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\bf Solution #1 \newline\it \small }} { \vspace{0.25cm }}
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%rappel : \overline{cequ'onveut}
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%si on supprime le 1 dans le crochet la commande s'inactive et le texte apparaît. Si on le remet le texte disparaît
\newcommand{\niente}[1]{}

\title{Examen d'analyse fonctionnelle, E.N.S. Cachan, 2007}
\pagestyle{myheadings}
\begin{document}
%\maketitle
\noindent{\it Les exercices sont  indépendants et les questions dans les exercices sont aussi largement
indépendantes. Lisez-les tous avant de commencer et choisissez l'ordre qui vous convient le mieux.  On recommande très
vivement la précision, mais aussi la briéveté dans la rédaction. Ne redémontrez pas des faits contenus dans le
polycopié. Contentez-vous de citer précisément en donnant des références explicites pour les résultats utilisés dans
les démonstrations. }


\dexer Soit $E$ un espace muni de deux topologies $\mathcal O$ et $\mathcal O'$. On  suppose qu'il  y a une base de
voisinages $\mathcal U$ pour $\mathcal O$ et une base de voisinages $\mathcal U'$ pour  $\mathcal O'$ telles que pour
tout élément de $\mathcal U'$ contient un élément de $\mathcal U$ et vice-versa. Montrer que  $\mathcal  O=\mathcal
O'$.


\fexer

\dexer Soit $(E, \mathcal O)$ un espace topologique séparé qui contient une base de voisinages dénombrable $\mathcal
U=(U_n)_{n\in \natural}.$ Montrer que $E$ est métrisable. Indication: considérer $d_n(x,y)=0$ si $x$ et $y$ sont dans
$U_n$ et $d_n(x,y)=1$ sinon. Que peut-on dire si $(E, \mathcal O)$ n'est pas séparé?


\nada{\it  \quest On vérifie que $d_n$ est une semi-distance (toutes les propriétés d'une distance sauf
$d(x,y)=0\Rightarrow x=y.$) En effet $d_n$ est bien symétrique et positive ou nulle.  Si $d_n(x,y)=0$ l'inégalité
triangulaire $d_n(x,y)\leq d_n(x,z)+d_n(z,y)$ est vraie. Si $d_n(x,y)=1$ l'un de $x$ ou $y$, disons $x$, est dans $U_n$
et l'autre $y$ ne l'est pas. Donc si $z$ est dans $U_n$ on a $d_n(z,y)=1$ et si $z$ n'est pas dans $U_n$ c'est $d(x,z)$
qui est égal à 1. Donc l'inégalité triangulaire est toujours vraie. Finalement on pose $d(x,y)=\sum_n \frac
1{2^n}d_n(x,y).$ C'est bien une semi-distance. Il reste à montrer que c'est une distance. Mais comme $(E,\mathcal O)$
est séparé, on peut trouver $U$ et $V$ ouverts qui séparent $x$ et $y$, et donc deux  voisinages $U_m$ et $U_n$
disjoints qui séparent $x$ et $y$.}
 \fexer




\dexer Topologies et normes.

\quest 1) On considère $E=C_0^\infty((0,1))$  muni des normes $L^2(0,1)$ et $L^3(0,1)$. Montrer que ces normes ne
définissent pas la même topologie sur $E$.

\quest 2) Donner un exemple d'espace vectoriel normé sur $\real$ muni de deux normes non équivalentes.


\nada{\it \quest 1) Supposons par contradiction que ces normes définissent la même topologie sur $E$ et appelons $E_2$
et $E_3$ les deux espaces vectoriels normés considérés. Alors l'application identité de $E_2$ dans $E_3$ est
bi-continue. Donc il existe des constantes $C_1$ et $C_2$ telles que pour  toute $f$ dans $E$ on ait
$$C_1 ||f||_2\leq ||f||_3\leq C_2||f||_2.$$
Soit maintenant $f\in L^3$ telle que  $f\notin L^2$.  Et soit $f_n$ dans $E$ qui tend dans   $L^2$ vers $f$. Par les
inégalités précédentes $f_n$ étant de Cauchy dans $L^2$ l'est dans $L^3$ et donc a une limite $g$ dans $L^3$. On a donc
$f=g$ presque partout (par la réciproque du théorème de Lebesgue) et donc une contradiction.

} \fexer


\dexer  Montrer que $C^0([0,1])$ muni du produit scalaire $f.g=\int_0^1 f(x)g(x)dx$ n'est pas un espace de Hilbert.

