\setcounter{chapter}{13}
\section{Chapitre \ref{ChapEspacesdeSobolevsurlIntervalle}}
\setcounter{chapter}{11}
%\setcounter{Exer}{0}
\setcounter{exo}{0} \dexo \hfill \newline On peut remarquer que le corollaire \ref{orthogonalaCcimpliquenul} page
~\pageref{orthogonalaCimpliquenul}, reste vrai si on remplace l'ensemble ${\cal C}_c({\RR}^N)$ par $\DD({\RR}^N)$
puisqu'on sait maintenant que $\DD({\RR}^N)$ est dense dans $L^1({\RR}^N)$. Si les deux distributions $\tilde{u}$ et
$\tilde{v}$ sont \e gales, cela veut exactement dire que pour toute fonction test $\varphi \in \DD({\RR}^N)$, $\int (u
- v)  \varphi = 0$, on peut donc en conclure que $u=v$ p.p. \fexo \dexo \hfill \newline
On peut d\e j\a remarquer que toutes les applications propos\e es sont lin\e aires.\\
Soit $J$ compact $\subset \RR$, soit $\vfi \in \DD(\RR)$ avec $\supp \vfi \subset J$, si $x\not\in J$, $<\delta_x,\vfi>
= \vfi(x) = 0$ et $\vert <\delta_x^{(k)}, \vfi> \vert = \vert \vfi^{(k)}(x) \vert = 0$. Maintenant, si $x \in J$, on a
$|<\delta_x,\varphi>|=|\varphi(x)| \leq || \varphi ||_{L^{\infty}(J)}$ et $\vert <\delta_x^{(k)}, \vfi> \vert = \vert
\vfi^{(k)}(x) \vert \leq \Vert \vfi^{(k)} \Vert_{L^{\infty}(J)}$ donc dans tous les cas, il facile de voir que
$\delta_x$ et $\delta_x^{(k)}$ sont des distributions sur $\RR$, (prendre $C=1$, $p=0$ pour $\delta_x$ et
$C=1$, $p=k$ pour $\delta_x^{(k)}$).\\
Soit toujours $J$ compact $\subset \RR$, alors $J \subset [-N,N]$ o\u $N \in \NN$, et pour toute $\vfi \in \DD(\RR)$
dont le support est inclus dans $J$, on a
$$\vert <u,\vfi> \vert \leq \sum_{-N}^{N} \vert \vfi(2\pi n) \vert \leq (2N+1) \Vert \vfi
\Vert_{L^{\infty}(J)},$$
donc $C=2N+1$ et $p=0$ conviennent, $u$ est une distribution.\\
\fexo \dexo \hfill \newline Si $u_n$ converge vers $u$ dans $L^1_{loc}(\RR)$, alors pour tout $K$ compact de $\RR$ et
pour toute $\vfi \in \DD(\RR)$ \a support dans $K$, on a
$$\vert \int_K (u_n - u) \vfi \vert \leq \Vert u_n -u \Vert_{L^1(K)}\;\Vert \vfi \Vert_{L^{\infty}(K)}$$,
donc la suite $(u_n)_n$ converge vers $u$ dans $\Di(\RR)$. \fexo \dexo \hfill \newline
****************************************** ORDRE ET MESURE *************************************** \fexo \dexo \hfill
\newline ********************************************FN * distrib ******************************************* \fexo
\dexo \hfill \newline ********************************************DERIVEE DE DIRAC
************************************** \fexo \dexo \hfill \newline ********************************************
TRANSLATION DE DISTRIB ********************************** \fexo \dexo \hfill \newline 1) Les deux applications
propos{�}es sont bien lin{�}aires par rapport {�}
$\vfi$.\\
On pose $<T,\vfi> = \displaystyle{\sum_{n\geq0}} \vfi^{(n)}(n)$ pour $\vfi \in \DD(\RR)$.\\
Soit $K$ un compact de $\RR$ alors $\vert K \cap \NN \vert < \infty$ et $\exists N_K$ tel que $K \cap \NN \subset
