
\section{Chapitre \ref{ChapSeriesdeFourier}}
\setcounter{chapter}{9}
%\setcounter{Exer}{0}
\setcounter{exo}{0} \dexo \hfill \newline
Soit $f \in L^1(-\pi,\pi)$, $2\pi$ p\e riodique sur $\RR$.\\
$(i)$ On note $\gamma_k = c_k(g)$ et $c_k=c_k(f)$ alors
$$\gamma_{k-1}-\gamma_k = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} g(x)(e^{ix} -1) e^{-ikx} dx =
\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-ikx} dx = c_k.$$ Donc,
$$\sum_{-N}^M c_k = \sum_{-N}^M(\gamma_{k-1}-\gamma_k) = \gamma_{-N\!-\!1}-\gamma_M \rightarrow 0,$$
quand $N$ et $M$ tendent vers $\infty$ par le lemme de Riemann-Lebesgue. D'o\u
$S_{N,M} f(0) \rightarrow 0$ quand $N$ et $M$ tendent vers $\infty$.\\
$(ii)$ On pose $\tilde{f}(u)= f(y+u) - c$. Par hypoth\ee se, $\displaystyle{\frac{\tilde{f}(u)}{u}} \in L^1(-\pi,\pi)$
et
$$\vert \frac{\tilde{f}(u)}{e^{iu}-1} \vert = \vert \frac{\tilde{f}(u)}{e^{iu/2}2i\sin(\frac{u}{2})} \vert
= \vert \frac{\tilde{f}(u)}{2 \sin(\frac{u}{2})} \vert \leq \frac{\pi}{2} \vert \frac{\tilde{f}(u)}{u} \vert \in L^1.$$
Donc par le point $(i)$, $S_{N,M} {\tilde{f}}(0) \rightarrow 0$ quand $N$ et $M$ tendent vers $\infty$. Or, $$S_{N,M}
{\tilde{f}}(0) = \sum_{-N}^M \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (f(y+u)-c)e^{-inu} du,$$ donc, $$S_{N,M} {\tilde{f}}(0) =
\left(\sum_{-N}^M \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(y+u)e^{-inu} du \right)
 -c,$$
puisque $\sum_{-N}^M \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{-inu} du = 1$. D'o\u,
$$S_{N,M} {\tilde{f}}(0) = \sum_{-N}^M \frac{1}{2\pi} \left( \int_{-\pi}^{\pi} f(z)e^{-inz} dz
\right)e^{iny} -c,$$
$$S_{N,M} {\tilde{f}}(0) = S_{N,M} {f}(y) - c \rightarrow 0,$$
quand $N$ et $M$ tendent vers l'$\infty$. \fexo \dexo \hfill \newline *********************************************
CONVOLUTION PER ************************************************ \fexo \dexo \hfill \newline 1) D'abord, si $a,b \in
\ell^2$ alors le produit $ab \in \ell^1 \subset \ell^2$. Par le th\e or\ee me  9.2 on a $c(s(a)\ast S(b)) = 2\pi
c(s(a))c(s(b)) = 2\pi ab$. Donc, $2\pi S(ab) = S(c(s(a)\ast S(b))) = S(a) \ast S(b)$
par la formule d'inversion.\\
2) Par l'exercice \ref{duboisreymond} \a la fin du chapitre, on a
$$S(b^N)(x)= \sum_{-N}^N e^{ikx} = h_N(x) = \frac{\sin((N+\frac{1}{2})x)}{\sin(\frac{x}{2})},$$
si $x \not= 0$ et $S(b^N)(0)=h_N(0)=2N+1$.\\
3) Il suffit de remarquer que
$$S_N f(x) = \sum_{-\infty}^{\infty} c_k(f)c_k(b^N)e^{ikx} = \frac{1}{2\pi} S(c(f))\ast S(b^N),$$
donc $S_N f(x) = \frac{1}{2\pi}S(b^N) \ast f = \frac{1}{2\pi} h_N \ast f$. \fexo \dexo \hfill \newline
*********************************************BH *********************************************************** \fexo \dexo
\hfill \newline
 Nous commen{\c c}ons par {�}tablir la formule
\begin{equation}
\label{resinter} \frac{1}{2}+\sum_1^n \cos(kx) - \frac 1 2 \cos(nx) = \frac{\sin(nx)}{2\hbox{tg}\frac {x}{2}},
\end{equation}
qui r{�}sulte du calcul suivant:
$$\frac 1 2 + \sum_1^n \hbox{cos} nx = \frac 1 2 \sum_{-n}^n e^{ikx} = \frac 1 2
 e^{-inx}(\frac {e^{(2n+1)ix}-1}{e^{ix}-1})$$
 $$=\frac 1 2 \frac{e^{ix(n+\frac 1 2)}-e^{-ix(n+\frac 1 2)}}{e^{i\frac x 2}-e^{-i\frac x
 2}} = \frac {\hbox{sin}nx\hbox{cos}\frac x 2 + \hbox{sin}
\frac x 2\hbox{cos}nx}{2\hbox{sin}\frac x 2}$$
 $$=\frac 1 2 \frac {\hbox{sin}nx}{\hbox{tg}\frac x 2} + \frac {\hbox{cos}nx}{2}.$$

Puis on int{�}gre cette relation entre 0 et $x$ et on soustrait des deux cot{�}s $\frac x 2 + \int_0^x\frac
{\hbox{sin}nt}tdt$.
