
\chapter[Les théorèmes de Banach]{Les Théorèmes de séparation de Hahn-Banach. Le Théorème de Banach-Steinhaus\label{ChapHahnBanach}}
\setcounter{exo}{0}

\begin{Def}  Un espace de Banach est un espace vectoriel sur $\RR$ ou $\CC$, normé,
complet. \index{A}{espace!de Banach}
\end{Def}

\noindent Exemples : $\RR^N$, $\CC^N$, ${\ell}^p$, $1\leq p\leq +\infty$, où ${\ell}^p=\{a=(a_i)_{i\in\NN}, a_i\in \RR,
\sum_{i=0}^{\infty}|a_i|^p<\infty\}$, $C^0_0(\RR^N)$ qui est l'espace des fonctions continues tendant vers zéro à
l'infini. Si $E$ est un espace vectoriel muni d'un produit scalaire non dégénér\ea $<x,y>$, il est alors normé par
$||x|| = \sqrt{<x,x>}$.  On dit alors que $E$ est préhilbertien.  Si de plus il est complet, on dit que c'est un espace
de Hilbert.  Exemple canonique : ${\ell}^2$.

\begin{Def}
Soient $E, F$ deux espaces vectoriels normés. On note $ {\cal L}(E,F)$ l'espace vectoriel  des opérateurs linéaires
continus de $E$ dans $F$, \index{N}{${\cal L}(E,F)$ est l'espace des applications lin{é}aires continues de $E$ dans
$F$} muni de la norme
$$||T||_{{\cal L}(E,F)} = \sup_{x\in E, ||x||\leq 1} ||T(x)||.$$
On note ${\cal L}(E) = {\cal L}(E, E)$ et $E'={\mathcal L}(E, \RR)$.
\end{Def}


\begin{pro} \label{normeformelineaire}  Un  opérateur linéaire $T$  sur un espace vectoriel normé $E$ est continu
 si et seulement s'il est borné sur la boule unité de $E$. De plus on a pour tout $x\in E$,
$$T(x)\leq||T||_{\mathcal L(E,\RR)}||x||_E.$$
\end{pro}

\dexer Montrer la proposition \ref{normeformelineaire}.

\fexer
\begin{Def}\index{A}{dual!d'un e.v.n.} \index{N}{$\Ep est l'ensemble {\cal L}(E,\RR)$}
Si $E$ est un espace vectoriel normé, on note $E'$ son dual topologique, \ccaadd  l'ensemble des formes linéaires
continues sur $E$.
\end{Def}

\begin{pro}
Si $E$ est un espace vectoriel normé, $E'$ est un espace de Banach (voir exercice \ref{dualcomplet} page
~\pageref{dualcomplet}).
\end{pro}

\section{Les Théorèmes de séparation de Hahn-Banach, cas r\e el}

Dans tout ce paragraphe, les espaces vectoriels norm\e s consid\e r\e s sont des espaces vectoriels {\bf{r\e els}}.

\begin{thf}{\bf de Hahn-Banach.}\label{hahn-banach}\index{A}{Hahn-Banach!th\e
orème de}  Soit $E$ un espace vectoriel normé. Soit $G$ un sous-espace vectoriel de $E$ et $g$ une forme linéaire
continue de norme
$$||g||_{G'}=\sup_{x\in G, ||x||\leq 1} \vert g(x) \vert.$$  Alors il existe $f\in E'$, le
dual topologique de $E$, qui prolonge $g$ et telle que $||f||_{E'}=||g||_{G'}.$
\end{thf}
Exercice : le montrer en dimension finie.
\begin{Def} {\bf (Zorn)}
Soit $P$ un ensemble muni d'une relation d'ordre partiel notée $\leq$.  On dit que $Q\subset P$ est totalement ordonné
si $\forall a, b \in Q$, $a\leq b$ ou $b\leq a$.  On dit que $c\in P$ est un majorant de $Q\subset P$ si $\forall a \in
Q$, $a\leq c$.  On dit que $m\in P$ est maximal si $\forall x\in P$ tel que $m\leq x$, alors $m=x$.  On dit que $P$ est
inductif si tout sous-ensemble totalement ordonné de $P$ admet un majorant.
\end{Def}

\begin{lem} {\bf de Zorn.}\index{A}{Zorn (lemme de)}
Tout ensemble ordonné, inductif et non vide admet un élément maximal.
\end{lem}

\dexer Voici un exemple très simple d'application du lemme de Zorn : le théorème de la base incomplète en dimension
infinie. On considère un espace vectoriel $E$ sur ${\RR}$ et un système libre $L$ de $E$. Montrer en utilisant le lemme
de Zorn qu'il existe une base $B$ de $E$ telle que $L\subset B$.

\fexer

\begin{thf} \label{hahn-banachanalytique}\index{A}{Hahn-Banach!version
analytique r\e elle}{\bf de Hahn-Banach (version analytique et r\e elle)} Soit $E$ un espace vectoriel r\e el. Soit $p
: E\to \RR^+$ une application vérifiant $\forall \lambda>0, \forall x\in E, p(\lambda x) = \lambda p(x)$ et $\forall x,
y \in E, p(x+y)\leq p(x)+p(y)$.  Soit $G\subset E$ un sous-espace vectoriel et soit $g : G\to \RR$ une application
linéaire telle que $g(x)\leq p(x), \forall x\in G.$  Alors il existe une forme linéaire $f$ sur $E$ qui prolonge $g$,
i.e. $g(x)=f(x), \forall x\in G$, $f(x)\leq p(x), \forall x\in E$.
\end{thf}
\paragraph{Démonstration}
On considère
\newline $P=\{h : D(h)\to \RR, D(h) \hbox{ s.e.v. de } E, h \hbox{
linéaire }, G\subset D(h), \; h \hbox{  prolonge } g \hbox{ et } h(x)\leq p(x), \; \forall x \in D(h). \}.$\newline
$P$ est muni de la relation d'ordre
$$h_1\leq h_2 \Leftrightarrow [ D(h_1)\subset D(h_2) \hbox{ et } h_2 \hbox{
prolonge } h_1].$$ On vérifie que $P\neq \emptyset$ car $g\in P$, que $P$ est inductif car si $Q\subset P$ est un
sous-ensemble totalement ordonné, alors $D(h_1)= \bigcup_{h\in Q} D(h)$ et $h_1(x) = h(x) $ si $x\in D(h)$ est un
majorant pour $Q$.  Donc, d'après le lemme de Zorn, il existe un élément maximal que l'on appelle $f$.  On va vérifier
que $D(f)=E$.  Sinon, il existerait $x_0\notin D(f)$.  Posons $D(h) = D(f) + \RR x_0$ et $\forall x\in D(f)$, $\forall
t\in \RR$, $h(x+tx_0) = f(x) + t\alpha$, $\alpha \in \RR$. Alors $h$ est un prolongement de $f$ et si on arrive à
trouver $\alpha$ tel que $h(x)\leq p(x), \forall x \in D(h)$, on aura $f\leq h$ en contradiction avec la maximalité de
$f$. Il faut choisir $\alpha \in \RR$ en sorte que
$$\forall x\in D(f),\forall t\in \RR,\; h(x+tx_0) = f(x) + t\alpha \leq
p(x+tx_0).
$$
Cela revient à chercher $\alpha$ tel que
$$\forall x \in D(f),\;\forall t>0, \; \; f(x) + t\alpha \leq p(x+tx_0), \;\;
f(x)-t\alpha \leq p(x-tx_0).$$ On cherche donc s'il existe $\alpha$ tel que
$$\forall x\in D(f),\forall t>0, \;\; \frac{f(x) -p(x-tx_0)}t \leq \alpha \leq
\frac{p(x+tx_0) -f(x)}t, \hbox{ ou encore :}$$
$$[\sup_{x\in D(f), t>0}\frac{f(x)-p(x-tx_0)}t, \inf_{x\in
D(f), t'>0}\frac{p(x+t'x_0)-f(x)}t]\neq \emptyset, \hbox{ce qui veut dire}$$
$$\forall x, y \in D(f), \forall t,t'>0, \; t'f(y)-t'p(y-tx_0)\leq
tp(x+t'x_0)-tf(x),\hbox { ou encore }$$
$$\forall x, y \in D(f),  \forall t,t'>0, \; tf(x)+t'f(y)\leq
tp(x+t'x_0)+t'p(y-tx_0).  \hbox{ Or,}$$
$$tf(x)+t'f(y) = f(tx+t'y) \leq p(tx+t'y) \leq p(tx+tt'x_0) +
p(t'y-tt'x_0) = tp(x+t'x_0) +t'p(y-tx_0).$$

