
   \newpage\section*{Cordes vibrantes}


\dexer Soient $f$ et $g$ deux fonctions de $L^2(0,a)$.  On veut
calculer le développement en série de Fourier du produit $fg$.
\newline\newline a) Vérifier que $fg\in L^1(0,a)$.
\newline\newline b) On considère les sommes partielles
$$f_N=\sum_{-N}^{N} c_n(f)e^{2i\pi n\frac ta} \hbox{ et }
g_N=\sum_{-N}^{N} c_n(g)e^{2i\pi n\frac ta}.$$ Montrer que
$f_Ng_N$ tend vers $fg$ dans $L^1$. Calculer les coefficients de
Fourier de $f_Ng_N$.
\newline\newline
c) Montrer que les coefficients de Fourier de $f_Ng_N$ tendent
vers ceux de $fg$ et en déduire l'expression des coefficients de
Fourier de $fg$ en fonction de ceux de $f$ et de $g$.
\newline
\newline d) Soit $c=(c_n)_{n\in\relative}\in l^1(\relative)$. On
lui associe sa {\it fonction caractéristique} $f_c(t)=\sum_{n\in
\relative} c_n e^{int}$, définie sur $[0, 2\pi]$. On définit la
convolution discrète $c\ast d$ de deux suites $c=(c_n)$ et
$d=(d_n)$ de $l^1(\relative)$ par $(c\ast d)_n=
\sum_{k\in\relative} c_kd_{n-k}$.
\newline\newline
e) Montrer que $c\ast d\in l^1(\relative). $  Montrer que
$f_{c\ast d}=f_cf_d$. Que peut-on dire sur $c\ast d$, $f_{c\ast
d}$ si $c\in l^2$ et $d\in l^2$ ?
\newline
\newline f) Si $f_c$ est dans $L^1$, peut-on en déduire que $c\in l^1$?
\fexer

\dexer {\bf Caract\e risation des distributions p\e riodiques par
leur s\e rie de Fourier}
\newline
Le but de cet exercice est de compléter le chapitre 11.1 sur les
distributions périodiques en montrant que :
\newline
\newline
1) Toute distribution $u$ $2\pi$-p\e riodique est la somme d'une
s\e rie de Fourier dont les coefficients $c_k(u)$ sont \a
croissance lente,
$$ u= \sum_{k\in \relative}c_k(u)e^{ik.x}.$$
R\e ciproquement, toute s\e rie de Fourier \a coefficients \a
croissance lente est une distribution $2\pi$-p\e riodique.
\newline\newline
2) Les coefficients de Fourier de $u$ se calculent avec une
quelconque fonction $\chi$ donnant lieu \a une partition de
l'unit\ea $2\pi$-p\e riodique ($\sum_{\gamma\in 2\pi \relative
}\chi(x+\gamma)=1$) par la formule
$$
c_k(u) = \frac 1{2\pi}<u, \chi e^{-ik.x}>
$$
3) La dualit\ea entre distributions p\e riodiques $u$ et fonctions
tests $\varphi\in C_0^\infty$ s'exprime gr\aa ce aux coefficients
de Fourier de $u$ et de la $2\pi$-p\e riodis\e e $\tilde \varphi$
par
$$<u_1, \varphi> =
2\pi\sum_{k\in \relative}c_k(u)c_{-k}(\tilde \varphi).
$$
4) Cette derni\ee re formule traduit donc la dualit\ea
distributions p\e riodiques-fonctions test en une dualit\ea entre
suites index\e es par $\relative$  \a croissance lente et suites
\a d\e croissance rapide.

