


\chapter{Les espaces de Lebesgue, $L^1$, $L^p$, $L^\infty$\label{ChapitreEspacesdeLebesgue}}


\section{Les espaces et leurs normes}

\label{espacesLp} \setcounter{exo}{0} Soient $f$ et $g$ deux fonctions r�elles mesurables sur ${\RR}^N$ telles que
$f(x)=g(x)$ pour tous les $x$ n'appartenant pas � un ensemble n�gligeable. On dit alors que $f$ et $g$ sont �gales
presque partout. On consid�re la relation $f=g$ presque partout : c'est une relation d'�quivalence. On identifiera dans
ce chapitre et les suivants chaque fonction $f$ et sa classe d'�quivalence.  Il est habituel dans ce cas de dire que
``$f$ est d�finie presque partout".
 Toutes les propri�t�s des fonctions que nous allons consid�rer
 sont des propri�t�s qui portent sur l'int�grale de fonctions d�finies presque partout.
 Cette int�grale ne d�pend pas de l'�l�ment
 de la classe choisi.

\begin{Def}
 On appelle, pour
$1\leq p<\infty$, $L^p(\RR^N)$ l'ensemble des fonctions d\e finies presque partout et telles que $$\int_{\RR^N}|f(x)|^p
dx<\infty.$$ On appelle $L^\infty(\RR^N)$ l'espace des fonctions d�finies presque partout et telles qu'il existe $C>0$
tel que $|f(x)|\leq C$  pour presque tout $x$.  La plus petite constante $C$ pour laquelle cette relation est vraie
s'appelle le ``sup essentiel'' de $|f(x)|$ et on le note $||f||_{L^\infty}.$   On dit  que $f$ est "essentiellement
born�e." \index{N}{$\Vert . \Vert_p$ est la norme usuelle des espaces $L^p$ ou bien $\ell^p$}
\end{Def}

 \dexer  V�rifier que les
espaces $L^1$ et $L^\infty$ sont des espaces vectoriels norm�s: leurs normes sont
$$||f||_{L^1}=\int |f(x)|dx \hbox{ et } \;
||f||_{L^\infty}=\hbox{supess}_{x\in\RR^N}|f(x)|.$$ \fexer On note  ces normes $||f||_1$ et $||f||_\infty$. On va aussi
poser pour $1<p<\infty$
$$||f||_p =||f||_{L^p}=(\int |f(x)|^pdx)^\frac 1 p,$$
mais il faudra montrer que c'est une norme. Un des buts de ce chapitre est de montrer que les espaces $L^p$ sont
complets et donc des espaces de Banach. On pose $p' = \frac{p}{p-1}$, de sorte que $\frac 1 p + \frac 1{p'} =1$. On
appelle $p'$ "l'exposant conjugu�" de $p$. Noter que $p'=\frac p{p-1}$, $2'=2$, $1'=+\infty$ et $(+\infty)'=1$.


\begin{thf}\label{holder} (In�galit� de H\ooo lder)\index{A}{in�galit�!de
H\ooo lder} Soit $1\leq p\leq +\infty$.  Pour tout $f\in L^p$ et $g\in L^{p'}$, la fonction $fg$ est sommable et
$$\int |fg|\leq ||f||_p||g||_{p'}.$$
\end{thf}
\paragraph{D�monstration}  Supposons d'abord $1<p<+\infty$.
On utilise la concavit� du logarithme sur ${\RR}^+$.  Si $a>0$, $b>0$, compte tenu de la relation $\frac 1 p + \frac
1{p'}=1$,
$$\log(\frac 1 p a^p + \frac 1{p'}b^{p'})\geq \frac 1 p \log(a^p) +\frac 1 {p'}\log
(b^{p'})=\log (ab). \hbox { D'o\u  }$$
$$ab \leq \frac 1 p a^p +\frac 1 {p'}b^{p'} \hbox {  et donc  }$$
$$|f(x)g(x)|\leq \frac 1 p |f(x)|^p + \frac 1{p'}|g(x)|^{p'}, \hbox{ qui donne }$$
$$\int |f(x)g(x)|\leq \frac 1 p ||f||^p_{L^p} + \frac 1{p'}||g||_{L^{p'}}^{p'}.$$
Pour trouver l'in�galit� recherch�e, on remplace le couple $(f, g)$ par $(\lambda f, \frac g \lambda), $ o\u $\lambda
>0.$ On choisit $\lambda = \frac {||g||_{p'}^\frac 1 p} {||f||_p^\frac 1{p'}}. $ Alors
$$\int |fg|\leq (\frac 1 p +\frac 1{p'})||f||_p||g||_{p'},$$
qui est bien l'in�galit� annonc�e. Si $p=1$ ou $p=+\infty$, on a $p'=+\infty$ ou $p'=1$ et l'in�galit� est imm�diate en
choisissant un repr�sentant de $g$ tel que $\sup |g|=||g||_{\infty}$ : on a alors $\int |fg|\leq \sup|g|\int
|f|=||g||_{\infty}||f||_{L^1}.$
\enddemo
\dexer \label{holdertoujoursvrai} Reprendre bri�vement la d�monstration pr�c�dente pour se d�barrasser de l'hypoth�se
que $f\in L^p$ et $g\in L^{p'}$. En d'autres termes, l'in�galit� de H�lder est vraie, que les membres de gauche et de
droite soient finis ou pas. \fexer
\begin{thf} \index{A}{norme!de $L^p$}
$L^p(\RR^N)$ est un espace vectoriel et $||f||_p$ est une norme pour tout $1\leq p \leq \infty.$
\end{thf}
\paragraph{D�monstration} On applique l'in�galit� de H\ooo lder :
$$||f+g||_p^p=\int |f+g|^p \leq \int |f+g|^{p-1}|f| + \int |f+g|^{p-1}|g|\leq$$
$$||\; |f+g|^{p-1}||_{p'}||f||_p + || \;|f+g|^{p-1}||_{p'} ||g||_p =
(||f||_p + ||g||_p)||f+g||_p^{p-1},$$ soit $||f+g||_p \leq ||f||_p +  ||g||_p$. Les autres relations caract�risant une
norme ($||\lambda f|| = |\lambda| ||f|| $, $||f||=0 \Rightarrow f=0$ presque partout) sont imm�diates pour $1\leq p\leq
\infty$.
\enddemo
\begin{pro}\label{convergencedomineedansLp} \index{A}{Lebesgue!th�or�me de la convergence domin�e dans $L^p$}
 {\bf Convergence domin�e dans $L^p$}.  Si $f_n\to f$ p.p. et s'il existe un
chapeau int�grable $g\in L^p$ ($1\leq p < +\infty$) tel que $|f_n|\leq g$ p.p., alors $f_n$ converge vers $f$ dans
$L^p$.
\end{pro}
\paragraph{D�monstration}
On   pose $h_n=|f_n-f|^p.$  Alors $|h_n|\leq (|f_n|+|f|)^p\leq 2^p |g|^p$  p.p. car $|f_n|\leq g$ p.p. et, en passant �
la limite simple, $|f|\leq g$ presque partout. On peut donc appliquer le th�or�me de la convergence domin�e � $h_n$ et
conclure que $h_n\to 0$.
\enddemo