\enddemo

\paragraph{Démonstration du théorème \ref{hahn-banach}.}
On considère $p(x) = ||g||_{G'}||x||$.  On vérifie que $p$ satisfait les hypothèses du théorème
\ref{hahn-banachanalytique}.
%%%%%%%ou \ref{hahn-banachanalytiquecomplexe}.%
Donc en appliquant le théorème \ref{hahn-banachanalytique},
%%%%%ou \ref{hahn-banachanalytiquecomplexe},%%%%
on construit  $f$ prolongeant $g$ avec $\forall x, \; \vert f(x) \vert \leq ||g||_{G'}||x||$.  Donc, $||f||_{E'}\leq
||g||_{G'}.$
\enddemo
\begin{cor} \label{applicationdedualite}\index{A}{dualité (application de)}
(application de "dualité").  Si E est un espace vectoriel normé, il existe pour tout $x_0\in E$ une forme linéaire
$f\in E'$ telle que $||f|| = 1$ et $f(x_0) = ||x_0||$.
\end{cor}
\paragraph{Démonstration} Si $x_0 = 0$, $f\equiv 0$ convient. Si $x_0 \not= 0$, prendre  $p(x)=||x||$,
$G = \RR x_0$, $g(tx_0) = t||x_0||$ de sorte que $||g||_{G'}=1$.
\enddemo

\dexo Montrer le corollaire précédent directement quand $E$ est de dimension finie et euclidien.  Le montrer aussi
directement quand  $E=\RR^N$ est  muni de la norme $$||x||_p = (|x_1|^p+...+|x_N|^p)^\frac 1 p.$$ \fexo

\begin{Def} {\bf (plongement de $E$ dans $E''$)} \label{plongementEE''} \index{A}{plongement!de $E$ dans
$E''$.}  Soient $x\in E$ et $J_x:\;E'\to \RR$ définie par $J_x(f)=f(x)$. Cette forme linéaire est continue sur $E'$ car
$|J_x(f)|=|f(x)|\leq ||f||\;||x||$ et on déduit de cette dernière inégalité que $||J_x||_{E''}\leq ||x||_E$.
\end{Def}
L'inégalité précédente est en fait une égalité.

 \begin{cor} \label{normepardualite}\index{A}{dualité (norme par) } Soit $E$ un
espace vectoriel normé.  Alors
$$||x||= \sup_{f\in E',\; ||f||\leq 1} |f(x)| = \max_{f\in E', \; ||f||\leq
1}|f(x)|.$$ En conséquence, on a $||J_x||_{E''}=||x||_E.$
\end{cor}
\paragraph{Démonstration}
En effet, l'inégalité ($||x||\geq \vert f(x) \vert$ si $||f||\leq 1$) est immédiate et l'égalité est obtenue gr\aa ce à
l'application de dualité  (corollaire \ref{applicationdedualite}).
\enddemo
{\bf Théorèmes de Hahn-Banach (version géométrique) dans le cadre r\e el}
\begin{Def}\index{A}{hyperplan affine}
Soit $E$ un espace vectoriel r\e el, un hyperplan affine est un ensemble de la forme
$$H=\{x\in E, \; f(x) = \alpha\},$$
o\u $f$ est une forme linéaire  sur $E$, non identiquement nulle, et $\alpha\in \RR$.
\end{Def}

\begin{pro} \index{A}{hyperplan}
Soit $E$ un espace vectoriel r\e el, l'hyperplan d'équation $f=\alpha$ est fermé si et seulement $f$ est continue.
\end{pro}

\paragraph{Démonstration}
Si $f$ est continue, alors $H=f^{-1}(\alpha)$ est un fermé. Réciproquement, supposons $H$ fermé.  Soit $x_0\in H^c$.
Supposons pour fixer les idées que $f(x_0)<\alpha$. Alors, puisque $H^c$ est ouvert, il existe $r>0$, tel que $B(x_0,r)
= \{x\in E, ||x-x_0||<r\} \subset H^c$, et on va en déduire que
$$\forall x\in B(x_0, r), \; f(x)<\alpha.$$
En effet, si on avait un point $x_1$ de la boule o\u  $f(x_1)\geq \alpha$, on trouverait par interpolation, $f$ étant
linéaire, un point $x$ du segment $[x_0, x_1]$ o\u $f(x)=\alpha$, en contradiction avec $B(x_0,r)\subset H^c$.
Finalement, $\forall x\in B(x_0,r), \;f(x)<\alpha$ et donc
$$\forall z\in B(0,1), \; f(x_0) + rf(z)<\alpha, \hbox{ soit }$$
$$\forall z\in B(0,1), \;  f(z) \leq \frac {\alpha - f(x_0)}{r}.$$
Cela entra\ii ne  $||f||\leq \frac {\alpha-f(x_0)}{r}$, et donc que $f$ est continue.
\enddemo

\begin{Def}\index{A}{hyperplan!séparation par un}
Soit $E$ un espace vectoriel r\e el normé et  $A, B \subset E$. On dit que l'hyperplan $H$ d'équation $f(x)=\alpha$
sépare $A$ et $B$ au sens large si
$$f(x)\leq \alpha, \; \forall x \in A\; \; \hbox{ et } \;
f(x)\geq \alpha, \forall x \in B.$$ On dit que $H$ sépare $A$ et $B$ au sens strict si
$$\exists \varepsilon >0, \;\;f(x)\leq \alpha -\varepsilon, \; \forall x \in A\; \;
\hbox{ et } \;  f(x)\geq \alpha + \varepsilon, \forall x \in B.$$
\end{Def}
%\index{A}{Théorème de Hahn-Banach géométrique}

