 \newpage
\section*{Examen d'analyse fonctionnelle, E.N.S. Cachan magistère, 2004} \pagestyle{myheadings}

\noindent{\it On recommande très vivement la précision, mais aussi la briéveté dans la rédaction. Ne redémontrez pas
des faits contenus dans le polycopié. Contentez-vous de citer précisément en donnant des références explicites pour les
résultats utilisés dans les démonstrations. }


\dexer {\bf Topologies, distances, normes} On dit que deux
distances $d_1$
 et $d_2$  sur un espace métrique sont équivalentes si
$\exists C_1, \; \exists C_2,\; C_1d_1\leq d_2\leq C_2 d_1.$ Soit
$E$ un ensemble et $d_1$ et $d_2$ deux distances sur $E$
définissant  la même topologie sur $E$.

\quest 1) Qu'est que cela veut dire ?

\quest 2) Peut-on en déduire que $d_1$ et $d_2$ sont  équivalentes
? Justifier votre réponse (preuve ou contrexemple).

\quest 3) Même question quand $d_1(x,y)=||x-y||$ et
$d_2(x,y)=|x-y|$ sont deux  normes sur $\real^N$.

\quest 4) Même question quand $d_1$ et $d_2$ dérivent de deux
normes, en dimension infinie. Indication : considérer pour $E$ un
espace vectoriel de fonctions, par exemple $C_0^\infty$, et les
normes sur $E$ induites par  $L^p$ et $L^q$, $1\leq p<q<\infty$.
\fexer

%\dsolution
%\quest 1)
%Cela veut dire que les ouverts, c'est-à-dire les unions quelconques de boules, sont les
%mêmes que l'on utilise $d_1$ ou $d_2$.
%
%\quest 2)  Non : On peut par exemple poser, sur $\real$, $d_1(x,y)=|x-y|$ et $d_2(x,y)=|x^3-y^3|$.
% Les axiomes de distance sont immédiatement vérifiés :
 %fonction $r\to r^3$ étant une bijection de $\real$ dans $\real$, on a $d_2(x,y)=0\Rightarrow x=y$ et
 %la symétrie et l'inégalité triangulaire sont immédiates.
%
%\quest 3)
%Dans ce cas, on sait que toutes les normes sur $\real^N$ sont équivalentes.
%
%\quest 4) Prenons $E$ comme indiqué et considérons les normes de $L^p$, $||.||_p$ et $L^q$,
%$||L^q||.$   Soit $u\in L^p$ avec $u\notin L^q$ et  $u_n$ dans $E$ convergeant dans $L^p$ vers $u$.
% Alors $u_n$ est de Cauchy dans $L^p$. Si les normes $||.||_p$ et $||.||_q$ étaient équivalentes sur
%  $E$, alors $u_n$ serait aussi de Cauchy dans $L^q$ et donc aurait une limite $v$ dans $L^q$.
% Comme la convergence $L^q$ implique convergence p.p. pour une sous-suite, on déduirait que
%$u=v$ presque partout et que donc $u\in L^q$, ce qui est une contradiction.
%\fsolution

\dexer {\bf Le théorème de la base incomplète} en dimension
infinie. On considère un espace vectoriel $E$ sur $\real$ et un
système libre $L$ de $E$. Montrer en utilisant le lemme de Zorn
qu'il existe une base de $E$ telle que $L\subset B$. On rappelle
qu'une base se définit comme un système libre et générateur.
\fexer

%\dsolution
%On considère l'ensemble $\BB$ des systèmes libres contenant $L$.
% On vérifie immédiatement que cet ensemble est inductif. En effet, si
%${\cal F}=(F_i)_{i\in I}\subset \BB$ est totalement ordonné, le système $F=\bigcup_{i\in I} F_i$ est
%  encore libre : soient en effet $n vecteurs $ $(x_{i_1}\in F_{i_1},\;...,\;x_{i_n}\in F_{i_n})$ dans $F$.
% Comme $\cal F$ est totalement ordonné, l'un des $F_{i_k}$ contient tous les autres et donc le système
% $\{x_{i_1},\;...,\; x_{i_n}$ est un sous-système d'un système libre et donc libre. Donc $F$ est libre et
% est donc un majorant de $\cal F$. Donc $\BB$ est inductif.
%On peut donc appliquer le lemme de Zorn et déduire que $\BB$ a au moins un élément maximal $B$.
%Alors $B$ est libre, contient $L$, et on ne peut lui adjoindre un nouveau vecteur sans le rendre lié,
% ce qui veut dire qu'il est bien libre et générateur.