\nada{\it Soit $f\in L^2(0,1)$ qui ne soit pas continue et $f_n$ dans $C^0$ qui tend vers $f$. Donc $f_n$ est de Cauchy
pour la norme $L^2$. Si $C^0$ était complet $f_n$ convergerait vers un élément $g$ de $C^0$ dans $L^2$ et on aurait
donc toujours par la réciproque de Lebesgue $f=g$ presque partout, une contradiction. } \fexer


 \dexer {\bf Le théorème de projection} 1) Si $V$ est un sous-espace ferm\ea d'un espace de
Hilbert $H$, montrer que pour $v\in H$,
$$d(v,V)= \hbox{Max}(Re(u,v), \; u\in V^\perp, \; ||u||=1).$$

\nada{\medskip\noindent\it Par le théorème de projection sur un sous-espace fermé, il y a une décomposition unique
$v=y+z$, $y\in V$, $z\in V^\perp$ et de plus $d(v,V)=|z|$.  Si $u\in V^\perp$ et $|u|=1$, par l'inégalité de
Cauchy-Schwartz, $Re(v,u)= Re(z,u)\leq |z||u|=|z|=d(v,V)$. Donc $d(v,V)$ est bien le maximum (atteint) de $Re(v,u)$. }

\medskip\noindent
2) En d\e duire $\hbox{Max}\int_{-1}^1 g(x)dx$ o\u $g:\; [-1, +1]\to \real$ est soumis aux contraintes
$$\int_{-1}^1 |g(x)|^2=1, \; \int_{-1}^1 (x^2-x)g(x)dx=0.$$
   On donnera la fonction $f$ pour laquelle cette
valeur maximale est atteinte.


\nada{\medskip\noindent\it REECRIRE: $x^2$ remplacé par $x^2-x$. On prend $H=L^2(-1,1)$ avec la norme
$|g|^2=\int_{[-1,1]}|g(x)|^2dx$, $v=1$, $u=g$, $V=\RR (x^2-x)$ où $x^2-x$ désigne la fonction $x\to x^2-x$ qui
appartient à $L^2(-1,1)$. Les contraintes sur $g$ sont $g\perp \RR (x^2-x)$ et $|g|=1$. La solution du problème est
donc par la question précédente $d(v,V)=d(1,\RR (x^2-x)).$ Il suffit de décomposer $v$ sur $V$ et $V^\perp$, donc sous
la forme:
$$1=\lambda (x^2-x)+f.$$
où l'unique inconnue est $\lambda$. Faisant le produit scalaire avec $x^2-x$ et prenant en compte que $f$ est
orthogonal à $x^2-x$, on a
$$\int_{-1}^1 (x^2-x)dx=\lambda \int_{-1}^1 (x^2-x)^2 dx\Rightarrow
\frac 23=\lambda(\frac 25+\frac 23)\Rightarrow \lambda=\frac 58.$$ Donc  la décomposition cherchée est
$$1=\frac 58 (x^2-x) + (1-\frac 58(x^2-x))$$
et la distance recherchée est
$$|f|^2=\int_{-1}^1(1-\frac 58(x^2-x))^2dx=$$
Donc $d(1, \RR x^2)=$, atteinte pour $f=1-\frac 58(x^2-x).$  }


 \fexer


\dexer Soit $f_n$ une suite bornée dans $L^p(\RR)$ , $1<p<\infty$.
 Montrer que $f_n\rightharpoonup f$ dans $L^p(\RR)$ si et seulement si $\int f_ng\to\int fg$ pour tout $g\in
 C_0^\infty(\RR)$. Que se passe-t-il pour $p=1$, $p=\infty$, $L^p([0,1])$?

\nada{\noindent\medskip\it

$C_0^\infty$ est inclus dans tous les $L^p$ et en particulier dans $L^{p'}.$  Si $f_n\rightharpoonup f$ alors $\int
f_ng\to \int fg$ pour tout $g\in L^{p'}$ et en particulier pour $g$ dans $C_0^\infty.$  Réciproquement, si $\int
f_ng\to \int fg$ pour tout $g\in C_0^\infty$, on utilise la densité de $C_0^\infty$ dans $L^{p'}$. Il existe pour tout
$g\in L^{p'}$ une fonction $g_\varepsilon\in C_0\infty$ telle que $|g-g\varepsilon|_{L^{p'}}<\varepsilon.$  Donc par
l'inégalité triangulaire et l'inégalité de Hölder,

$$|\int (f_n-f)g|\leq |\int (f_n-f)g_\varepsilon| +|\int (f_n-f)(g-g_\varepsilon)\leq
|\int(f_n-f)g_\varepsilon|+||f_n-f||_{L^{p'}}\varepsilon.$$ Le premier terme tend vers zéro par hypothèse quand
$n\to\infty$ et le second est plus petit que $C\varepsilon$ car $f_n$ est bornée dans $ L^{p'}$. } \fexer

 \dexer {\bf Calcul de limites faibles dans $L^2$. } Calculer si elles existent les limites faibles  des suites
suivantes dans $L^2$.

