on  définit sa
translatée de $h\in\real$ par $$<\tau_h u,
\varphi>=<u,\tau_{-h}\varphi>,$$ où on note
$\tau_h\varphi(x)=\varphi(x-h).$

\quest 1) Vérifier que $\tau_h u$ est une distribution.

\quest 2) Vérifier la compatibilité des deux définitions, à savoir
que si $u\in L^1_{loc}$ et $\tilde u$ la distribution qui lui est
associée canoniquement, $\tau_h \tilde u=\tau_h u$ au sens des
distributions.

\quest 3) Montrer que si $u\in\mathcal D'(\real)$,
$$\frac{\tau_{-h}u-u}h\to u'$$ au sens des distributions.

\quest 4) Donner une formule de discrétisation du même type pour
approcher $u''$.
 \fexer


 \dexer  Soit $(c_k)_{k\in
\relative}$ une suite   \`{a} croissance lente, c'est-\`{a}-dire
v\'{e}rifiant pour au moins une valeur de $M\in \natural$ une in\e
galit\ea du type
$$\forall k \in \relative,\; |c_k|\leq C(1+|k|)^M.$$
Montrer que la s\'erie \begin{equation} \label{seriedeFouriersurunreseau}\sum_{k\in \relative} c_k e^{ik.x} \end{equation}
converge au sens des distributions. Indication: utiliser directement la définition de la convergence au sens des distributions.

 
 \quest 2) Montrer que la somme de cette série d\'{e}finit une distribution $2\pi$-p\'{e}riodique, c'est-à-dire telle que $\tau_{2\pi}u=u$.   Indication: montrer cette relation pour la série tronquée et argumenter que l'on peut passer à la limite.
\fexer



\dexer  On pose $x=(x_1,x_2)\in \real^2$, $k=(k_1, k_2) \in \real^2$ et on note $k.x=
k_1x_1+k_2x_2$ leur produit scalaire.
On rappelle que les fonctions $e_{k}(x)=\frac 1 {2\pi}e^{ik.x}$, $k\in
\relative^2$, forment une base hilbertienne de $L^2([0,2\pi]^2)$ et  qu'on a
donc pour toute fonction $u\in L^2([0,2\pi]^2),$
\begin{equation}\label{developpementenseriedeFourierdouble} u= \sum_{k\in \relative^2}
c_k(u)e^{ik.x},\; \hbox{avec  }  c_k(u) = \frac 1 {(2\pi)^2}\int_{[0,2\pi]^2}
u(x)e^{-ik.x}dx,
\end{equation}
 la convergence de la s\e rie se v\e rifiant au sens
de $L^2([0,2\pi]^2)$.  
 

\quest 1) On considère la fonction définie sur $[0, 2\pi]^2$ par

$$u(x_1,x_2)=\sum_{k_1,k_2\in \natural^*} \frac 1{k_1^2+k_2^2} e^{i k_1x_1}e^{ik_2x_2}.$$
Montrer que cette série converge (en un sens que l'on précisera) et que $u\in L^2([0,2\pi]^2).$

\quest 2) Montrer que  $\sum_{k_1,k_2\in \natural} \frac 1 {k_1^2+k_2^2}=+\infty$.
(On pourra comparer cette série double à une intégrale double).

\quest 3) Montrer que les séries $\sum_{k_1,k_2\in \relative} \frac
{k_1}{k_1^2+k_2^2}e^{i k_1x_1+k_2x_2}$ et $\sum_{k_1,k_2\in
\relative}\frac{k_2}{k_1^2+k_2^2}e^{i k_1x_1+ik_2x_2}$ ne convergent pas dans
$L^2_{loc}$.

 

\quest 4) Calculer les dérivées partielles premières de $u$, $\frac{\partial u}{\partial x_1}$ et 
$\frac{\partial u}{\partial x_2}$. 

\quest 5)  Montrer que  $u\notin H^1_{loc}(\real^2)$.

\quest 6) Montrer que $\sum_{k\in
\relative^2}e^{ik.x}=(2\pi)^2\sum_{l\in\relative^2}\delta_l.$  Indication :
considérer les sommes finies $\sum_{|k_1|\leq N,\;|k_2|\leq N}e^{ik.x}$ et utiliser
 le résultat en  dimension 1.


 \quest 7) Montrer que
 $u$ est solution, au sens des distributions,
  de  $-\Delta u= C\sum_{m,n\in \relative}\delta_{m,n}$, $C$ constante à préciser.
  En déduire que l'équation $-\Delta u=\delta_0$ dans \newline ${\cal D}'(]-\pi,\pi[^2)$ a une
solution $u\in L^2_{loc}(]-\pi,\pi[^2)$  qui n'est pas dans $H^1$.
 \fexer