

\chapter{Distributions dans $\RR^N$}

\subsection {D\'{e}finition des distributions}
On note ${\cal D}(\Omega)=C_0^\infty(\Omega)$ l'ensemble des fonctions
 $C^\infty$ \`{a} support compact dans un ouvert $\Omega$ de $\real^n$.
 Ces fonctions sont aussi appel\'{e}es "fonctions test".
Si $\alpha = (\alpha_1, ..., \alpha_N)\in \natural^N$, on notera $|\alpha|=\alpha_1+... +\alpha_N$ et $\partial^\alpha
u$ la d\e riv\e e partielle
$$\partial^\alpha u =
\frac{\partial^{|\alpha|}u}{\partial x_1^{\alpha_1}...\partial x_N^{\alpha_N}}.
$$
 On dira qu'une
 suite $\varphi_n$ de ${\cal D}(\Omega)$ tend vers $\varphi \in {\cal D}
(\Omega)$ si

$\bullet$  Il existe pour $n$ assez grand un compact $K$ de $\Omega$ tel que supp$(\varphi_n-\varphi) \subset K$

$\bullet$ $\lim_{n\to \infty} \partial^\alpha\varphi_n = \partial^\alpha \varphi$
 uniform\'{e}ment sur $K$ pour tout multiindice $\alpha$.

On appelle espace des distributions, ${\cal D}'(\Omega)$ le dual de ${\cal D}(\Omega)$.  Chaque distribution est donc
une forme lin\'{e}aire sur ${\cal D}(\Omega)$ continue pour la notion de convergence introduite ci-dessus. On note
$<u,\varphi> = u(\varphi)$.  En d'autres termes,

\begin{Def}une forme
lin\'{e}aire sur ${\cal D}(\Omega)$ est une distribution si et seulement si
 pour tout compact $K$ de $\Omega$ il existe un entier $p$  et une
 constante $C$ tels que pour toute fonction
$\varphi\in {\cal D}(\Omega)$ \`{a} support dans $K$ on ait
$$\vert <u,\varphi>\vert \leq C \sup_{x\in K,  \vert \alpha \vert
\leq p} \vert \partial^\alpha \varphi (x)\vert$$
%En effet, supposons par contradiction que
%$$\exists K, \forall p\in\natural, \exists C, \exists \varphi_p,
%\quad{supp}\varphi_p \subset K, sup_{x\in K, \vert \alpha\vert \leq p}
%\vert \partial ^\alpha \varphi_p(x)\vert = \frac {1}{p}$$
% et
%$$\vert <u, \varphi_p> \geq 1$$
%On  d\'{e}duit de la premi\ee re relation que $\varphi_p$ tend vers 0 dans ${\cal
%D}(\Omega)$, et la deuxi\ee me relation contredit alors
% la continuit\'{e} de $u$.
Lorsque l'entier $p$ peut \^{e}tre choisi ind\'{e}pendamment de $K$, on dit
 que la distribution est d'ordre fini, et la plus petite valeur de
$p$ possible est appel\'{e}e l'ordre de $u$.
\end{Def}
  On munit ${\cal D}'(\Omega)$ de la
topologie de la convergence simple, c'est-\`{a}-dire que $u_n$ tend vers $u$ si et seulement si $<u_n, \varphi>\to <u,
\varphi>$ pour
 tout $\varphi\in {\cal D}(\Omega)$.
On admettra le th\e or\ee me suivant, qui est une cons\e quence du th\e or\ee me de Banach-Steinhaus~:
\newline
Si une suite de distributions $u_n$ est telle que $<u_n, \varphi>$ converge pour tout $\varphi$ dans ${\cal
D}(\Omega)$, alors $u_n$ tend vers une distribution $u$ telle que $<u,\varphi>=\lim_{n\to \infty}<u_n, \varphi>$.

\subsection {Exemples de distributions}

\skipaline {\bf Fonctions de $L^1_{loc}$} A $f\in L^1_{loc}(\real^n)$ on
 associe
$\tilde f$ d\'{e}finie par
 $<\tilde f, \varphi> = \int_{\real^n} f(x)\varphi(x)dx.$
\newline $\bullet$ Alors $\tilde f$ est une distribution.
\newline $\bullet$ Si une
suite de fonctions
 converge dans $L^1_{loc}$, elle converge aussi au sens des
 distributions.

\skipaline {\bf Masse de Dirac} La "masse de Dirac" d\'{e}finie par $<\delta_{x_0},\varphi>=\varphi(x_0)$
 est une distribution qui ne peut se mettre sous la forme $\tilde f$
 avec $f\in L^1_{loc}.$

\skipaline {\bf Mesures de Radon} On appelle mesure de Radon positive toute forme lin\'{e}aire positive sur ${\cal
D}(\Omega)$.
\newline $\bullet$ Une mesure de Radon positive est une distribution
 d'ordre 0 sur $\Omega$.
\newline $\bullet$ On appelle mesure de Radon toute diff\'{e}rence
 de mesures de Radon positives.
%Indication : si $\varphi \in {\cal D}(\Omega)$, prendre une fonction
% $\psi$ de ${\cal D}(\Omega)$ qui vaut $\sup\vert \varphi\vert$ sur
%le support de $\varphi$.
\newline $\bullet$ {\bf Exemple} : Si $F$ est une fonction croissante
d\'{e}finie  sur $\real$, sa d\'{e}riv\'{e}e au sens des distributions est une mesure
 de Radon positive. (Voir plus bas la d\e finition de d\e riv\e e au sens des
distributions).
%(Bony 5.1.6)
\newline $\bullet$ {\bf Peignes de Dirac}
Soit $\Gamma $ un r\e seau r\e gulier de $\real^N$.  On pose $\Delta_\Gamma=\sum_{\gamma\in \Gamma} \delta_\gamma.$
C'est une mesure de Radon sur $\real^N$.

