
\section*{Examen d'analyse fonctionnelle, E.N.S. Cachan magist�re, 2008} \pagestyle{myheadings}
  \noindent{\it On recommande tr�s vivement la pr�cision dans la r�daction.
En particulier, donner des r�f�rences explicites pour les r�sultats utilis�s dans les d�monstrations. }

\medskip



\dexer Topologie. Soit $X$  un espace compact, $Y$ un espace s�par� et $f: X\to Y$ une bijection continue. Montrer que
$f^{-1}$ est continue.


\fexer

\dexer Topologie.

 \quest 1) V�rifier que $d(x,y)=|\frac 1 x-\frac 1 y|$ est une distance sur $X=]0,+\infty[$.

\quest  2) V�rifier que la topologie donn�e par cette distance est la m�me que la topologie induite sur $X$ par la
topologie habituelle sur $\RR$.


\quest  3)  Montrer que $]0,1]$ est une partie compl�te de $X$.

\quest 4)  Expliquer le dicton: ``la compl�tude n'est pas une notion topologique.'' \fexer


\dexer Le th�or�me de la base incompl�te en dimension infinie. On consid�re un espace vectoriel $E$ sur $\real$ et un
syst�me libre $L$ de $E$. Montrer en utilisant le lemme de Zorn qu'il existe une base de $E$ telle que $L\subset B$. On
rappelle qu'une base se d�finit comme un syst�me libre et g�n�rateur. \fexer

\dexer  Topologie. Soit  $(X,d)$ un espace m�trique. On d�finit pour tout �l�ment de $x$ et tout sous-ensemble $A$,
$d(x,A)=:\inf_{y\in A}d(x,y).$


\quest 1) Montrer que pour tout ensemble $A$ la fonction $x\to d(x,A)$ est continue.

\quest 2)  Montrer que $F$ est ferm� si et seulement si: $x\in F\Leftrightarrow d(x,F)=0$.

\quest 3) Soient  $F_1$ et $F_2$  deux ferm�s disjoints de $X$. Montrer qu'il existe deux ouverts disjoints $U_1$ et
$U_2$ tels que  $F_1\subset U_1$ et $F_2\subset U_2$.

 \quest 4) Soit $X$ un espace topologique compact, $F_1$ et $F_2$  deux ferm�s disjoints de $X$. Montrer qu'il
existe deux ouverts disjoints $U_1$ et $U_2$ tels que  $F_1\subset U_1$ et $F_2\subset U_2$. \fexer



\dexer S�ries de Fourier.

\quest 1) D�velopper en s�rie de Fourier en cosinus la fonction $2\pi$-p�riodique d�finie  sur $]-\pi,\pi[$ par
$f(x)=|x|$.

\quest 2) En quel(s) sens la s�rie  converge-t-elle vers $f$?

\quest 3) En utilisant le d�veloppement  de Fourier de $f$, calculer $A=:\sum_1^\infty \frac 1{n^2}$ et
$B=:\sum_1^\infty \frac 1 {n^4}.$
 \fexer

 \dexer Espaces de Banach.
 Soit $E$ un espace de Banach et $B\subset E$ une partie faiblement born�e, ce qui veut dire
 que  pour  tout $f\in E'$, l'ensemble $f(B)$ est born�. Montrer que  $B$ est (fortement) born�e.
 \fexer


\dexer Donner un exemple de forme lin�aire non continue sur un espace vectoriel norm�. \fexer


\dexer En donnant une interpr�tation hilbertienne de ce probl�me, trouver le minimum sur $\RR^2$ de
$$I(a,b)=:\int_0^\pi (\sin t-at^2-bt)^2dt.$$

\fexer

\dexer Espaces de Banach.  Soient  $E, F$
  des espaces de Banach et $\varphi(x,y): E\times F\to \RR$ une forme
bilin�aire.

\quest 1)  Montrer que $\varphi$ est continue si et seulement si il existe $C$ tel que $|\varphi(x,y)|\leq
C||x||_E||y||_F.$

\quest 2)  On suppose que $x\to \varphi(x,y)$ est continue pour tout $y$ et que $y\to \varphi(x,y)$  est continue pour
tout $x$. Montrer que $\varphi$  est continue. \fexer

%Pour cela, on posera pour tout $y $ dans $F$,  $\psi_y = \varphi(�, y) \in L(E,\RR)$ et on
% appliquera le th�eor`eme de Banach-Steinhaus `a la
%famille d�applications $\psi_y$.