 On remarque que la fonction $\frac {\hbox{cos}\frac t 2}{2\hbox{sin}\frac t 2}-\frac 1 t$
est $C^1$.  En effet, en d{�}veloppant au voisinage de 0,
  $$\frac {\hbox{cos}\frac t 2}{2\hbox{sin}\frac t 2}-
\frac 1 t = \frac {t\hbox{cos}\frac t 2 - 2\hbox{sin}\frac t 2}{2t \hbox {sin} \frac t 2}$$
 $$=\frac {t(1-\frac{t^2}8)-2(\frac t 2 -\frac {t^3}{48}) +o(t^3)}
{t^2-\frac{t^4}{24}+o(t^4)}=\frac {t^3(-\frac 1 8 + \frac 1 {24})+o(t^3)} {t^2-\frac{t^4}{24}+o(t^4)}$$
 $$=-\frac t {12} +o(t).$$
 On peut donc int{�}grer par parties
  $\int_0^x  ((\sin(nt))(\frac{\hbox{cotg}(\frac{t}{2})}{2}-\frac{1}{t})
 + \frac{cos(nt)}{2})$, et  cette expression est donc major{�}e par $\frac C n$
 pour une constante $C$ ad{�}quate.
\fexo \dexo \hfill \newline 1) Soit $\ep > 0$, $\exists N$ tel que $\forall n \geq N$, $\vert s_j-s \vert \leq \ep$ et
$$ \frac{1}{n+1} \displaystyle{\sum_0^n} s_j - s = \frac{1}{n+1} \displaystyle{\sum_0^n} (s_j -
s).$$ Donc pour $n \geq N$, on a
\begin{eqnarray*}
\vert \frac{1}{n+1} \sum_0^n s_j - s \vert &\leq & \frac{1}{n+1}(\sum_0^N \vert s_j
- s \vert + \sum_{N+1}^n \vert s_j - s \vert ),\\
   &\leq& \frac{1}{n+1}(\sum_0^N \vert s_j - s \vert + (n-N) \ep).
