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%{ \vspace{0.25cm}}
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\newtheorem{Exer}{Exercice}
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\newenvironment{Solution}[1]{{\em \vspace{0.1cm}

\bf Solution #1 \newline\it \small }} { \vspace{0.25cm }}
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\newcommand \Pro{\mathbb P}
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\newcommand{\reff}[1]{(\ref{#1})}

\newcommand{\indic}{{1\!\!1}}
\def\R\'esum\'e{\small\noindent\bf R\'esum\'e. \rm}
\def\Abstract{\small\noindent\bf Abstract. \rm}
\def\Sum{\sum}
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\newtheorem{cor}{Corollary}
\newtheorem{thf}{Th\e or\ee me}
\newtheorem{corf}{Corollaire}
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\newtheorem{proposition}{Proposition}


\def\Varphi{{\bf \varphi}}
\def\e {\'{e}}
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\def\eee {\^{e}}
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\def\ea {\'{e} }
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\def\eee {\^{e}}
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\def\skipaline{\vspace{4 mm}\noindent}
\def\esp{\E}
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\def\ccaadd{c'est-à-dire}
\newcommand{\nada}[]{}
%si on supprime le 1 dans le crochet [] la commande s'inactive et le texte apparaît. Si on le remet le texte disparaît
\newcommand{\niente}[1]{}

\begin{document}

\section*{Examen d'analyse fonctionnelle, E.N.S. Cachan,   2008-2009} \pagestyle{myheadings}
  \noindent{\it Les exercices sont largement
indépendants. Lisez-les tous avant de commencer et choisissez
l'ordre qui vous convient le mieux.  On recommande très vivement
la précision, mais aussi la briéveté dans la rédaction. \underline {Ne
redémontrez pas des faits contenus dans le polycopié.}
Contentez-vous de citer précisément en donnant des références
explicites pour les résultats utilisés dans les démonstrations.  Si une réponse à une question est négative, donner un contrexemple. Si elle est positive, le prouver. }





\dexer {\bf  Critère de convergence faible}\newline
 Soit $H$ un espace de Hilbert.
Montrer que $x_n\to x$ si et seulement si $x_n\rightharpoonup x$ et $||x_n||\to ||x||$.

\fexer
\dexer   Montrer que $l^\infty(\natural)$ n'est pas séparable.
\fexer

\dexer {\bf Hilberts,  topologies faibles}


\quest 1) Soit $H$ un espace de Hilbert  muni de sa norme $||x||_H$ et $(e_n)_{n\in \natural} $ une base hilbertienne de $H$.  $H$ est-il séparable?

\quest 2) Montrer que si une suite $x_k$ est une suite bornée telle que $(x_k, e_n)\to (x, e_n)$ pour tout $n$, alors $x_k\rightharpoonup x$ dans $H$.


 \quest 3)  On appelle $\mathcal T$  la topologie la moins fine rendant les applications coordonnées $x\in H\to (x,e_n)$ continues. Cette topologie est-elle la même que la topologie faible sur $H$? Sur la boule unité de $H$?


\quest 4) On pose $||x||_{(H)}^2=\sum_{n\in \natural} \frac 1{2^n}|(x,e_n)|^2$. Montrer que $||x||_{(H)}$ est une norme sur $H$.

\quest 5) Les normes $||x||_{(H)}$ et $||x||_H$  sont elles équivalentes?

\quest 6) $H$ muni de $||x||_{(H)}$ est-il complet?

\quest 7) $H$ muni de $||x||_{(H)}$ est-il un espace préhilbertien?

\quest 8) On pose $H=l^2(\natural)$. Pouvez-vous décrire   le complété de $H$ pour la norme $||x||_{(H)}$.

\fexer


%\dexer On pose $E=\real^{\natural}$, espace des suites de réels %$x=(x_n),\;x_n\in\real$, muni de sa topologie produit.

%\quest 1) Cette topologie est-elle métrisable?

%\quest 2) Quelle est la topologie induite sur $l^p(\natural)$, $1\leq p<\infty$
% par celle de $E$?

% \quest 2) Même question pour $p=\infty$.

%\fexer

\dexer {\bf Critères de convergence $L^1$}.
 \newline Soit $f_n$ une suite de fonctions sommables sur un ensemble mesurable borné $B$ de $\real^N$ telles que $f_n\to f$ en probabilité et $f_n$ a un chapeau intégrable, $|f_n|\leq g\in \L^1(\real)$.

\quest 1) A-t-on $||f_n-f||_{L^1}\to 0$?

\quest 2) Si oui, l'hypothèse que $B$ est borné est elle nécessaire?

\fexer

\dexer {\bf Convolution et régularisation.} \newline On pose $g(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi h}}e^{-\frac {x^2}{2h}};$ c'est le noyau de Gauss.

\quest 1) Calculer $\int_\real g_h(x)dx$.

\quest 2) Montrer que $g_h\ast g_k=g_{h+k}$.

\quest 3) Montrer que si $f\in C_b(\real)$ (fonctions continues bornées), alors $f\ast g_h(x)\to f(x)$ en tout point $x$.

\quest 4) La convergence précédente est-elle uniforme?

\quest 5) La convergence précédente est-elle uniforme si $f$ est dans $C_0(\real)$, espace des fonctions continues tendant vers zéro à l'infini?

\quest 6) Si $f\in L^p(\real)$, $1\leq p<\infty$, a-t-on  $f\ast g_h\to f$ dans $L^p$?

