

\chapter{Distributions p\e riodiques sur un r\e seau}
\begin{Def}{\bf Rappel}
%\index{Translat\e e d'une fonction et d'une distribution}
Si $\gamma\in \real^2$, on note $\tau_\gamma u$ et on appelle $\gamma$-translat\e e de $u$ la fonction $\tau_\gamma
u(x)= u(x-\gamma)$.  Si $u$ est une distribution sur $\real^2$, on pose pour toute fonction test $\varphi \in
C_0^\infty(\real^2)$,
$$<\tau_\gamma u, \varphi>=<u, \tau_{-\gamma}\varphi>.$$
\end{Def}
\drem Cette d\e finition est compatible avec celle de la translat\e e d'une fonction quand $u$ est une fonction de
$L^1_{loc}$, car alors $\int u(x-\gamma)\varphi(x)dx=\int u(y)\varphi(y+\gamma)dy.$ \frem

\begin{Def}\index{A}{Distribution p\e riodique sur un r\e seau}
On se donne un r\e seau $\Gamma$ de $\real^2$. On dit  qu'une distribution $u$ est $\Gamma$-p\'{e}riodique si ses
translat\'{e}es $\tau_\gamma u$ sont  \'{e}gales \`{a} $u$ pour tout $\gamma$ dans $\Gamma$.
 \end{Def}
Commen\c cons par d\e finir et \e tudier comme premier exemple les p\e riodis\e es de fonctions de la classe de
Schwartz. On remarque qu'une telle p\e riodis\e e $\sum_{\gamma\in \Gamma}\varphi(x+\gamma)$ est $C^\infty$ et
$\Gamma$-p\e riodique.
\subsection{Fonctions  p\e riodiques, p\e riodisation.}

\begin{pro}\label{decroissancerapidedescoefficients} \index{A}{D\e
croissance rapide (de coefficients de Fourier)} Soit $f$ une fonction $\Gamma$-p\'{e}riodique  et de classe $C^\infty$.
Alors la suite de ses coefficients de Fourier sur le r\e seau $k\in \Gamma^\star$, $c_k(f)=\frac 1{S}\int_M
f(x)e^{ik.x}dx$ est \`{a} d\'{e}croissance  rapide, c'est-\`{a}-dire que l'on a \fb&
\label{estimationdescoefficientsdeFouriersurunreseau} |c_k(f)|\leq C_N(1+|k|)^{-N} \fe&
 pour
tout $N$ et  la diff\'{e}rence
$$f-\sum_{k\in \Gamma^\star, |k|\leq n}c_k(f)e^{ik.x}$$  tend vers 0 uniform\'{e}ment ainsi
que chacune de ses d\'{e}riv\'{e}es lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
\end{pro}


\paragraph{D\e monstration}  On peut exprimer les coefficients de Fourier $c_k(f)$ sur une
maille $M$, \ccaadd le parall\e logramme engendr\ea par une base du r\e seau $(e_1,e_2)$. On pose alors $x= x_1e_1 +
x_2 e_2$, ce qui d\e finit un isomorphisme affine $h(x_1,x_2)=x_1e_1+x_2e_2$ de $[0,1]^2$ sur la maille $M$.  On a \e
videmment $\hbox{det}(h)=S$. On pose de m\eee me $k=k_1e_1^\star+k_2e_2^\star$ o\u $k_1$ et $k_2$ sont les coordonn\e
es de $k$ sur la base duale $(e_1^\star, e_2^\star)$. Cela donne $k.x=2\pi(k_1x_1+k_2x_2)$. On a donc \fb&
\label{coefficientsdeFourierramenesareseaucarre} c_k(f) = \frac 1 S \int_M f(x)e^{-ik.x}dx =\int_0^1\int_0^1
f(x_1e_1+x_2e_2)e^{-2i\pi(k_1x_1+k_2x_2)}dx_1dx_2. \fe& La fonction $(x_1,x_2)\to f(x_1e_1+x_2e_2)$ est \e videmment
$\relative^2$-p\e riodique.
 En int\e grant (\ref{coefficientsdeFourierramenesareseaucarre}) par parties
$2N$ fois par rapport \a $x_1$ et en utilisant la $(1,0)$ p\e riodicit\ea de l'int\e grand, on obtient une estimation
de la forme $|c_k(f)|\leq C'_N(1+|k_1|)^{-2N}$. On a de m\eee me en int\e grant par parties par rapport \a la deuxi\ee
me variable $x_2$, $|c_k(f)|\leq C''_N(1+|k_2|)^{-2N}$.  En multipliant ces deux estimations, on d\e duit ais\e ment
une relation du type (\ref{estimationdescoefficientsdeFouriersurunreseau}).
 Gr\aa ce
\a cette estimation, la s\e rie double  $\sum_k c_k(f)e^{ik.x}$ et toutes ses d\e riv\e es terme \a terme sont
uniform\e ment convergentes.  On peut donc intervertir sommation et d\e rivation.
\enddemo

