
\chapter{Espaces de Hilbert\label{ChapEspacesdeHilbert}}
\setcounter{exo}{0}
\begin{Def}\index{A}{espace!de Hilbert}
Un espace de Hilbert réel est un espace vectoriel réel muni d'un produit scalaire $(u,v)$ et tel que
$||u||=\sqrt{(u,u)}$ soit une norme pour laquelle $H$ soit complet.  Un espace de Hilbert hermitien est un espace
vectoriel sur $\complex$ muni d'un produit hermitien $(u,v)$ \ccaadd vérifiant
 $$(u,v)=\overline{(v,u)}, \;
(\lambda u, v) = \lambda (u,v), \; (u+v,w)=(u,w)+(v,w).$$ et tel que $||u||=\sqrt{(u,u)}$ soit une norme rendant $H$
complet.  Remarquons aussi que
 $$(u,\lambda v)=\overline{\lambda}(u,v)\hbox{ et  } (u, v+w)=(u,v)+(u,w).$$
\end{Def}
Dans toute la suite, nous traiterons le cas général des espaces de Hilbert hermitiens, le cas des Hilbert réels se
déduisant immédiatement.

\begin{exa} \index{A}{exemple!de Hilbert}On pose $l^2(\NN)$ l'ensemble des
suites $u=(u_1, ..., u_n, ...)$ avec $u_n\in \complex$ et vérifiant $\sum_n |u_n|^2<\infty$.  Muni du produit scalaire
$(u,v) = \sum_n u_n\overline{v_n}$, c'est un espace de Hilbert.
 $L^2(\RR^N)$, muni du produit scalaire $(f,g)=\int f(x)\overline{g(x)}dx$
est également un espace de Hilbert : on a  vu qu'il est complet. Remarquer que $l^2(\NN)$ peut \eee tre plongé
naturellement dans $L^2(\RR)$ en posant $u(x)=u_n$ si $x\in [n, n+1[$ et qu'il appara\ii t alors sous-espace fermé de
$L^2(\RR)$.  La complétude de $L^2(\RR)$ implique donc la complétude de $l^2(\NN)$.

\end{exa}
\begin{pro}  \index{A}{Cauchy-Schwarz!inégalité de} Nous avons toujours l'in\e
galité de Cauchy-Schwarz
$$|(f,g)|\leq ||f||\; ||g||.$$
\end{pro}
\paragraph{Démonstration}
la démonstration est évidemment la m\eee me qu'en dimension finie puisqu'elle se fait dans le plan de $f$ et $g$.  On
pose $(f,g)=e^{i\theta}|(f,g)|$ et on développe $||f+te^{i\theta}g||^2\geq 0$, ce qui donne
$$||f||^2+t(f, e^{i\theta}g) + t(e^{i\theta}g, f)+t^2||g||^2\geq 0, \hbox{  soit}$$
$$||f||^2 +2t |(f,g)|+t^2||g||^2\geq 0.$$
L'inégalité de Cauchy-Schwarz exprime que le discriminant de ce trin\oo me est négatif.
\enddemo

  La relation de Pythagore reste valable : si $f$ et $g$ sont orthogonaux,
alors
$$||f+g||^2=||f||^2+||g||^2.$$  Cette relation s'étend à une suite de vecteurs
orthogonaux deux à deux, $f_k$.  On a alors
$$||\sum_k f_k||^2=\sum_k ||f_k||^2.$$  Gr\aa ce à la complétude, le premier
membre de cette égalité, $\sum_k f_k$, est bien un élément de $H$ si le deuxième membre est une série convergente.  On
a donc
\begin{pro} \label{convergencedeserie} \index{A}{convergence!d'une série dans un
Hilbert} Soit $H$ un Hilbert et $u_n$ une suite d'éléments de $H$.
 Si la série $u_n$ est composée d'éléments
orthogonaux deux à deux et si $\sum_n||u_n||^2$ converge, alors la série $\sum_n u_n$ converge dans $H$. Si la série de
terme général $||u_n||$ est convergente, la série $\sum_n u_n$ converge dans $H$.
\end{pro}
\paragraph{Démonstration}
Les deux convergences découlent de la complétude de $H$. En effet, dans le premier cas, la suite
 $v_k = \sum_0^k
u_n $ est de Cauchy puisque pour $k\geq l$, par le théorème de Pythagore,
 $||v_k-v_l||^2=\sum_{l+1}^k||u_n||^2.$ Dans
le second cas, elle est également de Cauchy puisque, par l'inégalité triangulaire,
 $||v_k-v_l||\leq \sum_{l+1}^k||u_n||.$
\enddemo
\begin{thf} \label{desprojections} \index{A}{projection sur un convexe dans un
Hilbert} Soit $H$ un espace de Hilbert et $C$ un convexe fermé et non vide de $H$.  Pour tout $f\in H$ il existe un
unique point de $C$, appelé {\rm projection de $f$ sur $H$} dont la distance à $f$ soit minimum.   Cette projection se
caractérise comme l'unique point $g$ de $C$ tel que \fb& \label{inegalitevariationnelle} \forall h\in C,\;
\Re(f-g,h-g)\leq 0. \fe& Si $C$ est un sous-espace vectoriel fermé de $H$, la projection de $f$ est l'unique point
$g\in C$ tel que $f-g$ soit orthogonal à tous les éléments de $C$.
\end{thf}

\begin{lem}\index{A}{identité du parallélogramme} (identité du parall\e
logramme). La somme des carrés des longueurs des cotés d'un parallélogramme est \e gale à la somme des carrés de ses
diagonales.
$$||u||^2+||v||^2 = \frac 1 2(||u+v||^2 + ||u-v||^2).$$