\begin{thf}\label{hahn-banachgeometrique}\index{A}{Hahn-Banach!version g\e
ométrique r\e elle} {\bf de Hahn-Banach (version géométrique)} Soit $E$ un espace vectoriel r\e el normé et $A,
B\subset E$ deux ensembles convexes non vides et disjoints.   On suppose que $A$ est ouvert. Alors il existe un
hyperplan ferm\ea qui sépare $A$ et $B$ au sens large.
\end{thf}
\drem Le théorème peut être faux si aucun des deux convexes n'est ouvert. Prendre par exemple $E=C^0(0,1)$, pour $A$ :
le sous-espace vectoriel des polynômes trigonométriques   et pour $B$ une quelconque fonction continue qui ne soit pas
un polynôme trigonométrique.  Or, on ne peut pas séparer cette fonction et $A$ au sens large comme le montre
l'utilisation du théorème de Stone-Weierstrass).  En effet on aurait alors $f(x)\leq \alpha$ pour tout polynôme et donc
par densité des polynômes trigonométriques dans $E$ et continuité de $f$, $f(x)\leq\alpha$ pour tout $x\in  E$. En
multipliant $x$ par un réel quelconque $\lambda$ positif ou négatif, on déduit aisément que $f(x)=0$ et que donc tout
$E$ est contenu dans un hyperplan fermé de $E$, ce qui donne une contradiction. \frem
\begin{lem} \label{jauge}\index{A}{jauge d'un convexe}
Soit $C\subset E$ un convexe ouvert, avec $0\in C$.  Pour tout $x\in E$, on pose $p(x) = \inf\{\alpha >0, \; \frac x
{\alpha} \in C\}$.  On dit que $p$ est la jauge de $C$. Alors $p$ vérifie $\forall \lambda >0,\;p(\lambda x) = \lambda
p(x),$ l'inégalité triangulaire $p(x+y)\leq p(x)+p(y)$ et
\newline (i) $\exists M, 0\leq p(x) \leq M ||x||, \forall x \in E$.
\newline (ii)
$C = \{x\in E, \; p(x) <1\}.$
\end{lem}
\paragraph{Démonstration}
  On a immédiatement
$p(\lambda x) = |\lambda| p(x).$  Montrons l'inégalité triangulaire $p(x+y)\leq p(x)+p(y)$ pour $x$ et $y$ dans $E$.
Elle découle de la convexité de $C$.  On a évidemment $\tilde x =\frac {x}{p(x)+\varepsilon}\in C$ et $\tilde y=\frac
{y}{p(y)+\varepsilon }\in C$. Puisque $C$ est convexe, on a donc $\frac{p(x)+\varepsilon}{p(x)+p(y)+2\varepsilon}\tilde
x + \frac{p(y)+\varepsilon}{p(x)+p(y) + 2\varepsilon} \tilde y \in C$, \ccaadd
$$z=\frac {x+y}{p(x)+p(y) + 2\varepsilon} \in C.$$
Mais $z\in C \Rightarrow p(z)\leq 1$.   Donc
$$p(x+y) \leq p(x) + p(y) + 2\varepsilon,$$
ce qui prouve l'inégalité triangulaire.
\newline
Montrons maintenant (i).  Comme $C$ est ouvert et $0\in C$, il existe $r>0$ tel que  $B(0,r)\subset C$.  Donc $\forall
x\neq 0$, $r \frac {x}{||x||} \in C$ et donc $p(x) \leq \frac {||x||}r.$ Terminons en montrant (ii), $C= \{x\in E,\;
p(x)<1\}$.  Si $x\in C$, comme $C$ est ouvert, $\exists \varepsilon, \; (1+\varepsilon) x \in C$. Donc $p(x) \leq \frac
1 {1+\varepsilon}<1$.   R\e ciproquement, si $p(x)<1$, $\exists \alpha, \; 0\leq p(x) <\alpha <1$, et donc $\frac x
\alpha \in C$. Comme $C$ est convexe et que $x$ appartient au segment $[0, \alpha x]$ il est aussi dans $C$.

\enddemo
\dexer Montrer la réciproque du théorème précédent : si $p:E\to \RR^+$ est une application vérifiant $p(\lambda x) =
\lambda p(x)$, $\lambda>0$, $p(x+y)\leq p(x)+p(y)$, la relation (i), $\exists M, 0\leq p(x) \leq M ||x||$, alors $C =
\{x\in E, \; p(x) <1\}$ est un convexe ouvert contenant 0 dont $p$ est la jauge. \fexer
\begin{lem}\label{separationpointconvexe}\index{A}{s\'eparation (d'un point et
d'un convexe)} Soit $E$ un espace vectoriel normé, $C\subset E$ un convexe ouvert non vide et $x_0\in E$, $x_0\notin
C$. Alors $\exists f\in E'$, $f(x)<f(x_0), \forall x \in C$.  En particulier, l'hyperplan $\{x, f(x) = f(x_0)\}$ sépare
$x_0 $ et $C$ au sens large.

\end{lem}
\drem Soit $C$ un convexe. Alors en tout point de la frontière de $C$, il y a donc au moins un hyperplan tangent. \frem
\paragraph{Démonstration}
On peut toujours se ramener au cas o\u $0\in C$ et introduire la jauge $p$ de $C$. On considère $G=\RR x_0$, et $g : \;
\RR x_0 \to \RR$ définie par $tx_0 \to t$, de sorte que $g(x_0)=1$.  Comme $x_0\notin C$, on a  $g(x)\leq p(x), \forall
x \in G$. En effet, $x_0 \notin C\Leftrightarrow p(x_0)\geq 1$ et si $t\geq 0$, $g(tx_0)-p(tx_0) = t(1-p(x_0))\leq 0$.
Si $t<0$, $g(tx_0)<0\leq p(tx_0).$  On applique le théorème de Hahn-Banach à $g$.  Il existe $f$ linéaire sur $E$ qui
prolonge $g$, telle que $f(x)\leq p(x), \forall x\in E$. En particulier, $f(x_0) = 1$ et $f$ est continue car $f(x)\leq
p(x)\leq M||x||$, $C$ étant ouvert (Lemme \ref{jauge}(i)). Finalement, $f(x)\leq p(x)<1$ pour tout $x$ dans $C$ en
vertu du Lemme \ref{jauge}-(ii).
\enddemo