 Les fonctions test $\varphi$ dont la p\e riodis\e e est \e gale \a  1 vont nous \eee tre
particuli\ee rement utiles.

\begin{Def} {\bf et proposition (partition p\e riodique de l'unit\e )} \index{A}{Partition p\e
riodique de l'unit\ea } Il existe $\chi\in C_0^\infty(\real^2)$ telle que \fb& \label{partitiondeluniteperiodique}
\sum_{\gamma\in \Gamma}\chi(x+\gamma)= 1. \fe& On dit que $\chi $ d\e finit une partition $\Gamma$-p\e riodique de
l'unit\e .
\end{Def}

\paragraph{D\e monstration} Soit $M$ une maille du r\e seau $\Gamma$. Il suffit de
prendre $\varphi \in C_0^\infty$ positive ou nulle partout et strictement positive sur $\overline{M}$, puis de poser
$\chi(x) = \frac {\varphi(x)}{\sum_{\gamma\in \Gamma}\varphi(x+\gamma)}.$ Comme le support de $\varphi$ est compact, la
somme au d\e nominateur est une somme finie pour chaque $x$.
\enddemo

\begin{lem} \label{proprietesdelaperiodiseeenFourier} Soit $\varphi\in C_0^\infty$ une
fonction test et $\tilde \varphi(x)=\sum_{\gamma\in \Gamma}\varphi(x)$ sa $\Gamma$-p\e riodis\e e. Alors le d\e
veloppement en s\e rie de Fourier de $\tilde \varphi$ peut s'\e crire sous
 la forme
\fb& \tilde \varphi(x) =\sum_{k\in\Gamma^\star}c_k(\tilde \varphi)e^{ik.x} \hbox{ avec  } c_k(\tilde \varphi)=\frac
1S\int_{\real^2} \varphi(x)e^{-ik.x}dx. \fe&
\end{lem}
\paragraph{D\e monstration}Les coefficients de Fourier de $\tilde \varphi$ sont
$$c_k(\tilde \varphi)=\frac 1S \int_M\tilde \varphi(x)e^{-ik.x}dx=
\frac 1S\int_M\sum_{\gamma\in\Gamma}\varphi(x+\gamma)e^{-ik.(x+\gamma)}dx=$$
$$\frac 1 S\sum_{\gamma\in\Gamma}\int_{M+\gamma}\varphi(x)e^{-ik.x}dx=
\frac 1S \int_{\real^2} \varphi(x)e^{-ik.x}dx.$$
\enddemo

\begin{cor} \index{A}{Fonctions tests pour Fourier}\label{fonctiontestfourier}
Soit $\Gamma^\star$ un r\e seau de $\real^2$, dual d'un r\e seau $\Gamma$. Alors pour tout $k_0\in\Gamma^\star$, il
existe une fonction $\varphi\in C_0^\infty$ telle que \fb& \label{orthogonalitegeneralisee} \forall k\in
\Gamma^\star,\; \int_{\real^2} \varphi(x)e^{ik.x}dx=\delta_{k,k_0}. \fe&
\end{cor}