\section{Op\e rations sur les distributions}

\skipaline {\bf Translat\'{e}e d'une distribution}  On pose $<\tau_hu,\varphi> = : <u,\tau_{-h}\varphi>$, o\`{u}
$\tau_h\varphi(x)=\varphi(x-h)$.  C'est une distribution si $u$ en est une.

\skipaline {\bf Dilat\e e d'une distribution} On appelle si $f$ est une fonction et $\lambda >0$, sa dilat\e e de
$\lambda$: $f_\lambda(x) = f(\frac x \lambda)$. Si $u$ est une distribution sur $\real^N$, on d\e finit sa dilat\e e
par $<u_\lambda, \varphi>= |\lambda|^N<u, \varphi_{\frac 1 \lambda}>.$


\skipaline {\bf Multiplication par une fonction $C^\infty$} On pose, si $f\in C^\infty(\real^n)$ et $u\in {\cal
D}'(\Omega)$,
$$<fu, \varphi>=<u, f\varphi>.$$ C'est une distribution.

\skipaline {\bf échantillonnage} On v\e rifie facilement que $f\delta_a=f(a)\delta_a$, et plus g\e n\e ralement,
$$f\Delta_\Gamma = \sum_{\gamma\in \Gamma} f(\gamma)\delta_\gamma.$$

\skipaline{\bf Conjugu\e e complexe} On pose $<\overline{u}, \varphi> = \overline{<u, \overline{\varphi}>}.$

\skipaline {\bf On a toujours le droit de d\e river une distribution} Si $u$ est une distribution, $\partial ^\alpha
u$, d\'{e}finie par $<\partial^\alpha u, \varphi> = (-1)^\alpha <u,\partial^\alpha \varphi>$ est aussi une
distribution.
  \newline $\bullet$  Alors l'ordre de $\partial^\alpha u$ est inf\e rieur ou \e gal \a
l'ordre de $u$, s'il existe, augment\ea de $|\alpha|$.
\newline $\bullet$ Cette d\'{e}finition de la
d\'{e}riv\'{e}e co\"{\i}ncide avec la d\'{e}finition
 classique quand $u$ est une fonction $C^1$.  On a donc toujours
 le droit de d\'{e}river une distribution !
\newline $\bullet$ Si une suite de
 distributions converge ses d\'{e}riv\'{e}es convergent aussi.
    \newline $\bullet$      Inversement, si $f\in L^1_{loc}(\real)$ est localement int\e grable et
$F$ une primitive de $f$, alors $F'=f$, la d\e riv\e e \e tant entendue au sens des distributions.

\skipaline  On appelle {\bf fonction de Heaviside} $H(x) = 1$ si $x\geq 0$, 0 sinon.  Alors $H$ est une distribution et
$H'=\delta_0$.

\skipaline {\bf D\e riv\e e de la masse de Dirac}
\newline On a $x\delta'=-\delta$.

\skipaline {\bf Discr\e tisation de la d\e rivation}\newline Si $u\in {\cal D}'(\real)$, sa d\'{e}riv\'{e}e est la
limite, pour $h\to 0$, des distributions $h^{-1}(\tau_{-h}u-u)$.
%{Bony, 5.1.5}

\section{Distributions \a support compact}
\begin{Def} Soit $u\in {\cal D}'(\Omega)$ une distribution. On
consid\ee re le plus grand ouvert $\omega$ tel que la restriction de $u$ aux fonctions test \a support dans $\omega$
soit nulle.  Le compl\e mentaire de cet ouvert est appel\ea le support de $u$ et not\ea {\rm Supp}$(u)$.
\end{Def}
On note ${\cal E}'(\Omega)$ l'espace des distributions dans $\Omega$ \a support compact et il est facile de d\e duire
de la d\e finition des distributions que toute distribution \a support compact est d'ordre fini. On peut alors \e
tendre la dualit\ea $C_0^\infty$-${\cal D}'$ en une dualit\ea $C^\infty$-${\cal E}'$, car on voit ais\e ment que si
$\varphi\in C^\infty$ et $\theta \in C_0^\infty$ est une fonction \e gale \a 1 sur un voisinage de Supp($u$), alors
$<u, \theta \varphi>$ ne d\e pend pas de $\theta$. On peut donc d\e finir $<u, \varphi>=<u, \theta\varphi>$.



\section {Distributions temp\'{e}r\'{e}es}
On dit que $\varphi$ est dans la classe de Schwartz, $\cal S$,   et on note  $\varphi\in {\cal S}(\real^N)$, si
$\varphi\in C^\infty(\real^N)$ et si pour tout $n$ et tous multindices $\alpha$ et $\beta$, on a  $\vert x\vert^\beta
\partial^\alpha \varphi(x) \to 0$ quand
 $\vert x\vert \to +\infty$. On exprime aussi ces relations en disant que
$\varphi$ et toutes ses d\e riv\e es sont `\`{a} d\'{e}croissance rapide". Il est \'{e}quivalent de dire que les
quantit\'{e}s
$$
{\cal N}_p(\varphi)=\sum_{\vert \alpha\vert\leq p,
 \vert \beta\vert\leq p}\vert\vert
x^\alpha\partial^\beta\varphi(x)\vert\vert_{L^\infty}
$$ sont finies pour
tout $p$.