\dexer L'�nonc� pr�c�dent est faux quand $p=+\infty$ : donner un contrexemple. \fexer Dans le m�me esprit, voici un
crit�re d'appartenance � $L^p$ d'une limite ponctuelle :

\begin{lem}\label{lalimiteppdansLp} {\bf (Fatou dans $L^p$)}
\index{A}{Fatou (lemme de)} Prenons $1\leq p\leq +\infty$. Soit $f_k$ une suite de fonctions  telles que
$||f_k||_{L^{p}}\leq c$,  et que $f_k(x)$ converge presque partout vers une fonction $f(x)$. Alors $f$ appartient aussi
� $L^{p}$ et $||f||_{p}\leq \lim\inf_k ||f_k||_{p}.$
\end{lem}
%
%
\paragraph{D�monstration}
En appliquant le lemme de Fatou, on a
$$c\geq \lim\inf \int |f_k|^{p}\geq \int \lim\inf |f_k(x)|^{p}=\int
|f(x)|^{p}.$$ Le cas $p=+\infty$ se traite ais�ment.
\enddemo

\dexo Montrer le lemme pr�c�dent quand $p=+\infty$. \fexo

\begin{thf} \label{lpcomplet} \index{A}{compl�tude!des $L^p$}
Les espaces $L^p(\RR^N)$,  ($1\leq p\leq +\infty$) sont  des espaces de Banach.
\end{thf}

\paragraph{D�monstration}
Soit $h_k$ une suite de Cauchy dans $L^p$.  Si $p=+\infty$,
    $h_k(x)$ est de Cauchy pour presque tout $x$ et
converge uniform�ment vers une fonction $h(x)$. Il est alors facile de v�rifier que $h(x)$ est essentiellement born�e
et que la convergence de $h_k$ vers $h$ est uniforme. Soit maintenant $1\leq p<\infty.$ Une r�currence facile (exercice
!) montre que l'on peut extraire
 une suite  de la suite de Cauchy $h_k$, que nous noterons par commodit\ea
$f_n=h_{k_n}$, telle que
$$q, r \geq n \Rightarrow
||f_q-f_r||_{L^p}\leq \frac 1 {2^n}.$$ On pose $g_n(x) = \sum_1^n |f_{k+1}(x)-f_k(x)|$.  La suite de fonctions $g_n(x)
$ est croissante.  Notons $g(x)$ sa limite. Par l'in�galit� triangulaire,
$$(\int |g_n|^p)^\frac 1p=||\sum_{k=1}^n|f_{k+}-f_k|\;||_p\leq
\sum_{k=1}^n ||f_{k+1}-f_k||_p\leq 1.$$ En appliquant  � $|g_n|^p$ le th�or�me de convergence monotone, on obtient donc
$$\int |g(x)|^p = \lim_n \int |g_n|^p \leq 1.$$
Il en r�sulte que $g(x)$ est presque partout finie, appartient � $L^p$ et que $g_n(x)$ tend presque partout vers
$g(x)$.  Comme (pour $n\geq m$), $\sum_m^{n}|f_{k+1}-f_k|(x)\leq g_n(x)-g_m(x)$, la s�rie $\sum_1^\infty(f_{k+1}-f_k)$
converge �galement presque partout. Donc $f_n(x)-f_1(x)$ converge presque partout vers une limite que l'on appelle
$f(x)-f_1(x)$.    De plus, $|f_n(x)-f(x)|^p\leq (\sum_n^\infty |f_{k+1}-f_k(x)|)^p\leq g(x)^p$ qui est chapeau
int�grable.  Donc $f_n-f$ converge vers 0 dans $L^p$.
  Rappelons que $f_n=h_{n_k}$ est une sous-suite
extraite de la suite de Cauchy $h_k$.  Mais si une sous-suite d'une suite de Cauchy converge, toute la suite converge.
\enddemo

\dexer  D�tailler la d�monstration du th�or�me pr�c�dent dans le cas $p=+\infty$. \fexer


 \dexer \label{comparaisondesLp} Soit $f$ une fonction �
support born�, i.e. $f(x)=0$ presque partout pour $|x|\geq R$. Montrer que si $p\geq q \geq 1$,  il existe $C$ tel que
$||f||_{L^q}\leq C||f||_{L^p}$. Expliciter la meilleure constante $C$.

\fexer

\begin{thf} \label{densiteC0Lp}\index{A}{densit�!de ${\cal C}_c$ dans $L^p$}
Les fonctions continues � support compact sont denses dans $L^p(\RR^N)$ pour tout $1\leq p<\infty$.

\end{thf}
\paragraph{D�monstration}   La propri�t� est d�ja connue pour $p=1$.
 Dans le
cas g�n�ral, on commence par montrer que l'on peut approcher une fonction $f$ de $L^p$ par des fonctions born�es et �
support compact. L'approximation se fait par simple troncature~: on pose $f_k(x) = f(x)$ si $||x||\leq k$ et
$|f(x)|\leq k$, $f_k(x)=0$ sinon.  La suite $f_k(x)$ a $f(x)$ pour chapeau int\e grable dans $L^p$ et tend presque
partout vers 0. Par le th�or�me de Lebesgue dans $L^p$ (Proposition \ref{convergencedomineedansLp}), on obtient $f_k\to
f$ dans $L^p$.

Reste � montrer que si une fonction $f$ est born�e  ($|f|\leq k$) et \a support compact ($|f(x)|=0$ si $||x||\geq k$),
alors elle est approchable dans $L^p$ par des fonctions continues. Mais comme $f\in L^1$, il existe une suite de
fonctions continues et � support compact $f_n$ convergeant vers $f$ dans $L^1$ (Propri�t� \ref{densiteCoL^1}). Quitte �
extraire une sous-suite, on peut supposer que la suite $f_n$ converge presque partout vers $f$ (r�ciproque du th�or�me
de Lebesgue). Utilisons une
 fonction $g$ continue  et � support compact   valant 1 sur $B(0,k)$. La suite
de fonctions $h_n=g\max(-k, \;\min(k,\;f_n)) $ est encore continue, converge presque partout vers $f$ et a la fonction
$k|g|$ comme chapeau int�grable dans  $L^p$.  Elle converge donc vers $f$ dans tous les $L^p$ tels que $1\leq
p<\infty$.
\enddemo

\dexer Les fonctions continues � support compact sont elles denses dans $L^\infty(\RR)$ ? Sont-elles denses dans
$L^1([0,1])$? Justifier. \fexer

 Dans la suite, on note $L^1_{loc}({\RR}^N)$ l'espace des fonctions d�finies presque partout et telles que
$\int_B |f(x)|dx<+\infty$ pour tout born� $B$ de ${\RR}^N$.  Remarquer que pour tout $p$,  $L^p({\RR}^N)\subset
L^1_{loc}({\RR}^N)$ (exercice \ref{comparaisondesLp}).

\begin{cor} \label{orthogonalaCcimpliquenul}\index{A}{orthogonalit�}
Soit $f\in L^1_{loc}(\RR^N)$ telle que pour toute fonction continue � support compact $u\in {\cal C}_c(\RR^N)$ on ait
$\int f(x)u(x)=0$.  Alors $f=0$ p.p.
\end{cor}
\paragraph{D�monstration}
En reprenant exactement le m\eee me raisonnement que dans la d�monstration pr�c�dente, on voit qu'il existe pour toute
boule $B(0,R)\subset \RR^N$ une suite $u_n\in {\cal C}_c(B(0,R+1))$ qui converge vers $\signe(f)$ presque partout dans
$B(0,R)$, vers z�ro ailleurs,   et v�rifie $|u_n|\leq 1$.  Il vient alors par le th�or�me de Lebesgue,
$$0=\int_{B(0,R+1)}f(x)u_n(x)\to
\int_{B(0,R)}f(x)\signe(f(x))=\int_{B(0,R)}|f(x)|dx.$$ Donc $f=0$.