%\fsolution

\dexer Soit $E$ un e.v.n. et $E'$ son dual. On note $<f,\;x>=f(x)$
et pour $A\subset E$ et $B\subset E'$, $A^\perp=\{f\in E',\;
<f,\;x>=0,\; \forall x\in A\}$,  $B^\perp =\{x\in E,\;
<f,\;x>=0,\;\forall f\in B.\}.$ Montrer que
$A^{\perp\perp}=\overline{\vect(A)}$ et que, si $E$ est réflexif,
$B^{\perp\perp}=\overline{\vect(B)}.$ \fexer



\dexer {\bf Convergence faible-* dans $L^\infty$.} On considère
$L^1(\real)$ et son dual $L^\infty(\real)$. Soit $g\in L^\infty$
et la suite $g_n(x)=g(x-n)$.

\quest 1)  Montrer par un exemple que $g_n$  ne converge pas
 nécessairement faiblement-*.

 \quest 2) La suite $g_n$ a-t-elle des sous-suites qui
 convergent faiblement -*?

 \quest 3)  Donner un exemple simple de fonction
 $g$ non nulle telle que la convergence faible-* ait   lieu pour toute la suite $g_n$.
\fexer

%\dsolution
%
%\quest 1)  On écrit pour tout $x\in \real$ $x=n +r$, $0\leq r<1$ et on pose
%$g(n+r)=(-1)^n$.  On considère également $f=\indic_{[0,\;1]}\in  L^1(\real)$.
% On a donc $\int f(x)g(x-n)=(-1)^n$ qui ne converge pas. Donc la suite $g_n(x)=g(x-n)$
%ne converge pas faiblement-*.
%
%\quest 2) Mais comme $L^\infty$ est le dual de $L^1$ et que $L^1$
% est séparable, on sait que de toute suite bornée dans $L^\infty$ on peut extraire une sous-suite
% qui converge faiblement-*  par le théorème 4.5.
%
%\quest 3) Franchement, ce n'est pas compliqué : il suffit de prendre $g_n=1$.
%\fsolution

 \dexer {\bf Produit de fonctions $L^p$ et $L^q$.} Soient $1\leq p<q\leq 1$.

\quest 1)  Donner un exemple de fonction $u\in L^p(\real)$ telle
que $u\notin L^q(\real).$

\quest 2) Donner un exemple de fonction $u\in L^q(\real)$ telle
que  $u\notin L^p(\real).$

\quest 3)  Soient $0\leq \alpha\leq \beta$ tels
 que $\frac 1\alpha+\frac 1\beta\leq 1$. Montrer que $fg\in L^r(\real)$ (où
 $1\leq r\leq +\infty$ est à préciser.
 \fexer

%\dsolution \quest 1) Posons pour abréger $g(x)=\indic_{[0,\;1]}$.
%On pose $u(x)=g(x)\frac 1{x^{\frac{1+\varepsilon} q}}$,
%$\varepsilon$ étant choisi tel que $(1+\varepsilon)\frac pq<1$.
%Alors $u\in L^p$ et $u\notin L^q$.