 On rappelle la proposition suivante :
\begin{proposition}\index{Croissance lente (suite \a )}
\label{coefficientsdeFourieracroissancelente} Soit $(c_k)_{k\in
\relative}$ une suite   \`{a} croissance lente, c'est-\`{a}-dire
v\'{e}rifiant pour au moins une valeur de $M\in \natural$ une in\e
galit\ea du type
$$\forall k \in \relative,\; |c_k|\leq C(1+|k|)^M.$$
Alors la s\'erie \begin{equation} \label{seriedeFouriersurunreseau}\sum_{k\in \relative} c_k e^{ik.x} \end{equation}
converge au sens des distributions et d\'{e}finit une distribution $2\pi$-p\'{e}riodique. \end{proposition}

La proposition \ref{coefficientsdeFourieracroissancelente} nous
permet de construire des distributions p\e riodiques comme sommes
de s\e ries de Fourier. Rappelons aussi qu'une telle décomposition
en série de Fourier est unique :

\begin{thf}\label{unicitedescoefficientsdefourier}\index{Unicit\ea des
coefficients de Fourier d'une distribution} (Unicit\ea des
coefficients de Fourier)   Si $c_{k}, \; k\in \relative$ est une
suite \a croissance lente telle que l'on ait $\sum_{k\in
\relative} c_{k} e^{ik.x}=0$  au sens des distributions, alors
$\forall k, c_{k}=0$.
\end {thf}

\skipaline
 a)  Si $u$ est une distribution $2\pi$-p\e riodique, on
d\e finit ses coefficients de Fourier $c_k(u)$, $k\in \relative$ par \begin{equation}
\label{coefficientsdeFourierd'unedistributionperiodique} c_k(u) = \frac 1 {2\pi}<u, \chi e^{-ik.x}> \end{equation} o\u
$\chi$ est une partition de l'unit\ea $2\pi$-p\e riodique.  Démontrer que $c_k(u), \; k\in \relative$ est \a croissance
lente.

%\paragraph{D\e monstration}
%Soit $K$ le support de $\chi$.  Par d\e finition d'une
%distribution, il existe une constante $C$ et un entier $p$ tels
%que
%$$|<u, \chi e^{-ik.x}>|\leq \sum_{|\alpha|\leq p}||\partial^\alpha
%(\chi(x)e^{-ikx})||_{L^\infty},$$ o\u $\partial^\alpha=\frac
%{\partial^{|\alpha|}}{\partial^{\alpha_1}
%x_1\partial^{\alpha_2}x_2}$ d\e signe une d\e riv\e e partielle
%d'ordre total $|\alpha|=\alpha_1+\alpha_2$. En d\e veloppant les
%d\e riv\e es par la formule de Leibnitz, on voit qu'il existe une
%constante $C$ telle que
%$$|<u, \chi e^{-ik.x}> |\leq C (1+ |k|^p).$$  La suite
%$c_k(u) = <u, \chi e^{-ik.x}>$ est donc \a croissance lente et on
%a le droit de parler de la distribution

\skipaline
 b) Notons  Soit $\varphi\in C_0^\infty$.  On note
$\tilde \varphi$ la $2\pi$-p\e riodis\e e de $\varphi$, $\tilde
\varphi(x)=\sum_{\gamma\in 2\pi \relative}\varphi(x)$. Démontrer
que

\begin{equation} \tilde \varphi(x) =\sum_{k\in\relative}c_k(\tilde
\varphi)e^{ik.x} \hbox{ avec  } c_k(\tilde \varphi)=\frac
1{2\pi}\int_{\real} \varphi(x)e^{-ik.x}dx.
 \end{equation}
 Montrer que les coefficients de
Fourier $c_k(\tilde \varphi)$ sont \a d\e croissance rapide.

%\paragraph{D\e monstration}Les coefficients de Fourier de
%$\tilde \varphi$ sont
%$$c_k(\tilde \varphi)=\frac 1{2\pi}
% \int_[0,2\pi]\tilde \varphi(x)e^{-ik.x}dx=
%\frac 1{2\pi}\int_{ [0,2\pi]}\sum_{\gamma\in 2\pi
%\relative}\varphi(x+\gamma)e^{-ik.(x+\gamma)}dx=$$
%%$$\frac 1 S\sum_{\gamma\in 2\pi\relative}\int_{M+\gamma}
%\varphi(x)e^{-ik.x}dx= \frac 1{2\pi} \int_{\real}
%\varphi(x)e^{-ik.x}dx.$$