\enddemo


\begin{thf}\label{continuiteLpenmoyenne} \index{A}{continuit�!uniforme en moyenne des fonctions de $L^p$}
Pour tout $f\in L^p(\RR^N),$ $1\leq p<\infty,$ on a
$$\lim_{y\to 0}\int_{\RR^N}|f(x+y)-f(x)|^pdx = 0.$$
\end{thf}
\paragraph{D�monstration} Cette propri�t� de ``continuit� en moyenne est
vraie pour les fonctions continues � support compact car elles sont uniform�ment continues et on la d�duit ais�ment
pour une fonction arbitraire de $L^p(\RR^N)$ en utilisant la densit� de ${\cal C}_c$ dans $L^p$ (th�or�me
\ref{densiteC0Lp}).

\enddemo
\section{Convolution, approximation et r�gularisation des fonctions de $L^p$}

\begin{thf} {\bf et d�finition} \index{A}{convolution!de deux fonctions de $L^1$}
Si $f$ et $g$ appartiennent � $L^1(\RR^N)$, alors le produit de convolution $f\ast g$ est d�fini par
$$(f\ast g)(x)=\int f(x-y)g(y)dy = \int g(x-y)f(y)dy,$$
la fonction de $y$ figurant sous le signe somme �tant sommable pour presque tout $x$.  En outre, la fonction $f\ast g$
appartient � $L^1$ et on a
$$||f\ast g||_1\leq ||f||_1||g||_1.$$
\end{thf}
\paragraph{D�monstration}
On montre d'abord en appliquant le th�or�me de Fubini-Tonelli et le th�or�me de changement de variable que la fonction
$|f(x-y)g(y)|$ est sommable.  En effet,
$$\int\int |f(x-y)g(y)|dxdy=\int |g(y)|(\int |f(x-y)|dx)dy=$$
$$
\int |g(y)|(\int |f(x)|dx)dy=||f||_{L^1}||g||_{L^1}.$$ La fonction $f(x-y)g(y)$ est donc sommable sur $\RR^{2N}$ et le
th�or�me de Fubini assure que la fonction $y\to f(x-y)g(y)$ est sommable pour presque tout $x$ et que la fonction alors
d�finie presque partout par $f\ast g(x)=\int f(x-y)g(y)dy$ est elle-m\eee me sommable sur $\RR^N$. On a finalement
$$||f\ast g||_{L^1}=\int |f\ast g|(x)dx\leq\int |g(y)|(\int
|f(x-y)|dx)dy=||f||_{L^1}||g||_{L^1}.$$
\enddemo
%
%\dexer \index{A}{Associativit� (de la convolution)}D�montrer en appliquant le
%th�or�me de Fubini que le produit de convolution est associatif,
%$$(f\ast g)\ast h= f\ast (g\ast h).
%$$
%On montrera que la fonction
%$(y,z)\to f(x-y)g(y-z)h(z)$ est sommable dans $\RR^{2N}$ et on calculera son
%int�grale de deux mani�res diff�rentes.
%\fexer
\begin{thf} {\bf (r�gularisation par
convolution)}\label{regularisationparconvolution}\index{A}{convolution!r�gularisation par} Soit $f\in L^1(\RR^N)$ et
soit $g$ une fonction continue et born\e e dans $\RR^N$.  Alors la fonction $f\ast g$ d�finie \underline{en tout point}
par $$f\ast g (x)= \int g(x-y)f(y)dy$$ est continue et born�e. Si de plus les d�riv�es partielles de $g$ existent et
sont continues et born�es jusqu'� l'ordre $k\in \NN$, il en est de m\eee me pour $f\ast g$ et l'on a
$$\frac{\partial(f\ast g)}{\partial x_j} = f\ast \frac{\partial g}{\partial x_j},
\; \; \frac{\partial^2(f\ast g)} {\partial x_j\partial x_k} = f\ast \frac{\partial^2 g}{\partial x_j\partial x_k},\;
\hbox{ etc.}
$$
\end{thf}
\paragraph{D�monstration}
On remarque d'abord que la fonction $y\to g(x-y)f(y)$ est sommable pour tout $x$.  En effet, $|g(x-y)f(y)|\leq
||g||_{\infty}|f(y)|$. La continuit� de $f\ast g(x)$ d�coule du th�or�me de Lebesgue.  En effet, si $x_n\to x$, alors
$g(x_n-y)f(y)$ tend partout vers $g(x-y)f(y)$ et $||g||_\infty |f(y)|$ est chapeau int�grable. Donc
$$(f\ast g)(x_n)=\int g(x_n-y)f(y)dy\to \int g(x-y)f(y)dy=(f\ast g)(x).$$
Si $g$ est d�rivable par rapport � $x_j$ et de d�riv�e continue et born\e e, appliquons le th�or�me de d�rivation sous
le signe somme.  On a
$$\frac {\partial}{\partial x_j}(g(x-y)f(y)) = \frac{\partial g}{\partial
x_j}(x-y)f(y)$$ et cette fonction est major�e en module par $||\frac{\partial g}{\partial x_j}||_\infty |f(y)|$, qui
est ind�pendante de $x$ et sommable. Le th�or�me de d�rivation sous le signe somme s'applique donc et donne bien
$\frac{\partial(f\ast g)}{\partial x_j} = f\ast \frac{\partial g}{\partial x_j}$. Ceci montre le r�sultat pour $k=1$.
Ensuite, il suffit d'it�rer puisque qu'on peut appliquer ce  r�sultat au couple form� de $f$ et d'une d�riv�e premi�re
de $g$, ce qui prouve le th�or�me pour $k=2$, etc.
\enddemo