   \end{eqnarray*}
   Pour cet $\ep > 0$, $\exists N_1 \geq N$ tel que $\displaystyle{\sum_0^N} \vert s_j - s
\vert \leq N_1 \ep$, donc si $n \geq N_1$, on a $\displaystyle{\sum_0^N} \vert s_j - s \vert \leq N_1 \ep \leq (n+1)
\ep$ et d'autre part $(n-N) \ep \leq (n+1) \ep$ d'o{\`u}
   $$\vert \frac{1}{n+1} \sum_0^n s_j - s  \vert \leq 2 \ep.$$
2) Soit $s_n = (-1)^n$ alors ${(s_n)}_n$ ne converge pas et $\vert \displaystyle{\sum_0^n} s_j \vert \leq 1$ donc
$$\vert \frac{1}{n+1} \sum_0^n (-1)^j \vert \leq \frac{1}{n+1} \longrightarrow
0.$$ \fexo \dexo \hfill \newline
1) On a directement $D_N(0) = 2N+1$ et $K_N(0) = N+1$. \\
D'autre part, $e^{i\frac{t}{2}}D_N(t) = \displaystyle{\sum_{-N}^N} e^{i(k+\frac{1}{2})t}$ et
$e^{-i\frac{t}{2}}D_N(t) = \displaystyle{\sum_{-N}^N} e^{i(k-\frac{1}{2})t}$ donc $2i
\sin(\frac{t}{2}) D_N(t) = \displaystyle{\sum_{-N}^N} (e^{i(k+\frac{1}{2})t} -
e^{i(k-\frac{1}{2})t}) = e^{i(N+\frac{1}{2})t} - e^{-i(N+\frac{1}{2})t}.$\\
D'o{\`u} $D_N(t) = \frac{\sin((N+\frac{1}{2})t)}{\sin(\frac{t}{2})}$ si $t \not=
0$.\\
On multiplie maintenant $K_N(t)$ par
$\frac{2\sin(\frac{t}{2})}{2\sin(\frac{t}{2})}$ alors
$$K_N(t) = \frac{1}{2(N+1)} \frac{1}{{\sin}^2(\frac{t}{2})}
(2\sin(\frac{t}{2})\sin(\frac{t}{2}) + 2\sin(\frac{t}{2})\sin(\frac{3t}{2})+...+
2\sin(\frac{t}{2})\sin((N+\frac{1}{2})t)).$$ On utilise ensuite
l'{�}galit{�} $2 \sin a \sin b = \cos(a-b) -\cos(a+b)$ pour obtenir
$$K_N(t) = \frac{1}{2(N+1)} \frac{1}{{\sin}^2(\frac{t}{2})} (1-\cos(N+1)t) =
\frac{1}{N+1} \frac{{\sin}^2(\frac{N+1}{2}t)}{{\sin}^2(\frac{t}{2})},$$
pour $t \not= 0$.\\
2) Il est clair que $K_N(t) \geq 0$, $\forall t \in \RR$ et que $K_N$ est
$2\pi$-p{�}riodique. De $\int_0^{2\pi} e^{ikt} dt = 2\pi \delta_{k,0}$ on
d{�}duit que $\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} D_j(t) dt = 1$ et ${\Vert K_N
\Vert}_1 = 1$. Enfin si $\delta \leq \vert t \vert \leq \pi$ o{\`u} $\delta >
0$, on a
$$K_N(t) \leq \frac{1}{N+1} {(\frac{1}{\sin(\frac{\delta}{2})})}^2
\longrightarrow 0,$$
quand $N \rightarrow \infty$.\\
3) On a
\begin{eqnarray*}
S_n(f,t) & = & \sum_{-n}^n \widehat{f}(k)e^{ikt},\\
         & = & \sum_{-n}^n \frac{1}{2\pi} \int _{-\pi}^{\pi} f(x) e^{ik(t-x)} dx
= \frac{1}{2\pi} \int _{-\pi}^{\pi} f(x) D_n(t-x) dx.
\end{eqnarray*}
Donc
\begin{eqnarray*}
\sigma_n(f,t) &=& \frac{1}{2\pi} \int _{-\pi}^{\pi} f(x) K_n(t-x) dx,\\
              &=& \frac{1}{2\pi} \int _{-\pi}^{\pi} f(t-x) K_n(x) dx,
\end{eqnarray*}
car $f$ et $K_n$ sont $2\pi$-p{�}riodiques. Comme ${\Vert K_N \Vert}_1 = 1$,
on peut {�}crire
\begin{eqnarray*}
\vert \sigma_n(f,t) - f(t) \vert & = & \frac{1}{2\pi} \vert \int _{-\pi}^{\pi}
(f(t-x) - f(t)) K_n(x) dx \vert,\\
 & \leq & \frac{1}{2\pi} \vert \int _{\vert x \vert \leq \delta} \vert
f(t-x)-f(t) \vert K_n(x) dx + \frac{1}{2\pi} \int _{\delta \leq \vert x \vert
\leq \pi} 2 \Vert f \Vert_{\infty} K_n(x) dx.