\skipaline c) On considère la distribution
$$u_1 = \sum_{k\in\relative} c_k(u) e^{ik.x}.$$  On va montrer que
$u=u_1$. Pour cela, appliquer $u$ et $u_1$ à $\varphi$ et montrer
que

$<u_1, \varphi>$ et $<u, \varphi>$ sont tous deux égaux à
$$
2\pi\sum_{k\in \relative}c_k(u)c_{-k}(\tilde \varphi).
$$
Conseil : écrire $u=\sum_{\gamma\in 2\pi\relative} \tau_\gamma
(\chi u)$, où $\tau_\gamma $ désigne la $\tau$-translatée de $u$.

\skipaline d) Conclure : passer en revue les points 1, 2, 3, 4 du
début de l'exercice et vérifier qu'ils ont bien été montrés.

%On a d'une part
%$$<u, \varphi> = <\sum_{\gamma\in\Gamma} \tau_\gamma (\chi u) , \varphi>=
%<\chi u, \sum_{\gamma\in \Gamma} \tau_{-\gamma} \varphi >=<\chi u,
%\tilde \varphi>=$$
%$$<\chi u, \sum_{k\in \relative} c_k(\tilde\varphi) e^{ik.x}>=$$
%$$\sum_{k\in \relative} c_{-k}(\tilde \varphi)<\chi u, e^{-ik.x}>=
%S\sum_{k\in \relative} c_{-k}(\tilde \varphi)c_{k}(u).$$ Par
%ailleurs, on a
%$$<u_1, \varphi> = <\sum_{k\in \relative}c_k(u) e^{ik.x}, \varphi>=
%\sum_{k\in \relative}c_k(u)<e^{ik.x}, \varphi>= S\sum_{k\in
%\relative}c_k(u)c_{-k}(\tilde \varphi).
%$$
%Les deux distributions $u$ et $u_1$ sont donc bien \e gales.
%\enddemo

\fexer

\dexer {\bf L'élastique chargé}
\newline
\newline
a) On dit que $f\in H^{-1}(0, L)$ si on peut écrire $f=g+h'$, avec
$g, h\in L^2(0,L)$. Montrer que l'on peut alors écrire $f=h_1'$,
$h_1\in L^2(0,L)$.

\skipaline b)  Montrer que $f\in H^{-1}$ définit une forme
linéaire continue sur $H^1(0,L)$, définie par $<f,
u>=-\int_{[0,L]}h_1(x) u'(x)dx$.

\skipaline c) Exemple : montrer que si $f=\sum_{i=1}^n
\delta_{x_i}$, $x_i\in ]0, L[$, est une somme finie de masses de
Dirac, alors $f\in H^{-1}.$ Calculer alors $<f, u>$ pour $u\in
H^1(0, L)$. Dans l'exemple d'application physique que nous allons
considérer, les masses de Dirac représentent des masses
ponctuelles suspendues à une corde à linge.



\skipaline d) Soit $f\in H^{-1}(0, L)$. On veut minimiser
l'énergie de la corde à linge chargée par $f$,
$$E(u)=\frac 12 \int_{[0,L]} u'^2 -<f,u>,$$
pour $u\in H_0^1(0,L)$. (La corde est fixée en 0 et en $L$, $u$
représente le décalage vertical de la corde à partir du niveau 0.
Montrer que $E$ est strictement convexe et coercive sur $H_0^1$.
Rappel : dans $H^1_0(0,L)$, $(\int_{[0, L]}u'^2)^\frac 12$ est une
norme équivalente à la norme de $H^1(0,L)$.

\skipaline e) Montrer que $E$ atteint un minimum $u_0$ unique dans
$H_0^1$ et que ce minimum vérifie
$$\int u'v'=<f, v>$$
pour tout $v\in H_0^1(0,L).$

\skipaline f) En déduire que $-u''=f$ au sens des distributions
sur $]0, L[$.