\paragraph{D\e monstration}
Il suffit de prendre $\varphi(x)= \chi(x)e^{-ik_0.x}$, o\u $\chi(x)$ d\e finit une partition de l'unit\e .
 On a alors $\tilde \varphi(x)=e^{-ik_0.x}$.  On applique \a $\tilde \varphi$ le lemme
\ref{proprietesdelaperiodiseeenFourier}. Par unicit\ea des coefficients de Fourier de $\tilde \varphi$, on obtient
(\ref{orthogonalitegeneralisee}).
\enddemo

Soit $u$ une distribution $\Gamma$-p\e riodique.  Il serait logique de d\e finir ses coefficients en s\e rie de Fourier
en "restreignant" $u$ \a une maille $M$ du r\e seau. Mais une telle restriction pose probl\ee me, comme le montre
l'exemple du peigne de Dirac $\sum_{n\in \relative}\delta_n$.  Pour contourner la difficult\e , on consid\ee re une
fonction test $\chi$ d\e finissant une partition de l'unit\ea $\Gamma$-p\e riodique.  On peut alors \e crire
$$u = \sum_{\gamma\in \Gamma}\chi(x-\gamma)u,$$
ce qui prouve imm\e diatement que $u$ est la  p\e riodis\e e d'une distribution \a support compact, \fb&
\label{decompositionendistributionscompactes} u=\sum_{\gamma\in \Gamma}\tau_{\gamma}(\chi u). \fe&



\subsection{Caract\e risation des distributions p\e riodiques par leur s\e rie de Fourier}
Nous allons maintenant examiner la possibilit\ea de d\e finir les distributions $\Gamma$-p\e riodiques comme sommes de
s\e ries de Fourier.

\begin{pro}\index{A}{Croissance lente (suite \a )}
\label{coefficientsdeFourieracroissancelente} Soit $(c_k)_{k\in \Gamma^\star}$ une suite index\e e par un r\e seau
$\Gamma^\star $ et \`{a} croissance lente, c'est-\`{a}-dire v\'{e}rifiant pour au moins une valeur de $M\in \natural$
une in\e galit\ea du type
$$\forall k \in \Gamma^\star,\; |c_k|\leq C(1+|k|)^M.$$
Alors la s\'erie \fb& \label{seriedeFouriersurunreseau}\sum_{k\in \Gamma^\star} c_k e^{ik.x} \fe& converge au sens des
distributions et d\'{e}finit une distribution $\Gamma$-p\'{e}riodique. \end{pro}

\paragraph{D\e monstration}
La convergence au sens des distributions de la s\e rie  $\sum_{k\in \Gamma^\star} c_k e^{ik.x}$ \e quivaut \a la
convergence pour tout  $\varphi\in C_0^\infty(\real^2)$ de la s\e rie num\e rique $\sum_{k\in \Gamma^\star} c_k <
e^{ik.x}, \varphi>.$ En utilisant le m\eee me changement de variable que dans la preuve de la D\e finition-proposition
\ref{decroissancerapidedescoefficients}, on a
$$< e^{ik.x}, \varphi> = S\int_{\real^2}
\varphi(x_1e_1+x_2e_2)e^{2i\pi(k_1x_1+k_2x_2)}dx_1dx_2.$$ En int\e grant $m$ fois par parties et en tenant compte du
fait que $\varphi$ est \a support compact, on obtient donc
$$|< e^{ik.x}, \varphi>|\leq \frac {C'_m}{(1+|k|)^m}$$
pour tout $m\in \natural$. En choisissant (e.g.)  $m= M+4$, on obtient donc
 $$\sum_{k\in \Gamma^\star} |c_k < e^{ik.x}, \varphi>|\leq CC'_{M+4}\sum_{k\in
\Gamma^\star}\frac{1+|k|^M}{1+|k|^{M+4}}.$$ Cette s\e rie double est convergente car elle est major\e e par une s\e rie
double s\e parable du type $C\sum_{k_1,k_2} \frac 1{k_1^2k_2^2}$. Les sommes finies de la s\e rie
(\ref{seriedeFouriersurunreseau}) \e tant $\Gamma$-p\e riodiques, il en est de m\eee me de sa limite au sens des
distributions.
\enddemo
La proposition \ref{coefficientsdeFourieracroissancelente} nous permet de construire des distributions p\e riodiques
comme sommes de s\e ries de Fourier. Montrons maintenant que les coefficients de Fourier d'une telle distribution sont
uniques.

