\newpage
\section*{Examen d'analyse fonctionnelle, E.N.S. Cachan, Magistère de Mathématiques, 2004-2005} \pagestyle{myheadings}
  \noindent{\it Les exercices sont largement
indépendants. Lisez-les tous avant de commencer et choisissez
l'ordre qui vous convient le mieux.  On recommande très vivement
la précision, mais aussi la briéveté dans la rédaction. Ne
redémontrez pas des faits contenus dans le polycopié.
Contentez-vous de citer précisément en donnant des références
explicites pour les résultats utilisés dans les démonstrations. }

\dexer 1) Si $V$ est un sous-espace ferm\ea d'un espace de Hilbert
$H$, montrer que pour $v\in H$, $$d(v,V)= \hbox{Max}(Re(u,v), \;
u\in V^\perp, \; ||u||=1).$$
\newline\newline 2) En d\e duire $\hbox{Max}\int_{-1}^1 g(x)dx$ o\u $g:\; [-1,
+1]\to \real$ est soumis aux contraintes
$$\int_{-1}^1 |g(x)|^2=1, \; \int_{-1}^1 x^2g(x)dx=0, \; \int_{-1}^1xg(x)dx=0.$$
   On donnera la fonction $f$ pour laquelle cette
valeur maximale est atteinte. \fexer

%Réponse : la distance est $\frac{2\sqrt{2}}3$ la   projection est
%$\frac 53x^2$ et la solution $\frac{3}{2\sqrt{2}}(1-\frac 53x^2).$


\dexer  Soit $g$ une fonction croissante de $\real^+$ dans
$\real^+$ telle que
$$\lim_{s\to +\infty}\frac{g(s)}s=+\infty.$$
Soit une suite de fonctions $f_n $ mesurables  telles que
$\int_0^1 g(f_n)<C$ pour une constante ind\e pendante de $n$.  On
suppose que $f_n$ converge
 presque partout vers une fonction $f$. D\e montrer que $f_n$ converge vers
$f$ dans $L^1(0,1)$. \fexer


\dexer  Calculer si elles existent les limites faibles  des suites
suivantes:

\quest 1) Dans $L^2(0,\pi)$: $u_n(x)= \cos^2n^2x.$

\quest 2) Dans $L^2(\real)$: $u_n(x)=
\frac{x^2+n^2-2n+2}{((x-n)^2+1)(x^2+1)}.$ (Commencer par vérifier
que ces fonctions sont bien dans $L^2(\real)$).
%($=\frac 1{(x-n)^2+1}+\frac 1{x^2+1}.$

\fexer


\dexer Y-a-t-il des fonctions $f_n$ et $f$ telles que :
\newline (si "oui", donner un exemple ;  si "non", dire pourquoi).
\newline\newline (a) $f_n\rightharpoonup f$ dans $L^p(0,1)$, $(1\leq p<\infty)$, mais
pas fortement ;
\newline\newline (b)  $f_n\in L^3(0, 1),$ $f_n\to 0$ fortement dans
$L^2(0,1)$ et $f_n\to 1$ faiblement dans $L^3(0,1)$.
\newline\newline (c) $f_n$ tend faiblement vers $f$ dans $L^2(0,1)$ mais $f_n(x)$ ne
tend vers $f(x)$ en aucun point.
\newline\newline (d) $f_n(x)\to \frac 1 {1+x^2}$ uniform\e ment mais pas dans
$L^2(\real)$.
\newline\newline
(e) On suppose que $f_n\in L^2(\real)\cap L^3(\real)$ converge
faiblement dans $L^2(\real)$ vers une fonction $f$ et aussi
faiblement vers une fonction $g$ dans $L^3(\real)$.  A-t-on $f=g$
? \fexer

\dexer  \label{Cbnonseparable}On note $C_b(\real)$ l'espace des
fonctions continues et bornées sur $\real$, muni de la norme
$||u||=\sup_{\real} |u(x)|$.

\quest 1) Vérifier que $C_b(\real)$ est un espace de Banach.

  Soit pour $a=(..., a_{-n}, ..., a_0,..., a_p, ...)\in
\{-1,1\}^\relative$, la fonction $\varphi_a\in C_b(\real)$
 définie par
$\varphi_a(n)=a_n$ et par le fait que $\varphi_a$ est continue et
affine sur  $[n,n+1]$.

\quest 1) Montrer que l'ensemble de toutes les fonctions fonctions
$\varphi_a$ n'est pas dénombrable.

\quest 2) En déduire que $C_b(\real)$ n'est pas séparable.

\quest 3) En déduire que $C_0^\infty(\real)$ n'est pas dense dans
$C_b(\real)$. \fexer

\dexer Donner un exemple de fonction $f(x)$ sur  $\real$ qui n'est
pas une distribution (montrer que ce n'est effectivement pas une
distribution).

\fexer

 \dexer Approximation des d\e riv\e es de la masse de Dirac
par des fonctions.