(Notation : $\vert\alpha\vert = \alpha_1+...+\alpha_n$, $x^\alpha = x_1^{\alpha_1}...x_n^{\alpha_n}$ et $\partial^\beta
= \frac{\partial^{\beta_1+...+\beta_n)}}{\partial x_1^{\beta_1}...
\partial x_n^{\beta_n}}$).

\skipaline On appelle {\it distribution temp\'{e}r\'{e}e} toute forme lin\e aire continue sur $\cal S$.  Si $u$ est une
distribution temp\e r\e e, on   note $u\in{\cal S}'(\real^n)$. D'une mani\ee re \e quivalente, $u$ est une distribution
temp\e r\e e s'il existe $p\in\natural$ et une constante $C_p$ telle que \fb& \label{definitiondistributiontemperee}
\forall \varphi \in {\cal S},\; \vert<u,\varphi>\vert \leq C_p{\cal N}_p(\varphi). \fe& On dit qu'une suite $u_n$ d'\e
l\e ments de ${\cal S}'$ converge vers $u\in {\cal S}'$ si $<u_n, \varphi> \to <u, \varphi>$ quand $n\to \infty$.
D'apr\ee s le th\e or\ee me de Banach-Steinhaus, si $<u_n, \varphi>$ converge pour tout $\varphi\in \cal S$, alors il
existe $u$ dans ${\cal S}'$ telle que $u_n\to u$.

\skipaline On peut interpr\'{e}ter ${\cal S}'(\real^n)$ comme le dual de ${\cal S}(\real^n)$.  R\e ponse : \e vident,
l'in\e galit\'{e} pr\e c\e dente exprimant que $u$ est continue par rapport \`{a} chacune des seminormes ${\cal N}_p$
d\e finies sur $\cal S$.

\subsection{Propri\e t\e s des distributions temp\e r\e es, exemples}
{\bf (sous forme d'exercices)}

\skipaline 1) Un contrexemple : D\e montrer que pour tout $\varphi\in C_0^\infty$ et pour tout entier $p$, il existe
une constante $C$ telle que ${\cal N}_p(\tau_a\varphi)  \leq C(1+\vert a\vert^p)$.  En d\'{e}duire que la fonction
$e^x$ n'appartient pas \`{a} ${\cal S}'(\real)$.
%(Bony, 9.3.4, 5 et 6)

\skipaline 2) Peignes de Dirac dans ${\cal S}'$. D\'{e}montrer que $u=\sum_{-\infty}^{\infty} a_k\delta_k$ appartient
\`{a} ${\cal S}'(\real)$ si et seulement si la suite $a_k$ est \`{a} croissance lente.  (C'est-\`{a}-dire, $\exists C,
\exists N, \quad \vert a_k\vert \leq C(1+\vert k\vert^N).$)

%\skipaline
%3) G\e n\e ralisation. A quelle condition a-t-on $\sum a_k\delta_k^{(n_k)}\in {\cal S}'$ ?

\skipaline 4)  Soit $(a_k)\in \real$. D\'{e}montrer que $a_k\delta_k \to 0$ dans ${\cal D}'(\real)$ mais que la
convergence ne se v\'{e}rifie dans ${\cal S}'(\real)$ que si $(a_k)$ est \`{a} croissance lente.

\skipaline 5)  Montrer que la fonction $x\to e^x(cos(e^x)+isin(e^x))$ appartient \`{a} ${\cal S}'(\real)$. Pour cela,
on calculera une primitive.  Comparer avec le r\'{e}sultat du 1).

\skipaline 6) D\e montrer que si une fonction est ``\`{a} croissance lente", i.e. il existe $k>0$ et $C$ tels que
$|f(x)|\leq C(1+|x|^k)$, alors $f$ est une distribution temp\e r\e e.

\skipaline 7) D\e montrer que toute fonction de $L^1$, de $L^p$, $p\geq 1$ est une distribution temp\e r\e e,  ainsi
que toute distribution \`{a} support compact.

\skipaline 8)  D\e montrer que si $f_n(x)$ est une suite de fonctions qui tend simplement vers $f(x)$ et s'il existe
$C$ et $p$ tels que $f_n(x)\leq C(1+|x|)^p$, alors $f_n\to f$ dans ${\cal S}'$.

\begin{Def} On dit qu'une fonction $f$ est dans ${\cal O}(\real^N)$ si elle est \`{a}
croissance lente ainsi que toutes ses d\e riv\e es, c'est-\`{a}-dire~:
$$
\forall \alpha, \;\exists C\exists m\quad |\partial^\alpha f(x)|\leq C(1+|x|)^m.
$$
\end{Def}
D\e montrer que si $f\in {\cal O}$, alors pour tout $\varphi \in \cal S$, $f\varphi\in \cal S$ ; pour tout $u\in {\cal
S}'$, $fu\in {\cal S}'$.   Si de plus $u_n\to u$ dans ${\cal S}'$, alors $fu_n\to fu$ dans ${\cal S}'$.