\end{lem}

\paragraph{Démonstration du théorème \ref{desprojections}}
Montrons d'abord l'unicité.  S'il existait deux éléments $g_1$ et $g_2$ réalisant la projection de $f$ sur $C$, on
aurait en considérant leur milieu $\frac {g_1+g_2}2$  et en appliquant l'identité du parallélogramme \a $u=f-g_1$ et
$v=f-g_2$,
$$\frac 1 2||2f-(g_1+g_2)||^2 = ||f-g_1||^2+||f-g_2||^2- \frac 1 2||g_1-g_
2||^2.$$ Donc $||f-\frac{g_1+g_2}2||^2< d(f,C)^2$.  Mais comme $\frac {g_1+g_2}2$ est dans $C$, c'est impossible.  On
montre maintenant  l'existence de la projection. Soit $g_n$ une suite de $C$ telle que $||f-g_n||\to d(f,C)$. En
utilisant de nouveau l'inégalité du parallélogramme,

$$\frac 1 2 ||g_n-g_m||^2=||f-g_n||^2+||f-g_m||^2-2||f-\frac{g_n+g_m}2||^2.$$
Quand $n$ et $m$ tendent vers l'infini, le membre de droite tend vers 0. En effet, $||f-g_n||$ et $||f-g_m||$ tendent
vers $d(f,C)$ et on a $-2||f-\frac{g_m+g_n}2||\leq -2 d(f,C)$, puisque $\frac{g_m+g_n}2$ appartient  à $C$.

La suite $g_n$ est donc de Cauchy et converge vers un élément $g$ de $C$, car $C$  est fermé. Donc $||f-g_n||\to
||f-g||$ et donc $||f-g||=d(f,C).$
 Montrons l'inégalité variationnelle (\ref{inegalitevariationnelle}). Pour tout $h\in
C$, et $t\in [0,1]$, les points $g+t(h-g)$ du segment $[g,h]$ appartiennent à $C$. On a donc \fb&
\label{inegalitevariationnelle2}\forall t\in [0,1],\; ||f-g||^2\leq ||f-g-t(h-g)||^2 \hbox { ce qui est équivalent à
}\fe&
$$
\forall t\in [0,1],\; t^2||h-g||^2-2t\Re(f-g, h-g)\geq 0.
$$
 On divise par $t>0$ et on fait tendre $t$ vers $0^+$ pour obtenir
(\ref{inegalitevariationnelle}).  Réciproquement, si (\ref{inegalitevariationnelle}) est vérifiée pour tout $h\in C$,
(\ref{inegalitevariationnelle2}) aussi et en faisant $t=1$ on voit que $||f-g||$ réalise la distance minimale de $f$ à
un point de $C$.

Considérons pour terminer le cas o\u $C$ est un sous-espace vectoriel ferm\ea de $H$. Soit $g$ la projection de $f$.
Pour tout $v$ dans $C$, $g+e^{i \theta}v$ appartient à $C$.  On a donc $\Re(e^{i\theta}(v, g-f))\leq 0$ pour tout
$\theta$ et donc $(v,g-f)=0$.  Réciproquement, si $g\in C$ vérifie $(v,g-f)=0$ pour tout $v\in C$, on a $(v-g,g-f)=0$
pour tout $v$ dans $C$ et par la deuxième partie du théorème \ref{desprojections}, $g$ est bien la projection de  $f$
sur $C$.
\enddemo
\dexer \index{A}{contractante (projection sur un convexe)}Démontrer en utilisant (\ref{inegalitevariationnelle}) que la
projection $P$ sur un convexe ferm\ea est une application contractante : $||Pf_1-Pf_2||\leq ||f_1-f_2||$. \fexer
\begin{Def}\index{A}{orthogonal!d'un sous-ensemble}
On appelle orthogonal d'un sous-ensemble $A$ de $H$ et note $A^\perp$ l'ensemble
$$A^\perp =\{v, \forall f\in A,\; (v,f)=0\}.$$
C'est un sous-espace vectoriel fermé de $H$.
\end{Def}

\begin{cor} \index{A}{orthogonal!somme orthogonale de sous-espaces}Si  $F$ un
sous-espace vectoriel fermé d'un espace de Hilbert $H,$ alors tout élément de $H$ se décompose de manière unique sous
la forme \fb& \label{decompositionorthogonale} f=g+h, \; g\in F, \; h\in F^\perp \fe& o\u $g$ est la projection de $f$
sur $F$ et $h$ la projection de $f$ sur $F^\perp$.  On a donc \begin{equation}\label{orthogonalorthogonal}H=F+F^\perp,
\; (F^\perp)^\perp = F, \; H^\perp = \{0\}.\end{equation}
 Si $A\subset H$, on a toujours
$$(A^\perp)^\perp = \overline{\vect(A)}.$$
\end{cor}
\paragraph{Démonstration} La relation (\ref{decompositionorthogonale}) est une conséquence du théor\ee me \ref{desprojections}.
  Par (\ref{inegalitevariationnelle}), la projection $g$ de $f$ sur $F$ est caractérisée par le fait que $f-g=h\in F^\perp$.  Comme
$f-h=g\in F\subset F^{\perp\perp}$, $h$ est par cette même caractérisation la projection de $f$ sur $F^\perp$. On a
donc $H= F\oplus F^\perp$. Montrons que $F=F^{\perp\perp}$. On a immédiatement  $F\subset F^{\perp\perp}.$ Donc la
décomposition $f=g+h$  sur $F$ et $F^\perp$ est aussi une décomposition sur $F^{\perp\perp}$ et $F^\perp$. $F^\perp$
étant fermé, cette dernière décomposition est unique. Or si $f\in F^{\perp\perp}$ on a  $f= f+0$ qui est une
décomposition sur $F^{\perp\perp}$ et $F^\perp$. Par identification on obtient $f=g$ et  donc $f\in F$.