% \quest 2) Posons pour abréger $h(x)=\indic_{[1,\;+\infty]}$ et
 %$u(x)=h(x)\frac 1{x^\frac{1-\varepsilon}{p}}$, avec $\varepsilon$
% tel que $(1-\varepsilon)\frac qp>1.$ Alors $u\notin L^p$ et $u\in
% L^q.$

%\quest 3) On pose $p=\frac {\alpha +\beta}{\alpha},$
%$q=\frac{\alpha + \beta}{\beta}$, de sorte que $\frac 1p+\frac
%1q=1$ et $r=\frac 1{\alpha+\beta}$. On a alors $$\int |fg|^r=\int
%|fg|^\frac 1{\alpha+\beta}\leq (\int |f|^{\frac
%1{\alpha+\beta}\frac{\alpha
%+\beta}{\alpha}})^\frac{\alpha}{\alpha+\beta} (\int |f|^{\frac
%1{\alpha+\beta}\frac{\alpha+\beta}{\beta}})^\frac{\beta}{\alpha+\beta}=(\int
%|f|^\alpha)^\frac{\alpha+\beta}{\alpha}(\int
%|g|^\beta)^\frac{\alpha+\beta}{\beta}).
%$$
 %\fsolution




\dexer {\bf Les masses de Dirac dans le dual de $W^{1,p}$. }

\quest 1) Soit $u\in W^{1,p}(I)$, $1\leq p\leq +\infty$, où $I$
est un intervalle de $\real$ borné ou non borné. Montrer qu'il
existe une constante $C(x)$ que l'on précisera telle que
$|u(x)|\leq C(x)||u||_{W^{1,p}}$. Remarquer que si $I$ est borné,
la constante peut être rendue indépendante de $x$.


\quest 2) En déduire  qu'une somme finie de masses de Dirac dans
$I$ appartient à $W^{-1,p}$ pour tout $1\leq p\leq\infty$.

\quest 3) Autre méthode : en utilisant la fonction de Heavyside
$H$ que l'on localisera en la multipliant par $\varphi\in
C_0^\infty$, trouver $f, \; g\in L^p(\real)$ telles que $\delta
=f'+g$ et en déduire à nouveau le résultat du 2) pour $1\leq
p<\infty.$
\fexer

%\dsolution \quest 1) On a $u(x)=u(y)+\int_x^yu'(t)dt.$ Donc par l'inégalité de
%Hölder, $|u(x)|\leq |u(y)|+(y-x)^{\frac 1{p'}}(\int|u'|^p)\frac 1p.$  On intègre
% cette relation  en $y$ sur un intervalle quelconque borné $J$ et on conclut facilement.
%
%\quest 2) L'inégalité démontrée veut exactement dire que la masse de Dirac en x est une forme linéaire
%continue sur $W^{1,p}(I)$, et donc n'importe quelle combinaison linéaire aussi.
%  \quest 3) prendre $\varphi\in C_0^\infty$ avec $\varphi(0)\neq 0.$ Alors
% si $H$ est la fonction de Heavyside, $(\varphi H)'=\varphi(0)\delta_0+\varphi' H$.
%Donc $\delta_0=\frac 1{\varphi(0)}((\varphi H)'-\varphi'H$. Il suffit donc de poser
%\varphi H = f$ et $\varphi'H=g$.
%
%\fsolution

\dexer{\bf Calcul de limites faibles}

\quest 1) La suite $u_n(x)=\indic_{[0,1]}\sin nx$ converge-t-elle
faiblement dans $L^2(\real)$ et si oui,  quelle est sa limite
faible ? Cette suite converge-t-elle   fortement ?

\quest 2) Mêmes questions pour $u_n(x)=\sin^2(nx)\indic_{[0,1]}$.
\fexer

%\dsolution \quest 1) Soit $f\in L^2(\real)$ : est elle aussi par
%l'inégalité de Cauchy-Schwartz dans $L^1([0,1])$ et le lemme de
%Riemann-Lebesgue nous assure que $\int
%f(x)\indic_{[0,1]}\sin(nx)dx\to 0$. Donc la suite converge
%faiblement vers 0. On voit aisément que $\int \sin^2(nx)dx\geq C>
%0$ et donc la suite ne converge pas fortement. En effet, si elle
%convergeait fortement, sa limite devrait être la limite faible et
%donc 0.
%
%\quest 2) On écrit $u_n(x)=\indic_{[0,1]}(\frac 12{1-\cos(2nx)}$
%et par le même raisonnement qu'au 1) on déduit que $u_n$ tend
%faiblement vers $\frac 12\indic_{[0,1]}$, et qu'elle ne converge
%pas fortement. \fsolution


\dexer
  Soit $u_n$ une suite bornée de $L^p(\real)$ ($1\leq p \leq
+\infty$). On se demande si elle admet une sous-suite faiblement
convergente ou faiblement-* convergente. Si oui le montrer, sinon,
donner un contrexemple.