\begin{Def}\label{definitionL1loc} On note $L^1_{loc}(\RR^N)$  l'espace des fonctions $f$ telles que pour tout born� $B$ de $\RR^N$, $f\in L_1(B)$. On dit que $f_n\to f$ dans $L^1_{loc}$ si $f_n$  tend vers $f$ dans $L^1(B)$ pour tout born� $B$.
\end{Def}
\dexer Montrer que  les espaces que nous connaissons: $L^p(\RR^N)$, $1\leq p\leq \infty$ et $C^0(\RR^N)$ sont dans $L^1_{loc}(\RR^N)$.
\fexer
\begin{cor}  \label{autreregularisation}Si $f\in L^1_{loc}$ et $g\in C^k$ est � support compact, alors $f\ast g$ est $C^k$.
\end{cor}
\dexer Montrer le corollaire \ref{autreregularisation} en adaptant la d�monstration du th�or�me 
\ref{regularisationparconvolution}. 
\fexer
 {\small Le th�or�me qui suit va nous donner un autre exemple d'utilisation de la densit� de $C_c({\RR}^N)$ dans
$L^2({\RR}^N)$.
\begin{thf} \index{A}{convolution!d'une fonction de $L^1$ avec une fonction
de $L^2$}Soient $f\in L^1(\RR^N)$ et $g\in L^2(\RR^N)$. Alors $(f\ast g)(x)$ est d�fini pour presque tout $x$ et c'est
une fonction de carr� sommable v\e rifiant
\begin{equation}\label{convolutionL1L2}
||f\ast g||_2\leq ||f||_1||g||_2.
\end{equation}
Soient $f$ et $g$ deux fonctions de  $L^2(\RR^N)$.  Alors $f\ast g(x)$ est d\e fini pour tout $x$ et c'est une fonction
continue, tendant vers z�ro \a l'infini et satisfaisant

\begin{equation}
\label{convolutionL2L2} ||f\ast g||_\infty\leq ||f||_2||g||_2.
\end{equation}
\end{thf}

\paragraph{D�monstration} Pour �valuer
$$
I= \int (|f|\ast |g|)^2(x)dx,
$$
on remarque  que cette int�grale est �gale gr\aa ce au th�or�me de Tonelli \a
\begin{equation}\label{integraleaucarre}
I=\int\int\int |g(x-y)||g(x-z)||f(y)||f(z)|dxdydz.\end{equation} En appliquant \a nouveau le
  le th�or�me de Fubini pour
int�grer $I$ d'abord en $x$,  puis en utilisant l'in�galit� de Cauchy-Schwarz, on obtient
\begin{equation}\label{appliquecauchyschwartz}
I=\int\int |f(y)||f(z)|(\int |g(x-y)||g(x-z)|dx)dydz\leq ||f||_1^2||g||_2^2.
\end{equation}
La relation (\ref{convolutionL1L2}) vient imm�diatement des relations (\ref{integraleaucarre}) et
(\ref{appliquecauchyschwartz}).


Si maintenant $f$ et $g$ sont de carr� sommable, on d�duit  de  l'int\e galit� de Cauchy-Schwarz que $(f\ast g)(x)$ est
d�fini  pour tout $x$ et on obtient la relation (\ref{convolutionL2L2}).  Montrons maintenant que $f\ast g $ est
continue et tend vers z�ro � l'infini.  On consid�re deux suites approximantes continues � support compact $f_n$ et
$g_n$ telles que $f_n\to f$ et $g_n \to g$ dans $L^2(\RR^N)$. Par le th�or�me \ref{regularisationparconvolution},
$f_n\ast g_n$ est continue et il est imm\e diat que $f_n\ast g_n$ est encore � support compact. Finalement on a, gr\aa
ce � l'in�galit� de Cauchy-Schwarz,
$$|f\ast g(x)-f_n\ast g_n(x)|\leq (|f-f_n|\ast |g|)
(x)+(|f_n|\ast |g-g_n|)(x)\leq$$
$$||f-f_n||_2||g||_2 + ||f_n||_2||g-g_n||_2 \to 0.$$
Donc la suite de fonctions $f_n\ast g_n$, continues et tendant vers z�ro \a l'infini, tend uniform�ment vers $f\ast g$.
Il en r�sulte que $f\ast g$ est continue et tend vers z�ro �  l'infini.
\enddemo
}

\subsection{Le th�or�me fondamental du traitement du signal}
Le th�or�me que nous allons maintenant �noncer est appel� th�or�me fondamental du traitement du signal, car il exprime
que tout traitement lin�aire continu appliqu� � un signal temporel se r�duit au choix d'une convolution. En premi�re
analyse, le traitement du signal doit �tre invariant par translation temporelle, puisque ce traitement ne d�pend  en
g�n�ral pas de l'instant, inconnu, o� le signal commence.

\begin{Def}\index{A}{invariance par translation}
Si $f$ est une fonction sur $\real^N$ et $x\in \real^N$, on note $(\tau_xf)(y)=f(y-x).$ C'est la translat�e de $f$ par
le vecteur $x$. On dit qu'un op�rateur $T$ agissant sur des fonctions est invariant par translation si
$T(\tau_xf)=\tau_x(Tf)$.
\end{Def}

On note $C_b(\RR^N)$ l'ensemble des fonctions continues et born�es, muni de la norme $||f||_\infty$.  On v�rifie
ais�ment que c'est un espace de Banach.
\begin{thf}\label{universalitedelaconvolution} (L'universalit� de la convolution)
\index{A}{convolution!Universalit� de la} Soit $T  : L^2(\RR^N) \to C_b(\RR^N)$ un op�rateur lin�aire, invariant par
translation et continu. Alors il existe $g$ dans $L^2(\RR^N)$ telle que $T(f)=g\ast f$.
\end{thf}

\paragraph{D�monstration}
On consid�re la forme lin�aire $f\to (Tf)(0)$, qui appartient par hypoth\ee se � $(L^2(\RR^N))'$. En effet,
$$|(Tf)(0)|\leq ||Tf||_\infty\leq ||f||_{L^2},$$ et cette in�galit� exprime la continuit� de la forme lin�aire
$(Tf)(0)$ sur $L^2$. Par le th�or�me \ref{theoremedeRiesz}, (th�or�me de Riesz), il existe alors une fonction $g_0\in
L^2$ telle que \fb& \label{rieszconvolution} (Tf)(0)=\int_{\RR^N}f(y)\overline{g_0}(y)dy. \fe& Par hypoth�se aussi,
$T(\tau_xf)=\tau_xTf$. Donc par (\ref{rieszconvolution}),
$$
Tf(x) = (\tau_{-x} (Tf))(0)= T(\tau_{-x}f)(0)=\int_{\RR^N}f(x+y)\overline{g_0}(y)dy =
\int_{\RR^N}f(x-y)\overline{g_0}(-y)dy= (f\ast g)(x),
$$
avec $g(y) = \overline{g_0}(-y)$.
\enddemo
\begin{pro}
\label{supportdeconvolution}\index{A}{support!de la convol�e de deux
fonctions} Soient $f$ et $g$  deux fonctions  telles que $(f\ast g)(x)$ soit d�fini pour presque tout $x$. (C'est en
particulier le cas si $f$ et $g$ sont dans $L^1$, mais il y a bien d'autres cas o� l'int�grale d�finissant la
convolution a un sens, par exemple si $f\in L^1_{loc}({\RR}^N)$ et $g_n \in C_c({\RR}^N)$.)  Alors
\begin{equation}\label{inclusionsommesupports}\supp(f\ast g) \subset \overline{\supp(f)+\supp(g)}.\end{equation}
\end{pro}
\paragraph{D�monstration}
Soit $x\notin \supp(f)+\supp(g)$, alors $(x-\supp(f))\cap \supp (g)=\emptyset$ et donc
$$(f\ast g)(x)=\int f(x-y)g(y)dy=\int_{(x-\hbox{\small Support}(f))\cap \hbox{\small Support}(g)}f(x-y)g(y)dy=0.$$
Donc $(f\ast g)(x)=0$ en tout point n'appartenant pas � $\supp(f)+\supp(g)$ et donc aussi en tout point n'appartenant
pas � sa fermeture $\displaystyle{\overline{\supp(f)+\supp(g)}}$, ce qui donne le r�sultat.
\enddemo