\section{Transform\'{e}e de Fourier}

 \begin{Def} : soit $f\in L^1(\real^N).$  Par
$f(x) \leftrightarrow \hat f(\xi)$, ou par $\hat f(\xi) = {\cal F}(f)(\xi)$ on entend que $\hat f(\xi)$ est la
transform\'{e}e de Fourier de $f(x)$ :
$$\hat f(\xi) = : \int_{\real ^N}f(x)e^{-ix.\xi}dx.$$
Alors $\hat f(\xi)$ est une fonction continue tendant vers $0$ \a l'infini.
\end{Def}

\subsection {Transform\'{e}e de Fourier des fonctions de {\cal S}}
{\bf (Par l'exercice )}
  Nous allons montrer
toutes les  propri\'{e}t\'{e}s formelles de la transform\'{e}e de Fourier sur un espace de
 fonctions tr\`{e}s r\'{e}guli\`{e}res, de mani\`{e}re \`{a} ne jamais nous pr\'{e}occuper
 des questions de sommabilit\'{e}, d\'{e}rivation sous le signe somme, etc...
On rappelle que $f\in {\cal S}(\real^N)$, si $f\in C^\infty(\real^N)$ et si pour tout $n$ et tous multindices $\alpha$,
$\beta$ on a $\vert x\vert^\beta \partial^\alpha f(x) \to 0$ quand
 $\vert x\vert \to +\infty$.  Il est \e quivalent de dire que pour tout $p$ les
seminormes
$${\cal N}(f)=\sum_{|\alpha|\leq p,\; |\beta|\leq p}||x^\alpha\partial^\beta
f(x)||_{L^\infty}$$
 sont finies pour tout entier naturel $p$.

\begin{thf} Si $f\in {\cal S}$, alors $\hat f \in {\cal S}$.
\end{thf}
Exemple canonique : la gaussienne, qui est un ``point fixe" pour la transform\'{e}e de Fourier.

\paragraph{D\e monstration}
 On remarque que si $f$ est dans $\cal S$, elle appartient \`{a} $L^1$ et
il en est de m\^{e}me pour toutes ses d\'{e}riv\'{e}es et pour le produit de $f$ par n'importe quel polyn\^{o}me.
 Les transform\'{e}es de Fourier de toutes ces fonctions sont donc
continues et tendent vers z\'{e}ro \`{a} l'infini. En utilisant la relation

\begin{equation}
\label{deriverFourier}
\partial ^\alpha\hat f= {\cal F}((-ix)^\alpha f(x)), \hbox{ soit }
{\cal F}(x^\alpha f(x))=i^{|\alpha|}\partial^\alpha \hat f
\end{equation}
 obtenue en appliquant le th\'{e}or\`{e}me de
d\'{e}rivation sous le signe somme, on en d\'{e}duit que $\hat f$ est $C^\infty$.  Pour montrer que $\hat f$ est \`{a}
d\'{e}croissance rapide,  on int\`{e}gre par parties $|\alpha|$ fois l'int\'{e}grale d\'{e}finissant $\hat f$ et on
obtient

\begin{equation}
\hat{\partial^\alpha f}(\xi)=(i\xi)^\alpha \hat f(\xi). \label{Fourierdederivee}
\end{equation}
 Comme $\hat f$ et
$\hat{\partial^\alpha f}$ sont continues et born\'{e}es, on en d\'{e}duit que  $|\hat f(\xi)|\leq \frac C {1 +
|\xi|^k}$ pour tout $k\in \natural$ et donc que $\hat f$ est \`{a} d\'{e}croissance rapide.  Faut-il recommencer le
raisonnement pour les d\'{e}riv\'{e}es successives de $\hat f$ ?  Certainement pas~: on utilise le fait que les
d\'{e}riv\'{e}es de $\hat f$ sont les transform\'{e}es de Fourier des fonctions $(-ix)^\alpha f(x)$ qui sont
elles-m\^{e}mes \`{a} d\'{e}croissance rapide. Le r\'{e}sultat que nous avons montr\'{e} pour $\hat f$ s'applique donc
\`{a} toutes ses d\'{e}riv\'{e}es.

\begin{cor} Il
existe des constantes $C'_p$ telles que

\begin{equation}
{\cal N}_p(\hat f)\leq C'_p{\cal N}_{p+N+1}(f). \label{continuitedeFouriersurS}
\end{equation}
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
On v\e rifie que si $|\alpha|\leq p$, $|\beta| \leq p$, alors
$$||(1+\sum_{i=1,...,N}x_i^{N+1})x^\alpha\partial^\beta f(x)||_{L^\infty}\leq {\cal
N}_{p+N+1}(f)$$ et qu'en cons\e quence

\begin{equation}
\label{majorationL1} ||x^\alpha\partial^\beta f(x)||_{L^1}\leq {\cal N}_{p+N+1}(f)\int\frac
1{1+\sum_{i=1,...,N}|x_i|^{N+1} }dx
\end{equation}
qui est une int\e grale finie.