\quest 1) Dans $L^2(0,\pi)$: $u_n(x)= \frac {\sin^2n^3x}{x^\frac 13}.$

\nada{ On a $\sin^2 n^3x=\frac 12(1-\cos 2n^3x)$. On remarque que $\frac {1}{x^\frac 13} $ est
 dans $L^2$. Si
on fait le produit avec une fonction de $L^2$ on obtient une fonction de $L^1$. En appliquant le Lemme de Riemann
Lebesgue on  conclut que la limite faible est $\frac {1}{2x^\frac 13}$ qui appartient à $L^p$ pour tout $1\leq p<3$. On
conclut aisément que la convergence faible se fait dans tous ces $L^p$.}

\quest 2) Dans $L^2(\real)$: $u_n(x)= \frac{x^2+2n^2+2}{((x+n)^2+1)((x-n)^2+1)}.$ (Commencer par vérifier que ces
fonctions sont bien dans $L^2(\real)$).


\nada{\noindent\medskip\it

On a $u_n(x)=\frac 1{(x-n)^2+1}+\frac 1{(x+n)^2+1}.$ Le premier terme est une "bosse roulante" de la forme $g(x-n)$
avec $g\in L^2$ et donc tend faiblement vers zéro. Donc la suite tend faiblement vers $0$  \quest 3)  Le cas échéant,
dire dans quels $L^p$ la limite faible existe.
 }
 \fexer

\dexer Parmi les applications $u: C_0^\infty(\real)\to\real$ qui  suivent, déterminer celles qui sont  des
distributions sur $\real$. Expliquer.

\begin{description}
  \item[(a)] $<u,\varphi>=\varphi(0)^2$;
  \item[(b)] $<u, \varphi>=\int_0^1 \varphi^{(k)}(t)dt,$ $k\in \natural$;
  \item[(c)] $<u, \varphi>=\sup_{t\in\real} \varphi(t)$;
  \item[(d)] $<u, \varphi>=\lim_{n\to +\infty} \left(\sum_{j=1}^n \varphi(\frac 1j)-n\varphi(0)-\varphi'(0)\log
  n\right)$;
  \item[(e)] $<u,\varphi>=\sum_{j=0}^\infty \varphi^{(j)}(0)$ et $<u,\varphi>=\sum_{j=0}^\infty \varphi^{(j)}(j).$
\end{description}


\fexer


\dexer Dire pour quelles valeurs de $p$ les  fonctions suivantes sont dans $W^{1,p}(I)$.
\begin{itemize}
\item [(a)]  $f(x)=|x|$, $I=]-1,1[$;
\item [(b)]  $f(x)=x^\alpha$, $I=]0,1[$;
\item [(c)] $f(x)=x^\alpha$ pour $x\geq 0,$ $f(x)=0$ pour $x<0$, $I=]-1,1[.$
\end{itemize}

\fexer


\dexer Montrer que la formule classique d'intégrations par parties est vraie pour deux fonctions quelconques $u$, $v$
de $W^{1, p}(I)$, $1\leq p\leq \infty$.

\fexer

 \dexer Pour $h\in \real$, $\varphi\in C_0^\infty(\real)$ et $u\in \mathcal D'(\real)$  on pose
$<\tau_hu,\varphi>=\varphi_h$ où $\varphi_h(x)=\varphi(x-h)$.

\quest 1)  Montrer que $\tau_hu$ est une distribution.

\quest 2) Calculer $\tau_h u$ quand $u\in L^1_{loc}(\real)$.

\quest 3) On pose $D_hu=\frac{u-u_h}h.$ Montrer que $D_hu$ tend vers $u'$ dans $\mathcal D'(\real)$ quand $h\to 0$.

\quest 4) Calculer la limite  de $\frac{\tau_{h}u + \tau_{-h}u-2u}{h^2}$ quand $h\to 0$.