 On remarque enfin que
$A^\perp=\overline{\vect(A)}^\perp.$ En effet, si un \e lément $f$ est orthogonal à $A$, il est orthogonal aux
combinaisons lin\e aires d'éléments de $A$ et donc à $\vect(A)$ et par un passage à la limite immédiat à
$\overline{\vect(A)}$. Utilisant (\ref{orthogonalorthogonal}), on obtient alors
$$
(A^\perp)^\perp=(\overline{\vect(A)})^{\perp\perp}=\overline{\vect(A)}.$$
\enddemo
%
\begin{cor} {\bf et définition} \index{A}{totalité (d'un système dans un
Hilbert)} On dit qu'un sous-ensemble $A$ de l'espace de Hilbert $H$ est total si l'espace vectoriel $\vect(A)$ engendré
par $A$ est dense dans $H$.  Pour que $A$ soit total dans $H$, il faut et il suffit que $A^\perp$ soit réduit \a
$\{0\}.$
\end{cor}
\paragraph{Démonstration}
  Si $A$ est total, $\overline{\vect(A)}$ est
égal à $H$ et donc $A^\perp=\overline{\vect(A)}^\perp=H^\perp = \{0\}.$ R\e ciproquement, si $A^\perp ={0}$, on a
$\overline{\vect(A)}^\perp=\{0\}$ et donc par (\ref{orthogonalorthogonal}) $\overline{\vect(A)}=H$, ce qui signifie que
$A$ est total.
\enddemo
\begin{thf} (Riesz) \label{theoremedeRiesz} \index{A}{Riesz (théorème de)}Pour tout $f\in H$,
l'application $v\in H\to (v,f)$ est une forme linéaire continue sur $H$. R\e ciproquement, si $\tilde f$ est une forme
linéaire continue sur $H$, il existe un unique élément $f\in H$ tel que
$$\tilde f(v) = (v, f).$$
En d'autres termes, $H$ est son propre dual.  Il est donc aussi le dual de son dual, propriété que l'on appelle la
réflexivité.
\end{thf}
 \paragraph{Démonstration}
La première assertion découle de l'inégalité de Cauchy-Schwarz.  Montrons la réciproque. Soit $\tilde f$ une forme
linéaire continue et non nulle sur $H$ et $L$ son noyau, qui est un espace vectoriel fermé.  Comme $\tilde f\neq 0$,
$L$ est un sous-espace propre de $H$ (c'est-à-dire strictement inclus dans $H$). Comme $L$ est fermé,  par la relation
(\ref{orthogonalorthogonal}) $L^\perp$ n'est pas réduit à $\{0\}$. Soit $g\in L^\perp,$ non nul. On a donc $\tilde
f(g)\neq 0$ et on pose pour tout $v \in H$
$$v=\frac{\tilde f(v)}{\tilde f(g)}g +(v-\frac{\tilde f(v)}{\tilde
f(g)}g)=v_1+v_2.$$ Le second terme  vérifie $\tilde f(v_2)=0$ et appartient donc à $L$.  Comme $g\in L^\perp$, on a
donc
$$(v,g) =
\frac{\tilde f(v)}{\tilde f(g)}||g||^2.$$ Il en résulte que
$$\tilde f(v) = (v, \frac{\overline{\tilde f(g)}}{||g||^2}g).$$
\enddemo



\section{Bases hilbertiennes}
On rappelle qu'un espace métrique est dit séparable \index{A}{espace!séparable} s'il  contient une suite dense.

\begin{Def}\index{A}{base!hilbertienne}
Soit un espace de Hilbert séparable. On appelle {\rm base hilbertienne} de $H$ un système orthonormé  fini  ou infini
$(e_n)_{n\in \NN}$ qui est total. En d'autres termes, $(e_n)$ est une base hilbertienne si $(e_n,e_m)=\delta_{n,m}$ et
$\overline{\vect((e_n)_n)}=H$.
\end{Def}
\begin{thf}
 Tout
espace de Hilbert séparable admet une base hilbertienne.
\end{thf}
\paragraph{Démonstration}
Soit $(f_n)_n$ une suite dense de $H$. On en extrait par récurrence sur $n$ un sous-système libre (que nous appellerons
encore par commodité  $(f_n)$), \ccaadd tel qu'aucun vecteur de la suite n'est combinaison linéaire des autres. Le
système obtenu n'est plus nécessairement dense, mais il reste total.  On applique alors le procédé de Gram-Schmidt à la
suite $f_n$. Celà veut dire qu'on pose par récurrence
$$g_1=f_1,\;\;g_{n+1}=f_{n+1}-\sum_{k=1}^n (f_{n+1}, g_k)\frac{g_k}{||g_k||^2},$$
ce qui donne un système orthogonal et on pose finalement $e_n=\frac{g_n}{||g_n||}$, ce qui donne une suite $e_n$
orthonormée.  Le système est bien total, puisque les $e_n$ engendrent les $f_n$. Cela peut se vérifier par une simple
récurrence, ou bien en remarquant que pour tout $n$ la matrice de passage de $(g_1,\dots, g_n)$ à $(f_1, \dots, f_n)$ est
triangulaire avec des 1 sur la diagonale. Donc le système $(e_n)$ est une base hilbertienne.
\enddemo
\begin{thf}\index{A}{Parseval!\e galité de}
Soit $H$ un espace de Hilbert séparable et $(e_n)_{n\in\NN}$ une base hilbertienne de $H$.  Alors tout élément de $H$
peut s'écrire comme la somme d'une série convergente \fb& \label{decompositionsurlabase} f=\sum_n (f, e_n)e_n  = \sum_n
c_n(f)e_n \fe& et les coordonnées sur la base vérifient l'égalité de Parseval \fb& ||f||^2 = \sum_n |c_n(f)|^2. \fe&
R\e ciproquement, si $c_n$ est une suite vérifiant $\sum_n |c_n|^2<\infty$, la s\e rie $\sum_n c_n e_n$ converge dans
$H$ et sa somme $f$ vérifie $(f,e_n)=c_n$.
\end{thf}
\paragraph{Démonstration}
On pose $f_m=\sum_1^m c_n(f)e_n$. On vérifie que $(f-f_m, e_n) = 0 $ pour $n\leq m$. Par le théorème
\ref{desprojections} des projections, cela veut dire que $f_m$ est la projection orthogonale de $f$ sur le  sous-espace
vectoriel engendré par les $e_n$ pour $0\leq n\leq m$. Par la relation (\ref{decompositionorthogonale}) et le théorème
de Pythagore, on déduit que $||f_m||^2\leq ||f||^2$. Toujours par le théorème de Pythagore, on a donc \fb&
\label{parsevalfini} ||f_m||^2=\sum_1^n|c_n(f)|^2\leq ||f||^2, \fe& ce qui prouve que la série $\sum_n c_n(f)e_n$ est
convergente dans $H$ (proposition \ref{convergencedeserie}). Appelons $g$ sa somme. Reste à montrer que $f=g$. Mais si
$n\leq m$, on voit que $(f_m-g,e_n)=0$ et en passant à la limite quand $m\to\infty$, on obtient $(f-g,e_n)=0$. Donc
$f-g$ est orthogonal à un syst\ee me total et est donc nul. La relation de Parseval s'obtient en passant à la limite
dans (\ref{parsevalfini}).