\paragraph{Démonstration du théorème \ref{hahn-banachgeometrique}}
On pose $C = A-B$ qui est un convexe ouvert car $A-B=\bigcup_{y\in B}(A-y)$ est une union d'ouverts. Comme $0\notin C$,
car $A\cap B = \emptyset$, on utilise le lemme \ref{separationpointconvexe} pour séparer $C$ et $0$. Donc
$$\exists f\in E', \; f(z)< 0, \forall z\in C, \hbox{ soit }$$
$$f(x)<f(y), \forall x\in A, y\in B.$$
On choisit $\alpha \in [\sup_{x\in A}f(x), \inf_{y\in B}f(y)]\neq \emptyset$ et $H=\{x, f(x)=\alpha\}$ sépare $A$ et
$B$.
\enddemo


\begin{thf} {\bf de Hahn-Banach, version
fermé-compact.}\index{A}{Hahn-Banach!version r\e elle fermé-compact} \label{hahn-banachfermecompact} Soit $E$ un espace
vectoriel r\e el normé et $A\subset E$, $B\subset E$, deux sous-ensembles convexes non vides, disjoints. On suppose que
$A$ est fermé et que $B$ est compact.  Alors il existe un hyperplan $H$ fermé qui sépare  $A$ et $B$ au sens strict.
\end{thf}
\paragraph{Démonstration}  Posons $A_\varepsilon = A + B(0, \varepsilon)$,
$B_\varepsilon= B + B(0, \varepsilon)$.
 On commence par montrer que $\exists \varepsilon, A_\varepsilon\cap B_\varepsilon
= \emptyset$.   En effet, dans le cas contraire, on peut trouver pour tout $\varepsilon$ un élément $z_\varepsilon$ tel
que $\exists x_\varepsilon \in A, ||z_\varepsilon-x_\varepsilon||\leq \varepsilon$ et $\exists y_\varepsilon \in B$,
$||z_\varepsilon -y_\varepsilon ||\leq \varepsilon.$ Comme $B$ est compact, une sous-suite $y_{\varepsilon'}$ de
$y_\varepsilon $ tend vers $y\in B$.  La sous-suite correspondante $x_{\varepsilon'}$ tend aussi vers $y$, et comme $A$
est supposé fermé, on a $y\in A\cap B$, en contradiction avec l'hypothèse que $A$ et $B$ sont disjoints. On applique le
théorème \ref{hahn-banachgeometrique} à $A_\varepsilon$ et $B_\varepsilon$. Il existe donc un hyperplan $\{x,
f(x)=\alpha\}$ qui sépare $A_\varepsilon$ et $B_\varepsilon$ :
$$\forall x\in A, \forall y \in B, \forall z, z'\in B(0,\varepsilon), \;
f(x+\varepsilon z) \leq \alpha\leq f(y+\varepsilon z').$$ D'o\u ,
$$f(x)+\varepsilon ||f|| \leq \alpha \leq f(y) -\varepsilon ||f||$$ et
$A$ et $B$ sont bien séparés au sens strict.
\enddemo
\dexer En dimension finie, montrer par un argument constructif le théorème de Hahn-Banach, version fermé-compact : on
montrera qu'il existe $x\in A$ et $y\in B$ tels que $||x-y||= d(A,B)$ et considérera l'hyperplan orthogonal \a $[x,y]$
passant par $\frac{x+y}2$. \fexer
\begin{Def}
On dit qu'un sous-ensemble $F$ d'un ensemble $E$ est propre si $F\neq E$.
\end{Def}
\begin{cor} \label{intersectiondedemiespaces} \index{A}{convexe}
Tout convexe fermé propre d'un espace vectoriel normé $E$  est une intersection de demi-espaces fermés, c'est-à-dire
d'ensembles de la forme $\{x\mid f(x)\leq \alpha$, où $f\in E'$ et $\alpha\in \RR$.
\end{cor}
\paragraph{Démonstration}
Appliquer la version fermé-compact au convexe et aux points hors du convexe.
\enddemo
\begin{cor}\label{intersectiondespacesfermes} \index{A}{hyperplan}
Tout sous-espace vectoriel fermé propre $F\subset E$ est une intersection d'hyperplans vectoriels.
\end{cor}
\paragraph{Démonstration}
Appliquer le corollaire \ref{intersectiondedemiespaces} et prouver  que si un espace vectoriel est inclus dans un
demi-espace $\{f(x)\leq \alpha\}$, il est aussi inclus dans $\{f(x)=0\}.$
\enddemo
\begin{lem}\label{densite-orthogonalite}\index{A}{densité!et
orthogonalit\ea} Soit $E$ un espace vectoriel normé, $E'$ son dual et $L$ un sous-espace vectoriel de $E$.  Alors $L$
est dense si et seulement si son orthogonal est réduit à zéro. En d'autres termes, $L$ est dense si et seulement si
\fb& \label{orthogonalite} \forall f\in E', \; ((\forall x\in L, \;f(x)=0) \Rightarrow f=0). \fe&
\end{lem}
\paragraph{Démonstration}
En effet, si $L$ est dense et si $\forall x\in L$, $f(x)=0$, on déduit par continuité de $f$ que $\forall x \in E,
f(x)=0$ et donc $f=0$. R\e ciproquement, supposons que la relation (\ref{orthogonalite}) soit satisfaite. Supposons par
contradiction que $L$ ne soit pas dense. Sa fermeture est alors un sous-espace vectoriel strict de $E$. Par le
corollaire \ref{intersectiondespacesfermes}, il existe $f\in E'$ tel que $\forall x\in L, \;f(x)=0$ avec $f\neq 0$.
Ceci contredit (\ref{orthogonalite}).
\enddemo
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  EXO A ortho ortho %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\dexer Soit $E$ un e.v.n. et $E'$ son dual. On note $<f,\;x>=f(x)$
%et pour $A\subset E$ et $B\subset E'$, $A^\perp=\{f\in E',\;
%<f,\;x>=0,\; \forall x\in A\,\}$, $B^\perp =\{x\in E,\;
%<f,\;x>=0,\;\forall f\in B.\}.$  Montrer que
%$A^{\perp\perp}=\overline{A}$, $B^{\perp\perp}=\overline(B).$
%\fexer

\begin{figure}
\begin{center}
\psfrag{droite}{$y=0$} \psfrag{parabole}{$y> x^2$} \psfrag{demiplan}{$y<0$}
\includegraphics[width=4.5cm]{Figures/hahn.eps}
\caption[Illustration du théorème de Hahn-Banach, version géométrique]{Illustration du théorème
\ref{hahn-banachgeometrique} (de Hahn-Banach, version géométrique). L'ensemble $A$ est le demi plan $y<0$, l'ensemble
$B$ est $\{(x,y) \ y>x^2 \}$, et l'hyperplan fermé est $y=0$. Nous sommes ici dans un cas o\`u il y a séparation au
sens large.}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}
\begin{center}
\psfrag{A}{$A$} \psfrag{B}{$B$} \psfrag{droite}{$H$}
\includegraphics[width=4.5cm]{Figures/hahn2.eps}
\caption[Illustration du théorème de Hahn-Banach, version fermé-compact]{Illustration du théorème
\ref{hahn-banachfermecompact} (de Hahn-Banach, version fermé-compact). L'ensemble $A$ est fermé, l'ensemble $B$ est
compact, et il existe un hyperplan $H$ qui les sépare au sens strict.}
\end{center}
\end{figure}
\newpage