\skipaline $\bullet$ On d\e duit alors des formules (\ref{Fourierdederivee}) et (\ref{deriverFourier}) que
\begin{equation}
\label{magnifique} {\cal F}(\partial^\alpha(x^\beta f))(\xi)=(i)^{|\alpha|+|\beta|} \xi^\alpha\partial^\beta\hat
f(\xi).
\end{equation}
Cette formule magnifique, qui r\e sume tout, est tr\ee s facile \`{a} retenir. On obtient alors en utilisant
(\ref{majorationL1}),
$$|\xi^\alpha \partial^\beta \hat f(\xi)|=|\int
\partial^\alpha(x^\beta f(x))e^{-ix\xi} dx|\leq
||\partial^\alpha(x^\beta f(x))||_{L^1}\leq C_p {\cal N}_{p+N+1}(f).$$
 \skipaline $\bullet$ On conclut
qu'il existe une constante $C'_p$ telle que
\begin{equation}
{\cal N}_p(\hat f)\leq \sum_{|\alpha\leq p,\; |\beta|\leq p} ||\partial^\alpha(x^\beta f)||_{L^1}\leq
C'_p\sum_{|\alpha\leq p,\; |\beta|\leq p} ||x^{\alpha '}\partial^{\beta '}f||_{L^1}.
\end{equation}
(Utiliser l'estimation (\ref{majorationL1})).
\enddemo

\begin{pro}  {\bf Transform\'{e}e de Fourier de la gaussienne : }
\newline $\bullet$ La gaussienne $g(x)=e^{-a|x|^2}$ appartient \`{a} $\cal S$ et
$e^{-a\vert x\vert^2}\leftrightarrow (\frac{\pi}{a})^{\frac{n}{2}}e^{-\frac {\vert \xi\vert ^2}{4a}}$.
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
On commence par poser, en dimension 1, $g(\xi)=\int e^{-ix\xi}e^{-x^2}dx$ et on montre en faisant une dérivation sous
le signe somme suivie d'une intégration par parties que $2g'(\xi)+\xi g(\xi)=0$, de sorte que $g(\xi) = \sqrt\pi
e^{-\frac{\xi^2}{4}}$. On rappelle que $\int_{\real} e^{-x^2}dx=\sqrt \pi$, ce qui se d\'{e}montre facilement en
prenant le carr\'{e} de cette int\'{e}grale, le consid\'{e}rant par Fubini comme une int\'{e}grale sur $\real^2$ que
l'on calcule en coordonn\'{e}es polaires. Pour passer en dimension $n$, il suffit de remarquer que la gaussienne est
s\e parable, i.e. $e^{-|x|^2}=e^{-x_1^2}e^{-x_2^2}...e^{-x_n^2}$, de sorte que son int\e grale de Fourier est \e
galement s\e parable. On applique alors $n$ fois la formule en dimension 1.
\enddemo

Dans la suite on notera $$\overline{\cal F}(f) (\xi) = \int_{\real^N}\hat f(\xi)e^{ix.\xi}d\xi.$$ Cette notation est
commode pour exprimer la formule d'inversion de Fourier.
\begin{pro}{\bf Formule d'inversion de Fourier}
Si $f$ est dans la classe de Schwartz, alors
$$f(x) =\frac {1}{(2\pi)^N} \int_{\real^N}\hat f(\xi)e^{ix.\xi}d\xi.$$
En d'autres termes,
$$f(x) = \frac {1}{(2\pi)^N}{\cal F}(\hat f(-\xi))(x),$$
ou bien
$$f = \frac {1}{(2\pi)^N}\overline{\cal F}(\hat f),$$
\ccaadd encore
$$\overline{\cal F}{\cal F} = (2\pi)^N Id.$$
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
Pour prouver la formule d'inversion pr\e c\e dente, on pose
$$f_a(x) =
\frac {1}{(2\pi)^N} \int e^{-a|\xi|^2}\hat f(\xi)e^{ix.\xi} d\xi.$$ On remarque que par le th\e or\ee me de Lebesgue,
$f_a(x)$ tend vers $\frac {1}{(2\pi)^N} \int_{\real^N}\hat f(\xi)e^{ix.\xi}d\xi=\frac {1}{(2\pi)^N}{\cal F}(\hat
f(-\xi))(x).$  Il suffit donc pour conclure de  montrer que $f_a (x)\to f(x)$ simplement quand $a \to 0$.

\skipaline On a
$$f_a (x) =
\frac {1}{(2\pi)^N} \int e^{-a|\xi|^2}(\int f(y)e^{-iy.\xi}dy)e^{ix.\xi}d\xi.
$$
On utilise le th\e or\ee me de Fubini et la formule donnant la transform\e e de Fourier de la gaussienne pour obtenir~:
$$f_a(x)=\int f(y)\frac{e^{-\frac {|y-x|^2}{4a}}}{(4\pi a)^\frac N 2}dy.$$
La gaussienne sous l'int\e grale pr\e c\e dente est d'int\e grale 1 et tend vers la masse de Dirac quand $a\to 0$.  On
d\e duit que $f_a(x)\to f(x)$, ce qui ach\ee ve la d\e monstration.
\enddemo
\begin{pro}  {\bf Transform\e e de Fourier et convolution}\label{TFetconvolution}
Si $f$ et $g$ appartiennent \a $L^1(\real^N)$, alors la convol\e e  $f\ast g $ aussi et on a $${\cal F}(f\ast g) =
\hat{f}\hat {g}.$$
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}  C'est une application directe du th\e or\ee me de Fubini.
\enddemo