\begin{thf}\label{unicitedescoefficientsdefourier}\index{A}{Unicit\ea des
coefficients de Fourier d'une distribution} (Unicit\ea des coefficients de Fourier) Soit $\Gamma^\star$ un r\e seau de
$\real^2$. Si $c_{k}, \; k\in \Gamma^\star$ est une suite \a croissance lente telle que l'on ait $u=\sum_{k\in
\Gamma^\star} c_{k} e^{ik.x}=0$  au sens des distributions, alors $\forall k, c_{k}=0$.
\end {thf}
\paragraph{D\e monstration}
Pour tout $\varphi\in C_0^\infty$,
$$<\sum_k c_{k}e^{ik.x}, \varphi>=\sum_k c_{k}<e^{ik.x},
\varphi>= \sum_k c_{k}\int_{\real^2} \varphi(x)e^{ik.x}dx.$$ Le th\e or\ee me r\e sulte alors imm\e diatement en
choisissant $\varphi$ comme indiqu\ea dans le Corollaire \ref{fonctiontestfourier}.
\enddemo


\begin{pro}  Si $u$ est une distribution $\Gamma$-p\e riodique, on d\e finit ses
coefficients de Fourier $c_k(u)$, $k\in \Gamma^\star$ par \fb& \label{coefficientsdeFourierd'unedistributionperiodique}
c_k(u) = \frac 1 S<u, \chi e^{-ik.x}> \fe& o\u $\chi$ est une partition de l'unit\ea $\Gamma$-p\e riodique.  Alors
$c_k(u), \; k\in \Gamma^\star$ est \a croissance lente, ne d\e pend que de $u$ et l'on a \fb&
\label{developpementdeFourierd'unedistributionperiodique} u=\sum_{k\in \Gamma^\star}c_k(u)e^{ik.x}. \fe&
\end{pro}

\paragraph{D\e monstration}
Soit $K$ le support de $\chi$.  Par d\e finition d'une distribution, il existe une constante $C$ et un entier $p$ tels
que
$$|<u, \chi e^{-ik.x}>|\leq \sum_{|\alpha|\leq p}||\partial^\alpha
(\chi(x)e^{-ikx})||_{L^\infty},$$ o\u $\partial^\alpha=\frac {\partial^{|\alpha|}}{\partial^{\alpha_1}
x_1\partial^{\alpha_2}x_2}$ d\e signe une d\e riv\e e partielle d'ordre total $|\alpha|=\alpha_1+\alpha_2$. En d\e
veloppant les d\e riv\e es par la formule de Leibnitz, on voit qu'il existe une constante $C$ telle que
$$|<u, \chi e^{-ik.x}> |\leq C (1+ |k|^p).$$  La suite
$c_k(u) = <u, \chi e^{-ik.x}>$ est donc \a croissance lente et on a le droit de parler de la distribution
$$u_1 = \sum_{k\in\Gamma^\star} c_k(u) e^{ik.x}.$$

