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\bf Solution #1 \newline\it \small }} { \vspace{0.25cm }}
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\def\ccaadd{c'est-à-dire}

\title{Examen d'analyse fonctionnelle, E.N.S. Cachan magistère, 2003}
\pagestyle{myheadings}
\begin{document}
\maketitle \noindent{\it On recommande très vivement la précision dans la rédaction.
En particulier, donner des références explicites pour les résultats utilisés dans les
démonstrations. }

\medskip

\dexer Soit $I$ un intervalle, borné ou non, de $\real$ et $1<p\leq \infty$. Si
$\omega$ est un ouvert de $I$, on note $\omega\subset\subset I$ si la distance de
$\omega$ au complémentaire de $I$ est strictement positive : $dist(\omega, \;
I^c)>0.$ On se propose de démontrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :

\begin{enumerate}
\item $u\in W^{1,p}(I)$
\item Il existe une constante $C$ telle que
$$|\int_Iu\varphi'|\leq C||\varphi||_{L^{p'}(I)},\quad \forall \varphi \in
C_0^\infty(I).$$


\item Il existe une constante $C$ telle que pour tout ouvert $\omega\subset\subset I$
et tout $h\in \real$ avec $|h|< dist(\omega, I^c)$, on ait
$$||\tau_hu-u||_{L^p(\omega)}\leq C|h|.$$

De plus, on peut choisir $C=||u'||_{L^p}$ dans 2. et 3.
\end{enumerate}

\quest 1) Montrer que $u\in L^p(I)$ appartient à $W^{1,p}(I)$ si et seulement si il
existe $g\in L^p(I)$ telle que
$$\forall \varphi\in C_0^\infty, \quad \int_I u\varphi'=\int_I g\varphi.$$

\quest 2) Montrer que 1. $\Rightarrow$ 2.

\quest 3) On suppose 2. On pose $<F, \varphi>=\int u\varphi'$.  Montrer qu'il existe
$g\in L^p$ telle que $<F, \varphi>=\int g\varphi$ et conclure que 2. implique 1.

\quest 4) On veut montrer que 1. $\Rightarrow $ 3.  Montrer, d'abord que le résultat
est vrai si $p=+\infty$.

 \quest 5) On suppose maintenant que $1<p<\infty.$ Montrer
  que $|u(x+h)-u(x)|^p\leq |h|^p\int_0^1 |u'(x+sh)|^p ds$ et en déduire
    que 1. $\Rightarrow $ 3.


\quest 6) Montrons maintenant que 3. $\Rightarrow $ 2. Soit $\varphi\in C_c^1(I)$. On
choisit $\omega\subset\subset I$ tel que $Support(\varphi)\subset \omega.$ Pour $h\in
\real$ et $|h|<dist(\omega, \; I^c)$, vérifier que
$$\int_I (u(x+h)-u(x))\varphi(x)dx=\int_I u(x)(\varphi(x-h)-\varphi(x))dx.$$
En déduire 2.

 \fexer

\dexer
 On note $x=(x_1,x_2)$ un élément de $\real^2$.  $\Omega$ désigne un ouvert
  de $\real^2$, $C_0^\infty(\Omega)$ l'ensemble
 des fonctions $C^\infty$ et à support compact dans $\Omega$.  On note $1\leq p\leq
 \infty$ un réel dans $[1,\; \infty]$. On dira que $u$ est dans  l'espace de Sobolev
 $W^{1,p}(\Omega)$ si et seulement si
 $$u\in L^p \hbox{ et } \exists g_1,\; g_2\in L^p, \;\; \forall \varphi\in
 C_0^\infty(\Omega),\;\; \int_\Omega u\frac{\partial \varphi}{\partial
 x_i}=-\int_\Omega g_i\varphi,\; i=1,\; 2.$$
On notera alors $\frac{\partial u}{\partial x_i}=g_i$.  Dans le cas $p=2$, on note
$W^{1,2}(\Omega)=H^1(\Omega)$. On munit $W^{1,p}(\Omega)$ de la norme
$$||u||_{W^{1,p}}=||u||_{L^p}+\sum_{i=1}^2 ||
\frac{\partial u}{\partial x_i}||_{L^p}.$$

\quest 1) Montrer que $(||u||_{L^p}^p + \sum_{i=1}^2 ||\frac{\partial u}{\partial
x_i}||^p_{L^p})^\frac 1p$ est une norme équivalente à la précédente, si $1\leq
p<\infty.$

\quest 2) Montrer que  la définition  de $W^{1,p}$ est encore valide si on prend des
fonctions test $\varphi\in C^1_c(\Omega)$.

 \quest 3) Montrer que $u(x_1,x_2)=|x_1|+|x_2|\in
W^{1,p}(\Omega)$ pour tout ouvert borné $\Omega\subset \real^2$.


\quest 4) Dans cette question et celles qui suivent, on abrège $W^{1,p}$ pour
$W^{1,p}(\Omega).$ Montrer que $W^{1,p}$ est un espace de Banach pour $1\leq p\leq
\infty.$

\quest 5) Montrer que $W^{1,p}$ est réflexif pour $1<p<\infty$ et séparable pour
$1\leq p <\infty$.