\quest 7) Même question avec $p=+\infty$.

\quest 8) On suppose que $f\in L^\infty(\real)$. Montrer que $f\ast g_1$ est continue.

\quest 9)  On suppose que $f\in L^\infty(\real)$.  $f\ast g_1$ est-elle uniformément continue?

\quest 10)  On suppose que $f\in L^\infty(\real)$. Démontrer que $f\ast g_1$ est $C^\infty$.

\quest 11)   On suppose que $f\in L^\infty(\real)$. Calculer $\frac {\partial }{\partial h}((f\ast g_h)(x))$ et calculer $\frac{\partial }{\partial x^2}((f\ast g_h)(x)).$  En déduire que $f(h,x):=(f\ast g_h)(x)$ est solution d'une équation de la chaleur avec condition initiale $f(0,x)=f_0(x)$, que l'on explicitera.


\fexer


 \dexer Soit $f\in L^1_{loc}(\real)$ telle que  $\int_x^yf(t)dt=0$ pour tout $x<y$. Montrer que  $f=0$.
 \fexer

 \dexer {\bf Le théorème fondamental  du traitement du signal en discret }\newline
 Soit $H=l^2(\relative)$ l'espace des suites $(u_n)_{n\in\relative}$ indexées par les entiers relatifs. On définit l'opérateur de {\it shift} $S$ par $(Su)_n:=u_{n-1}.$

 \quest 1)  Montrer que $S$ est continu de $l^p$ dans $l^p$.

 \quest 2) Donner les valeurs de $p$ pour lesquelles $S^ku\rightharpoonup 0$ dans $l^p$,  quand $k\to \pm \infty$.

 \quest 3) On dit qu'un opérateur linéaire  $T$  sur $L^2(\relative)$  est stationnaire s'il commute avec le shift, à savoir $TSu=STu$ pour tout $u\in l^2(\relative)$. Montrer que si $T: l^2(\relative)\to  l^\infty(\relative)$ est continu et stationnaire, alors il existe une suite $v\in l^2(\relative)$ telle que $(Tu)_n=\sum_{k\in \relative} v_ku_{n-k}.$

 \quest 4) Montrer la réciproque.


 \fexer

\dexer {\bf Calcul de limites faibles dans $L^2$ }\newline Calculer si elles existent les limites faibles  des suites
suivantes dans $L^2$.

\quest 1) Dans $L^2(0,\pi)$: $u_n(x)= \frac {\sin^2n^2x}{x^\frac 14}.$


\quest 2) Dans $L^2(\real)$: $u_n(x)= \frac{x^2+2n^2+2}{((x+n)^2+1)((x-n)^2+1)}.$ (Commencer par vérifier que ces
fonctions sont bien dans $L^2(\real)$).

\fexer


\dexer {\bf Distributions}\newline Parmi les applications $u: C_0^\infty(\real)\to\real$ qui  suivent, déterminer celles qui sont  des
distributions sur $\real$. Expliquer.

\begin{description}
  \item[(a)] $<u,\varphi>=\int \varphi^2(t)dt$;
  \item[(b)] $<u, \varphi>=\int_0^1 \varphi^{(k)}(t)dt,$ $k\in \natural$;
  \item[(c)] $<u, \varphi>=\sup_{t\in\real} \varphi(t)$;
  \item[(d)] $<u, \varphi>=\lim_{n\to +\infty} \left(\sum_{j=1}^n \varphi(\frac 1j)-n\varphi(0)-\varphi'(0)\log
  n\right)$;
  \item[(e)] $<u,\varphi>=\sum_{j=0}^\infty \varphi^{(j)}(0)$

  \item [(f)] $<u,\varphi>=\sum_{j=0}^\infty \varphi^{(j)}(j).$
\end{description}


\fexer



\dexer {\bf Espaces de Sobolev}\newline Montrer que la formule classique d'intégrations par parties est vraie pour deux fonctions quelconques $u$, $v$
de $W^{1, p}(I)$, $1\leq p\leq \infty$.

\fexer

\dexer {\bf Fourier et distributions}\newline
Démontrer l'égalité   \quad $\sum_{n=-\infty}^{+\infty} (-1)^n e^{i\pi nx}=2 \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta_{2n+1}.$

 \fexer

 \dexer {\bf Fourier discret, discrétisation de l'intégrale}\newline On appelle une fonction de la forme  $u(x)=\sum_{n=-\frac N2}^{\frac  N2-1}\tilde u e^{\frac{2i\pi nx}{a}}$  un ``polynôme trigonométrique de degré $n$''.

 \quest 1) Vérifier que $u$ est  $a$-périodique. Interpréter les coefficients $\tilde u_n$.

 \quest 2) Montrer que si $u$ sont deux polynômes trigonométriques de degré $n$, alors on a la formule suivante, que l'on interprétera:
 $\int_{[0,a]} u(x)\overline{v}(x)dx= a \sum_n \tilde u_n\tilde v_n.$

 \quest 3) Montrer sous les mêmes hypothèses que
 $\int_{[0,a]}u(x)\overline{v}(x)dx=\frac{a}N\sum_{k=0}^{N-1} u(\frac{ka}N)\overline{v}(\frac{ka}N).$

 \quest 4) Montrer que pour tout $b\in \real$,
  $\int_{[0,a]}u(x)\overline{v}(x)dx=\frac{ka}N\sum_{k=0}^{N-1} u(\frac{ka}N+b)\overline{v}(\frac{ka}N+b).$



 \fexer

\end{document}