\quest 1) Traiter le cas $1<p<+\infty$

\quest 2) Traiter le cas $p=+\infty$

\quest 3) Traiter le cas $p=1$.

\quest 4) Montrer que  $C_0^0(\real)(\real)$, l'espace des
fonctions réelles continues et tendant vers zéro à l'infini, est
un sous-espace fermé de $L^\infty(\real)$.

\quest 5) Montrer que $L^1(\real)$ est un sous espace de
$C_0^0(\real)'$ et en déduire que de toute suite bornée dans
$L^1(\real)$ on peut extraire une sous-suite (encore notée $u_n$)
telle que $\int u_n(x)\varphi(x)$ converge pour tout
$\varphi(x)\in C_0^0(\real).$

\quest 6) Regarder le cas particulier de $u_n(x)=n\indic_{|-\frac
1n, \frac 1n]}$ : quelle est la limite  de $u_n$ au sens de la
convergence faible-*  dans $C_0^0(\real)'$ ?



\quest 7) Dans lesquels  de tous les cas précédents peut-on
conclure que la suite $u_n$ a une sous-suite qui converge au sens
des distributions ?

\quest 8) En déduire que de toute suite bornée dans $L^1_{loc}$
(c'est-à-dire bornée dans $L^1(B)$ pour tout borné $B$), on peut
extraire une sous-suite convergente au sens des distributions.

\fexer


%\dsolution \quest 1) Prenons d'abord $1<p<+\infty$. Alors la suite
%$u_n$ est bornée dans un espace séparable réflexif et admet donc
%une sous-suite faiblement convergente.
%
%\quest 2) Si   $p=+\infty$ : on ne connaît pas le dual de
%$L^\infty$ et on ne pose donc pas la question de la convergence
%faible.  Par contre on sait que $L^\infty$ est le dual de $L^1$.
%La suite est donc bornée dans le dual de l'espace séparable
%$L^1(\real)$ et admet donc une sous-suite faiblement-*
%convergente.
%
%\quest 3)  Si enfin $p=1$ : on peut se poser la question de la
%convergence faible puisque qu'on connaît le dual de $L^1$, qui est
%$L^\infty$.  Mais dans  ce cas, on connaît le contrexemple
%$u_n=2n\indic_{[-\frac 1n,\frac 1n]}$ qui ne converge pas
%faiblement (voir polycopié).
%
%\quest 4) Ceci est immédiat, la convergence uniforme préservant la
%continuité des fonctions et leur limite en l'infini.
%
%\quest 5) Si $f\in L^1(\real)$ et  $\varphi\in C_0^0(\real)$,   on
%a $|\int f\varphi|\leq (\int_{\real}|f|)\sup_{\real}|\varphi|,$ ce
%qui prouve que $f\in C_0^0(\real)'$.  Or $C_0^0$ est un espace
%séparable et on peut donc appliquer le théorème 4.5 : toute suite
%bornée du dual d'un espace séparable a une sous-suite faiblement-*
%convergente.
%
%\quest 6)  Cette limite faible-* est $\delta_0$, qui est bien dans
%$(C_0^0)'$.
%
%\quest 7) Dans tous les cas, on a montré que, pour la sous-suite
%extraite $u_n$,  $\int u_n\varphi$ converge si $\varphi\in
%C_O^\infty$. En effet, $C_0^\infty$ est inclus dans tous les $L^p$
%et dans $C_0^0$.  Donc $u_n$ a toujours une sous-suite convergente
%au sens des distributions.
%
%\quest 8) Il suffit d'appliquer la question précédente et  un
%procédé d'extraction diagonal : Comme $u_n$ est bornée dans
%$L^1([-1,1])$, on peut extraire une première sous-suite $u_{n,1}$
%telle que $\int u_n\varphi$ converge pour toute fonction test
%$\varphi$ à support dans $[-1,1]$. Ensuite, on peut extraire de
%cette sous-suite une sous-suite $u_{n,2}$ convergent pour toute
%fonction test à support dans $[-2,2]$, etc. On considère ensuite
%la suite diagonale extraite $u_{n,n}$, qui converge bien dans
%${\cal D}'(\real).$.
%\fsolution