\dexer Remarquer que si  l'un des deux supports $\supp(f)$ et $\supp(g)$ est compact, la somme des des deux supports
est �galement compacte et on  a �galit� dans (\ref{inclusionsommesupports}). Mais en toute g�n�ralit� la somme de deux
ferm�s n'est pas n�cessairement ferm�e. Prendre par exemple dans $\RR^2$ les deux ensembles $F=\{(x,y), y=\frac 1x, \;
x>0\}$ et $G=\{(x,y), y=-\frac 1x, \; x<0\}$ et v�rifier que  $F+G$ n'est pas ferm�, alors que $F$ et $G$ le sont.

\fexer
\begin{Def}\index{A}{approximation!de l'identit�}
 Soit $k\in L^1(\RR^N)$ telle que $\int k(x)dx =1$ et
$k(x)\geq 0$ presque partout. On pose pour tout $h>0$,
$$k_h(x) = h^{-N}k(\frac x h).$$
On appelle un tel syst�me de fonctions $k_h$, $h>0$, une ``approximation de l'identit�".
\end{Def}

\begin{pro}  \label{convergenceversdelta}\index{A}{approximation!par convolution
} Si $f$ est uniform�ment continue et born�e sur $\RR^N$, alors $f\ast k_h$ converge vers $f$ uniform�ment.
\end{pro}
\paragraph{D�monstration}
On remarque d'abord que \fb& \label{convol0}  \int k_h(x)dx=\int k(x)dx=1, \fe& \fb& \label{convol1} k_h \ast f (x)
-f(x) = \int( k_h(y)(f(x-y) -f(x))dy, \fe& et que (une cons�quence du th�or�me de Lebesgue), pour $\eta$ fix� et $h$
assez petit,
 \fb&
\label{convol3} \int_{|y|\geq \eta}|k_h(y)|dy\leq \varepsilon. \fe&
 Donc
$$|(k_h\ast f)(x)-f(x)|=|\int k_h(y)(f(x-y)-f(x))dy|$$
$$
\leq 2\sup|f|\int_{|y|\geq \eta}|k_h(y)|dy+\sup_{|y|\leq \eta} |f(x-y)-f(x)|\int|k_h(y)|dy\leq 2\varepsilon$$ pourvu
que l'on fixe premi�rement  $\eta$ assez petit pour que le deuxi�me terme soit plus petit que $\varepsilon$, puis $h$
assez petit pour que le premier soit aussi plus petit que $\varepsilon.$
\enddemo

Le th�or�me pr�c�dent s'�tend � $L^p$.
\begin{thf}  \index{A}{approximation!de l'identit�}
\label{approximationsidentite} Soit $k_h$ une approximation de l'identit�. Alors pour toute fonction $f\in L^p(\RR^N)$,
$1\leq p<\infty$, les fonctions $f\ast k_h$ convergent vers $f$ dans $L^p$.
\end{thf}
\paragraph{D�monstration}
Comme $f\in L^p$, on peut choisir par le th�or�me \ref{continuiteLpenmoyenne} $\eta$ assez petit pour que \fb&
\label{convol2} |y|\leq \eta \Rightarrow\int |f(x-y)-f(x)|^pdx \leq \varepsilon. \fe&
 L'in�galit� de H�lder et le fait que
$k_h\geq 0$, $\int k_h=1$ impliquent que pour toute fonction $f$ dans $L^p$, on ait

\fb& \label{convol4} \left(\int k_h(x)|f(x)|dx\right)^p\leq \int k_h(x)|f(x)|^pdx. \fe& En effet,

$$\left(\int k_h|f|\right)^p=\left(\int k_h^\frac 1p k_h^\frac 1{p'}|f|\right)^p\leq \left(\int k_h|f|^p\right)
\left(\int k_h\right)^\frac p {p'}.$$ En utilisant les relations (\ref{convol0})-(\ref{convol4}) et le th�or�me de
Fubini,
$$\int |k_h \ast f (x) -f(x)|^pdx=\int\left|\int ( k_h(y)(f(x-y)
-f(x))dy\right|^pdx \leq \int\int  k_h(y)|f(x-y)-f(x))|^pdydx \leq$$
$$2^p\int |f(x)|^pdx\int_{|y|\geq \eta}|k_h(y)|dy+\int_{|y|\leq \eta}|k_h(y)|dy\int
|f(x-y)-f(x)|^pdx\leq$$
$$2^p||f||_{L^p}^p\varepsilon + \int |k_h(y)|\varepsilon =
(2^p||f||_{L^p}^p+||k||_{L^1})\varepsilon.
$$
\enddemo
\dexer Reprendre la d�monstration pr�c�dente dans le cas $p=1$ et montrer que l'on peut se passer de l'hypoth�se que
$k$ est positive.  Montrer �galement en construisant un exemple simple que le r�sultat pr�c�dent ne s'�tend pas  �
$p=+\infty$.\fexer

\begin{cor} \index{A}{densit�!de ${\cal C}_c^\infty(\Omega)$ dans ${\cal
C}_c(\Omega)$} \index{N}{$${\cal C}^{\infty}_c(\Om)$$ est l'ensemble des fonctions de classe ${\cal C}^{\infty}$ {�}
support compact dans $\Om$}
 \label{densiteC0infiniCc}Soit $\Omega$ un ouvert de $\RR^N$.
On appelle ${\cal C}_c^\infty(\Omega)$ l'ensemble des fonctions ${\cal C}^{\infty}$ � support compact dans $\Omega$ et
on munit ${\cal C}_c(\Omega)$, l'espace des fonctions continues � support compact dans $\Omega$, de la topologie
suivante : on dit que $u_n$ tend vers $u$ si pour tout $\varepsilon>0$ il existe $n_0$ tel que pour $n\geq n_0$, on ait
$\support(u_n)\subset \support (u)+B(0,\varepsilon)$ et $\sup_{x\in \Omega} |u_n(x)-u(x)|< \varepsilon$.  Alors ${\cal
C}_c^\infty(\Omega)$ est dense dans ${\cal C}_c(\Omega)$.
\end{cor}