La réciproque du théorème est immédiate en reprenant les arguments pr\e cédents.
\enddemo
\dexer (Inégalité de Parseval)  \index{A}{inégalité!de Parseval}Montrer que si $(e_n)$ est un système orthonormé
quelconque de $H$, alors  $\sum_n |(e_n,f)|^2\leq ||f||^2$.  Montrer que si cette inégalité est une égalité pour tout
$f\in H$, alors $(e_n)$ est une base hilbertienne.  Montrer que tout système orthonormé peut \eee tre complété en une
base hibertienne. \fexer
\begin{cor} \index{A}{isométrie (d'un Hilbert séparable à $l^2$)}
Tout espace de Hilbert séparable est isométrique à $l^2(\NN)$. Il suffit d'associer à $f\in H$ son vecteur de
coordonnées sur une base hilbertienne, $c = (c_1(f),..., c_n(f),...)$.  En particulier, on a
$$(f,g) = \sum_n c_n(f)\overline{c_n(g)}.$$
\end{cor}
\dexer \index{A}{continuité!d'une forme bilinéaire}Montrer qu'une forme bilin\e aire $a(u,v)$ sur un espace vectoriel
normé est continue si et seulement si il existe $C$ tel que $|a(u,v)|\leq C||u||\;||v||$.
 \fexer


\section{Convergence faible}
\begin{Def} On dit qu'une suite $u_n$ dans un Hilbert converge faiblement vers $u\in H$ si pour tout  $v\in H$  on
a $(v,u_n)\to (v,u)$. On écrit alors $u_n\rightharpoonup u$.

\end{Def}

\begin{pro} \label{compacitefaiblehilbert}\index{A}{convergence!faible dans un Hilbert}
 Si $u_n\in H$ séparable est bornée ($||u_n||\leq C$), alors il existe une sous-suite $(u_{n_k})_k$ qui converge faiblement :
$$\forall v\in H, \; (u_{n_k}, v)\to (u,v)$$ et on a
$$||u||\leq\lim\inf_n ||u_n||.$$

\end{pro}

\paragraph{Démonstration}
On utilise l'isomorphisme avec $l^2(\NN)$ muni de la base canonique $(e_k)_{k\in\N}$. Par commodité on notera encore
$u_n$ une sous-suite de $u_n$ extraite par un procédé d'extraction diagonale de sorte que pour tout $k\in \NN$ on ait
$(u_n,e_k)\to x_k$.  Ceci est possible car par le théorème de Cauchy-Schwartz, $|(u_n, e_k)|\leq ||u_n||\leq C$ est
borné. Pour plus de détails sur le procédé d'extraction diagonale, voir le théorème \ref{ascoliarzela}.  En appliquant
le lemme de Fatou à la suite de suites $(u_n,e_k)$, $n\in \NN$, on obtient
$$\sum_k x_k^2\leq \lim\inf_n \sum_k |(u_n,e_k)|^2= \lim\inf_n||u_n||^2\leq C^2.$$ Posons $u= \sum_k x_k e_k$. Alors
  $u\in H$ et $$||u||^2=\sum_k  |x_k|^2\leq\lim\inf_n ||u_n||^2.$$ Finalement montrons que $(u_n,v)\to (u,v)$ pour tout $v\in H$. C'est
immédiat quand $v$ est une  combinaison linéaire finie des $e_n$ et donc pour $v$ dans un sous-ensemble dense $D$ de
$H$. Prenons maintenant $v$ quelconque dans  $H$. On fixe $\varepsilon$, puis $w\in D$ tel que $||v-w||\leq
\varepsilon$. On a $|(u_n-u, v)|\leq |(u_n-u, w)|+ |(u_n-u, w-v)|.$ Le premier terme est petit pour $n$ grand. Par
l'inégalité de Cauchy-Schwartz et l'inégalité triangulaire, le second est plus petit que $2C\varepsilon$.
\enddemo

\dexer On pose dans $H=L^2(0, 2\pi)$, $u_n(x)= \sin(nx)$ et $v_n(x)=|\sin(nx)|$. Montrer que ces suites convergent
faiblement dans $H$ mais pas fortement. Calculer leur limite faible.