\skipaline g)  Unicité. Soit réciproquement $u\in H^1_0(0,L)$ tel
que $-u''=f$ au sens des distributions de $]0, L[$. Montrer que
l'on a $\int u'v'= <f, v>$ pour tout $v\in H_0^1$.  En déduire que
l'équation $-u''=f$ a une unique solution dans $H_0^1$.

\skipaline h) Montrer que $f\in H^{-1}(0,L)$ si et seulement si
$f=\sum_{k\in \relative} c_k(f)\sin \frac{k\pi}L$ avec $\frac
{c_k}k\in l^2(\relative\setminus \{0\}).$  Donner une formule pour
calculer $c_k(f)$.

\skipaline i) Calculer $c_k(f)$ quand $f=\delta_{\frac L2}$.

\skipaline j) Montrer à nouveau, cette fois-ci en utilisant
directement les développements en série de Fourier, qu'il existe
une unique fonction $u\in H^1_0(0,L)$ telle que $-u''=f$. On
posera $u=\sum_{k\in \relative} c_k(u) \sin \frac{k\pi x}L$ et on
calculera $c_k(u)$ en fonction de $c_k(f)$. Bien justifier le
raisonnement.

\skipaline k) Dessiner la solution de $-u''=\delta_{\frac L3}
+\delta_{\frac {2L}3}.$


 \fexer

\dexer {\bf Corde vibrante}
On consid\ee re une corde \e lastique,
fix\e e aux deux extr\e mit\e s situ\e es en deux points de
l'espace distants de $L$. On note pour tout temps $t\geq 0$ et
$0\leq x\leq L$, $y(t, x)$ l'\e cartement de la corde par rapport
\a sa position de repos.  Les points de  la corde sont donc
param\e tr\e s par $(x, y(t, x))$. On note $y_t(t,x)$ la d\e riv\e
e partielle premi\ee re de $y$ par rapport \a $t$ et on notera de
m\eee me $y_x(t,x)$, $y_{xx}$, $y_{tt}$, etc.

 L'\e nergie de la corde est, \a un facteur pr\ee s, \e gale \a
$$
F(t,y) = \frac 1 2\int_0^T |y_t|^2(t,x)dx + \omega^2 \int_0^T
\sqrt{1 + |y_x|^2}dx,
$$
o\u le premier terme est l'\e nergie cin\e tique et le second l'\e
nergie potentielle, proportionnelle \a l'\e longation de la corde.
On suppose que la corde vibre depuis un moment, de sorte que $y_x$
est devenu petit et on lin\e arise l'\e nergie potentielle. On
appelle énergie linéarisée :
 \begin{equation} \label{energiecordevibrante}
E(t,y) = \int_0^T |y_t|^2(t,x)dx + \omega^2 \int_0^T  |y_x|^2dx.
\end{equation}