\dexer \label{injectioncompacte}  Montrer que de toute suite
bornée dans $W^{1,p}(I)$ on peut extraire une sous-suite
convergeant uniformément sur tout compact. \fexer

%\dsolution Soit $u_n$ une suite bornée dans $W^{1,p}(I).$ Par
%réflexivité, on sait qu'il existe $u\in W^{1,p}(I)$ et une
%sous-suite (encore notée $u_n$ par commodité) telles que
%$u_n\rightharpoonup u$ dans $L^p(I)$ et $u'_nn\rightharpoonup u'$
%dans  $L^p(I)$.  Si on avait $u_n(x)\to \infty$ pour tout $x$, la
%suite ne serait pas bornée dans $L^p(I)$. On  peut donc trouver
%$x_0$ et extraire une sous-suite telle que $u_n(x_0)$ converge
%vers une valeur $C$.  On a par la relation
%(\ref{integrationdeladeriveedansW1p})
%$u_n(x)=u_n(x_0)+\int_{x_0}^x u'_n(t)dt.$  Comme $u'_n$ converge
%vers $u'$ dans $L^p(I)$, elle converge aussi dans $L^1_{loc}$ et
%donc $u_n(x)\to C+\int_{x_0}^xu'(t)dt$ uniformément sur tout
%compact. Par la relation (\ref{integrationdeladeriveedansW1p})
%appliquée à $u$, on  déduit   que $C=u(x_0)$ et finalement que
%$u_n$ tend uniformément vers $u$ sur tout compact. \fsolution


\dexer {\bf La base en sinus et son utilisation comme base de
$W_0^{1,2}(0,T)$. }


\quest 1)On pose pour $T>0$ $\omega =\frac{2\pi}T$. Montrer que
les fonctions   $e_k(x)=\sqrt \frac{2}{T} \sin(\frac {k\omega
x}{2}), \;  k=1, 2, ...  $ forment une
 base hilbertienne de $L^2(0,T)$, que l'on appelle
    "base en sinus". Indication : prolonger une fonction $u\in
    L^2(0,T)$ en une fonction impaire sur $[-T, \;T]$.  Donner la
    formule du
    développement dans cette base d'une fonction $u\in L^2(0,T)$,
    $$u=\sum_k c_k(u)e^{ik\omega x/2}$$
    en précisant $c_k(u)$.

    \quest 2) On pose $\Delta(x)=x$ pour $x\in [0,\;\frac T2]$ et
$\Delta(x)=T-x$ pour $x\in [\frac T2,\;0]$.
  Donner le développement dans la base en sinus    de
$\Delta$. Vérifier que $\sum_{k\in
\natural^*}|k|^2|c_k(\Delta)|^2<+\infty.$

\quest 3)  Montrer que $\Delta\in W_0^{1,2}(0,T)$.

\quest 4) Soit une fonction $u\in L^2(0,T)$ telle que $\sum_k
|kc_k(u)|^2<+\infty.$ Montrer que $u\in
H_0^1(0,T)=W_0^{1,2}(0,T).$

\quest 5) Soit $u\in H_0^1(0,T)$. Montrer que $\sum_{k\in
\natural^*}|k|^2|c_k(u)|^2<+\infty.$

 \quest 6)  Montrer qu'une distribution $v$ appartient à
 $W^{-1,2}$ si et seulement s'il existe une suite $(c_k)_{k\in \natural^*}$ telle que
  $v=\sum_k c_k e_k(x)$ avec $$\sum_{k\in \natural^*}\left| \frac
  {c_k}{k}\right|^2< +\infty.$$