\fexer

%marque2
\section{D{é}composition d'images sur la base de Haar}
\index{A}{base!de Haar} Nous nous pla{\c c}ons dans $L^2(\R^2)$. Nous consid{é}rons tout d'abord la fonction de
$L^2(\R)$

\begin{equation}
H(x)= \left\{ \begin{array}{ll}
                                  1 & \mbox{si $0 \leq x < \frac{1}{2}$} \\
                                  -1 & \mbox{si $\frac{1}{2} \leq x < 1$} \\
                                  0 & \mbox{sinon.}
\end{array}
                          \right.
\end{equation}
Nous d{é}finissons ensuite $I(x)=\indic_{[0,1)}$, puis les trois fonctions de $L^2(\R^2)$
$$H_1(x,y)=H(x)I(y) \mbox{ , } H_2(x,y)=I(x)H(y) \mbox{ et } H_3(x,y)=H(x)H(y).$$
Enfin nous d{é}finissons
$$H_{i,j_1,j_2}^k (x,y) = 2^{k} H_i(2^k x - j_1,2^k y - j_2),\quad k,j_1,j_2 \in
 \ZZ, i=1,2,3.$$
 On peut montrer (voir l'exercice \ref{exoHaar}) que ces fonctions forment
une base
 hilbertienne de $L^2(\R^2)$. Donc si pour une fonction $f \in L^2(\R^2)$ nous définissons les
coefficients
$$c_{i,j_1,j_2}^k(f)=\langle f,H_{i,j_1,j_2}^k\rangle,$$
alors
$$f=\sum_{i=1}^3\sum_{k,j_1,j_2 \in \relative} c_{i,j_1,j_2}^k(f) H_{i,j_1,j_2}^k$$
dans $L^2(\R^2)$. Pour illustrer cette décomposition dans le cas d'une image, nous considérons, pour $k_1$ fixé, une
fonction $v_{k_1}$ appartenant à l'espace $V_{k_1}$ des fonctions constantes sur les hypercubes
$C^{k_1,z}=2^{-k_1}(z+[0,1[^2)$, $z \in \relative^2$, et supposons de plus que le support de $v_{k_1}$ est inclus dans
$[0,1]^2$. Une telle fonction représente une image numérique. Dans ce cas, les coefficients $c_{i,j_1,j_2}^k(v_{k_1})$ sont nuls pour $j_1\geq2^k$, $j_1
< 0$, $j_2\geq2^k$, $j_2<0$ ou $k>k_1$ (le vérifier !). Dans la figure \ref{haarondel}, nous représentons les coefficients de
l'image numérique représentée figure \ref{compression}, en haut à gauche (il s'agit donc de $v_8$, image prenant
$256\times256$ valeurs). Pour chaque valeur de $k$ (``échelle'') entre 6 et 8, et chaque valeur de $i$
(``orientation'') entre 1 et 3, nous représentons une fonction constante par morceaux, dont la valeur prise en
$2^{-k}((j_1,j_2)+[0,1[^2)$ est $log\left(1+|c_{i,j_1,j_2}|\right)$, pour $j_1,j_2=0,...,2^k-1$ (la fonction
$log(1+|x|)$ est utilisée car c'est une fonction croissante qui permet d'atténuer les très fortes variations des
modules des coefficients $|c|$, tout en donnant une idée de leur valeurs respectives).

   Dans le cadre des espaces de
 Hilbert, les images $v_k$
 sont les projections d'une fonction $v$ de $L^2(\R^2)$ sur les espaces
 $V_k$. D'autre part, pour montrer que les $(H_{i,j_1,j_2}^k)$ forment une
 base de $L^2(\R^2)$, on montre que si $W_k$ est l'espace
 des fonctions en escalier dyadiques, constantes sur les hypercubes de
 c{\^o}t{é}s $2^{-k}$ et {à} moyenne nulle, les $\left(H_{i,j_1,j_2}^k
 (x,y)\right)$ forment une base de $W_k$ (voir
 l'exercice \ref{exoHaar}). On peut en
 fait montrer que pour tout $k \in \Z$, on a $V_{k+1}=V_{k}\oplus W_{k}$. En ce
 sens, la d{é}composition de la figure \ref{haarondel} repr{é}sente les
 d{é}tails ajout{é}s {à} l'image $v$ lorsque l'on passe de la repr{é}sentation
 $v_k$ {à} la repr{é}sentation $v_{k+1}$. Le fait de s'intéresser aux
familles de fonctions $\left(H_{i,j_1,j_2}^k
 (x,y)\right)$ à $i$ fixé permet de voir les détails  correspondant aux trois
directions associées aux fonctions $H_1$, $H_2$ et $H_3$: respectivement verticale, horizontale et diagonale.
Remarquons également qu'en vertu des
 propriétés énoncées ci-dessus, l'image $v_{k_1}$ peut s'écrire, pour
 $0\leq k_0\leq k_1-1$,:
\begin{equation}
\label{decomp_discr} v_{k_1}=v_{k_0}+\sum_{i=1}^{3}\sum_{k=k_0}^{k_1-1}\sum_{j_1,j_2=0}^{2^{k}-1}c_{i,k,j1,j2}H_{i,j
1,j 2}^k.
\end{equation}
Ce type de d{é}composition en une image
 {à} une certaine pr{é}cision, et en images de d{é}tails,
utilisant des fonctions
 de moyenne nulle et {à} support compact, est {à} la base de la th{é}orie
 math{é}matique des ondelettes, qui a de nombreuses applications en traitement
 du signal et des images. La décomposition particulière présentée ici
 repose sur les fonctions $H^k_{i,j_1,j_2}$, et les coefficients $c^k_{i,j_1,j_2}$ sont les
 coefficients d'ondelettes de l'image dans cette base.