\skipaline a) Montrer que $2F(t,y)=E(t,y)+C+o(\int |y_x|^2).$

\skipaline
 b) On note $y(0,x)=y_0(x)$ la position initiale de la
corde et on considère l'\e quation d'\e volution, de la corde vibrante, \begin{equation} \label{equationcordevibrante}
y_{tt}-\omega^2y_{xx}=0, \hbox { avec  } y(t,0)=y(t,L)=0 \hbox{ et } y(0,x)=y_0(x), \; y_t(0,x) =
(y_0)_t.\end{equation} Justifier l'\e quation (\ref{equationcordevibrante}) en utilisant la loi de Newton,
Force$=$masse $\times$ accélération. Pour les raisonnements, on supposera toujours que $y_x$ est suffisamment petit.
\newline
\newline
 c) Supposons que $y$ soit $C^2$ et v\e rifie
l'\e quation de la corde vibrante (\ref{equationcordevibrante}).
Montrer que l'\e nergie (\ref{energiecordevibrante}) ne d\e pend
pas de $t$.
\newline
\newline
d) V\e rifier que les solutions $C^2$  de
(\ref{equationcordevibrante}) sont des combinaisons lin\e aires
infinies de fonctions de la forme
$$f_k(t,x) = (a\cos(k\frac {\pi\omega t}{L})+b\sin(k\frac {\pi\omega t}{L}))\sin (k\frac {\pi x}{L}), \;k\in \natural^* .$$
 On pourra considérer les fonctions $y(t)$ :
$x\to y(t,x)$ et d\e composer $y(t)=\sum_k c_k(t) e_k(x)$ sur le
syst\ee me de fonctions $e_k(x) = \sin (k\frac {\pi x}{L}).$ On
justifiera bien s\^{u}r cette d\e composition. On pourra démontrer
que $c_k''(t)=-(\frac {k\pi \omega t }L)^2c_k(t).$ A quels types
de conditions initiales correspondent les cas $a=0$, $b=0$?
Interpréter.
\newline
\newline
e) Condition initiale corde pincée (guitarre, harpe, clavecin). Si
nous pin\c cons une corde, nous avons une condition initiale du
type $y_0(x) = \lambda (\alpha L - |x-\alpha L|-(2\alpha -1)x).$,
$(y_0)_t=0$. Dessiner $y_0$ et calculer son \e nergie. Donner la
relation entre $\alpha$ et $\lambda$ pour que l'énergie de la
corde soit égale à 1.
\newline
\newline
f) En utilisant la formule du d), proposer un développement en
série pour la solution de (\ref{equationcordevibrante}) avec comme
condition initiale le "pincement de corde" du 4).  On sera amen\ea
\a calculer les coefficients de Fourier de $y_0$ et de $y(t)$ : en
profiter pour examiner en quel sens la s\e rie de Fourier de
$y(t)$ converge vers $y(t)$. Comment ces coefficients de Fourier
d\e pendent-ils de l'endroit o\u la corde a \e t\ea pinc\e e?  La
solution trouv\e e est-elle $C^2$ ?  Quelle est la r\e gularit\e
de $x\to y(t,x)$ ?
\newline
\newline
g) Corde frappée (piano). La condition initiale est maintenant
$y_0(0, x)=0$, $(y_0)_t(0,x)=\lambda\chi_{[\frac L2-\beta, \frac
L2+\beta]}$, où $2\beta$ est la longueur de corde frappée par le
marteau à l'instant $t=0$.  Interpréter cette condition initiale.
Normaliser la relation entre $\lambda$ et $\beta$ pour que
l'énergie initiale de la corde soit égale à 1.

\skipaline h)  Comparer la répartition des harmoniques (les
amplitudes respectives de $c_k(t)$ quand $k$ varie) pour la corde
frappée et la corde pincée.

On fera les comparaisons suivantes, à énergie initiale constante :
\begin{itemize}
\item h1-Corde pincée au milieu ou plutôt sur le bord, à énergie
égale : dans quel cas la corde a-t-elle le plus d'aigus ?
\item h2-Corde frappée sur un intervalle large ($\beta$ grand)
ou étroit : dans quel cas a-t-on le plus d'aigus ?
\item h3- A énergie constante, cordes frappées ou pincées au milieu,
 $\beta = \frac L
{20}$.

\end{itemize}
\fexer
\end{document}

\newpage

 La d\e couverte de Fourier nous permet de comprendre mieux les choix "harmoniques"
effectu\e s par plusieurs traditions musicales, clairement influenc\e s par
l'usage d'instruments \a cordes ou de tubes vibrants (pour lesquels la th\e orie est
essentiellement la m\eee me que pour les cordes).  Inversement, ces choix esth\e tiques
ont probablement aid\ea
\a la d\e couverte de Fourier.  On remarque que des modes de vibration propres sont
associ\e s \a une corde tendue, de longueur $L$.  Si on la pince, on "entend" le
"fondamental", $f_1(t,x) = \cos(\frac {\pi\omega t}{L})\sin (\frac {\pi x}{L})$, qui
vibre \a la fr\e quence $\frac {\pi\omega} L$.  Attention : $\omega$ d\e pend de la
masse et de la tension de la corde au repos.  Nous entendons aussi les "harmoniques",
$f_2$, $f_3$, $f_4$, etc..  Si maintenant nous appuyons sur la corde exactement au
milieu et nous la faisons vibrer, nous entendons "l'octave", qui n'est autre que
$f_2$, ainsi que ses harmoniques $f_4$, $f_6$, $f_8$.  Tous les harmoniques de l'octave
sont donc des harmoniques de la fondamentale.  Cette remarque reste vraie si on pince
la corde au tiers, au quart, au cinqui\ee me.  Il y a donc connivence entre ces sons qui,
par leur ressemblance avec la fondamentale et entre eux, donnent une impression
d'"harmonie".  A titre de v\e rification, on pourra
mesurer sur une guitare les longueurs de corde autoris\e es par les barres m\e
talliques plac\e es sur le manche et les comparer avec la longueur totale de la corde.