Il nous reste \a montrer que $u_1$ et $u$ sont \e gales, ce que l'on v\e rifie en consid\e rant une fonction test
$\varphi\in C_0^\infty$. Notons comme usuel $\tilde \varphi$ la $\Gamma$-p\e riodis\e e de $\varphi$, $\tilde
\varphi(x)=\sum_{\gamma\in \Gamma}\varphi(x)$ et rappelons que par le lemme \ref{proprietesdelaperiodiseeenFourier},
\fb& \tilde \varphi(x) =\sum_{k\in\Gamma^\star}c_k(\tilde \varphi)e^{ik.x} \hbox{ avec  } c_k(\tilde \varphi)=\frac
1S\int_{\real^2} \varphi(x)e^{-ik.x}dx. \fe& On remarque aussi que les coefficients de Fourier $c_k(\tilde \varphi)$
sont \a d\e croissance rapide par le Lemme \ref{decroissancerapidedescoefficients}.

On a d'une part
$$<u, \varphi> = <\sum_{\gamma\in\Gamma} \tau_\gamma (\chi u) , \varphi>=
<\chi u, \sum_{\gamma\in \Gamma} \tau_{-\gamma} \varphi >=<\chi u, \tilde \varphi>=$$
$$<\chi u, \sum_{k\in \Gamma^\star} c_k(\tilde\varphi) e^{ik.x}>=$$
$$\sum_{k\in \Gamma^\star} c_{-k}(\tilde \varphi)<\chi u, e^{-ik.x}>=
S\sum_{k\in \Gamma^\star} c_{-k}(\tilde \varphi)c_{k}(u).$$ Par ailleurs, on a
$$<u_1, \varphi> = <\sum_{k\in \Gamma^\star}c_k(u) e^{ik.x}, \varphi>=
\sum_{k\in \Gamma^\star}c_k(u)<e^{ik.x}, \varphi>= S\sum_{k\in \Gamma^\star}c_k(u)c_{-k}(\tilde \varphi).
$$
Les deux distributions $u$ et $u_1$ sont donc bien \e gales.
\enddemo

\subsection{Conclusion}
On peut \e noncer les r\e sultats de cette section de mani\ee re tr\ee s condens\e e en disant :
\newline
\newline
1) Toute distribution $u$ $\Gamma$-p\e riodique est la somme d'une s\e rie de Fourier dont les coefficients $c_k(u)$
sont \a croissance lente,
$$ u= \sum_{k\in \Gamma^\star}c_k(u)e^{ik.x}.$$
R\e ciproquement, toute s\e rie de Fourier \a coefficients \a croissance lente est une distribution $\Gamma$-p\e
riodique.
\newline\newline
2) Les coefficients de Fourier de $u$ se calculent avec une quelconque fonction $\chi$ donnant lieu \a une partition de
l'unit\ea $\Gamma$-p\e riodique ($\sum_{\gamma\in\Gamma}\chi(x+\gamma)=1$) par la formule
$$
c_k(u) = \frac 1 S<u, \chi e^{-ik.x}>
$$
3) La dualit\ea entre distributions p\e riodiques $u$ et fonctions tests $\varphi\in C_0^\infty$ s'exprime gr\aa ce aux
coefficients de Fourier de $u$ et de la p\e riodis\e e $\tilde \varphi$ par
$$<u, \varphi> =
S\sum_{k\in \Gamma^\star}c_k(u)c_{-k}(\tilde \varphi).
$$
4) Cette derni\ee re formule traduit donc la dualit\ea distributions p\e riodiques-fonctions test en une dualit\ea
entre  suites index\e es par $\Gamma^\star$  \a croissance lente et suites \a d\e croissance rapide.