\section{Le Théorème de Banach-Steinhaus}
\begin{lem} {\bf de Baire.}\label{lemmedeBaire} \index{A}{Baire (lemme de)} Soit $X$
un \underline{espace métrique complet}.  Soit $X_n$ une suite de fermés.  On suppose que  $\interieur (X_n) =
\emptyset$.  Alors
$$\interieur (\bigcup_{n=1}^\infty X_n ) = \emptyset.$$
En d'autres termes, "une union {\rm dénombrable }de fermés d'intérieurs vides reste d'intérieur vide".  De manière
équivalente, "une intersection dénombrable d'ouverts denses reste dense".
\end{lem}

\drem L'énoncé précédent ressemble au suivant : ``une union dénombrable d'ensembles de mesure nulle est de mesure
nulle". Les fermés d'intérieur vide sont considérés comme petits et leurs unions dénombrables aussi. Cette comparaison
doit toutefois être comprise comme une simple analogie, puisqu'il y a dans $\RR$ des fermés d'intérieur vide, mais de
mesure positive : par exemple les ensembles de Cantor (voir l'exercice \ref{Cantordemesurepositive}).\frem

\paragraph{ Démonstration}
Nous allons montrer la deuxième forme.  Soit $O_n, n\geq 1$ une suite d'ouverts denses et $G=\bigcap_n O_n$.  Montrons
que $G$ rencontre une boule fermée  de centre $x_0$ quelconque et rayon arbitraire $r_0>0$,
$$B_0=B(x_0,r_0) = \{x, d(x,x_0)\leq r_0\}.$$ Comme $O_1$ est dense, on
peut choisir $x_1\in B_0$ et $r_1$ tels que
$$B_1=B(x_1, r_1)\subset  B(x_0,r_0)\cap O_1\hbox{ et }r_1\leq \frac {r_0}2.$$
On construit de m\eee me par récurrence une suite $B_n=B(x_n, r_n)$ de boules fermées telles que
$$B(x_n,r_n)
\subset B(x_{n-1}, r_{n-1})\cap O_n \hbox { et }r_n \leq \frac {r_{n-1}} 2.$$ La suite $x_n$ est de Cauchy car $d(x_n,
x_{n+1})\leq \frac{r_0}{2^n}$.  Elle est contenue dans $B(x_k,r_k)$ pour tout $k\geq n$. Comme $B(x_k,r_k)$ est fermée,
sa limite $x$ vérifie $x\in B(x_k,r_k)\subset O_k$ pour $k\geq 0$. Donc $x\in \cap_k B(x_k,r_k)\subset B(x_0,r_0)\cap
G$.
\enddemo
%\begin{figure}
%\begin{center}
%\includegraphics[width=9cm]{Figures/BanachSteinhaus.eps}
%\caption[Illustration du Lemme de Baire]  {Illustration du Lemme de Baire.}  Les
%boules $B_0$, $B_1$, etc. sont emboîtées, leur rayon tend vers zéro, elles
%rencontrent toutes $O$, et leurs centres $x_0$, $x_1,$, etc. forment donc une suite
%de Cauchy convergeant dans $O$.
%\end{center}
%\end{figure}


Bien que  le théorème précédent soit valable dans tout espace métrique complet et que la structure d'espace vectoriel
n'intervienne pas, nous allons surtout l'appliquer aux espaces vectoriels normés et complets, c'est-à-dire aux espaces
de Banach.

\begin{thf}{\bf de
Banach-Steinhaus.}\label{banach-steinhaus}\index{A}{Banach-Steinhaus (Théorème de)} Soient $E, F$ deux espaces de
Banach.  Soit $(T_i)_{i\in I}\subset {\cal L}(E,F)$ une famille (non nécessairement dénombrable) d'opérateurs lin\e
aires et continus de $E$ dans $F$.  On suppose que
$$\forall x\in E, \; \sup_{i\in I} ||T_ix||<\infty .$$
Alors,
$$\sup_{i\in I}||T_i||_{{\cal L}(E,F)} <\infty, $$
 \ccaadd qu'il existe  $c>0$ tel que
$$\forall i \in I, \; \forall x\in
E, \; ||T_ix||\leq c ||x||.$$

\end{thf}
\paragraph{Démonstration}
Pour tout $n \geq 1$, on pose $X_n = \{ x\in E, \; \forall i, \; ||T_ix||\leq n\}$. Chaque $X_n$ est une intersection
de fermés et est donc fermé. Par hypothèse, $\bigcup_{n} X_n = E$ et donc $\interieur(\bigcup_n X_n)\neq \emptyset$.
Par le lemme de Baire \ref{lemmedeBaire}, l'un des $X_n$, $X_{n_0}$, doit \eee tre d'intérieur non vide. Soient donc
$x_0\in X_{n_0}$ et $r>0$ tels que $B(x_0, r)\subset X_{n_0}$. Alors
$$\forall i\in I, \; \forall z\in B(0,1), \; ||T_i(x_0 +rz)||\leq n_0,$$
et donc par l'inégalité triangulaire,
$$\forall z\in B(0,1), \; r||T_i(z)||\leq n_0 + ||T_i(x_0)||\leq 2n_0, \hbox{ soit
}$$
$$||T_i||_{{\cal L}(E,F)} \leq \frac {2n_0}r.$$
\enddemo
\drem Pour que le théorème de Banach-Steinhaus marche, il suffit que l'espace de départ $E$ soit complet. L'espace
d'arrivée $F$ peut être simplement vectoriel normé. \frem


\section{Conséquences du Théorème de Banach-Steinhaus.}
\begin{cor} \label{normedoperateurdecroit} \index{A}{convergence!simple d'opérateurs lin\e
aires} Soient $E$ et $F$ deux espaces de Banach.  Soit $(T_n)$ une suite d'opérateurs linéaires et continus de $E$ dans
$F$, tels que pour tout $x\in E,$ $ T_nx$ converge quand $n\to \infty$ vers une limite notée $Tx$.  Alors on a
$$\sup_n ||T_n||_{{\cal L}(E,F)} <+\infty,$$
$$ T\in {\cal L}(E, F) \;\hbox{ et }\; ||T||_{{\cal L}(E,F)}\leq
\lim\inf_{n\to +\infty}||T_n||_{{\cal L}(E,F)}.$$
\end{cor}
\paragraph{Démonstration}
La première relation est une conséquence directe du théorème \ref{banach-steinhaus} (de Banach-Steinhaus).  Comme
$||T_nx||\leq ||T_n||||x||$, on obtient par passage à la limite inférieure, $$||Tx||\leq (\lim\inf_{\to
\infty}||T_n||)||x||.$$
\enddemo
\drem  On remarquera (voir exercice \ref{dualcomplet} page ~\pageref{dualcomplet}) que tout espace dual d'un espace
vectoriel normé est un espace de Banach. \frem

\begin{cor} Soit $H$ un espace de Hilbert et $x_n$ une suite convergeant faiblement vers un élément $x$.  Alors
$x_n$ est une suite bornée dans $H$ et de plus
$$||x||\leq \lim\inf_n ||x_n||.$$
Si de plus $||x_n||\to ||x||$, alors $x_n\to x$ fortement.