\fexer
\newpage
\noindent
{\bf Corrig\ea de la Feuille 5-bis}
\newline
\newline
1-b)
On consid\ee re un \e l\e ment de la corde dont la projection sur l'axe de la corde est
$(x, x+dx)$. La masse de cet \e l\e ment est proportionnelle \a sa longueur,
$\sqrt{1+ |y_x|^2}dx$ qui est peu diff\e rent de $dx$.  L'acc\e l\e ration est, si on n\e
glige sa composante tangentielle
$\gamma = y_{tt}$.  La force $F$ \a laquelle est soumis l'\e l\e ment de corde est
la diff\e rence des tensions en $x$ et en $x+dx$, $T(x)$ et $T(x+dx)$.  Mais la tension
est constante le long de la corde et tangente \a celle-ci.  On a donc
$T(x) = \omega^2 \frac {(1, y_x(x))}{\sqrt{1+ |y_x(x)|^2}}$.
et, si on n\e glige les termes en $y_x$,  la force est donc $F=
T(x+dx)-T(x)=\omega^2y_{xx}dx$.  L'\e quation $F=m\gamma$ donne donc bien
(\ref{equationcordevibrante}).
\newline
\newline
2) En effectuant les op\e rations  indiqu\e es on obtient (pour abr\e vier, on \e crit
$\int$ pour $\int_0^L$)
$$\int y_{tt}y_t = \omega^2 \int y_{xx}y_t.$$
En utilisant le th\e or\ee me de d\e rivation sous le signe somme \a gauche et en
int\e grant par parties \a droite,
$$\frac {d}{dt}\int y_t^2 = -\omega^2 \int y_xy_{xt},$$
et en utilisant le th\e or\ee me de d\e rivation sous le signe somme \a droite,
$$\frac{d}{dt}\int y_t^2 = -\omega^2 \frac {d}{dt}\int y_x^2,$$ soit
$$\frac{d}{dt}E(t,y) = 0.$$
\newline
\newline
3) Il est commode d'\e crire $y(t)$ pour la fonction $x\to y(t,x)$.  On a $y(t)\in
C^2(0,L)\subset L^2(0,L)$ et donc
$$y(t,x)=\Sigma_{k\in \natural^*}c_k(t)\sin(\frac{k\pi x}{L}),$$
car les fonctions $\sqrt{\frac 2 L}\sin(\frac{k\pi x}{L})$, $k\in \natural^*$  forment
une base hilbertienne de $L^2(0,L)$.  Cette base est particuli\ee rement bien adapt\e e
au probl\ee me, car ses \e l\e ments s'annulent en 0 et $L$ comme $y(t)$.  Comme
$y(t)\in C^2(0,L)$, la convergence de la s\e rie de Fourier de $y(t)$ est uniforme.
On a $c_k(t) = \frac 2 L \int_0^L y(t,x)\sin(\frac{k\pi x}{L})dx$ et, comme $y$ est aussi
$C^2$ en $t$, on voit que $c_k(t)$ est deux fois d\e rivable en $t$ gr\^{a}ce au th\e
or\ee me de d\e rivation sous le signe somme.  On a donc
$$c_k"(t) = \frac 2 L\int_0^L y_{tt}(t,x)\sin(\frac{k\pi x}{L})dx.$$
En utilisant (\ref{equationcordevibrante}) en int\e grant deux fois par parties et en
utilisant $y(t,0)=y(t,L)=0$~:
$$c_k"(t) = \frac 2 L \int_0^L\omega^2y_{xx}(t,x)\sin(\frac{k\pi x}{L}) dx=
-\frac 2 L \int_0^L(\omega \frac{k\pi}{L})^2y(t,x)\sin(\frac{k\pi x}{L}) dx=