\skipaline
 (a) On pose $f_n(x)=-n^2 $ si $-\frac 1 n \leq x\leq 0$, $f_n(x)=n^2$
si $0< x\leq \frac 1 n$, $f_n(x)=0$ ailleurs. Calculer la limite
de $f_n$ au sens des distributions dans $\real$.
\newline\newline
(b) Trouver une suite de fonctions $f_n$ qui tend au sens des
distributions vers $\delta_0''$.

\fexer

\dexer \label{discretisationdistribution} Si $u\in \mathcal
D'(\real)$ est une distribution sur $\real$, on  définit sa
translatée de $h\in\real$ par $$<\tau_h u,
\varphi>=<u,\tau_{-h}\varphi>,$$ où on note
$\tau_h\varphi(x)=\varphi(x-h).$

\quest 1) Vérifier que $\tau_h u$ est une distribution.

\quest 2) Vérifier la compatibilité des deux définitions, à savoir
que si $u\in L^1_{loc}$ et $\tilde u$ la distribution qui lui est
associée canoniquement, $\tau_h \tilde u=\tau_h u$ au sens des
distributions.

\quest 3) Montrer que si $u\in\mathcal D'(\real)$,
$$\frac{\tau_hu-u}h\to u'$$ au sens des distributions.

\quest 4) Donner une formule de discrétisation du même type pour
approcher $u''$.
 \fexer

\dexer Cet exercice utilise les notations des exercices
\ref{discretisationdistribution} et \ref{Cbnonseparable}. On
considère l'espace $C_b(\real)$ de l'exercice \ref{Cbnonseparable}
et son dual $C_b(\real)'$.

\quest 1) Exprimer la norme d'un élément de $C_b(\real)$.

\quest 2) Montrer que $\delta_0\in C_b(\real)'$. Montrer que
$C_b(\real)'\subset \mathcal D'(\real).$

\quest 3) Soit $F$ une fonction croissante de $\real$ dans $\real$
telle que $$F(+\infty)=\lim_{r\to +\infty}F(r)<\infty \hbox{ et }
F(-\infty)=\lim_{r\to-\infty}>-\infty.$$ On  pose pour toute
fonction $\varphi\in C_b(\real),$
$$\mu_F^h(\varphi)= \sum_{n\in\relative}(F(nh)-F((n-1)h))\varphi(nh).$$
$$\mu_F(\varphi)=\lim_{h\to
0}\mu_F^h.$$
 Montrer que $\mu_F\in C_b(\real)'$ et calculer sa norme.

\quest 4) Montrer que $\mu_F^n$ est une distribution et l'exprimer
comme la somme d'une série de distributions très simples. Montrer
que $\mu_F^n$ converge au sens des distributions vers $\mu_F$.

\quest 5) Montrer que $F\in \mathcal D'(\real).$

\quest 6)  Montrer que $F'$ et $\mu_F$ sont égales au sens des
distributions. \fexer

\dexer Soit  $c\in [a,b]$, un intervalle compact de $\real$.

\quest 1) Montrer que l'application $u\in H^1([a,b])\to u(c)$
appartient au dual de $H^1([a,b]).$

\quest 2) Calculer sa norme, ou si vous n'y arrivez pas,  donnez
du moins un majorant  le plus petit possible de cette norme.
\fexer

\dexer  Soit $u\in H^1([0,1])$ et $v\in H^1([1,2])$.  Montrer que
la fonction $w(x)=u(x)$ pour $x\in [0,1]$ et $w(x)=v(x)$ si $x\in
]1,2]$ est dans $H^1([0,2])$ si et seulement si $u(1)=v(1)$.

\fexer


\dexer  On recherche une distribution $u$ sur $[0,2\pi]$ telle que
$$-u''+u = \delta_\pi + f, \quad u(0)=u(2\pi)=0,$$
où $f(x)=2\pi -x.$

\quest 1) Donner les développements de $f$ et $\delta_\pi$ en
série de Fourier sur $[0,2\pi]$.

\quest 2) Résoudre l'équation en donnant le développement en série
de Fourier de la solution $u$.

\quest 3) Quelles indications y-a-t-il dans le cours que cette
solution est unique (deux arguments possibles,  donner les deux si
vous pouvez).

\quest 3) Vérifier que la solution $u$ est dans $H^1(0,2\pi).$

\fexer

\dexer \label{exercice1} On se donne une fonction $f$ sommable sur
$\real$ et on pose
$$g(x)=\int_{\real}\frac{(x+y)^2}{1+(x-y)^2}f(y)dy.$$


\skipaline 1) Montrer que l'on a
$$(x+y)^2\leq 2(x-y)^2+8x^2$$
quels que soient $x$ et $y$.

\skipaline 2) D\e montrer que la fonction $g$ est d\e finie et
continue en tout point $x\in \real$.

\skipaline 3) D\e montrer que la fonction $x\to
\frac{g(x)}{(1+x^2)}$ est int\e grable sur $\real$.

\skipaline 4) D\e montrer que la fonction $g$ est d\e rivable en
tout point de $\real$.

 \fexer
 