\begin{pro} {\bf Formule de Parseval.}
$$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\overline{g}(x)dx =
\frac {1}{(2\pi)^N}\int_{-\infty}^{\infty}\hat f(\xi)\overline{\hat g}(\xi)d\xi.$$
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
En appliquant la proposition \ref {TFetconvolution}, on a
$$\int_{-\infty}^{\infty}f(y)g(x-y) dy =
\frac {1}{(2\pi)^N}\int_{-\infty}^{\infty}\hat f(\xi)\hat g(\xi)e^{ix\xi}d\xi,$$ puis par de faciles ajustements, la
formule de Parseval.
\enddemo

\begin{cor}{\bf Transform\'{e}e de Fourier dans $L^2(\real ^n)$.}
Gr\^{a}ce \a la Formule de Parseval, qui exprime que la transform\e e de Fourier conserve la norme $L^2$, la
transform\'{e}e de Fourier peut-\^{e}tre prolong\'{e}e de mani\ee re unique de ${\cal S}(\real^n)$ \`{a} $L^2(\real^n)$
et elle est donc un isomorphisme de $L^2$.
\end{cor}



\section {Transform\'{e}e de Fourier des distributions temp\'{e}r\'{e}es}
On d\'{e}finit la transform\'{e}e de Fourier $\hat u$ d'une distribution temp\'{e}r\'{e}e $u$ par
$$\forall \varphi \in {\cal S}(\real^N), \quad <\hat u, \varphi> = <u, \hat
\varphi>.$$

\begin{thf} Si $u$ est une distribution temp\e r\e e, alors $\hat u$ est  une
distribution temp\'{e}r\'{e}e.
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}  On rappelle (\ref{continuitedeFouriersurS}) que si
$f\in \cal S$, on a
\begin{equation}
{\cal N}_p(\hat f)\leq C'_p{\cal N}_{p+N+1}(f).
\end{equation}
Donc pour tout $\varphi$ dans $\cal S$ et pour  tout $p\in \natural$, on obtient en utilisant la d\e finition des
distributions temp\e r\e es (\ref{definitiondistributiontemperee}) et (\ref{continuitedeFouriersurS})
$$ |<\hat u, \varphi>|=|<u, \hat \varphi>|\leq C_p{\cal N}_p(\hat\varphi)
\leq C_pC'_p{\cal N}_{p+N+1}(\varphi),$$ ce qui prouve que $\hat u$ est une distribution temp\e r\e e.
\enddemo
\subsection{Formulaire sur la transform\e e de Fourier dans la classe de Schwartz}

\skipaline $\bullet $  Gaussienne : ${\cal F}(e^{-a|x|^2})=(\frac \pi a)^\frac N2e^{-\frac{|\xi|^2}{4a}}.$

\skipaline $\bullet$  S\e paration des variables : ${\cal F}(f_1(x_1)...f_N(x_N))=\hat f_1(\xi_1)...\hat f_N(\xi_N).$


\skipaline $\bullet$   Convolution-produit : $f\ast g \leftrightarrow \hat f\hat g$.

\skipaline $\bullet$ produit-convolution : $f.g \leftrightarrow (2\pi)^{-N}\hat f\ast \hat g$.

\skipaline $\bullet$  Formule d'inversion  : $\overline{\cal F}(\hat f) = (2\pi)^Nf$, soit aussi
$$f(x) = \frac {1}{(2\pi)^N}{\cal F}(\hat f(-\xi))(x).$$


\skipaline $\bullet$  Si $f$ est r\'{e}elle et paire, $\hat f(\xi)$ est r\'{e}elle et $\hat f(\xi) =
2\int_0^{+\infty}f(x)cos (\xi x) dx.$

\skipaline $\bullet$ Si $f$ est r\'{e}elle et impaire, $\hat f(\xi)$ est imaginaire et $\hat f(\xi) =
-2i\int_0^{+\infty}f(x)sin (\xi x) dx.$


\skipaline $\bullet$  Conjugu\'{e}es : $\overline{f}(x) \leftrightarrow \overline{\hat f}(-\xi)$



\skipaline $\bullet$ Changement d'\'{e}chelle : $f(ax) \leftrightarrow \frac {1}{\vert a\vert^N}\hat f(\frac
{\xi}{a})$. Autre forme :
$${\cal F}(f(ax))(\xi)= \frac {1}{a^N} {\hat f(\frac \xi a )}.$$


\skipaline $\bullet$ "Shift" : $f(x-a)\leftrightarrow e^{-ia\xi}\hat f(\xi)$, $e^{iax}f(x)\leftrightarrow \hat f(\xi
-a).$


\skipaline $\bullet$ "Modulation" : $f(x)cos(\xi_0x)\leftrightarrow \frac {1}{2}\left ( \hat f(\xi+\xi_0) + \hat f(\xi
-\xi_0)\right ).$


\skipaline $\bullet$  D\'{e}riv\'{e}es : $(-ix)^nf(x)\leftrightarrow \hat f^{(n)}(\xi)$,   $f^{n}(x) \leftrightarrow
(i\xi)^n\hat f(\xi)$.


\skipaline $\bullet$  Th\'{e}or\`{e}me des moments : On appelle "moment d'ordre $n$" de $f$, $m_n = \int
_{-\infty}^{+\infty}x^nf(x)dx$.  Alors $\hat f^{(n)}(0)=(-i)^nm_n$.

\skipaline $\bullet$ {\bf R\'{e}gularit\'{e} et d\'{e}croissance \`{a} l'infini} Si $f$ est \`{a} support compact,
$\hat f$ est $C^\infty$.