\end{cor}
\paragraph{Démonstration}  Par le théorème de Riesz nous avons $||x_n||_H=||x_n||_{\mathcal L(H,\RR)}$ et on peut  donc
appliquer le corollaire \ref{normedoperateurdecroit}. Supposons  maitenant que $||x_n||\to  ||x||.$
 On a $||x_n-x||^2=||x_n||^2 + ||x||^2-2(x_n,x).$ Comme $x_n$ tend vers $x$
faiblement, $(x_n,x)\to ||x||^2$ et on déduit que  $||x_n-x||^2\to 0$.
\enddemo

 \dexer Considérer deux exemples de limites faibles qui ne sont pas fortes dans $L^2(\RR)$ et vérifier que l'inégalité
 précédente est stricte, comme annoncé par le corollaire précédent.
 \fexer
\begin{cor}\index{A}{borné d'un espace de Banach (caractérisation duale)}
\label{Bornebanachsteinhaus} Soit $G$ un espace vectoriel normé, $B$ un sous-ensemble de $G$.  On suppose que pour tout
$f\in G'$, $f(B)=\{f(x), \; x\in B\}$ est borné.  Alors $B$ est borné.
\end{cor}
\paragraph{Démonstration}
On applique le théorème de Banach-Steinhaus (Thm \ref{banach-steinhaus}) avec $E=G'$, $F=\RR$, $I=B$.  Pour $b\in B$ et
$f\in E=G'$, on pose $J_b(f) = f(b).$  On a donc par hypothèse
$$\forall f \in E,\; \sup_{b\in B} |J_b(f)|<+\infty .$$
On en déduit qu'il  existe $c>0$ tel que
$$\forall b\in B,\; \forall f\in E, \; ||J_b(f)||\leq c||f||_{G'}, \hbox{ soit }$$
$$\forall f\in G', |f(b)|\leq c||f||_{G'}.$$
Comme par le corollaire \ref{normepardualite}, on a $||b||= ||J_b||, $ on conclut que $||b||\leq c$. $B$ est donc
borné.
\enddemo
Ce théorème nous dit qu'un ensemble est borné si et seulement si ses projections sur des axes de coordonnées
arbitraires sont bornées.

\section{Du cas r\e el au cas complexe}
Il sera n\e cessaire d'utiliser dans cette partie, le fait que tout espace vectoriel sur $\CC$ est un espace vectoriel
sur $\RR$. Si $E$ est un espace vectoriel sur $\CC$, nous noterons temporairement $\Ep_{C}$ l'ensemble des formes
linéaires complexes et continues sur $E$, et $\Ep_{R}$ l'ensemble des formes lin\e aires r\e elles et continues sur
$E$. Donc si $f \in \Ep_{R}$, $f(\alpha x) = \alpha f(x)$, pour tout $ \alpha \in \RR$ et pour tout $x \in E$, alors
que si
$f \in \Ep_{C}$, $f(\alpha x) = \alpha f(x)$, pour tout $\alpha \in \CC$ et tout $x \in E$. \\
%N\e anmoins,
%nous conviendrons que tout \e nonc\ea concernant des espaces vectoriels dont le corps des scalaires n'
%est pas pr\e cis\e, est vrai dans les deux cas, r\e el ou complexe.
\dexo "Comment passer de $\Ep_{R}$ \a $\Ep_{C}$ et r\e ciproquement ?"
\label{dualitecomplexereelle}\\
Soit $E$ un espace vectoriel complexe norm\e .\\
1) Montrer que si $f \in \Ep_{C}$ alors $u = Re(f)$ est dans $\Ep_{R}$ et
\fb& \label{fref} f(x) = u(x) -i u(ix) \fe& pour tout $x \in E$.\\
2) Montrer que si $u : E \rightarrow \RR$ est dans $\Ep_{R}$ et si $f(x) = u(x) -i u(ix)$ alors $f$ est $\CC-$lin\e
aire, $Re(f) = u$ et $f \in \Ep_{C}$ avec $\Vert f \Vert = \Vert u \Vert.$
En particulier, on notera que si $u=Re(f)$ est identiquement nulle, $f$ est identiquement nulle.\\
\fexo
\begin{thf} \label{hahn-banachanalytiquecomplexe}\index{A}{Hahn-Banach!version
analytique complexe}{\bf de Hahn-Banach (version analytique et complexe)}\\
Soient $E$ un espace vectoriel sur $\CC$ norm\ea et $p : E\to \RR^+$ une semi-norme \ccaadd une application vérifiant
$\forall \lambda \in \CC$, $\forall x \in E$, $p(\lambda x) = \vert \lambda \vert p(x)$ et $\forall x, y \in E,
p(x+y)\leq p(x)+p(y)$.  Soit $G\subset E$ un sous-espace vectoriel et soit $g : G\to \CC$ une application linéaire
complexe telle que $\vert g(x) \vert \leq p(x), \forall x\in G.$  Alors il existe une forme linéaire complexe $f$ sur
$E$ qui prolonge $g$, i.e. $g(x)=f(x), \forall x\in G$, $\vert f(x) \vert \leq p(x), \forall x\in E$.
\end{thf}
\paragraph{Démonstration}
Soit $u=Re(g)$ alors par le théorème \ref{hahn-banachanalytique} dans le cas r\e el, il existe $U$ forme
lin\e aire r\e elle sur $E$ telle que $U=u$ sur $G$ et $U \leq p$ sur $E$.\\
Soit $f$, forme lin\e aire complexe sur $E$ d\e finie par $f(x) = U(x)-iU(ix)$ alors il est clair que
 $f = g$ sur $G$. Enfin, pour tout $x \in E$, il existe $\theta \in \RR$ tel que $\vert f(x) \vert =
 e^{i \theta} f(x)$ donc
 $$\vert f(x) \vert = e^{i \theta} f(x) = f(e^{i\theta} x) = U(e^{i\theta} x) \leq
 p(e^{i\theta} x) = p(x).$$
\enddemo
\begin{thf}{\bf de Hahn-Banach.}\label{hahn-banach}\index{A}{Hahn-Banach!th\e
orème de}  Soit $E$ un espace vectoriel sur $\CC$ normé. Soit $G$ un sous-espace vectoriel de $E$ et $g$ une forme
linéaire continue de norme
$$||g||_{G'_{C}}=\sup_{x\in G, ||x||\leq 1} \vert g(x) \vert.$$  Alors il existe $f\in E'_{C}$, le
dual topologique de $E$, qui prolonge $g$ et telle que $||f||_{E'_{C}}=||g||_{G'_{C}}.$
\end{thf}
\paragraph{Démonstration}
Comme dans le cas r\e el, on pose $p(x) = \Vert g \Vert_{G^{\prime}} \Vert x \Vert$. On v\e rifie que $p$ est une
semi-norme. En appliquant le th\e  or\ee me \ref{hahn-banachanalytiquecomplexe}, on construit $f$ prolongeant $g$ avec
$\Vert f \Vert \leq \Vert g \Vert$.
\enddemo
Le corollaire \ref{applicationdedualite}, la d\e finition \ref{plongementEE''} et le corollaire \ref{normepardualite}
restent inchang\e s (il suffit de remplacer le corps des scalaires $\RR$ par $\CC$ dans les d\e monstrations).

