\vskip 1.5em
\newpage
CORRECTIONS RESTANT A FAIRE date 01/08:
\begin{enumerate}

\item harmoniser $C_0^\infty$ et $\mathcal C_c^\infty$ (choisir)

\item revoir la section ``Lien avec la théorie de Shannon'' (exercice?)

\item Figure  8.7: Montrer par une nouvelle expérience qu'on peut
 éliminer l'effet de Gibbs interne en appliquant un filtre anti-aliasage (qui tend vers zéro au
bord du spectre).

\item préciser l'organisation des calculs dans la FFT

\item Expliquer mieux les conséquences de la proposition \ref{coeffnulNsurdeux}: faut-il mettre à zéro ce coefficient?
Il faut juste vérifier qu'en le mettant à zéro on a bien un polynôme corrigé qui est réel. Mais il ne passe plus par
les échantillons!  Donc il s'agit bien plutôt d'une mesure de cohérence: ce coefficient devrait être nul. A discuter.

\item mettre une image du noyau de Dirichlet dans la preuve du  principe de localisation

\item harmoniser la notation pour la fonction de Haar

\item mettre le prinicipe  de localisation après le paragraphe Fourier et convolution

\item faire une figure pour illustrer l'aliasing 2D, la formule (\ref{aliasing2Dparsousechantillonnage})

\item harmoniser la notation pour Fourier : tantôt $x$, tantôt $t$, tantôt $k$  tantôt $n$

\item le symbole $\RR$ est moche quand il est en indice parce qu'il garde la même taille. Il faut  créer un symbole
petit$\RR$.

\item dans (\ref{convol4}) se référer à Jensen et montrer quelque part Jensen?
\item faire une figure pour le théorème de projection, avec $f$, $g_n$, $g_m$, $\frac{g_m+g_n}2$.

\item dans SeriesdeFourier, expliquer le principe de localisation en le faisant apparaitre la convolution avec le noyau
de Fejer, puis en remarquant que le Lemme de Rieman-Lebesgue généralise relativement à la démonstration classique de
convergence d'un noyau, car l'intégrale du module de $s_N$ tend vers l'infini.

\item le complexe et le réel : toute la théorie de Banach est
faite avec des espaces réels et on peut se demander pourquoi le chapitre sur Hilbert passe en complexe. C'est
simplement que les espaces $L^2(\real)$ ou $l^2(\NN)$  sont élégamment écrits dans ce formalisme (base de Fourier, etc.
).  En fait, on peut donner tous les théorèmes classiques avec des Banachs sur $\complex$,  mais cela n'a aucun contenu
supplémentaire, les démonstrations étant identiques et le formalisme un peu plus lourd.  Mais surtout, un espace
fonctionnel qui est de Banach sur $\complex$ est de manière naturelle le produit de deux Banachs sur $\real$ en prenant
la partie réelle et la partie imaginaire de chaque fonction. Aussi, on peut démontrer tout sur des tels espaces avec la
théorie sur $\real$. Dans ces conditions, la décision, également prise par d'autre auteurs  est de traiter tout en réel
et de donner un appendice et des exercices qui montrent que complexe = réel pour cette théorie.  En conséquence :
enlever toutes les sections  "du réel au complexe" et les remplacer par exercices et appendice "du réel au complexe :
ce n'est pas compliqué".


\item Dans le premier chapitre : on manque un peu d'exemples de
Banach non triviaux, sauf $C^0$.  Au moins : $l^p$ et montrer que c'est complet : exercice.  Le lemme de Zorn est
extraterrestre. Arranger la démonstration en deux parties dont l'une expliquant l'extension à dimension +1.

\item dans les exercices, rajouter les dollars manquants sur les
lettres isolées.

\item exercices : ponctuation à revoir, couper les phrases.

\item corrigés manquants

\item chapitre Banach : donner un exemple de forme linéaire pas
continue  par exemple  $f(x^n)=n$ et $f(v)=0$ si $v$ n'est pas un polynôme dans $C^0([0,1])$.

\item  Mettre comme premier exercice dans réflexivité l'analyse
exhaustive des $l^p$ pour qu'il y ait au moins un exemple

\item

\item problèmes du plan : Peut-être plus logique de faire
topologie et Banach-Steinhaus, Lebesgue, $L^p$ n°1, Hilbert avec convergence faible dans ce cas, séries de Fourier,
topologies faibles, Hahn-Banach, $L^p$ réflexivité, distributions, Sobolev ?????