A titre d'exemple, nous illustrons une application classique de la théorie des ondelettes: la compression d'images. Le
but de la compression est de représenter un signal discret $(s_n)_{n=0,...,N}$ par un nombre minimum de coefficients
$(c_n)_{n=0,...,N'}$, $N'<N$. On parle de compression sans perte lorsque l'on peut retrouver le signal $(s_n)$ à partir
des $(c_n)$, et de compression avec perte lorsque l'on ne peut que retrouver une approximation $(\tilde s_n)$ de
$(s_n)$. Nous montrons figure \ref{compression} un exemple de compression avec perte dans le cas des images. Pour un
certain $k_1 \in \NN$, nous considérons l'image numérique $v_{k_1}$ (projection de $v$ sur l'espace $V_{k_1}$). Nous
supposons à nouveau que la fonction $v$ est nulle en dehors de $[0,1]^2$. Nous utilisons ensuite la formule
\ref{decomp_discr}. L'idée de la compression par ondelettes est de ne garder qu'un petit nombre des coefficients
$c_{i,k,j1,j2}$ pour représenter l'image. Pour $i=1,...,3$, $k=k_0,...,k_1-1$, nous définissons $E_{i,k}$ ensemble des
10 \% des coefficients de plus grand module parmi $\{c_{i,k,j1,j2} | j1,j2=0,...,2^k-1\}$. Sur la figure
\ref{compression}, nous montrons l'image obtenue par la formule suivante avec $k_1=8$ et $k_0=6$:
\begin{equation}
\label{compress-eq} \tilde
v_{k_1}=a_{k_0}+\sum_{i=1}^{3}\sum_{k=k_0}^{k_1-1}\sum_{E{i,k}}c_{i,k,j1,j2}H_{i,j1,j2}^k(x,y).
\end{equation}
Bien que le nombre de coefficients utilisé pour décrire le signal ait été grandement réduit (10 fois si on néglige la
fonction $a_{k_0}$), le résultat reste visuellement acceptable. En pratique, les fonctions de base utilisées sont plus
complexes que les $H_i^k$ (plus régulières) et le choix du nombre de coefficients à garder plus subtil (pas forcément
le m\^eme pour chaque ``échelle'' k). Ceci permet en particulier d'atténuer les zones carrées homogènes, visibles sur
la figure \ref{compression}.

\begin{figure}
\begin{center}

\includegraphics[width=3.5cm]{Figures/w2_1.ps} \quad
\includegraphics[width=3.5cm]{Figures/w2_2.ps} \quad
\includegraphics[width=3.5cm]{Figures/w2_3.ps}

\vskip 1cm
\includegraphics[width=3.5cm]{Figures/w1_1.ps} \quad
\includegraphics[width=3.5cm]{Figures/w1_2.ps} \quad
\includegraphics[width=3.5cm]{Figures/w1_3.ps}

\vskip 1cm
\includegraphics[width=3.5cm]{Figures/w3_1.ps} \quad
\includegraphics[width=3.5cm]{Figures/w3_2.ps} \quad
\includegraphics[width=3.5cm]{Figures/w3_3.ps}

\end{center}

\caption[Décomposition sur la base de Haar]{ Décomposition d'une fonction sur la base hilbertienne de Haar. Nous nous
intéressons à une fonction $v_{k_1}$ à support dans $[0,1]^2$, constante sur les hypercubes dyadiques de c\^oté
$2^{-k_1}$. Cette fonction est représentée par la formule (\ref{decomp_discr}),
% suivante:
%$$v_{k_1}=v_{k_0}+\sum_{i=1}^{3}\sum_{k=k_0+1}^{k}\sum_{j_1,j_2=2^{k_0}}^{2^{k_1}}c_{i,k,j1,j2
%}H_{
%i,j1,j2}^k,$$
avec $c_{i,k,j_1,j_2}=\langle v_{k_1},H_{i,j_1,j_2}^k\rangle$, et $H_{i,j_1,j_2}^k$ les fonctions de Haar. Ici $k_1=8$,
avec la m\^eme image que dans la figure \ref{compression}. Pour chaque valeur de $k$ (``échelle'') entre 6 et 8, et chaque
valeur de $i$ (``orientation'') entre 1 et 3, nous représentons une fonction constante par morceaux, dont la valeur
prise sur les hypercubes $2^{-k}((j_1,j_2)+[0,1[^2)$ est $|c_{i,j_1,j_2}|$, pour $j_1,j_2=0,...,2^k-1$. Un point est
d'autant plus sombre que le module du coefficient $c$ est important. Première ligne: $j=1$, et de droite à gauche,
$i=1, i=2, i=3$; deuxième ligne, $j=2$, troisième ligne, $j=3$. En se référant à la forme des fonctions $H$, les images
de la colonne de gauche font appara\^itre les contours verticaux de l'image, celles du milieu les contours horizontaux,
alors qu'à droite on retrouve des contours obliques ainsi que des coins. Remarque : le module des coefficients est
souvent très petit, et le contraste des images a été rehaussé pour éviter qu'elles ne soient blanches.}

\label{haarondel}
\end{figure}

\begin{figure}
\begin{center}

\includegraphics[width=7cm]{Figures/orig.ps}
\includegraphics[width=7cm]{Figures/compress10.ps}
\end{center}
\caption[Compression d'images dans une base hilbertienne]{Exemple de compression d'images dans une base hilbertienne. A
gauche, l'image originale (m\^eme image que figure \ref{compression}), à droite l'image obtenue en ne gardant que 10\%
des coefficients dans la base de Haar (voir la formule (\ref{compress-eq})).} \label{compression}
\end{figure}



