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% ensembles Q R N Z C
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\begin{document}
\author{}
 \date{}
\title{Examen d'Analyse du 25/11/2005}
\maketitle
NB: Les notes de cours et de Td ainsi que le polycopi\'e sont autoris\'es. L'\'epreuve est
constitu\'ee d'un s\'erie d'exercices ind\'ependants.\\ \\ \\




{\bf Exercice 3}
\newline\newline
Soit $U\subset \RR^n$ un ouvert convexe et $\varphi: U\to \RR^n$ une
fonction convexe. On note $x, y$ des éléments de $\RR^n$ et $x.y$
leur  produit scalaire canonique.
\\
1) Rappeler la définition de la convexité, pour un ensemble et pour
une fonction.
\\
2)  Donner la définition de $\lim\sup_{y\to x}\varphi(y)$. On
rappelle qu'une fonction  $\varphi$ est continue en un point $x$ si
et seulement si $$\lim\inf_{y\to x}\varphi(y)\geq\varphi(x)\geq
\lim\sup_{y\to x}.$$
\\
Montrer que $\varphi$  est continue. Indication: on vérifiera et
utilisera successivement les deux inégalités qui suivent
$$\varphi(y)\leq  \frac 12 \varphi(2y-x)+\frac 12 \varphi(x),\quad
\varphi(x)-\frac 12\varphi(x-z)\leq \frac 12\varphi(x+z).$$ Prendre
la limite inférieure ou supérieure des deux membres de ces
inégalités quand $y\to x$ et quand $z\to 0$.
\\
{\it Solution.\ Les deux inégalités découlent immédiatement de la
convexité de $\varphi$, la première parce que $y$ est le milieu de
$[2y-x, x]$ et la deuxième parce que $x$ est le milieu de
$[x-z,x+z]$.  On fait la limite supérieure de la première inégalité
quand $y$ tend vers $x$. Cela donne

$$\lim\sup_{y\to x}\varphi(y)\leq \frac 12\lim\sup_{y\to
x}\varphi(2y-x)+\frac 12\varphi(x)\leq \frac 12\lim\sup_{y\to
x}\varphi(y)+\frac 12 \varphi(x).$$ En  effet si $y\to x$, $2y-x\to
x$.  Donc $\lim\sup_{y\to  x}\varphi(y)\leq \varphi(x).$ En
appliquant maintenant une limite inférieure à la deuxième inégalité,

$$\varphi(x)-\lim\sup_{z\to 0}\frac 12\varphi(x-z)\leq \lim\inf_{z\to  0}\frac
12\varphi(x+z).$$ En utilisant la première inégalité prouvée, $\frac
12 \varphi(x)\geq \frac 12\lim\sup_{z\to  0}\varphi(x-z)$. Donc

$$\frac 12\varphi(x)\leq \frac 12\lim\inf_{z\to 0}\varphi(x+z).$$}
\\ 3) Indiquer où l'hypothèse que $U$ est ouvert a été utilisée.
Donner un exemple de fonction convexe sur un intervalle fermé et qui
n'est pas continue.
\\
 4) Montrer que l'épigraphe de $\varphi$, $\{x,z)\in \RR^n\times \RR,\;
z>\varphi(x)\}$ est un ouvert convexe de $\RR^n\times \RR$.
\\
5) Montrer que tout hyperplan de $\RR^n\times R$ peut s'écrire sous
la forme $\{(x,z), \;a.x+bz=c\}$  où $a\in \RR^n,\; b,c\in \RR$.  On
considère le point $(x_0,\varphi(x_0))\in U$. Montrer qu'il existe
des réels $a\in \RR^n,\; b,c\in \RR $ tels que $\forall x\in U,$
$$a.x+b\varphi(x)\geq c\hbox{ et } a.x_0+b\varphi(x_0)=0.$$
\\
{\it Solution: appliquer  Hahn-Banach géométrique à l'épigraphe
ouvert de $\varphi$ et au point $(x_0,\varphi(x_0)).$ }
\\6) Montrer que $b\neq 0$.  En déduire qu'il  existe $v\in \RR^n$
$$\varphi(x)\geq v.(x-x_0)+\varphi(x_0).$$
\\7) L'ensemble des $v$ vérifiant l'inégalité précédente s'appelle
{\it sous-différentiel de $\varphi$ en $x_0$} et il est noté
$\partial \varphi(x_0)$. Montrer que $\partial\varphi(x_0)$ est
convexe.
\\8) On suppose que  $\mu$ est une mesure de probabilité sur  $U$
telle que $\int_U |\varphi(x)|d\mu(x)<\infty$ et $\int_U
|x|d\mu(x)<\infty. $  Montrer que $\int_U xd\mu(x)=x_0$ appartient à
U. Quelle est l'interprétation géométrique de $x_0$ si $\mu$ est la
mesure de Lebesgue?
\\9)
 Montrer l'inégalité de Jensen
$$\int \varphi(x)d\mu(x)\geq \varphi(\int_U x d\mu(x)).$$

 \end{document}