\item il  manque l'exercice faisant la réciproque de Kakutani: dans chapitre espaces réflexifs on fait allusion à cet
exercice...
\item Enlever 10.2 (lien avec la théorie de Shannon)

\item  .Correction :
Il est montré dans le chapitre sur les  $L^p$ que  si $\int g=1 $ et $g\geq 0$, alors $f\ast g_\varepsilon\to f$ dans
$L^p$,  où $g_\varepsilon (s)=\frac 1\varepsilon g(\frac x\varepsilon)$. Cela marche encore si $g\in  L^1$ n'est  pas
positive : il suffit  de poser $g=g^+-g^-$, d'appliquer le résultat précédent  à $\tilde g^+=\frac g {\int g^+}$ et
$\tilde g^-=\frac g {\int g^-}$ et d'ajouter les limites.  Le rajouter comme une remarque, ou donner le résultat
général et ajouter cet argument à la fin de la démonstration.

\item  Chap 4
exemple de la bosse roulante, figure

\item  Chap 4 les deux exemples de convergence étoile : en
exercices, ou TP? \item Figure BanachSteinhaus.eps  X

\item  Insérer Biblio
\item  Figure bosse roulante
\item
Vérifier les illustrations de Yann : plus scolaire de forme
\item
PROBLEME DE NOTATION : $k, n, x,$ et $t$ dans les chapitres sur Fourier: séries de Fourier, transformées de Fourier des
distributions, etc.

\item  PRINCIPE TOUTES LES FONCTIONS MESUREES ONT UN SPECTRE
BORNE. TRAITER LA FORMATION DE L'IMAGE PAR CONVOLUTION PERIODIQUE (Riesz). APPLICATION A LA DECONVOLUTION ($c_k(f\ast
u)=2\pi c_k(f)c_k(u)$). METTRE UNE FIGURE ILLUSTRANT L'ECHANTILLONNAGE, SUFFISANT ET INSUFFISANT

\item  Attention : après "appendix"
précédé de slash, toute commande "chapter précédé de slash" crée un préfixe Annexe A, B, etc.
\item CORRECTION DES EXERCICES  DANS
LE COURS : principe de localisation et série double converge
\item
ATTENTION : \CC change d'apparence en italique et en normal !

\item Bibliographie : :utiliser le polyanalysebiblio pour écrire
une note bibliographique et ordonner les références


\item  Dans Hilbert : on commence par le thèorème de Riesz.
Ensuite on que ce thm donne le dual complexe de H et il donne tout de suite qu'on a la réflexivité (se référer à la  ou
aux section "du réel au  complexe".  Faire bien remarquer aussi que Banach Steinhaus marche pareil en complexe ou réel
sera fait dans le chapitre  3).

\item accent dans index, exemple
%%\index{A}{equiintegrabilite d'une suite de $L^1$@équiintégrabilité
%%d'une suite de $L^1$}

\item si la notation est une phrase trop longue, ca ne va pas..c'est pour
cela que j'avais mis des

\item EXERCICES A AJOUTER dans intégrale de Lebesgue  : Lemme de
Scheffé, Intégrabilité uniforme et thm de de la Vallée Poussin

\end{enumerate}

\newpage
CORRECTIONS RESTANT A FAIRE date 02/07 :
\begin{enumerate}


\item le complexe et le réel : toute la théorie de Banach est
faite avec des espaces réels et on peut se demander pourquoi le chapitre sur Hilbert passe en complexe. C'est
simplement que les espaces $L^2(\real)$ ou $l^2(\NN)$  sont élégamment écrits dans ce formalisme (base de Fourier, etc.
).  En fait, on peut donner tous les théorèmes classiques avec des Banachs sur $\complex$,  mais cela n'a aucun contenu
supplémentaire, les démonstrations étant identiques et le formalisme un peu plus lourd.  Mais surtout, un espace
fonctionnel qui est de Banach sur $\complex$ est de manière naturelle le produit de deux Banachs sur $\real$ en prenant
la partie réelle et la partie imaginaire de chaque fonction. Aussi, on peut démontrer tout sur des tels espaces avec la
théorie sur $\real$. Dans ces conditions, la décision, également prise par d'autre auteurs  est de traiter tout en réel
et de donner un appendice et des exercices qui montrent que complexe = réel pour cette théorie.  En conséquence :
enlever toutes les sections  "du réel au complexe" et les remplacer par exercices et appendice "du réel au complexe :
ce n'est pas compliqué".