  \quest 8)  Montrer que pour toute distribution  $f\in W^{-1, 2}(0,T)$
  il existe une unique $u\in W_0^{1,2}(0,T)=H_0^1(0,T)$ telle que $-u''=f$.   (On
admettra l'unicité du développement d'une distribution sur la base
$e_k$ et on calculera les coefficients $c_k(u)$ en fonctions des
$c_k(f)$. )
 \fexer





\dexer {\bf On n'a pas besoin d'utiliser le théorème de
Lax-Milgram pour résoudre le problème de l'élastique chargé.}
Voici un raisonnement qui permet de traiter un problème plus
général :
 Soit $I$ un intervalle borné, $1<p<+\infty$
  et   $f\in W^{-1,p}(I)= (W^{1,p}(I))'$. On va montrer qu'il existe un
 unique minimum de la fonction continue   sur
$W_0^{1,p}(I)$ définie par
$$E(u)= \int_I |u'(x)|^p-<f, u>.$$  De plus, $u$ est
solution, au sens des distributions, de
\begin{equation} \label{equationEulerelastique}
-p|u'|^{p-2}u'u''=f,\quad u\in W_0^{1,p}(I).\end{equation}
 On
rappelle que dans $W_0^{1,p}$, la norme
$|u|_{W_0^{1,p}}=(\int_I|u'|^p)^\frac 1p$ est une norme
équivalente à la norme de $W^{1,p}$.

\quest 1)  En donnant une minoration adéquate de $E(u)$, montrer
que $\inf_{u\in W_0^{1,p}(I)}E(u)>-\infty$ et que $E(u)\to
+\infty$ quand $|u|_{W_0^{1,p}}\to +\infty$.

\quest 2) On considère une suite minimisante $u_n$, c'est-à-dire
une suite $u_n$ telle que $E(u_n)\to \inf_{u\in W_0^{1,p}(I)}
E(u)$.  Montrer qu'il existe une sous-suite, que l'on notera
encore $u_n$ par commodité, et une fonction $u\in W^{1,p}$ telles
que :
$$u_n\rightharpoonup u \hbox{ dans } L^p(I),  \;\;
u'_n\rightharpoonup u' \hbox{ dans } L^p(I).$$ (On peut utiliser
le résultat de l'exercice \ref{injectioncompacte}.)

\quest 3) Montrer que $u_n$ appartient en fait à $W_0^{1,p}$.
Indication : on sait que $W_0^{1,p}(I)$ est un sous-espace
vectoriel fermé de $W^{1,p}...$

 \quest 4) Montrer que $E(u)\leq \lim\inf_{n\to +\infty}
E(u_n)$ et conclure que $u$ est une fonction où  $E$ atteint son
minimum.

 \quest 5) Montrer que $u$ est unique si $1<p<+\infty$. (On
utilisera la stricte convexité de la fonction $r\to |r|^p$).

\quest 6) Montrer que $u$ est solution, au sens des distributions,
de l'équation (\ref{equationEulerelastique}).  (On
``perturbera" $u$ en $u+t \varphi$, avec $\varphi\in C_0^\infty$,
et on exprimera que $u$ est minimum de $E$.)

\fexer

%\dsolution \quest 1) Il suffit d'écrire $E(u)\geq
%|u|_{W_0^{1,p}}^p- ||f||\;||u||_{W^{1,p}}\geq |u|_{W_0^{1,p}}^p-C
%||f||\;||u||_{W_0^{1,p}}$ car $||u||_{W^{1,p}}\leq
%C|u|_{W_0^{1,p}}$.
%
%\quest 2)
%
%\quest 3)
%La convergence précédente est la convergence faible dans $W^{1,p}$
%Ce sous-espace étant fermé, il est aussi fermé faible. Donc $u\in W_0^{1,p}.$
%
% \quest 4)
%La convergence de $u_n$ étant la convergence faible dans $W^{1,p}$, on peut appliquer
%Banach-Steinhaus.
%
%\quest 5)
% Soient deux solutions $u_1$ et $u_2$. La stricte convexité mentionnée nous conduit à
%$u'_1=u'_2$ presque partout  et donc $u_1=u_2$, puisque les deux fonctions sont dans $W_0^{1,2}.$
%
%\quest 6)
% \fsolution