\quest 6) On suppose $1<p< \infty$. Montrer que si $u_n\in W^{1,p}$ converge vers
$u\in L^p$ et que $\grad u_n$ reste bornée dans $(L^p)^2$, alors $u\in W^{1,p}$.

\quest 7) Dans cette question, on va montrer que la propriété de la question
précédente est fausse quand $p=1$. Revenons d'abord en dimension 1 : donner un
exemple simple de suite bornée $u_n\in W^{1,1}(0,1)$, qui converge dans $L^1(0,1)$
vers une fonction $u\in L^1(0,1)$ mais avec $u\notin W^{1,1}(0,1)$. En déduire un
contrexemple en dimension 2, pour par exemple $\Omega=W^{1,1}([0,1]^2).$


\fexer

\dexer  On pose $x=(x_1,x_2)\in \real^2$, $k=(k_1, k_2) \in \real^2$ et on note $k.x=
k_1x_1+k_2x_2$ leur produit scalaire.

\quest 1) \label{totalitedesseparables}
 Montrer que les fonctions caract\e ristiques de
rectangles  forment un syst\ee me total de $L^2([0,2\pi]^2)$. En déduire que les
fonctions  de la forme $w(x) = u(x_1)v(x_2)$ avec $u, v\in L^2(0,2\pi)$ forment aussi
un syst\ee me total.

\quest 2)  Déduire que les fonctions $e_{k}(x)=\frac 1 {2\pi}e^{ik.x}$, $k\in
\relative^2$, forment une base hilbertienne de $L^2([0,2\pi])$ et  montrer qu'on a
donc pour toute fonction $u\in L^2([0,2\pi]^2),$
\begin{equation}\label{developpementenseriedeFourierdouble} u= \sum_{k\in \relative^2}
c_k(u)e^{ik.x},\; \hbox{avec  }  c_k(u) = \frac 1 {(2\pi)^2}\int_{[0,2\pi]^2}
u(x)e^{-ik.x}dx,
\end{equation}
 la convergence de la s\e rie se v\e rifiant au sens
de $L^2$. (Si $w(x,y)=u(x_1)v(x_2)$, on multipliera les développements en séries de
Fourier tronqués de $u(x_1)$ et de $v(x_2).$)


\quest 3) Montrer que le système $C\sin(k_1x_1)\sin(k_2x_2)$, $k_1,\; k_2 \in
\natural^*$, est une base hilbertienne de $L^2([0, 2\pi]^2)$ (préciser la constante
$C$).

\quest 4) On considère la fonction définie sur $[0, 2\pi]^2$ par

$$u(x_1,x_2)=\sum_{k_1,k_2\in \natural^*} \frac 1{k_1^2+k_2^2} e^{i k_1x_1}e^{ik_2x_2}.$$
Montrer que $u\in L^2([0,2\pi]^2).$

\quest 5) Montrer que  $\sum_{k_1,k_2\in \natural} \frac 1 {k_1^2+k_2^2}=+\infty$.
(On pourra comparer cette série double à une intégrale double).

\quest 6) Montrer que les séries $\sum_{k_1,k_2\in \relative} \frac
{k_1}{k_1^2+k_2^2}e^{i k_1x_1+k_2x_2}$ et $\sum_{k_1,k_2\in
\relative}\frac{k_2}{k_1^2+k_2^2}e^{i k_1x_1+ik_2x_2}$ ne convergent pas dans
$L^2_{loc}$.

\quest 7) Nous n'avons pas vu dans le cours les distributions sur $\real^2$, mais
tout marche pareil, avec des fonctions tests $\varphi\in C_0^\infty(\real^2)$ ! En
particulier, on définit les dérivées partielles premières de $u$ par $<\frac{\partial
u}{\partial x_i}, \varphi>=-<u, \frac{\partial \varphi}{\partial x_i}>,$ $i= 1,\; 2$.
Montrer brièvement en reprenant le raisonnement de la dimension 1 pourquoi une
fonction de $L^1_{loc}$ est une distribution, et pourquoi on a toujours le droit de
dériver une série de Fourier convergente dans $L^2_{loc}$.

\quest 8) Montrer que  $u\notin H^1_{loc}(\real^2)$.

\quest 9) Montrer que $\sum_{k\in
\relative^2}e^{ik.x}=(2\pi)^2\sum_{l\in\relative^2}\delta_l.$  Indication :
considérer les sommes finies $\sum_{|k_1|\leq N,\;|k_2|\leq N}e^{ik.x}$ et utiliser
 le résultat en  dimension 1.


 \quest 10) Montrer que
 $u$ est solution, au sens des distributions,
  de  $-\Delta u= C\sum_{m,n\in \relative}\delta_{m,n}$, $C$ constante à préciser.
  En déduire que l'équation $-\Delta u=\delta_0$ dans \newline ${\cal D}'(]-\pi,\pi[^2)$ a une
solution $u\in L^2_{loc}(]-\pi,\pi[^2)$  qui n'est pas dans $H^1$.





 \fexer

 \end{document}