\overline{B}(0,N_K)$. Si $\vfi \in \DD(\RR)$ est {�} support dans $K$, alors $\vert <T,\vfi> \vert \leq
\displaystyle{\sum_0^{N_K}} \Vert
\vfi^{(n)} \Vert_{\infty}$ donc $T \in \Di(\RR)$.\\
Soit $<T,\vfi> = \sum_{n\geq0} \vfi^{(n)}(0)$. Il existe $\theta \in \DD(\RR)$ telle que $0 \leq \theta \leq 1$ et
$\theta \equiv 1$ sur $[-1,1]$. Soit $\vfi(x) = e^x \theta(x)$, alors $\vfi \in \DD(\RR)$ et $\forall n$,
$\vfi^{(n)}(0)
= 1$ donc $T \not\in \Di(\RR)$.\\
2) Soit $K$ un compact de $\RR$ et $\vfi \in \DD(\RR)$ {�} support dans $K$ alors $\vert <T_f,\vfi> \vert \leq \Vert f
\Vert_{L^1(K)} \Vert \vfi \Vert_{\infty}$ donc
$T_f \in \Di(\RR)$.\\
Supposons qu'il existe $f \in L^1_{loc}(\RR)$ telle que $<\delta_0,\vfi> = \vfi(0) = \int f \vfi$, $\forall \vfi \in
\DD(\RR)$. Par un m{\^e}me raisonnement qu'{�} l'exercice 6 du chap.VII, on montre que c'est impossible. \fexo \dexo
\hfill \newline Comme les semi-normes $p_j$, pour $j \geq 0$, forment une suite croissante, on a
bien d{�}fini une topologie.\\
1) Il est clair que $d(f,g) = d(g,f)$ et que $d(f,g)=0 \Longleftrightarrow
f=g$.\\
Soit $\Phi(x) = \inf(1,x)$ pour $x \geq 0$. On peut v{�}rifier facilement que $\Phi$ est croissante et que $\Phi(x+y)
\leq \Phi(x) + \Phi(y)$, $\forall x,y \in \RR^+$ donc $d$ est bien une distance sur E. Pour montrer que les topologies
sont
{�}quivalentes, il suffit de montrer que\\

a) $\forall n$, $\forall r>0$, $\forall x \in E$, $\exists r_0>0$ tel que
$B_d(x,r_0) \subset B_n(x,r)$,\\

b) $\forall x \in E$, $\forall r>0$, $\exists N$, $\exists r_0>0$ tel que
$B_N(x,r_0) \subset B_d(x,r)$,\\
o{\`u} on a not{�} $B_d(x,r)$ la boule de centre $x$ et rayon $r$ pour la distance
$d$ et $B_n(x,r)$ celle associ{�}e {�} la semi-norme $p_n$.\\
Soient donc $n,r,x$ donn{�}s alors $\exists \ep>0$ tel que $2^n \ep < \inf(1,r)$ et
\\
$d(x,y) < \ep \Longrightarrow \forall k,\,\, \frac{1}{2^k} \Phi(p_k(x-y)) < \ep$ donc $p_n(x-y) < 2^n \ep < r$ par
choix de $\ep$. D'o{\`u} $B_d(x,\ep) \subset
B_n(x,r)$.\\
Soient $x,r$ donn{�}s et soit $N$ tel que $\sum_{n \geq N+1} \frac{1}{2^n} <
\frac{r}{2}$.\\
Si $p_N(x-y) < r_0 < 1 \Longrightarrow \forall n \leq N,\, p_n(x-y) < r_0$ et
$$\sum_0^N \frac{1}{2^n} \inf(1,p_n(x-y)) \leq r_0 \sum_0^N \frac{1}{2^n} \leq
2r_0.$$ On choisit $r_0 < 1$ tel que $2 r_0 < \frac{r}{2}$ alors $y \in B_N(x,r_0) \Longrightarrow d(x,y) < \frac{r}{2}
+ \frac{r}{2}$,  ($\Phi(x) \leq 1,\,\forall x
\geq 0$) donc $B_N(x,r_0) \subset B_d(x,r)$.\\
Donc les topologies sont {�}quivalentes.\\
2) Soit $(f_n)_n$ une suite de Cauchy dans $(E,d)$ alors $\lim_{n,m \rightarrow +\infty} p_j(f_n-f_m) = 0$ pour chaque
$j \geq 0$, et donc $\sup_K \vert f_n^{(j)}(x) - f_m^{(j)}(x) \vert \longrightarrow 0$ pour chaque j. La suite
$(f_n^{(j)})_n$ est donc de Cauchy pour la convergence uniforme et elle tend donc uniform{�}ment vers une limite $f_j$