\subsection{La formule de Poisson}
Comme application imm\e diate (et une des plus importantes), on va  calculer la transform\e e de Fourier d'un ``peigne
de Dirac" $u=\sum_{\gamma\in \Gamma}\delta_\gamma$ sur un r\e seau $\Gamma$. Par les formules
(\ref{coefficientsdeFourierd'unedistributionperiodique}, \ref{developpementdeFourierd'unedistributionperiodique}) on a
$$ u=\sum_{k\in
\Gamma^\star}c_k(u)e^{ik.x}.$$
 avec
$$
c_k(u) = \frac 1 S<u, \chi e^{-ik.x}> = \frac 1S\sum_{\gamma\in\Gamma}\chi(\gamma)e^{-ik.\gamma} = \frac
1S\sum_{\gamma\in\Gamma}\chi(\gamma)=\frac 1S,
$$
o\u $\chi$ est une partition de l'unit\ea $\Gamma$-p\e riodique. Donc
$$u=\frac 1S\sum_{k\in \Gamma^\star}e^{ik.x}.$$
On vient de montrer la {\bf Formule de Poisson,} \fb& \label{FormuledePoisson} \sum_{\gamma\in\Gamma}\delta_\gamma =
\frac 1S\sum_{k\in \Gamma^\star}e^{ik.x} \fe& Il est bon de donner une version en dimension  1 o\u les \e chelles en
jeu apparaissent : soit $T>0$ un ``pas d'\e chantillonnage", alors \fb& \label{formuledePoissonendimension1}
\sum_{k=-\infty}^{k=+\infty} \delta_{kT}=\frac 1T \sum_{p=-\infty}^{p=+\infty} e^{i\frac{2\pi p}Tx}, \fe& formule o\u
l'on a pris comme r\e seau primal $\Gamma = T\relative$.  Le r\e seau dual est alors $\Gamma^\star = \frac{2\pi}T
\relative$. Si on applique cette derni\ee re formule \a une fonction test $\varphi\in C_0^\infty$, on obtient la
formule de Poisson proprement dite, \fb& \label{formuledePoissonproprementdite} \sum_{k=-\infty}^{k=+\infty}\varphi(kT)
= \frac 1 {T}\sum_{p=-\infty}^{p=+\infty}\hat{\varphi}(\frac{2p\pi}T) \fe&

On va encore donner une autre forme \a la formule de Poisson, qui sera utile pour la th\e orie de l'\e chantillonnage
(th\e orie de Shannon).  On commence par remarquer que le peigne de Dirac
$\Pi_\Gamma=\sum_{\gamma\in\Gamma}\delta_\gamma$ est une distribution temp\e r\e e  et que la s\e rie double converge
dans ${\cal S}'$.  On a donc en appliquant la transformation de Fourier des distributions temp\e r\e es,
$$\hat{\Pi_\Gamma} = \sum_{\gamma\in
\Gamma}\hat{\delta_\gamma}=\sum_{\gamma\in \Gamma}e^{-i\gamma.x}.$$ On utilise alors la formule de Poisson
\ref{FormuledePoisson}, en \e changeant les r\oo les (sym\e triques) de $\Gamma$ et $\Gamma^\star$.  Cela donne
$$\hat{\Pi_\Gamma} = S^\star \sum_{k\in \Gamma^\star}\delta_k,$$
o\u $S^\star$ est la surface de la maille du r\e seau dual.  Il est facile de voir que $SS^\star = (2\pi)^2$. On
obtient donc la formule de base de la cristallographie selon laquelle  ``la transform\e e de Fourier d'un r\e seau est
le r\e seau dual", et plus pr\e cis\e ment \fb& \label{Formuledelacristallographie} \hat{\Pi_\Gamma} =
\frac{(2\pi)^2}{S}\Pi_{\Gamma^\star}=S^\star \Pi_{\Gamma^\star}. \fe&

\begin{rem}  On peut montrer la formule de Poisson de mani�re
�l�mentaire.  Commen�ons par lui donner une forme un peu plus g�n�rale que (\ref{formuledePoissonproprementdite}) :

\fb& \label{formuledepoissontranslat} \sum_{\gamma\in \Gamma} \varphi(x+\gamma) =\frac 1S \sum_{k\in \Gamma^\star}\hat
\varphi(k)e^{ikx}. \fe&