%{\bf Théorèmes de Hahn-Banach (version géométrique dans le cadre complexe)}
\begin{thf} {\bf de Hahn-Banach, versions g\e om\e triques}
\index{A}{Hahn-Banach!version g\e om\e trique complexe} \label{hahn-banachgeometriquecomplexe} Soient $E$ un espace
vectoriel complexe normé et $A\subset E$, $B\subset E$, deux sous-ensembles convexes non vides, disjoints.

1) Si $A$ est ouvert, il existe $f \in \Ep_{C}$ non identiquement nulle et $\alpha \in \RR$ tels que
\\ $Re(f(x)) \leq \alpha \leq Re(f(y))$ pour tout $x$ dans $A$ et tout $y$ dans $B$.

2)On suppose que $A$ est fermé et que $B$ est compact.  Alors il existe $f \in \Ep_{C}$ non identiquement nulle,
$\alpha \in \RR$ et $\eps >0$  tels que $Re(f(x)) \leq \alpha-\eps$ et $Re(f(y)) \geq \alpha+\eps$, pour tout $x$ dans
$A$ et tout $y$ dans $B$.
\end{thf}
\paragraph{Démonstration}
Ce r\e sultat a \e t\ea d\e montr\ea dans le cas r\e el (voir les th\e or\ee mes \ref{hahn-banachgeometrique} et
\ref{hahn-banachfermecompact}, donc il existe $u \in \Ep_{R}$ qui v\e rifie les s\e parations voulues ($u = Re(u))$. on
d\e finit alors $f$ \a partir de $u$ comme dans l'exercice \ref{dualitecomplexereelle} ci-dessus, $f(x) = u(x)
-iu(ix)$, $\forall x \in E$. Le théorème est bien d\e montr\ea.
\enddemo
\begin{cor}
Tout convexe ferm\ea propre d'un espace vectoriel norm\ea complexe est une intersection de
 ferm\e s du type $\{ x \in E : Re(f(x)) < \alpha \}$ o\u $f \in \Ep_{C}$ est
 non identiquement nulle.
 \end{cor}
\paragraph{Démonstration}
La d\e monstration est la m\^eme que dans le cas r\e el, voir le corollaire \ref{intersectiondespacesfermes}.
\enddemo
\begin{lem}\label{densite-orthogonalite}\index{A}{densité!et
orthogonalit\ea} Soit $E$ un espace vectoriel complexe normé, $E'_{C}$ son dual et $L$ un sous-espace vectoriel de $E$.
Alors $L$ est dense dans $E$ si et seulement si \fb& \label{orthogonalitecomplexe} \forall f\in E'_{C}, \; ((\forall
x\in L, \;f(x)=0) \Rightarrow f=0). \fe&
\end{lem}
\paragraph{Démonstration}
En effet, si $L$ est dense et si $\forall x\in L$, $f(x)=0$, on déduit par continuité de $f$ que $\forall x \in E,
f(x)=0$ et donc $f=0$. R\e ciproquement, supposons que la relation (\ref{orthogonalitecomplexe}) soit satisfaite.
Supposons par contradiction que $L$ ne soit pas dense. Sa fermeture est alors un sous-espace vectoriel strict de $E$.
Par le th\e or\ee me \ref{hahn-banachgeometriquecomplexe},
 il existe $f\in E'_{C}$,non identiquement nulle, telle que $\forall x\in L,
\;Re(f(x))< \alpha$ o\u $\alpha \in \RR$. Comme $L$ est vectoriel, on en d\e duit que $Re(f(x))=0$, $\forall x \in E$
et donc $f(x) = 0$ (voir l'exercice \ref{dualitecomplexereelle}). Ceci est contradictoire.
\enddemo
Le paragraphe "Le Th\e or\ee me de Banach-Steinhaus" passe tel que au cas complexe
sans modifications.\\
Dans le paragraphe "Cons\e quences du Th\e or\ee me de Banach-Steinhaus", la seule modification \a apporter est de
remplacer $F=\RR$ par $F= \CC$ dans la d\e monstration
 du corollaire \ref{Bornebanachsteinhaus}.
\section{Exercices}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%HB-BAIRE%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
%{ \bf Exercice 8}
Tous les espaces vectoriels consid\e r\e s dans ce paragraphe sont {\bf r\e els}. \dexo \label{polaire}
\index{N}{$<f,x> = f(x)$ est le crochet de dualit{é} $\Ep,E$} \hfill \newline Soit $E$ un espace vectoriel norm{é} et
soit $K$ une partie convexe de $E$ avec $0 \in K$. On pose
$$ \,\,\; K^{\star} = \{ f \in \Ep;\,\, \forall x \in K,\,\,\; <f,x> \leq 1 \}
\mbox{
 et}$$
$$ K^{\star \star}\!= \{y \in E;\,\, \forall f \in K^{\star},\,\,<f,y> \leq 1 \}.$$
Montrer que $ \overline {K} = K^{\star \star}$. \fexo
%{ \bf Exercice 9}
\dexo \index{N}{$\Vert . \Vert_p$ est la norme usuelle des espaces $L^p$ ou bien $\ell^p$} \hfill \newline L'objet de
cet exercice est de montrer qu'en dimension $\infty$, on ne peut pas
s{é}parer deux convexes ferm{é}s.\\
On note $ {\ell}^1 = \{ x = {(x_n)}_{n \geq 1} \subset \RR \mbox { tel que } \displaystyle{\sum_{n=1}^{+ \infty}} \vert
x_n \vert < \infty \}$ qui muni de la norme $ {\Vert x \Vert}_1 =
\displaystyle{\sum_{n=1}^{+ \infty}} \vert x_n \vert$ est un espace de Banach.\\
On consid{è}re les ensembles
\[ \begin{array}{rcl}
A_0 &=& \{ x=(x_n)_n \in {\ell}^1 :\,\,\forall n \geq 1,\,\,x_{2n} = 0 \}\,\,\,\mbox{et
}\\
B &=& \{ x=(x_n)_n \in {\ell}^1 :\,\,\forall n \geq 1,\,\,x_{2n} = 2^{-n}\,x_{2n-1} \}.
\end{array} \]
1) V{é}rifier que $A_0$ et $B$ sont des sous-espaces ferm{é}s de ${\ell}^1$ et que
${\ell}^1 = \overline{A_0+B}$.\\
2) Soit $c=(c_n)_n \in {\ell}^1$ tel que $\forall n \geq 1$, $c_{2n-1} = 0$ et $c_{2n} = 2^{-n}$. V{é}rifier que $c
\not\in A_0+B$ et que si $A = A_0 - c =\{a-c,\,a \in A_0 \}$, on a $A \cap B = \emptyset$. Montrer que $A$ et $B$ ne
peuvent pas {\^e}tre s{é}par{é}s au sens large. \fexo \dexo Th{é}or{è}me de l'application ouverte
\label{applicationouverte} \index{A}{application ouverte (th\e or\ee me de l')}
%{ \bf Exercice 10} Th{é}or{è}me de l'application ouverte
\\
Soient E et F deux espaces de Banach et $T \in {\cal L}(E,F)$ surjective alors \\
1) Montrer qu'il existe $C>0$ tel que $B(0,2C) \subset \overline {T(B(0,1))}$. Pour cela, utiliser les ensembles
$F_n = n \overline{T(B(0,1))}$.\\
2) D{é}montrer qu'en fait $B(0,C) \subset T(B(0,1))$. Soit $y \in B(0,C)$, on construira une suite $(z_n)_n$ telle que
$\Vert z_n \Vert < \frac{1}{2^n}$ et $\Vert y - Tz_1 - ...- Tz_n \Vert < \frac{C}{2^n}$, $\forall n$ et on en déduira
que la série $x=\displaystyle{\sum_{n=1}^{+ \infty}} z_n$  converge et que $||x||<1$. \fexo \dexo Th{é}or{è}me
d'isomorphisme d'espaces de Banach \label{isombanach} \index{A}{isomorphisme d'espaces de Banach}
%{ \bf Exercice 11} Th{é}or{è}me d'isomorphisme d'espaces de Banach \label{isombanach}
\\
Soient E et F deux espaces de Banach et $T \in {\cal L}(E,F)$ bijective, montrer que $T^{-1}$ est continue. \fexo
%{ \bf Exercice 12}
\dexo \index{A}{norme!équivalente} \hfill \newline Soit E un espace vectoriel norm{é} muni de deux normes
${\Vert\,\Vert}_1$ et ${\Vert\,\Vert}_2$. Si E est complet pour les deux normes et si ${\Vert\,\Vert}_1 \leq \; C
\;{\Vert\,\Vert}_2$, montrer que les deux normes sont {é}quivalentes. \fexo \dexo Th{é}or{è}me du graphe ferm{é}
\label{grapheferme} \index{A}{graphe ferm\ea (th\e or\ee me du)}
\\
%{ \bf Exercice 13} Th{é}or{è}me du graphe ferm{é} \label{grapheferme}
%\\ \\
Soient E et F deux espaces de Banach et $T \in L(E,F)$ \index{N}{$L(E,F)$ est l'espace des applications lin{é}aires de
$E$ dans $F$}. On suppose que le graphe de T, G(T)$= \{(x,y) \in E \times F,
\quad y=Tx \}$, est ferm{é} dans $E \times F$, montrer que T est continue.\\
(On pourra consid{é}rer la norme du graphe $\Vert x \Vert = \Vert x \Vert_E + \Vert Tx \Vert_F$.) \fexo \dexo
%{ \bf Exercice 14}
%\\ \\
\hfill \newline Soient E et F deux espaces de Banach et $T \in L(E,F)$. On suppose que $\forall f \in F^{\prime}$, $f
\circ T \in E^{\prime}$. Montrer que T est continue. \fexo \dexo \index{N}{${\cal C}(\Om)$ est l'ensemble des fonctions
{à} valeurs r{é}elles, continues sur $\Om$}
%{ \bf Exercice 15}
%\\ \\
\hfill \newline Soient $E = {\cal C}[0,1]$ muni de la norme $\Vert f \Vert_{\infty}$ et $F$ un sous-espace vectoriel
ferm{é} de $E$.\\On suppose que $\forall f \in F$, $f$ est d{é}rivable.
L'objet de cet exercice est de montrer que dim$F < \infty$.\\