qui est continue et {�} support dans $K$. On utilise maintenant le th{�}or{�}me classique assurant que si $f_n$
converge uniform{�}ment vers $u$ et si les d{�}riv{�}es $f_n^{\prime}$ sont continues et convergent uniform{�}ment vers
$v$ alors $u$ est ${\cal C}^1$ et $u^{\prime} = v$. En appliquant ce r{�}sultat par r{�}currence aux d{�}riv{�}es
successives de $u$, on obtient que $f_n^{(j)}$ converge uniform{�}ment vers $u^{(j)}$, $\forall j$ et donc que
$p_j(f_n-u) \longrightarrow 0$, $\forall j$. On en d{�}duit facilement que
$(E,d)$ est complet.\\
Pour tout $n$, $T_n$ est continue sur $(E,(p_j)_j)$ donc sur $(E,d)$ donc $F_k$ est ferm{�} dans $(E,d)$ comme
intersection d'images r{�}ciproques de ferm{�}s de $\RR$. Comme $(<T_n,\vfi>)_n$ converge $\forall \vfi$, $E = \cup_k
F_k$, par le Lemme de Baire, on en d{�}duit que $\exists k_0$, $\exists \vfi$ et $\exists r_0>0$
tels que $B_d(\vfi,r_0) \subset F_{k_0}$. \\
D'apr{�}s 1), $\exists N \geq 0$, $\exists r>0$ tels que $B_N(\vfi,r) \subset F_{k_0}$. Alors $B_N(0,\frac{r}{2})
\subset F_{k_0}$, en effet, si $\psi \in B_N(0,\frac{r}{2})$ alors $\psi = \frac{1}{2} (-\vfi +(\vfi +2\psi))$ or
$-\vfi \in F_{k_0}$ et $\vfi+2\psi \in F_{k_0}$, par convexit{�} de $F_{k_0}$, on a $\psi \in
F_{k_0}$.\\
Donc on a montr{�} que $\forall \vfi \in E$ telle que $p_N(\vfi)<\frac{r}{2}$, on a $\vert <T_n,\vfi> \vert \leq k_0$,
$\forall n$. Par homog{�}n{�}ite, on en conclut que $\forall n$, $\vert <T_n,\vfi> \vert \leq \frac{2k_0}{r}
p_N(\vfi)$, $\forall
\vfi \in E$.\\
Maintenant on fait tendre $n$ vers l'infini, on en d{�}duit que $\vert <T,\vfi> \vert \leq \frac{2k_0}{r} p_N(\vfi)$.
Finalement, on a montr{�} que $\forall K$ compact $\subset \RR$, $\exists C_K = \frac{2k_0}{r}$, $\exists N(K)$ tels
que $\forall \vfi \in \DDK(\RR)$, $\vert <T,\vfi> \vert \leq C_K \,p_N(\vfi)$ ce qui est exactement la continuit{�} de
$T$ sur $\DD(\RR)$. \fexo \dexo \hfill \newline a) Si $\vfi = \lambda\theta_0+\psi^{\prime}$, o{\`u} $\lambda \in \RR$
et $\vfi \in \DD(I)$ alors $\int_I \vfi = \lambda \int_I \theta_0 + \int_I \psi^{\prime}$ donc n{�}cessairement
$\lambda = \int_I \vfi$. Avec ce choix de $\lambda$, trouvons
$\psi$.\\
$\exists a,b$ tels que supp$(\vfi)$$ \cup$supp$(\theta_0) \subset [a,b] \subset I$ (I connexe). Soit $\psi(x) =
\int_a^x (\vfi(t) -(\int_I \vfi)\theta_0(t)) dt$ alors $\psi^{\prime} = \vfi - (\int_I \vfi)\theta_0$ et $\psi \in
{\cal C}^{\infty}(I)$. V{�}rifions que $\psi$ est {�} support compact. Si $x \in ]-\infty,a[ \cap I$ alors $\forall t
\in [a,x]$ $\vfi(t)= \theta_0(t) = 0$ et $\psi(x) = 0$. Si $x \in ]b,\infty[ \cap I$ alors $\psi(x) = 0$ donc
supp$(\psi) \subset [a,b]$ et $\psi \in
\DD(I)$. (On peut remarquer que le couple $(\lambda,\psi)$ est unique.)\\
b) Soit $T \in \Di(I)$ telle que $T^{\prime} =0$, on veut montrer que $\exists C \in \RR$ telle que $\forall \vfi \in
\DD(I)$, $<T,\vfi> = C \int_I \vfi$,
ce qui veut bien dire que $T=C$ au sens des distributions\\