\item Dans le premier chapitre : on manque un peu d'exemples de
Banach non triviaux, sauf $C^0$.  Au moins : $l^p$ et montrer que c'est complet : exercice.  Le lemme de Zorn est
extraterrestre. Arranger la démonstration en deux parties dont l'une expliquant l'extension à dimension +1.

\item dans les exercices, rajouter les dollars manquants sur les
lettres isolées.

\item exercices : ponctuation à revoir, couper les phrases.

\item corrigés manquants

\item chapitre Banach : donner un exemple de forme linéaire pas
continue  par exemple  $f(x^n)=n$ et $f(v)=0$ si $v$ n'est pas un polynôme dans $C^0([0,1])$.

\item  Mettre comme premier exercice dans réflexivité l'analyse
exhaustive des $l^p$ pour qu'il y ait au moins un exemple

\item

\item problèmes du plan : Peut-être plus logique de faire
topologie et Banach-Steinhaus, Lebesgue, $L^p$ n°1, Hilbert avec convergence faible dans ce cas, séries de Fourier,
topologies faibles, Hahn-Banach, $L^p$ réflexivité, distributions, Sobolev ?????

\item Enlever 10.2 (lien avec la théorie de Shannon)

\item  .Correction :
Il est montré dans le chapitre sur les  $L^p$ que  si $\int g=1 $ et $g\geq 0$, alors $f\ast g_\varepsilon\to f$ dans
$L^p$,  où $g_\varepsilon (s)=\frac 1\varepsilon g(\frac x\varepsilon)$. Cela marche encore si $g\in  L^1$ n'est  pas
positive : il suffit  de poser $g=g^+-g^-$, d'appliquer le résultat précédent  à $\tilde g^+=\frac g {\int g^+}$ et
$\tilde g^-=\frac g {\int g^-}$ et d'ajouter les limites.  Le rajouter comme une remarque, ou donner le résultat
général et ajouter cet argument à la fin de la démonstration.

\item  Chap 4
exemple de la bosse roulante, figure

\item  Chap 4 les deux exemples de convergence étoile : en
exercices, ou TP? \item Figure BanachSteinhaus.eps  X

\item  Insérer Biblio
\item  Figure bosse roulante
\item
Vérifier les illustrations de Yann : plus scolaire de forme
\item
PROBLEME DE NOTATION

\item  PRINCIPE TOUTES LES FONCTIONS MESUREES ONT UN SPECTRE
BORNE. TRAITER LA FORMATION DE L'IMAGE PAR CONVOLUTION PERIODIQUE (Riesz). APPLICATION A LA DECONVOLUTION ($c_k(f\ast
u)=2\pi c_k(f)c_k(u)$). METTRE UNE FIGURE ILLUSTRANT L'ECHANTILLONNAGE, SUFFISANT ET INSUFFISANT

\item  Attention : après "appendix"
précédé de slash, toute commande "chapter précédé de slash" crée un préfixe Annexe A, B, etc.
\item CORRECTION DES EXERCICES  DANS
LE COURS : principe de localisation et série double converge
\item
ATTENTION : \CC change d'apparence en italique et en normal !

\item Bibliographie : :utiliser le polyanalysebiblio pour écrire
une note bibliographique et ordonner les références


\item  Dans Hilbert : on commence par le thèorème de Riesz.
Ensuite on que ce thm donne le dual complexe de H et il donne tout de suite qu'on a la réflexivité (se référer à la  ou
aux section "du réel au  complexe".  Faire bien remarquer aussi que Banach Steinhaus marche pareil en complexe ou réel
sera fait dans le chapitre  3).

\item accent dans index, exemple
%%\index{A}{equiintegrabilite d'une suite de $L^1$@équiintégrabilité
%%d'une suite de $L^1$}

\item si la notation est une phrase trop longue, ca ne va pas..c'est pour
cela que j'avais mis des

\item EXERCICES A AJOUTER dans intégrale de Lebesgue  : Lemme de
Scheffé, Intégrabilité uniforme et thm de de la Vallée Poussin

\end{enumerate}