\section{Exercices}
\dexo \hfill \newline 1) Calculer
$$ \min_{a,b,c} \int_{-1}^1 {\vert x^3 -a - bx -cx^2 \vert}^2 dx,$$
et trouver
$$ \max \int_{-1}^1 x^3 g(x) dx,$$
o{\`u} g est soumis aux contraintes
$$\int_{-1}^1 g(x)dx = \int_{-1}^1 xg(x)dx =\int_{-1}^1 x^2 g(x)dx = 0;\quad
\int_{-1}^1 {\vert g(x) \vert}^2 dx =1.$$ 2) Si $x_0 \in H$ et si M est un sous-espace vectoriel ferm{é} d'un espace de
Hilbert H, {é}noncer le probl{è}me de maximum correspondant {à} $\min \{ \Vert x_0 - x \Vert,\;x \in M \}$ comme dans
la question pr{é}c{é}dente. \fexo
%{ \bf Exercice 2} (Lemme de Grothendieck)
\dexo Lemme de Grothendieck \\
Soit $\Om$ un espace mesur{é} et $\mu$ une mesure de probabilit{é} sur $\Om$. Soit $S$ un sous-espace vectoriel ferm{é}
de $L^1(\mu)$ tel que $S \subset \Linf(\mu)$. On va
montrer que dim$S < \infty$.\\
1) Montrer que $\exists C, M$ tels que $\forall f \in S$, $\Vert f \Vert_{\infty} \leq
C \, \Vert f \Vert_1$ puis que $\Vert f \Vert_{\infty} \leq M\,\Vert f \Vert_2$.\\
2) V{é}rifier que $(S,\Vert\,\Vert_2)$ est un espace de Hilbert. Soit $\Phi_1,...,\Phi_n$ une famille orthonorm{é}e
quelconque de $S$. Pour $c=(c_i)_i \in \overline{B}(0,1) \subset \RR^n$, on définit $f_c(x) = \displaystyle{\sum_1^n}
c_i
\Phi_i(x)$.\\
Vérifier que $\forall c \in \overline{B}(0,1)$, $\Vert f_c \Vert_{\infty} \leq M$.\\
Montrer qu'il existe $\Om^{\prime} \subset \Om$ avec $\mu(\Om^{\prime}) =1$ tel que $\forall x \in \Om^{\prime}$,
$\forall c \in \overline{B}(0,1)$ on ait $\vert f_c(x) \vert \leq M$. En déduire que
$$\sum_1^n \vert \Phi_i(x) \vert^2 \leq M^2,\quad \mbox{p.p.}$$
Conclure. \fexo

%{ \bf Exercice 3} Base de Haar \index{A}{base!de Haar}
\dexo \label{exoHaar} Base de Haar  \\
On pose $H(x) = 1$ si $0 \leq x < \frac{1}{2}$ et $H(x) = -1$ si $\frac{1}{2} \leq x < 1$. C'est la fonction de Haar.
On pose
$$H_k^l (x) = 2^{\frac{l}{2}} H(2^l x - k),\quad l,k \in \ZZ.$$
1) Dessiner les fonctions de Haar pour $l =1,2$. D{é}montrer que ces fonctions
forment un syst{è}me orthonormal de $L^2(\RR)$.\\
2) Compter les fonctions de Haar qui sont {à} support dans $[0,1]$ et qui sont constantes sur les intervalles dyadiques
de longueur $ 2^{-j}$. On appelle $S_j$ le syst{è}me qu'elles forment. Remarquer qu'elles sont toutes d'int{é}grale
nulle et d{é}duire qu'elles forment une base de $W_j$, l'espace des fonctions en escalier dyadiques, constantes sur des
intervalles de longueur $2^{-j}$ et {à} moyenne
nulle.\\
3) Montrer que les fonctions de $L^2(\R^N)\cap L^1(\R^N)$  dont  l'intégrale $\int_{\R^N}f(x)dx$  est nulle forment un
sous-espace dense de $L^2(\R^N)$. Indication: montrer que si $f\in L^2\cap L^1$, $f-\frac{\int
f(x)dx}{\hbox{mes}(B(0,R))}\indic_{B(0,R)}$ converge vers $f$ dans $L^2$  quand $R\to +\infty$ et est d'intégrale
nulle.
\\
 4) Montrer que le syst{è}me de Haar est une base hilbertienne de $L^2(\RR)$. On commencera par montrer qu'une partie
de la base de Haar engendre l'espace des fonctions de $L^2(-2^j,2^j)$ d'intégrale nulle sur $(-2^j,0)$ et $(0,2^j)$.
\\
5) Nous nous pla{\c c}ons dans $L^2(\R^2)$. Soit $I(x)=\indic_{[0,1)}$, puis les trois fonctions de $L^2(\R^2)$
$$H_1(x,y)=H(x)I(y) \mbox{ , } H_2(x,y)=I(x)H(y) \mbox{ et } H_3(x,y)=H(x)H(y).$$
Ensuite on définit la ``base d'ondelettes de Haar en dimension 2'',
$$H_{i,j_1,j_2}^k (x,y) = 2^{k} H_i(2^k x - j_1,2^k y - j_2),\quad k,j_1,j_2 \in
 \ZZ, i=1,2,3.$$ Commencer par dessiner les fonctions $H_1$, $H_2$,  $H_3$.
\\
6) Compter les fonctions de Haar qui sont {à} support dans $[0,1]^2$ et qui sont constantes sur les carrés dyadiques de
coté $ 2^{-j}$. On appelle $S_j$ le syst{è}me qu'elles forment. Remarquer qu'elles sont toutes d'int{é}grale nulle et
d{é}duire qu'elles forment une base de $W_j$, l'espace des fonctions en escalier dyadiques, constantes sur des carrés
de coté $2^{-j}$ et d'intégrale nulle.
\\
7)  Montrer que le syst{è}me de Haar est une base hilbertienne de $L^2(\RR^2)$. On commencera par montrer qu'une partie
de la base de Haar engendre l'espace des fonctions de $L^2(-2^j,2^j)^2$ d'intégrale nulle.\\
8)  Pour une fonction $f \in L^2(\R^2)$  considérons les coefficients
$$c_{i,j_1,j_2}^k(f)=\langle f,H_{i,j_1,j_2}^k\rangle.$$
Conclure que
$$f=\sum_{i=1}^3\sum_{k,j_1,j_2 \in \relative} c_{i,j_1,j_2}^k(f) H_{i,j_1,j_2}^k$$
dans $L^2(\R^2)$. \fexo