\skipaline {\bf Le ``sinus cardinal''} \fb& \label{sinuscardinal}(N=1) \indic_{[-\frac T 2,\frac T 2]}\leftrightarrow
2\frac{\sin T\xi}{ \xi}. \fe&


\begin{pro} {\bf Principe d'incertitude}
Soit $f$ une fonction telle que $f$, $xf$ et $\xi \hat f$ soient dans $L^2(\real)$. On note $$\sigma_f^2=\int
x^2|f(x)|^2dx \hbox { (dispersion d'\e nergie en temps)}$$
$$\sigma_{\hat f}^2 = \int \xi^2|\hat f(\xi)|^2d\xi \hbox {  (dispersion d'\e nergie en
fr\e quence)}$$
$$E_f = \int |f(x)|^2dx \hbox {  (\e nergie de $f$)}.$$
Alors
$$\sigma_f\sigma_{\hat f} \geq \frac{E_f}{4\pi}.$$
\end{pro}
Une version moins pr\e cise, mais qualitativement importante du principe d'incertitude est la suivante :

\begin{pro}il n'existe pas de fonction $f\neq 0$  dans $L^1(\real^N)$   telle que $\hat f$
et $f$ soient simultan\e ment \a support compact.
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
Si par exemple $f$ est \a support compact, on pose pour $\xi \in \real^N$ fix\ea et pour $z\in \complex$,
$$g(z)=\int_K e^{-iz\xi.x}f(x)dx.$$
On v\e rifie ais\e ment que $g$ est une fonction holomorphe sur $\complex$ : on peut d\e river  sous le signe somme,
puisque $K$ est compact. Si $z\in \real,$ on a $g(z) = \hat f(z\xi)$. Si $\hat f$ a un support compact, $g(z)$ est
identiquement nulle sur un intervalle de $\real$.  Mais ceci implique par le principe du prolongement analytique que
$g(z)$ est identiquement nulle.  Donc $\hat f(\xi)=g(1) =0$ et donc $\hat f$ est identiquement nulle.
\enddemo

\subsection {Formulaire sur la transform\e e de Fourier des distributions temp\e r\e es}
Sauf mention contraire, $u$ et $v$ d\e signent dans la suite des distributions temp\e r\e es.

\skipaline $\bullet$ Si $u\in {\cal S}'$ et $\varphi \in S$, $<\hat u, \varphi>=<u, \hat \varphi>$.  Pour montrer
toutes les formules qui suivent, on utilise constamment et uniquement cette formule et le formulaire sur la transformée
de Fourier dans la classe de Schwartz (paragraphe précédent).
$$\hat 1 = (2\pi)^N\delta$$
$${\cal F}(e^{ia.x}) = (2\pi)^N\delta_a$$
$$\hat \delta = 1$$
$${\cal F}(\partial^\alpha \delta) = i^{\vert \alpha\vert}\xi^\alpha$$
$${\cal F}(\delta_a) = e^{-ia.\xi}$$
$${\cal F}(x^\alpha) = (2\pi)^N(-i)^{\vert\alpha\vert}\partial^\alpha\delta.$$

$${\cal F}(\tau_a u) = e^{-ia.\xi}{\cal F}(u).$$
$${\cal F}(e^{ia.x}u)=\tau_a \hat u.$$
$${\cal F}(u(\frac x\lambda))(\xi)=|\lambda|^N\hat u(\xi).$$
$$\overline{{\cal F}}(\hat u)=(2\pi)^Nu.$$
$${\cal F}(\partial^\alpha u)=i^{|\alpha|}\xi^\alpha \hat u.$$
$${\cal F}(x^\alpha u) = i^{|\alpha|}\partial^\alpha(\hat u).$$


\skipaline $\bullet $ Si $u\in {\cal E}'(\real^N)$, alors $\hat u\in {\cal O}_M$ (espace des fonctions $C^\infty$ \a
croissance lente ainsi que toutes leurs d\e riv\e es.)

\subsection{Convolution des distributions}
{\bf Cette partie constitue un résumé des résultats nécessaires. Pour un traitement complet, voir (e.g.) le livre de
J.M. Bony, Cours d'Analyse de l'Ecole Polytechnique, Editions Ellipses}.

 Dans la
suite, on va considérer une distribution $u$ dans $\real^N$ et on va l'appliquer à une fonction $\varphi(x,y)$ définie
dans $\real^{N+M}$. En conséquence, et pour éviter toute ambigüité, on notera $u(x)$ et non $u$ pour l'application de
$u$ à $\varphi$ : $<u(x), \varphi(x,y)>.$

\begin{lem} Soit $u$ une distribution à support compact dans
$\real^N$ et soit $\varphi\in C^\infty(\real^{N+M})$.  Alors la fonction $y\to f(y)= <u(x), \varphi(x,y)>$ est de
classe $C^\infty$ dans $\real^M$ et on a

$$\partial^\alpha_y<u(x), \varphi(x,y)>=<u(x), \partial^\alpha_y
\varphi(x,y)>.$$

\end{lem}

\paragraph{Démonstration}
Soit $B(0,M)$ une boule ouverte contenant le support de $u$ et $p$ l'ordre de $u$. On rappelle que si $u\in {\cal E}'$,
on peut étendre l'action de $u$ aux fonctions $C^\infty$ en posant simplement $<u, \varphi>=<u, \theta\varphi>,$ où
$\theta \in C_0^\infty$ est une fonction arbitraire vérifiant $\theta=1$ sur $B(0,M)$. Alors cette définition ne dépend
pas de $\theta$. Commençons par montrer que $f(y)$ est continue. Comme $u$ est une distribution, on a