1) Soit $x_0 \in [0,1]$ fix{é}. Pour $y \not= x_0$, on d{é}finit l'op{é}rateur $\Lambda_y : f \mapsto
\frac{f(y)-f(x_0)}{y-x_0}$. Montrer que $\Lambda_y \in E^{\prime}$ et que $\exists M>0$ tel que $\forall f \in F$,
$\vert \Lambda_y(f) \vert \leq M \Vert f
\Vert$, $\forall y \not= x_0$.\\

2) Soit $B_F$ la boule unit{é} ferm{é}e de $F$, montrer que $B_F$ est {é}quicontinue puis que $B_F$ est compacte.
Conclure. \fexo \dexo 1) Soit $E$ un espace m{é}trique complet et soit $(F_n)_{n\geq 1}$ une suite de ferm{é}s de $E$
telle que $E = \displaystyle{\bigcup_{n\geq 1}} F_n$. Montrer que $\displaystyle{\bigcup_{n\geq 1}}
\stackrel{o}{F_n}$ est un ouvert dense de $E$.\\
2) Soit $(f_n)_n \in {\cal C}(\RR)$ telle que $f_n \rightarrow f$ simplement sur
$\RR$. On va montrer que $f$ est continue sur une partie dense de $\RR$.\\
Pour $\delta > 0$, on pose $F_{n,\delta} = \left\{ x \in \RR : \forall i,j \geq n,\,\vert f_i(x) -f_j(x) \vert \leq
\delta \right\}$. V{é}rifier que $U_{\delta} = \bigcup_n \stackrel{o}{F_{n,\delta}}$ est un ouvert dense et
montrer que $f$ est continue sur $U = \displaystyle{\bigcap_{k\geq 1}} U_{\frac{1}{k}}$.\\
3) Soit $f \in {\cal C}(\RR)$ d{é}rivable partout, montrer que $f^{\prime}$ est continue sur une partie dense de $\RR$.
\fexo \dexo
%{\bf Exercice 17}
\hfill \newline 1) Soient $E, F, G$ trois espaces de Banach. Soit $a : E\times F \rightarrow G$ une application
bilinéaire. On suppose que $a$ est séparement continue c'est-à-dire,
$$\forall x \in E, \quad y \in F \mapsto a(x,y) \mbox{  est continue et}$$
$$\forall y \in F, \quad x \in E \mapsto a(x,y) \mbox{  est continue.}$$
Montrer que $a$ est continue sur $E \times F$ (c'est-\`a-dire $\exists M >0$ tel que $\forall (x,y) \in E \times F$,
$\Vert a(x,y) \Vert_G \leq M\,\Vert x \Vert_E \Vert y
\Vert_F$).\\ \\
2) Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions polynomiales à une variable et à coefficients réels. On munit $E$ de la
norme
$$\Vert p \Vert_{1} = \int_0^1 \vert p(t) \vert dt.$$
Soit $a : E\times E \rightarrow \RR$ définie par $a(p,q) = \int_0^1 p(t)q(t) dt$. Montrer que $a$ est séparement
continue mais non continue sur $E\times E$. \fexo \dexo Existe-t'il une norme sur $E=\RR[x]$ qui en fasse un espace de
Banach ? \fexo \dexo Théorème de Polya familles integ num \fexo