\paragraph{D�monstration}
Si $f\in {\cal C}_c(\Omega)$, alors elle est uniform�ment continue et $k_h\ast f$ tend vers $f$ uniform�ment. De plus,
par la proposition \ref{supportdeconvolution}, $\support (k_h\ast f)\subset \support (f) +B(0,h)$. Donc $k_h\ast f$
tend bien vers $f$ dans ${\cal C}_c(\Omega)$. Enfin, par le th�or�me \ref{regularisationparconvolution}, on a bien
$k_h\ast f\in {\cal C}^{\infty}$.
\enddemo

\dexo Nous avons seulement d�fini une notion de convergence de suite dans $\mathcal C_c$. Donner une topologie � $C_c$
qui conduit � cette notion de convergence (donner pour chaque fonction une base de voisinages ouverts). \fexo

Pour compl�ter la d�monstration pr�c�dente, il nous reste � montrer qu'il existe des fonctions ${\cal C}^{\infty}$ �
support compact.
\begin{lem}\label{Cinfiniasupportcompact}\index{A}{fonction!${\cal C}^{\infty}$ \a
support compact}  Il existe une fonction $f_N\in {\cal C}^{\infty}(\RR^N),$ \a support compact,
 positive et de support contenu dans $\overline{B}(0,1)$.
\end{lem}
\paragraph{D�monstration} On pose , en dimension 1, $f_1(x)=e^{\frac
1 {x^2-1}}$  si $|x|\leq 1$, $f(x)=0$ sinon.  Il est facile de voir que $f^{(k)}(-1)=f^{(k)}(1)=0$ pour tout ordre $k$
et que donc $f$ est ${\cal C}^{\infty}$.   En dimension $N$, on pose simplement $g_N(x_1,..., x_N)=f_1(x_1)...f_N(x_N)$
qui est � support dans l'hypercube $[-1,1]^N$ puis $f_N(x) = g_N(2\sqrt N x)$ pour ramener le support dans $B(0,1)$.
\enddemo


\dexo \index{A}{fonction!${\cal C}_c^\infty$ radiales}Construire une fonction radiale $f_N\in {\cal C}^{\infty}(\RR^N)$
telle que $f_N(x)=1$ si $|x|\leq 1$, $f_N(x) = 0$ si $|x|\geq 2$.
\newline (i) Commencer par le cas de la dimension 1 : Soit $f$ une fonction
 positive, ${\cal C}^{\infty} $, � support compact dans $[-1,1]$ et d'int�grale
1. On peut construire une telle fonction par le lemme \ref{Cinfiniasupportcompact}.  Poser $h(x) = f_1(x+3) -
f_1(x-3)$, puis $g(x) = \int_{-\infty}^x h(t)dt$. Dessiner $h(x)$ et $g(x)$, montrer que $f_1(x)= h(2x)$ r�pond � la
question en dimension 1.
\newline (ii) Montrer que $f_N(x)= f_1(||x||)$, o\u $||x||$ d\e signe la norme
euclidienne usuelle, convient en dimension $N$. \fexo

\begin{pro}\label{densiteCinfiniL1deomega}\index{A}{densit�!de
${\cal C}_c^\infty(\Omega)$ dans $L^p(\Omega)$} Soit $\Omega$ un ouvert de $\RR^N$. Alors ${\cal C}_c^\infty(\Omega)$
est dense dans $L^p(\Omega)$ pour tout $1\leq p<\infty.$
\end{pro}
\paragraph{D�monstration}  On consid�re les voisinages int�rieurs born�s de
$\Omega$, $\Omega_r= \{x,B(x,r)\subset \Omega\}\cap B(0, \frac 1 r).$  Comme $\Omega = \cup_{r>0}\Omega_r,$ on a par le
th�or�me de Lebesgue
$$\forall\varepsilon\exists r,\;
\int_{\Omega}|f(x)-f(x)\indic_{\Omega_r}|^pdx<\varepsilon.$$  On choisit alors $r'<r$ tel que
$$||(f\indic_{\Omega_r})\ast k_{h_{r'}}-f\indic_{\Omega_r}||_{L^p(\Omega)}<\varepsilon.$$ On obtient donc
$||f-(f\indic_{\Omega_r})\ast k_{h_{r'}}||_{L^p(\Omega)}<2\varepsilon$. Comme $r'<r$,  le lemme
\ref{supportdeconvolution} et  le th�or�me \ref{regularisationparconvolution} impliquent que $(f\indic_{\Omega_r})\ast
h_{r'}\in {\cal C}_c^\infty(\Omega).$
\enddemo



\begin{thf} (Riesz-Fr�chet-Kolmogorov)\index{A}{Riesz-Fr�chet-Kolmogorov (th\e
or�me de compacit� de)} \label{rieszfrechetkolmogorov} Soit $\Omega\subset \RR^N$ un ouvert et $\omega\subset\subset
\Omega$ un ouvert contenu dans un compact, lui m\eee me contenu dans $\Omega$.  Soit $\cal F$ un sous-ensemble born� de
$L^p(\Omega)$ avec $1\leq p<\infty$. On suppose que
$$\forall \varepsilon>0, \exists \delta<\hbox{dist}(\omega, \Omega^c),
\; \forall f\in{\cal F},\forall h<\delta,\; ||\tau_h f-f||_{L^p(\Omega)}<\varepsilon.$$ Alors $\cal F$ est relativement
compacte dans $L^p(\omega)$. (Toute suite $f_n\in \cal F$ a une sous-suite convergente dans $L^p(\omega)$).
\end{thf}
\paragraph{D�monstration}
On consid�re  des noyaux r�gularisants $\rho_r, r>0$ tels que\linebreak $\int \rho_r(x)dx=1$, $\rho\geq 0$,
$\hbox{support}(\rho)\subset B(0, r)$. On commence par montrer que le th�or�me d'Ascoli-Arzela s'applique � la famille
$(\rho_r\ast f), f\in \cal F$. En effet, si $f\in \cal F$ et $|z|, r\leq \frac 1 2\hbox{dist}(\omega, \Omega^c)$, $x\in
\omega$, on a par l'in�galit\ea de H\ooo lder,
$$|(\rho_r\ast f)(x+z)-(\rho_r\ast f)(x)|\leq \int \rho_r(y)|f(x-y)-f(x-y+z)|dy
\leq ||\rho_r||_{L^{p'}}^{p'}||\tau_z f-f||_{L^p(\Omega)}.$$ La famille $\rho_r\ast f $ est donc �quicontinue sur
$\omega$. Montrons que la famille $\rho_r\ast f(x)$ est born�e.  En  reprenant les calculs pr�c�dents on a aussi pour
$r< \frac 1 2\hbox{dist}(\omega, \Omega^c)$,
$$|\rho_r\ast  f(x)|\leq \int \rho_r(y)|f(x-y)|dy
\leq ||\rho_r||_{L^{p'}}^{p'}||f||_{L^p(\Omega)}.$$ On conclut que la famille $\rho_r\ast \cal F$ est relativement
compacte pour la topologie de la convergence uniforme sur $\omega$ et donc aussi pour la norme $L^p(\omega)$, $\omega $
�tant born�.