\fb& \label{majoration} |f(y)|\leq C \sup_{x\in B(0,M), \; |\beta|\leq p}|\partial^\beta_x(\varphi(x, y))|. \fe& En
appliquant cette relation à $f(y)-f(y_0)$, on déduit que
$$|f(y)-f(y_0)|\leq C\sup_{x\in B(0,M), \; |\beta|\leq
p}|\partial^\beta_x(\varphi(x, y)-\varphi(x, y_0))|.
$$
Les dérivées successives de $\varphi$ étant uniformément continues sur tout compact, le membre de droite tend vers zéro
quand $y\to y_0$. Donc $f$ est continue.

On montre ensuite l'existence des dérivées partielles $\frac{\partial f}{\partial y_i}.$  Soit $e_i$ le i-ème vecteur
de la base canonique de $\real^N$. On pose
$$\psi_h(x,y)=\frac 1h(\varphi(x, y
+he_i)-\varphi(x,y))-\frac{\partial \varphi}{\partial y_i}.$$ Alors,
$$\frac 1h (f(y+he_i)-f(y))-<u(x), \frac{\partial \varphi}{\partial
y_i}(x,y)>=<u(x), \psi_h(x,y)>.$$ Or, par la formule de Taylor, $\psi_h(x,y)$ et toutes ses dérivées partielles
successives en $x$ tendent uniformément vers 0 pour $x\in B(0,M)$.  On peut alors substituer $\psi_h(x,y)$ à
$\varphi(x,y)$ dans (\ref{majoration}) et on déduit que
$$\frac{\partial f}{\partial y_i}(y)=<u(x), \frac{\partial
\varphi}{ \partial y_i}(x,y)>.$$ En remplaçant $\varphi$ par $\frac{\partial \varphi}{\partial y_i}$, on déduit par le
même argument que pour $\varphi$ que $\frac{\partial f}{\partial y_i}$ est continue. $f$ est donc $C^1$.  Une
récurrence permet de conclure.

\enddemo


\begin{thf} et d\e finition.  Soient $u\in {\cal E}'$ et $\varphi \in C_0^\infty$.  Leur
produit de convolution est d\e fini en chaque point par
$$(u\ast \varphi)(x) = <u(y), \varphi(x-y)>.$$
La fonction $u\ast \varphi$ appartient \a $C_0^\infty$ et on a
$$\partial^\alpha(u\ast \varphi) = u\ast (\partial^\alpha \varphi) = (\partial^\alpha
u)\ast \varphi,$$
$$\hbox{Supp}(u\ast \varphi) \subset \hbox{Supp}(u) +\hbox{Supp}(v).$$
De plus, si $\psi \in C_0^\infty$,  on a
$$(u\ast \varphi)\ast \psi = u\ast (\varphi\ast \psi).$$
On a des r\e sultats analogues si $u\in {\cal S}'$ et $\varphi \in {\cal S}$.
\end{thf}

Cette d\e finition de la convolution s'\e tend successivement par des prolongements continus de la convolution ou par
dualit\ea  aux cas o\u
\newline $\bullet$ $u\in {\cal D}' $ et $\varphi \in C^\infty$, \a condition que l'une des
deux soit \a support compact (plus g\e n\e ralement, si les supports sont convolutifs).
\newline $\bullet$  $u$ et $v$ sont dans ${\cal E}'$.  Alors $u\ast v$ est dans ${\cal E}'$
et on a $\hbox{Supp}(u\ast \varphi) \subset \hbox{Supp}(u) +\hbox{Supp}(v).$
\newline $\bullet$ $u$ et $v$ sont dans ${\cal D}'$ et leurs supports sont convolutifs (par
exemple, l'un des supports est compact).  On a alors $u\ast v= v\ast u$. Enfin, diverses extensions du produit de
convolution sont possibles gr\aa ce au r\e sultat de prolongement par continuit\ea suivant :
\begin{pro} Soit $u\in {\cal E}'$ et $v\in {\cal D}'$.  Si $u_n$ tend vers $u$ et $v_n$
tend vers $v$ au sens des distributions et si le support des $u_n$ est contenu dans un compact fixe, alors
$$\lim_{n\to +\infty} u_n\ast v_n = u\ast v.$$
\end{pro}
L'interaction entre transform\e e de Fourier dans ${\cal S}'$ et convolution dans ${\cal S}'$ g\e n\e ralise le cadre
fonctionnel, comme le montrent les deux propri\e t\e s d'\e change de la convolution et de la multiplication qui
suivent.
\begin{pro}
Si $u\in {\cal E}'$ et $v\in {\cal S}'$,  alors $u\ast v \in {\cal S}'$ et $\hat u \in {\cal O}_M$ et de plus
$${\cal F}(u\ast v) = {\cal F}(u) {\cal F}(v).$$
\end{pro}

\begin{pro} \label{produitenconvolutionparFourier}
Si $u\in {\cal S}'$ et $\varphi \in {\cal O}_M$ est telle que $\hat \varphi \in {\cal E}'$, alors ${\cal F}(\varphi u)
= (2\pi)^{-N}\hat \varphi \ast \hat u.$
\end{pro}