\dexer  Soit $H$ un espace de Hilbert et $(e_n)_{n\in \natural}$ une famille orthonorm�e de $H$. Soit $a=(a_n)_{n\in
\natural}$ une suite  � valeurs dans  $\RR^+$.

\quest 1) Montrer que le ``cube de Hilbert''
$$C_a=:\left\{x\in H,\;\mid\; x=\sum_{n=1}^\infty  c_ie_i \hbox{ avec } \forall n\in \natural\; c_n\in \RR,\; |c_n|\leq
a_n\right\}$$ est compact si $a\in l^2(\natural)$.

\quest 2) Montrer que le cube de Hilbert n'est pas compact si la suite $a_n$ ne tend pas vers z�ro.

\quest 3) Montrer que le cube de Hilbert n'est pas compact si $a\notin l^2(\natural).$

\fexer




\dexer Distributions

\quest 1) On pose $<vp(\frac 1x),\varphi>=: \lim_{\varepsilon\to  0^+}\int_{|x|>\varepsilon} \frac{\varphi(x)}{x}dx.$
Montrer que $vp(\frac 1x)$ est une distribution sur $\RR$

\quest 2) Montrer que $u=\ln |x|$ est une distribution sur $\RR$.  (Donner une expression de $<u,\varphi>$.)

\quest 3) Montrer que $u'= vp(\frac 1x).$



\fexer

\dexer Fourier et distributions. D�montrer l'identit� (expliquer ce qu'elle signifie):

$$\sum_{n=-\infty}^{+\infty} (-1)^n e^{i\pi nx}=2\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta_{2n+1}.$$

\fexer

\dexer

Montrer que de toute suite born�e dans $L^1_{loc}$ (c'est-�-dire born�e dans $L^1(B)$ pour tout born� $B$), on peut
extraire une sous-suite convergente au sens des distributions.

\fexer


\dexer  Calculer si elles existent les limites faibles  des suites suivantes, en pr�cisant quel(s) types de convergence
faible vous obtenez pour ces suites, d�pendant de l'espace dans lequel vous placez la suite.

\quest 1) $u_n(x)= \cos^4n^3x$ (sur $[0,1]$);

\quest 2)  $u_n(x)= \frac{-2nx+n^2}{((x-n)^2+1)(x^2+1)}$ (sur $\RR$);

%Solution: ($=-\frac 1{(x-n)^2+1}+\frac 1{x^2+1}.$

\quest 3) $u_n(x)=ne^{-nx}$ pour $x\geq 0$, $u_n(x)=0$ pour $x\leq 0$ (sur $\RR$).

\fexer


\dexer Montrer que la formule classique d'int�grations par parties est vraie pour deux fonctions quelconques $u$, $v$
de $W^{1, p}(I)$, $1\leq p\leq \infty$. \fexer

 \dexer {\bf La base en sinus et son utilisation comme base de $W_0^{1,2}(0,T)$. } (On pourra utiliser le r�sultat de
 l'exercice pr�c�dent).


\quest 1) On pose pour $T>0$ $\omega =\frac{2\pi}T$. On rappelle que les fonctions   $e_k(x)=\sqrt \frac{2}{T}
\sin(\frac {k\omega x}{2}), \;  k=1, 2, ...  $ forment une
 base hilbertienne de $L^2(0,T)$, que l'on appelle
    "base en sinus".    Donner la
    formule du
    d�veloppement dans cette base d'une fonction $u\in L^2(0,T)$ en pr�cisant la formule donnant les coefficients
    $c_k(u)$ dans cette base.

    \quest 2) On pose $\Delta(x)=x$ pour $x\in [0,\;\frac T2]$ et
$\Delta(x)=T-x$ pour $x\in [\frac T2,\;0]$.
  Donner le d�veloppement dans la base en sinus    de
$\Delta$. V�rifier que $\sum_{k\in \natural^*}|k|^2|c_k(\Delta)|^2<+\infty.$

\quest 3)  Montrer que $\Delta\in W_0^{1,2}(0,T)$.

\quest 4) Soit une fonction $u\in L^2(0,T)$ telle que $\sum_k |kc_k(u)|^2<+\infty.$ Montrer que $u\in
H_0^1(0,T)=W_0^{1,2}(0,T).$

\quest 5) Soit $u\in H_0^1(0,T)$. Montrer que $\sum_{k\in \natural^*}|k|^2|c_k(u)|^2<+\infty.$

 \fexer