On   montre ensuite que l'on peut approcher \underline {uniform�ment} les \e l�ments de $\cal F$ par les fonctions
$\rho_r\ast f$. On choisit $r<\hbox{dist}(\omega, \Omega^c),$ de sorte que $\omega+B(0,r)\subset \Omega$. En utilisant
la convexit� de la fonction $s\to s^p$,
$$|\rho_r\ast f(x)-f(x)|\leq \int_\omega \rho_r(y)|f(x-y)-f(x)|dy\leq
(\int_\omega \rho_r(y)|f(x-y)-f(x)|^pdy)^\frac 1 p$$ ce qui donne
$$|\rho_r\ast f(x)-f(x)|^p\leq \int_{B(0,r)}\rho_r(y)|f(x-y)-f(x)|^pdy.$$
Par le th�or�me de Fubini-Tonelli et si $r<\delta(\varepsilon)$, on obtient \fb& \label{approximationuniforme}
\int_\omega |\rho_r\ast f(x)-f(x)|^pdx\leq \int_{B(0,r)}\rho_r(y)||\tau_yf-f||_{L^p(\Omega)}^pdy\leq \varepsilon^p.
\fe&
%
Pour conclure, on montre que la famille $\cal F$ peut \eee tre pour tout $\varepsilon$ recouverte par un nombre fini de
boules  de rayon arbitrairement petit. On commence par recouvrir la famille $\rho_r\ast f$ par des boules en nombre
fini $B(f_i\ast \rho_r, \varepsilon )$.  Gr\aa ce \a (\ref{approximationuniforme}), on en d�duit que $\cal F$ est
recouverte par les boules en nombre fini $B(f_i, \varepsilon+2\varepsilon^p)$. En effet, si $f\in \cal F$, il existe
$i$ tel que $\rho_r\ast f\in B(\rho_r\ast f_i, \varepsilon)$ et on a donc $$||f-f_i||\leq ||\rho\ast f-\rho\ast
f_i||+||\rho\ast f-f||+||\rho\ast f_i-f_i||\leq \varepsilon + 2\varepsilon^p.$$
\enddemo
\\ \\

{\bf Illustration de la convolution et de la r�gularisation dans le cas des images}



Une image photographique peut \^etre repr�sent�e comme une fonction r�elle $f$ born�e mesurable, d�finie sur un ouvert
born� $\Omega \subset \R^2$ (voir la fin du chapitre \ref{intlebesgue}). Les images, du fait de leur acquisition par un
appareil optique ou de leur transmission ult�rieure, sont ``bruit�es''. Il existe de nombreuses d�finitions du bruit
faisant intervenir la th�orie des probabilit�s que nous ne d�taillerons pas ici. Il nous suffira de consid�rer le bruit
comme une forme d'irr�gularit� de l'image, qui rend d�licat le calcul de ses d�riv�es. Une solution � ce probl�me est
de convoluer la fonction $f$ avec une fonction r�guli�re $g$ dont le support est petit. Mais pourquoi vouloir calculer
les d�riv�es d'une image ? A cause de l'importance des points de discontinuit�: on appelle contours les traces laiss�es
par les bords des objets sur l'image $f$, qui forment des courbes de points de discontinuit� dans l'image. Plusieurs
m�thodes tr�s utilis�es en traitement des images pour d�tecter ces points reposent sur le calcul du gradient, puis sur
une s�lection de points o\`u le module du gradient est �lev�. Rappelons que le gradient est une fonction de $\R^2$ dans
$\R^2$, d�fini pour une image $f$ par:
$$Df=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right).$$
Or l'irr�gularit� de $f$ rend difficile le calcul de ce gradient, dont les valeurs sont tr�s sensibles aux variations
brusques pr�sentes dans l'image. Pr�alablement au calcul du gradient, l'image est donc convolu�e avec une fonction
$g_h$, g�n�ralement une gaussienne, $g_h=h^{-2}g(\frac x h,\frac y h)$, avec
$$g(x,y)=\frac{1}{2 \pi}\exp(-\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}).$$
Le th�or�me \ref{regularisationparconvolution} nous assure alors que $f \ast g_h$ est diff�rentiable (et m\^eme ${\cal
C}^\infty$), car $g_h$ l'est. De plus, on peut montrer que $\int g=1$, et donc que $g$ satisfait les conditions du
th�or�me \ref{approximationsidentite} (approximation de l'identit�), ce qui implique que $f\ast g_h$ converge vers $f$
dans $L^p$ lorsque $h$ tend vers 0. Sur la figure \ref{gradimage} nous montrons une image ``bruit�e'' ainsi que deux
convolutions avec $g_1$ et $g_3$. Nous remarquons la proximit� de ces images � $f$, m\^eme si un effet de flou est tr�s
visible. Nous montrons �galement les images de la norme du gradient pour l'image originale et les convolu�es. Un point
est repr�sent� avec un gris d'autant plus sombre que la valeur du module du gradient y est �lev�. Nous remarquons que
les points de gradient �lev� sont plus nombreux et moins li�s � la structure de la sc�ne sur l'image $|Df|$ que sur les
images $|D(f\ast g_1)|$ et $|D(f\ast g_3)|$.

\begin{figure}
\begin{center}

\includegraphics[width=10cm]{Figures/poivrons.ps}

\end{center}
\caption[Convolution et r�gularisation des images]{Illustration de la convolution et de la r�gularisation dans le cas
des images. Colonne de gauche, de haut en bas: l'image originale $f$, l'image convolu�e $f\ast g_1$, l'image convolu�e
$f\ast g_3$. Colonne de droite, de haut en bas, les gradients correspondants, c'est � dire $|Df|$, $|D(f\ast g_1)|$, et
$|D(f\ast g_3)|$. Un point est d'autant plus sombre que la valeur du module du gradient en ce point est �lev�e. La
fonction $g_h$ d�signe la gaussienne $g_h(x,y)=\frac{1}{2 \pi h}\exp(-\frac{x^2}{2h^2}-\frac{y^2}{2h^2})$. Les points
o\`u le gradient est fort correspondent aux points de discontinuit� de l'image, qui donnent une information sur la
pr�sence de contours. L'image originale est tr�s bruit�e, ce qui appara\^it nettement sur l'image du gradient
correspondant. Les deux images suivantes sont proches de l'image originale (malgr\'e un visible effet de flou), mais
beaucoup plus r�guli�res. Le th�or�me \ref{approximationsidentite} (approximation de l'identit�) nous assure que $f\ast
g_h$ tend vers $f$ dans $L^p$ si $h$ tend vers 0. Le th�or�me \ref{regularisationparconvolution} (r�gularisation par
convolution) nous assure que les fonctions $f\ast g_h$ sont diff�rentiables pour tout $h$. Le calcul du gradient de ces
deux images donne un r�sultat visuellement plus discriminant que sur l'image originale.} \label{gradimage}
\end{figure}