\end{eqnarray*}
La fonction $f$ {�}tant uniform{�}ment continue, pour $\ep > 0$, $\exists
\delta
> 0$ tel que $\vert f(x)-f(y) \vert \leq \frac{\ep}{2}$ d{�}s que $\vert x-y
\vert \leq \delta$. Pour ce $\delta$, d'apr{�}s 2), $\exists N$ tel que
$\forall n \geq N$ $\vert K_n(x) \vert \leq \frac{\ep}{4 \Vert f
\Vert_{\infty}}$, $\forall x$ tel que $\delta \leq \vert x \vert \leq \pi$,
d'o{\`u}
$$\vert \sigma_n(f,t) - f(t) \vert \leq \frac{\ep}{2} {\Vert K_N \Vert}_1 +
\frac{\ep}{2} \, \frac{1}{2\pi} \int _{\delta \leq \vert x \vert \leq \pi} dx
\leq \ep,$$ et ceci $\forall t$, donc $\sigma_n(f) \longrightarrow f$
uniform{�}ment sur
$[-\pi,\pi]$.\\
4) $\sigma_n(f,t) = \frac{1}{2\pi} \int _{-\pi}^{\pi} f(x) K_n(t-x) dx$ est un
polyn�me trigonom{�}trique, donc 3) montre que les polyn�mes
trigonom{�}triques
sont denses dans ${\cal C}(\Pi)$.\\
Si $f,g \in {\cal C}(\Pi)$ sont telles que $\forall n \in \ZZ$, $\widehat{f}
(n)=\widehat{g} (n)$ alors $0 = \sigma_n(f,t) - \sigma_n(g,t) \longrightarrow
f(t)-g(t)$, $\forall t$, donc $f(t)=g(t)$, $\forall t \in [-\pi,\pi]$.\\
5) a) $\Lambda_n(f) = S_n(f,0) = \frac{1}{2\pi} \int _{-\pi}^{\pi} f(t) D_n(-t)
dt$, pour $n \geq 0$ donc $\Lambda_n$ est lin{�}aire et $\vert \Lambda_n(f)
\vert \leq {\Vert D_n \Vert}_1 \Vert f \Vert_{\infty}$. Donc $\Lambda_n \in
({\cal
C}(\Pi))^{\prime}$ et $\Vert \Lambda_n \Vert \leq {\Vert D_n \Vert}_1$.\\
  b) Soit $g_n(t) = \mbox{sign}(D_n(-t))$ alors il existe une suite $(f_j)_j$
dans ${\cal C}(\Pi)$ telle que $-1 \leq f_j \leq 1$, $\forall j$ et $f_j(t)
\longrightarrow g_n(t)$ p.p. quand $j \rightarrow \infty$. Le th{�}or{�}me
de convergence domin{�}e s'applique et donne
  $$\frac{1}{2\pi} \int _{-\pi}^{\pi} f_j(t) D_n(-t) dt \longrightarrow
\frac{1}{2\pi} \int _{-\pi}^{\pi} \vert D_n(-t) \vert dt = {\Vert D_n
\Vert}_1.$$ De $\vert \Lambda_n(f_j) \vert \leq \Vert \Lambda_n \Vert$, on
d{�}duit $\Vert
\Lambda_n \Vert = {\Vert D_n \Vert}_1$.\\
  c) Comme $\vert \sin \frac{t}{2} \vert \leq \frac{\vert t \vert}{2}$, pour $0
\leq t \leq \pi$,
$${\Vert D_n \Vert}_1 = \frac{1}{2\pi} \int _{-\pi}^{\pi} \vert D_n(t) \vert dt =
\frac{1}{\pi} \int _{0}^{\pi} \vert D_n(t) \vert dt \geq \frac{2}{\pi}
\int_0^{\pi} \vert \sin(n+\frac{1}{2})t \vert \,\frac{dt}{t}.$$ Donc on a
\begin{eqnarray*}
{\Vert D_n \Vert}_1 &\geq& \frac{2}{\pi} \int_0^{(n+\frac{1}{2})\pi} \vert \sin
x \vert \frac{dx}{x} \geq \frac{2}{\pi} \sum_{k=1}^n \int_{(k-1)\pi}^{k\pi}
\vert
\sin x \vert \frac{dx}{x},\\
&\geq& \frac{2}{\pi} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k\pi} \int_{(k-1)\pi}^{k\pi} \vert
\sin x \vert dx = \frac{4}{\pi^2} \sum_1^n \frac{1}{k} \geq \frac{4}{\pi^2}
\log(n+1),
\end{eqnarray*}
D'o{\`u} ${\Vert D_n \Vert}_1 \longrightarrow + \infty$ quand $n \rightarrow
\infty$.\\
  d) Si $\forall f \in {\cal C}(\Pi)$, $\exists C_f$ tel que $\forall n$, $\vert