Pour passer de (\ref{FormuledePoisson}) � (\ref{formuledepoissontranslat}), on applique les membres de droite et de
gauche � la fonction $x\to \varphi(z+x)$. Cela donne
$$\sum_{\gamma\in \Gamma}\varphi(x+\gamma)=
\frac 1S \sum_{k\in \Gamma^\star}\int e^{ikx}\varphi(z+x)dx=
$$
$$\frac 1S \sum_{k\in \Gamma^\star} \int
e^{ik(y-z)}\varphi(y)dy=\frac 1S \sum_{k\in \Gamma^\star} e^{-ikz} \hat \varphi(-k).
$$
On fait ensuite $k\to -k$, $\Gamma^\star$ �tant sym�trique par rapport � z�ro.   Pour passer de
(\ref{formuledepoissontranslat}) � (\ref{FormuledePoisson}), on fait simplement $x=0$.

\skipaline On va maintenant v�rifier directement (\ref{formuledepoissontranslat}) en n'utilisant que la d�composition
en s�rie de Fourier. On pose pour cela $\tilde \varphi(x)=\sum_\gamma \varphi(x+\gamma),$ pour $\varphi \in \cal S$.
Alors on sait d�ja que $c_k(\tilde\varphi)=\frac 1S  \hat \varphi(k)$ et donc
$$\tilde \varphi(x)=\sum_{k\in
\Gamma^\star}c_k(\tilde\varphi)e^{ikx}=\frac 1S \sum_{k\in\Gamma^\star}\hat\varphi(k)e^{ikx}.$$ Finalement,

$$\sum_\gamma \varphi(x+\gamma)=\frac 1S \sum_{k\in
\Gamma^\star}\hat \varphi(k)e^{ikx}.$$
\end{rem}

\subsubsection{L'unification des formalismes de Fourier}
Le  but de ce paragraphe est de montrer que {\it les s�ries de Fourier rel�vent du m�me formalisme, et sont un cas
particulier, de la transform�e de Fourier des distributions temp�r�es.} On part de $u$, fonction ou distribution
$\Gamma$-p�riodique. On a d�fini
$$c_k(u)=\frac 1S <u, \chi e^{ikx}>,$$
o� $\chi$ est une partition de l'unit� $\Gamma$-p�riodique. On va calculer $\hat u$.

\begin{pro}\label{unificationdesformalismes}
Soit $u$ une distribution $\Gamma$-p�riodique.  Alors
$$\hat u=(2\pi)^N \sum_{k\in \Gamma^\star} c_k(u) \delta_k.$$
En d'autres termes, la transform�e de Fourier d'une distribution $\Gamma$-p�riodique donne un peigne sur le r�seau dual
dont les coefficients ne sont autres que les coefficients de la s�rie de Fourier de $u$.
\end{pro}

\paragraph{D�monstration}
On �crit $u=\sum_\gamma \tau_\gamma(\chi u)$. Donc
$$\hat u(\xi)=\sum_\gamma \hat{\tau_\gamma(\chi u)}(\xi)=\sum_\gamma
e^{i\gamma\xi}\hat{\chi u}(\xi)=
$$
$$\hat{\chi u}(\xi)\sum_\gamma e^{i\gamma \xi}=\hat{\chi
u}(\xi)S^\star \sum_{k\in \Gamma^\star}\delta_k$$ par la formule de Poisson (\ref{FormuledePoisson}).
\enddemo
On peut donc donner le tableau g�n�ral sur la transform�e de Fourier (la double fl�che signifie vers la droite
transform�e de Fourier, vers la gauche transform�e de Fourier inverse).
$$\cal{S}\leftrightarrow\cal{S}$$
$$\cal{S}'\leftrightarrow\cal{S}'$$
$$L^2\leftrightarrow L^2$$
$$\hbox{polyn�me trigonom�trique} \leftrightarrow \hbox{somme
finie de Diracs sur le r�seau dual}$$
$$\hbox{distribution p�riodique}\leftrightarrow \hbox{peigne de
Dirac dual pond�r� par les coefficient de Fourier de } u.$$

Il n'a qu'une seule tranform�e de Fourier.
