Examen d’analyse fonctionnelle, E.N.S. Cachan, 2008-2009

Les exercices sont largement indépendants. Lisez-les tous avant de commencer et choisissez l’ordre qui vous convient le mieux. On recommande très vivement la précision, mais aussi la briéveté dans la rédaction. \underline{Ne redémontrez pas des faits contenus dans le polycopié.} Contentez-vous de citer précisément en donnant des références explicites pour les résultats utilisés dans les démonstrations. Si une réponse à une question est négative, donner un contrexemple. Si elle est positive, le prouver. Exercice 1 Critère de convergence faible Soit H un espace de Hilbert. Montrer que x_{n} → x si et seulement si x_{n} ⇀ x et ||x_{n}|| → ||x||. Exercice 2 Montrer que l^{∞}(IN) n’est pas séparable. Exercice 3 Hilberts, topologies faibles

1) Soit H un espace de Hilbert muni de sa norme ||x||_{H} et (e_{n})_{n∈IN} une base hilbertienne de H. H est-il séparable?

2) Montrer que si une suite x_{k} est une suite bornée telle que (x_{k}, e_{n}) → (x, e_{n}) pour tout n, alors x_{k} ⇀ x dans H.

3) On appelle T la topologie la moins fine rendant les applications coordonnées x ∈ H → (x, e_{n}) continues. Cette topologie est-elle la même que la topologie faible sur H? Sur la boule unité de H?

4) On pose ||x||_{(H)}^{2} = ∑_{n∈IN} \frac{1}{2^{n}} |(x, e_{n})|^{2}. Montrer que ||x||_{(H)} est une norme sur H.

5) Les normes ||x||_{(H)} et ||x||_{H} sont elles équivalentes?

6) H muni de ||x||_{(H)} est-il complet?

7) H muni de ||x||_{(H)} est-il un espace préhilbertien?

8) On pose H = l^{2}(IN). Pouvez-vous décrire le complété de H pour la norme ||x||_{(H)}. Exercice 4 Critères de convergence L^{1}. Soit f_{n} une suite de fonctions sommables sur un ensemble mesurable borné B de IR^{N} telles que f_{n} → f en probabilité et f_{n} a un chapeau intégrable, |f_{n}| ≤ g ∈ Ł^{1}(IR).

1) A-t-on ||f_{n} − f||_{L^{1}} → 0?

2) Si oui, l’hypothèse que B est borné est elle nécessaire? Exercice 5 Convolution et régularisation. On pose g(x) = \frac{1}{\sqrt{2πh}}e^{− \frac{x^{2}}{2h}}; c’est le noyau de Gauss.

1) Calculer ∫_{IR} g_{h}(x)dx.

2) Montrer que g_{h} ∗ g_{k} = g_{h+k}.

3) Montrer que si f ∈ C_{b}(IR) (fonctions continues bornées), alors f ∗ g_{h}(x) → f(x) en tout point x.

4) La convergence précédente est-elle uniforme?

5) La convergence précédente est-elle uniforme si f est dans C_{0}(IR), espace des fonctions continues tendant vers zéro à l’infini?

6) Si f ∈ L^{p}(IR), 1 ≤ p < ∞, a-t-on f ∗ g_{h} → f dans L^{p}?

7) Même question avec p = +∞.

8) On suppose que f ∈ L^{∞}(IR). Montrer que f ∗ g_{1} est continue.

9) On suppose que f ∈ L^{∞}(IR). f ∗ g_{1} est-elle uniformément continue?

10) On suppose que f ∈ L^{∞}(IR). Démontrer que f ∗ g_{1} est C^{∞}.

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11) On suppose que f ∈ L^{∞}(IR). Calculer \frac{∂}{∂h}((f ∗ g_{h})(x)) et calculer \frac{∂}{∂x^{2}} ((f ∗ g_{h})(x)). En déduire que f(h, x) := (f ∗ g_{h})(x) est solution d’une équation de la chaleur avec condition initiale f(0, x) = f_{0}(x), que l’on explicitera.