-(\frac{k\pi \omega}{L})^2c_k(t).$$
On a donc $c_k(t)=\lambda_k\cos(\frac{k\pi \omega t}{L})+\mu_k\sin(\frac{k\pi \omega
t}{L})$.  Comme la corde pinc\e e a une vitesse initiale nulle, on a $y_t(0,x)=0$ et
donc, par le th\e or\ee me de d\e rivation sous le signe somme,
$$c_k'(0) = \mu_k(\frac{k\pi \omega}{L})=\frac 2 L \int_0^L y_{t}(0,x)\sin(\frac{k\pi
x}{L})dx= 0.$$
On a aussi
$c_k(0) = \lambda_k=\frac 2 L \int_0^L y_0(0,x)\sin(\frac{k\pi
x}{L})dx$, et on obtient $c_k(t)=c_k(0)\cos(\frac{k\pi \omega t}{L})$, soit
$$y(t)=\Sigma_1^\infty c_k(O)\cos(\frac{k\pi \omega t}{L})\sin(\frac{k\pi x}{L}).$$
\newline
\newline
4) On a $y_0(x)=2\beta\alpha(L-x)$ si $x\geq \alpha L$, $y_0(x) = 2\beta(1-\alpha)x$
si $x\leq \alpha L$. On voit que $y_0(0)=y_0(L)=0$ et qu'\a l'endroit du pincement,
$y_0(\alpha L) = 2\alpha\beta L(1-\alpha)$.  Comme la corde pinc\e e est immobile \a
l'instant 0, le premier terme de l'\e nergie $E$ est nul.  Donc
$$E(y(t))= E(y_0) = 4\beta^2((\alpha L (1-\alpha))^2 + (L(1-\alpha)\alpha)^2)=
8\beta^2\alpha^2(1-\alpha)^2L^2,$$
car on a vu que l'\e nergie reste constante.
\newline
\newline
5)  Calcul des coefficients de Fourier de $y_0$.  On int\ee gre par parties et on
utilise la nullit\ea de $y_0$ et de $\sin(\frac{k\pi x}{L})$ en 0 et $L$~:
$$\frac L 2 c_k(y_0)=\int_0^L y_0(x)\sin(\frac{k\pi x}{L})dx=
\frac L{k\pi}(\int_0^{\alpha L} 2\beta(1-\alpha)\cos(\frac{k\pi x}{L})dx +
\int_{\alpha L}^L (-2\beta\alpha)\cos(\frac{k\pi x}{L})dx ;
$$
$$ c_k(y_0)=  4(\frac L{k\pi})^2\frac \beta L
\sin(k\pi\alpha).$$
On d\e finit la solution de (\ref{equationcordevibrante}) en utilisant la formule
trouv\e e au 3),
$$y(t)=\Sigma_1^\infty c_k(O)\cos(\frac{k\pi \omega t}{L})\sin(\frac{k\pi x}{L}).$$
On voit qu'on obtient le son le plus pur (avec le moins d'harmoniques) en pin\c cant la
corde
\a moiti\e , un son plus riche en pin\c ant au tiers, etc.  Remarquer en tout cas que
le choix de l'endroit de pincement change la r\e partition des harmoniques et donc le
timbre.  La formule d\e finissant $y(t)$  implique  que $y(t,x)$ est continue, mais
elle n'implique m\eee me pas qu'elle soit d\e rivable !  On a pourtant bien obtenu une
combinaison lin\e aire (infinie) de solutions de (\ref{equationcordevibrante}).  On
r\e soud ce paradoxe gr\^{a}ce \a la th\e orie des distributions, qui nous assure que
$y(t)$ est solution "au sens des distributions" de l'\e quation des cordes vibrantes.