\fexer

\dexer Soit $H$ la fonction de Heaviside $H(x)=1$ si $x\geq 0$, $H(x)=0$ sinon. Montrer que l'application notée
$u=Pf(\frac H{x^2})$ et définie par la formule qui suit est une distribution:

$$<Pf(\frac{H}{x^2}), \varphi>=\lim_{\varepsilon\to 0}
\left[\int_\varepsilon^{+\infty}\frac{\varphi(x)}{x^2}dx -\frac{\varphi(0)} {\varepsilon}+\varphi'(0)
\log\varepsilon\right].$$ \fexer

\dexer
 Soit $f\in L_{loc}^1(\real)$. Quelle est la dérivée au sens des distributions de $F(x)=\int_a^xf(t)dt$?
\fexer

 \dexer Soit $u\in \mathcal D'(\real)$ et $f(x)\in C^\infty(\real)$. Montrer que  $(fu)'= f'u + fu'$. \fexer

\dexer \quest 1) Montrer que si $\varphi\in C_0^\infty$ il existe $\psi\in C^\infty(\real)$ telle que
$\varphi(x)=\varphi(0)+x\psi(x).$

\quest 2)
 On pose
$f_n(x)=\frac{\sin nx}{x}$ pour $x\neq 0.$ Dessiner $f_n$. On rappelle que $\int_0^a\frac{\sin x}{x}dx\to \frac \pi2$
quand $a\to +\infty$.  Calculer la limite au sens des distributions de $f_n$ quand $n\to\infty$. \nada{Exercice 27.2
p155 exos Gasquet, et exercice 29.3, exos Gasquet, p 170}
 \fexer

\dexer
 Soit $f\in H^1(0,2\pi)$ et soient  $c_n$ ses coefficients de Fourier. Montrer que
 $\sum_{n=-\infty}^{+\infty} n^2|c_n|^2<\infty$ si  et seulement  si $f(0^+)=f(2\pi^-).$

\nada{Exercice 30.5, Gasquet, p 179} \fexer
 \dexer
Démontrer l'égalité $\sum_{n=-\infty}^{+\infty} (-1)^n e^{i\pi nx}=2 \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta_{2n+1}$
\nada{exercice 29.7, Gasquet, page 173}
 \fexer

 \dexer  Y-a-t-il des fonctions $f_n$ et $f$
telles que :
\newline\newline (si "oui", donner un exemple ;  si "non", dire pourquoi). \newline\newline
(a) $f\in L^2(\RR)$ et $f\notin L^3(\RR)$ ;  $f\in L^3(\RR)$ et $f\notin L^2(\RR)$;
 $f_n$ tend faiblement vers $f$ dans $L^2(0,1)$ mais $f_n(x)$ ne
tend vers $f(x)$ en aucun point.
\newline\newline (b) $f_n(x)\to \frac 1 {1+x^2}$ uniform\e ment mais pas dans
$L^2(\real)$.
\newline\newline
(c) On suppose que $f_n\in L^2(\real)\cap L^3(\real)$ converge faiblement dans $L^2(\real)$ vers une fonction $f$ et
aussi faiblement vers une fonction $g$ dans $L^3(\real)$.  A-t-on $f=g$ ? \fexer


\nada{\noindent\medskip\it (a) $f(x)=x^{-\frac 13}$ sur $[0,1]$, 0 ailleurs.
\newline\newline
(b) $f(x)=x^{-\frac 12}$ pour $x\geq 1$, 0 ailleurs.
\newline\newline
(c) $f_n(x)=\sin (nx)$. La limite faible est 0 et on vérifie facilement que $\int_{[0,1]} |\sin^3nx|\geq c>0.$ Or s'il
y avait une limite forte elle serait égale à la limite faible et donc à zéro. Donc il n'y en a pas.
\newline\newline
(d) Non. Si $f_n$ tend fortement vers zéro dans $L^2$ elle tend aussi faiblement vers zéro dans $L^2$. Si $f_n$ tend
faiblement vers 1 dans $L^3$ elle tend aussi faiblement vers 1 dans $L^2$ car $L^{2'}(0,1)\subset L^{3'}.$ Donc on
obtient deux limites faibles distinctes dans $L^2$, impossible.
\newline\newline
(e) Il suffit de reprendre l'exemple du cours d'une suite de fonctions qui tend vers zéro dans $L^1$ et qui ne converge
en aucun point. Cette  même suite converge aussi fortement dans $L^2(0,1)$ et donc aussi faiblement.
 \newline\newline
 (f) $f_n(x)=\frac 1{1+x^2}+\frac 1n$ n'est pas dans $L^2(\RR)$ et donc ne converge pas dans $L^2(\RR)$.
 \newline\newline
 (g) Oui. En effet on $\int (f-g)h=0$ pour toute fonction qui soit à la fois dans $L^2$ et dans $L^3$. On prend
 $h(x)=\signe (f-g)(x)$ si $|x|\leq n$, 0 sinon. On obtient $\int_{-n}^n  |f-g|=0$ pour tout $n$ et
 donc $f=g$ presque partout.


 }

 \end{document}