Exercice 6 Soit f ∈ L_{loc}^{1}(IR) telle que ∫_{x}^{y} f(t)dt = 0 pour tout x < y. Montrer que f = 0.

Exercice 7 Le théorème fondamental du traitement du signal en discret Soit H = l^{2}(Z) l’espace des suites (u_{n})_{n∈Z} indexées par les entiers relatifs. On définit l’opérateur de shift S par (Su)_{n} := u_{n−1}.

1) Montrer que S est continu de l^{p} dans l^{p}.

2) Donner les valeurs de p pour lesquelles S^{k}u ⇀ 0 dans l^{p}, quand k → ±∞.

3) On dit qu’un opérateur linéaire T sur L^{2}(Z) est stationnaire s’il commute avec le shift, à savoir T Su = ST u pour tout u ∈ l^{2}(Z). Montrer que si T : l^{2}(Z) → l^{∞}(Z) est continu et stationnaire, alors il existe une suite v ∈ l^{2}(Z) telle que (T u)_{n} = ∑_{k∈Z} v_{k}u_{n−k}.

4) Montrer la réciproque.

Exercice 8 Calcul de limites faibles dans L^{2} Calculer si elles existent les limites faibles des suites suivantes dans L^{2}.

1) Dans L^{2}(0, π): u_{n}(x) = \frac{sin^{2}n^{2}x}{x^{\frac{1}{4}}}.

2) Dans L^{2}(IR): u_{n}(x) = \frac{x^{2}+2n^{2}+2}{((x+n)^{2}+1)((x−n)^{2}+1)}. (Commencer par vérifier que ces fonctions sont bien dans L^{2}(IR)).

Exercice 9 Distributions Parmi les applications u : C_{0}^{∞}(IR) → IR qui suivent, déterminer celles qui sont des distributions sur IR. Expliquer.

(a) < u, φ >= ∫ φ^{2}(t)dt;

(b) < u, φ >= ∫_{0}^{1} φ^{(k)}(t)dt, k ∈ IN;

(c) < u, φ >= sup_{t∈IR} φ(t);

(d) < u, φ >= lim_{n→+∞} (∑_{j=1}^{n} φ(\frac{1}{j}) − nφ(0) − φ′(0) log n);

(e) < u, φ >= ∑_{j=0}^{∞} φ^{(j)}(0)

(f) < u, φ >= ∑_{j=0}^{∞} φ^{(j)}(j).

Exercice 10 Espaces de Sobolev Montrer que la formule classique d’intégrations par parties est vraie pour deux fonctions quelconques u, v de W^{1,p}(I), 1 ≤ p ≤ ∞.

Exercice 11 Fourier et distributions Démontrer l’égalité ∑_{n=−∞}^{+∞}(−1)^{n}e^{iπnx} = 2 ∑_{n=−∞}^{+∞} δ_{2n+1}.

Exercice 12 Fourier discret, discrétisation de l’intégrale On appelle une fonction de la forme u(x) = ∑_{n=− \frac{N}{2}}^{\frac{N}{2} −1} ũe^{\frac{2iπnx}{a}} un “polynôme trigonométrique de degré n”.

1) Vérifier que u est a-périodique. Interpréter les coefficients ũ_{n}.

2) Montrer que si u sont deux polynômes trigonométriques de degré n, alors on a la formule suivante, que l’on interprétera: ∫_{[0,a]} u(x)\overline{v}(x)dx = a ∑_{n} ũ_{n}ṽ_{n}.

3) Montrer sous les mêmes hypothèses que ∫_{[0,a]} u(x)\overline{v}(x)dx = \frac{a}{N} ∑_{k=0}^{N−1} u(\frac{ka}{N})\overline{v}(\frac{ka}{N}).

4) Montrer que pour tout b ∈ IR, ∫_{[0,a]} u(x)\overline{v}(x)dx = \frac{ka}{N} ∑_{k=0}^{N−1} u(\frac{ka}{N} + b)\overline{v}(\frac{ka}{N} + b).