Soit $\vfi \in \DD(I)$ alors $\exists \psi \in \DD(I)$ telle que $\vfi = (\int_I \vfi)  \theta_0+\psi^{\prime}$ et
$<T,\vfi> = (\int_I \vfi) <T,\theta_0> + <T,\psi^{\prime}>$. Or par hypoth{�}se $<T,\psi^{\prime}> = <T^{\prime},\psi>
= 0$ donc $\forall \vfi \in \DD(I)$, $<T,\vfi> = <T,\theta_0>\; \int_I \vfi$ donc
$C=<T,\theta_0>$ convient.\\
c) Par hypoth{�}se $T^{\prime} = v \in {\cal C}^{\infty}(I)$, c'est {�} dire $\forall \vfi \in \DD(I)$,
$<T^{\prime},\vfi> = \int_I v\vfi$. La fonction $v$ admet une primitive au sens usuel $V$ et $v = V^{\prime}$ alors
$(T-V)^{\prime} = 0$ donc $T-V = c$ constante par b) et $T= V+c \in {\cal C}^{\infty}(I)$. \fexo \dexo \hfill \newline
Soit $\psi$ solution de $\sum_{j=0}^k a_j \psi^{(j)}(x) = 0$ pour $x \in \RR$, o{\`u} $a_j \in \RR$ et $a_k \not=0$,
satisfaisant \\
$\psi(0)=\psi^{\prime}(0)=...=\psi^{k-2}(0)=0$ et $\psi^{k-1}(0)=\frac{1}{a_k}$
alors $\psi \in {\cal C}^{\infty}(\RR)$.\\
1) $Y\psi \in L^1_{loc}(\RR)$ donc $E \in \Di(\RR)$. Calculons les d{�}riv{�}es au sens des distributions de $E$ et
montrons par r{�}currence que
$$E^{(p)} = T_{Y\psi^{(p)}} + \psi^{(p-1)}(0) \delta_0 + \psi^{(p-2)}(0)
\delta_0^{\prime} +...+ \psi(0) \delta_0^{(p-1)}.$$ On calcule d'abord $E^{\prime}$,
\begin{eqnarray*}
<E^{\prime},\vfi> &=& - <E,\vfi^{\prime}> = - \int_0^{\infty} \psi
\vfi^{\prime},\\
                  &=& \int_0^{\infty} \psi^{\prime} \vfi + \psi(0) \vfi(0),\\
                  &=& <T_{Y\psi^{\prime}},\vfi> + <\psi(o) \delta_0,\vfi>.
                  \end{eqnarray*}
Donc le propri{�}t{�} est vraie pour $p=1$, on la suppose vraie jusqu'au rang $p$ et d{�}montrons la pour $p+1$. On a
\begin{eqnarray*}
<E^{(p+1)},\vfi> &=& -<E^{(p)}, \vfi^{\prime}> = - \int_0^{\infty} \psi^{(p)} \vfi^{\prime} - <\psi^{(p-1)}(0)
\delta_0, \vfi^{\prime}> -...- <\psi(0)
\delta_0^{(p-1)}, \vfi^{\prime}>,\\
&=& \int_0^{\infty} \psi^{(p+1)} \vfi + <\psi^{(p)}(0) \delta_0, \vfi> + < \psi^{(p-1)}(0) \delta_0^{\prime}+...+
\psi(0) \delta_0^{(p)},\vfi>.
\end{eqnarray*}
D'o{\`u} le r{�}sultat.\\
Ici $E^{(j)} = T_{Y\psi^{(j)}}$, $\forall j \leq k-1$ car $\psi^{(p)}(0) = 0$, $\forall p \leq k-2$, et
$$E^{(k)} = T_{Y\psi^{(k)}} + \psi^{(k-1)}(0) \delta_0 = T_{Y\psi^{(k)}} +
\frac{1}{a_k} \delta_0.$$ Donc $\sum_{j=0}^k a_j E^{(j)} + a_k E^{(k)} = \delta_0$ par hypoth{�}se sur
$\psi$. \\
2) On cherche $\psi$ telle que
\[ (\star) \quad \left\{ \begin{array}{lll}
\psi^{\prime\prime} + \psi^{\prime} + \psi = 0 \\
\psi(0) = 0 \\
\psi^{\prime}(0) = 1
\end{array} \right. \]
Les solutions g{�}n{�}rales du syst{�}me ($\star$) sont donn{�}es par
$$\psi(x) = e^{-\frac{x}{2}} (a e^{i\frac{\sqrt{3}}{2}x} + b
e^{-i\frac{\sqrt{3}}{2}x}),\quad a,b \in \CC.$$ Ici les donn{�}es initiales impliquent que $a = -b =
\frac{1}{i\sqrt{3}}$, donc $\psi(x) = \frac{2}{\sqrt{3}} e^{-\frac{x}{2}} \sin(\frac{\sqrt{3}}{2}x)$ et $E = T_{Y\psi}$
convient. \fexo