S_n(f,0) \vert \leq C_f$ alors par le th{�}or{�}me de Banach-Steinhaus
$\exists M$ tel que $\forall n$, $\Vert \Lambda_n \Vert \leq M$ or c'est
impossible d'apr{�}s la question pr{�}c{�}dente. Donc $\exists f \in {\cal
C}(\Pi)$ telle
que $\sup_n \vert S_n(f,0) \vert = + \infty.$\\
%Remarque : Soit $E=\{f \in {\cal C}(\Pi) : \sup_n \vert S_n(f,0) \vert = +
%\infty \}$. On peut montrer que $E$ est dense dans ${\cal C}(\Pi)$ voir $[Ru1]$
%par exemple.\\
6) D'apr�s la question 4), on peut voir facilement que $\int_{-\pi }^{\pi } fg dx=0$, $\forall g\in {\cal C}[-\pi ,\pi ]$. \\Maintenant, si on note $h=sign(f)$. Comme les fonctions continues sont denses dans $L^1(-\pi ,\pi )$, $\exists (g_n)_n \subset {\cal C}_c[-\pi ,\pi ]$ telle que $\Vert h-g_n \Vert_1\longrightarrow 0$. On peut aussi supposer que $g_n\longrightarrow h$ p.p. et $\vert g_n \vert\leq 1$ pour tout $n$ (gr�ce � la r�ciproque du th�or�me de convergence domin�e voir \ref{reciproqueLebesgue} page ~\pageref{reciproqueLebesgue}).\\
On applique ensuite le th�or�me de convergence domin�e � la suite $(fg_n)_n$ (chapeau int�grable:$\vert f \vert$) et on en d�duit que $f=0$ p.p.\\
7) Par le Lemme de Riemann-Lebesgue, on sait d{�}j{�} que $\widehat{f}(n)
\rightarrow 0$ quand $n \rightarrow \pm \infty$ donc $c(f) \in C_0(\ZZ)$. On a aussi imm{�}diatement
$\vert \widehat{f}(n) \vert \leq \Vert f \Vert_1$.\\
L'application $T$ est clairement lin{�}aire et l'in�galit� ci-dessus
montre qu'elle est continue. Si $\widehat{f}(n) = 0$ pour tout $n$ alors
$\int_{-\pi}^{\pi} fp dx = 0$, pour tout polyn{\^o}me trigonom{�}trique $p$
donc $f = 0$ p.p. et $T$ est injective.
$T$ ne peut {\^e}tre surjective sinon
par le th{�}or{�}me de l'application ouverte, voir l'exercice \ref{applicationouverte}
page ~\pageref{applicationouverte} ($
C_0(\ZZ)$ est un espace de
Banach), elle serait d'inverse continue et il existerait une constante $M>$
telle que $\Vert f \Vert_1 \leq M \Vert c(f) \Vert_{\infty}$. Mais une telle
in{�}galit{�} est contredite par les $D_n$, en effet $\widehat{D_n}(k) = 0$
ou $1$, donc $\Vert c(D_n) \Vert_{\infty} = 1$ alors qu'on a vu ci-dessus que
$\Vert D_n \Vert_1 \rightarrow +\infty$.
\fexo
%{ \bf Exercice 4}
%\\ \\
%Comme $\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{inx}e^{imx} dx = \delta_{n,m}$, le
%syst{�}me ${(e^{inx})}_{n \in \ZZ}$ est orthogonal. Soit
%$E=\mbox{vect}\{{(e^{inx})}_{n \in \ZZ}\}$, montrons que $E$ est dense dans
%$L^2(-\pi,\pi)$. Soit $f \in L^2(-\pi,\pi)$ et soit $\ep>0$. Comme les fonctions
%continues sont denses dans $L^2(-\pi,\pi)$, $\exists g \in {\cal C}(\Pi)$ telle
%que $\Vert f-g \Vert_2 \leq \ep$. On a vu en **** que les polyn�mes
%trigonom{�}triques sont denses dans ${\cal C}(\Pi)$ donc $\exists P \in E$ tel
%que $\Vert g-P \Vert_{\infty} \leq \ep$ alors $\Vert f-P \Vert_2 \leq 2\ep$
%d'o{\`u} le r{�}sultat.
%\\ \\
 \setcounter{chapter}{13}