\dexo \hfill \newline Soit $E$ un espace vectoriel norm{é} dont la norme v{é}rifie l'identit{é} du parall{é}logramme,
c'est {à} dire
$$\Vert a+b \Vert^2 + \Vert a-b \Vert^2 = 2 (\Vert a \Vert^2 + \Vert b
\Vert^2),\quad \forall a,b \in E.$$ On se propose de montrer que l'expression suivante
$$(x,y) = \frac{1}{2} (\Vert x+y \Vert^2 - \Vert x \Vert^2 - \Vert y \Vert^2),\quad
x,y \in E,$$
d{é}finit un produit scalaire sur $E$ tel que $(x,x)=\Vert x \Vert^2$.\\
1) V{é}rifier que $(x,y) = (y,x)$, $(-x,y) = - (x,y)$ et $(x,2y) = 2(x,y)$, $\forall
x,y \in E$.\\
2) Montrer que $(x+y,z) = (x,z) + (y,z)$, $\forall x, y, z \in E$.\\
On pourra appliquer l'identit{é} du parall{é}logramme successivement avec
\begin{eqnarray*}
(1) & a=x,\,\,b=y,\\
(2) & a= x+z,\,\,b=y+z,\\
(3) & a=x+y+z,\,\,b=z.
\end{eqnarray*}
3) Montrer que $(\lambda x,y)=\lambda(x,y)$, $\forall \lambda \in \RR$, $\forall x,y \in E$. (Le faire d'abord pour
$\lambda \in \NN$, puis $\lambda \in \QQ$ et enfin $\lambda \in \RR$.) \fexo \dexo \hfill \newline Soit $w(x) =
x^{-\log x}$. On consid{è}re l'espace de Hilbert $L^2_w(0,+\infty) = \left\{ f : f \sqrt{w} \in L^2(0,+\infty)
\right\}$ muni du produit scalaire $(f,g) = \int_0^{\infty} fgw dx$. Soit $\PP = \left\{ p \,\mbox{polyn{\^o}me {à}
coefficients r{é}els}
\right\}$. \\
1) V{é}rifier que $\PP \subset L^2_w(0,+\infty)$.\\
2) Soit $f(x) = \sin(2\pi \log x)$, montrer que $\forall n \in \NN$, $( x^n,f) =
0$.\\
En d{é}duire que $\PP$ n'est pas dense dans $L^2_w(0,+\infty)$. \fexo \dexo
Soit V un espace de Hilbert r{é}el tel que $\mbox{dim V} = \infty$.\\
Soit $a : V\times V \longrightarrow \RR$ une application bilin{é}aire continue et coercive c'est {à} dire telle que $
\exists \beta > 0,\; \vert a(u,v) \vert \leq \beta \Vert u \Vert\,\Vert v \Vert$, $\forall u,v \in V$ et $\exists
\alpha
> 0 $ tel que
$a(v,v) \geq \alpha {\Vert v \Vert}^2$, $\forall v \in V$.\\
Soit $\ell \in V^{\prime}$.\\
1) Montrer que $\exists!u \in V$ tel que $a(u,v)=\ell(v)$, $\forall v \in V$ et que
$\Vert u \Vert \leq \frac{1}{\alpha} {\Vert \ell \Vert}_{V^{\prime}}$.\\
2) On suppose dans toute la suite de l'exercice que V satisfait l'hypoth{è}se suivante
:\\
il existe une suite de sous-espaces $(V_n)_{n \geq 1}$ de V telle que
\[ (H) : \left\{ \begin{array}{ll}
(i) & \mbox{dim} V_n = p_n, \\
(ii) & V_n \subset V_{n+1},\\
(iii) & \bigcup_n V_n \mbox{ est dense dans V.}
                \end{array}
\right. \] V{é}rifier que $\exists!u_n \in V_n$ tel que $a(u_n,v) = \ell(v)$, $\forall v \in V_n$ et que l'on peut
extraire de $(u_n)_n$ une sous-suite qui converge faiblement
dans V vers une limite $u\star$.\\
3) D{é}montrer que $u = u\star$. En d{é}duire que toute la suite $(u_n)_n$ converge
faiblement dans V vers u.\\
On veut montrer que  $(u_n)_n$ converge fortement vers u dans V.\\
4) Premi{è}re d{é}monstration : En d{é}veloppant $a(u_n-u,u_n-u)$, montrer que $\Vert
u_n-u \Vert \longrightarrow 0$ quand $n \rightarrow \infty$.\\
5) Deuxi{è}me d{é}monstration : On note $\delta_n = \inf \{ \Vert u - w \Vert,\;w \in V_n \}.$

a) Montrer que $\delta_n$ est atteint.

b) Montrer (sans utiliser la forme bilin{é}aire $a$) que $\delta_n \longrightarrow 0$.

c) Montrer que $\Vert u_n -u \Vert \leq \frac{\beta}{\alpha} \delta_n$ et en d{é}duire que $u_n$ converge fortement
vers $u$ dans V.
\\
Questions subsidiaires :\\
1) Montrer que $p_n \rightarrow +\infty$ quand $n \rightarrow +\infty$.\\
2) Montrer que l'hypoth{è}se (H) $\Longrightarrow$ V s{é}parable. \fexo
%\include{chap910}