\section{Exercices} \index{A}{Weierstrass (th\e or\ee me de)}
\dexo Th{�}or{�}me de Weierstrass \label{theoweierstrass} \\
Soit $Q_n(t) = c_n (1 -t^2)^n$ sur $[-1,1]$ o{\`u} $c_n$ est choisi pour que
$\int_{-1}^1 Q_n dt =1$.\\
1) V{�}rifier que
$$\int_0^1 (1-t^2)^n dt \geq \int_0^{\frac{1}{\sqrt{n}}} (1 - nt^2) dt,$$
et en d{�}duire que $c_n < \sqrt{n}$. (Faire un dessin.)\\
2) Soit $f \in {\cal C}([0,1],\RR)$, on suppose que $f(0)=f(1)=0$. On prolonge $f$ et $Q_n$ par $0$ {�} $\RR$ tout
entier et on pose $P_n(x) = f \ast Q_n(x)$ pour $x
\in [0,1]$.\\
V{�}rifier que $P_n$ est polynomial et montrer que $P_n$ converge vers $f$
uniform{�}ment sur $[0,1]$.\\
3) Montrer que les polyn{\^o}mes {�} coefficients r{�}els sont denses dans ${\cal C}([0,1],\RR)$. \fexo

 \dexo \hfill
\newline 1) Soit $\chi_n(x) = \frac{1}{2n}$ sur $[-n,n]$, $\chi_n(x) = 0$ ailleurs. Etudier sa
limite dans $L^1(\RR)$ et dans $L^2(\RR)$ quand $n \rightarrow +\infty$.\\
2) Utiliser cette suite de fonctions pour montrer que
$$\{ f \in L^1(\RR)\cap L^2(\RR) : \int_{\RR} f(x)\;dx = 0 \}$$
est dense dans $L^2(\RR)$. \fexo


\dexo (J.M.Bony, Ecole Polytechnique)\\
%{ \bf Exercice 4} (J.M.Bony, Ecole Polytechnique)
Soit $g \in L^1(\RR)$ et soit f d{�}finie sur $\RR$. On pose, $\forall n \geq 1$, (lorsque cela a un sens),
$$ T_n(f)(x) = \int_{\RR} f(x-y^n) g(y) dy.$$
1) si $f \in L^1(\RR)$, montrer que $T_n(f)$ est d{�}finie p.p. et $T_n(f) \in
L^1(\RR)$.\\
2) Si f est continue et born{�}e, montrer que $T_n(f)$ est continue et
born{�}e.\\
3) Si f est continue et $f(x) \longrightarrow 0$ quand $\vert x \vert \rightarrow +\infty$, montrer que $\forall x$,
$T_n(f)(x) \longrightarrow C\;f(x)$ o{\`u} C est une constante {�} d{�}terminer. \fexo

 \dexo
On note $\star$ le produit de convolution.\\
Montrer que $(L^1(\RR),+,\star)$ est une alg{�}bre de Banach commutative qui ne poss{�}de pas d'{�}l{�}ment neutre pour
$\star$. \fexo


\dexo \hfill \newline 1)Soit $f \in L^p \cap L^q$ avec $1 \leq p<q$. Montrer que
$$ {\Vert f \Vert}_r \leq {\Vert f \Vert}_p^{\theta}\,
\, {\Vert f \Vert}_q^{1-\theta}, \mbox{ o{\`u} } \frac{1}{r} = \frac{\theta}{p} + \frac{1-\theta}{q},$$
avec $\theta \in [0,1]$ et donc $f \in L^r$, $\forall r \in [p,q]$.\\
2) Soit E un sous-espace vectoriel ferm{�} de $L^1$ tel que $E \subset \displaystyle{\bigcup_{1< q \leq +\infty}} L^q$.
On va montrer que $\exists p > 1$ tel que $E \subset L^p$ avec injection continue. On consid�re les ensembles $$E_n =
\{ f \in E \cap L^{1+\frac{1}{n}},\,{\Vert f \Vert}_{1+\frac{1}{n}} \leq\,n\}.$$
a) Montrer que $E = \bigcup_n E_n$. \\
b) Montrer que $\forall n$, $E_n$ est ferm{�} dans $(E,\Vert\,\Vert_1)$.\\
c) Montrer que
$\exists n_0$ tel que int$(E_{n_0}) \not= \emptyset$. \\
d) En d�duire que $id : E, \Vert\,\Vert_1 \longrightarrow L^{1+\frac{1}{n_0}}$ est continue. \fexo


 \dexo
Soit $\Om$ un ouvert born{�} de $\RR^N$.\\
1) Soit $f \in L^{\infty}(\Om)$. Montrer que $ \lim_{p \rightarrow \infty}{\Vert f
\Vert}_p = {\Vert f \Vert}_{\infty}$.\\
2) Soit $f \in \displaystyle{\bigcap_{1 \leq p < \infty}} L^p(\Om)$, on suppose que $\exists C$ telle que $\Vert f
\Vert_p \leq C$, $\forall p$ tel que $1\leq p < \infty$. Montrer que $ f \in
L^{\infty}(\Om)$.\\
3) Soit $\Om = ]0,1[$ et $f(x) = \log x$, v{�}rifier que $f \in \displaystyle{\bigcap_{1 \leq p < \infty}} L^p(\Om)$ et
que $f \not\in L^{\infty}(\Om)$. \fexo


\dexo \index{A}{transform�e de Fourier!continue} \hfill \newline On notera $L^1(\RR)$ et $L^2(\RR)$ les espaces de
Lebesgue usuels, o{\`u} les fonctions consid{�}r{�}es sont {�} valeurs complexes. En particulier $L^2(\RR)$ est muni du
produit
scalaire $\int_{\RR} f(x) \overline{g} (x) dx$.\\
Pour $f \in L^1(\RR)$, on notera
$$\widehat {f} (\xi) = \int_{\RR} e^{-ix\xi} f(x) dx.$$
1) Soit $f \in L^1(\RR)$ telle que $\forall p \in \NN$, $\sup_{x\in\RR} \vert x^p f(x) \vert < \infty$. On pose $g_k(x)
= (-ix)^k f(x)$, montrer que $\ff \in \cinf(\RR)$ et $\forall k \in \NN$,
$${\ff}\,^{(k)} = \widehat{g_k}.$$
2) Soit $f \in \cinf(\RR)\cap L^1(\RR)$ telle que $\forall k \in \NN$, $f^{(k)} \in L^1(\RR)$ alors montrer que
$\forall k$,
$$ \widehat{f^{(k)}} = (i\xi)^k \ff.$$
Premi{�}re partie :\\
On notera $\SLS$ l'espace des fonctions $f$ ind{�}finiment d{�}rivables sur $\RR$ (et {�} valeurs complexes), telles
que $\forall p,q \in \NN$, $\sup_{x \in \RR} \vert x^p
f^{(q)}(x) \vert < \infty.$ \\
3) Montrer que

pour tout polyn{\^o}me $P$, pour tout $f \in \SLS$, le produit $Pf \in \SLS$,

pour tout $f \in \SLS$, $f^{\prime} \in \SLS$,

$\SLS \subset L^1(\RR)$.\\
4) Montrer que $f \in \SLS$ $\Longrightarrow$ $\ff \in \SLS$.\\ \\
5) On dit que la suite $(f_n)_n \subset \SLS$ converge vers $0$ dans $\SLS$ si
$$\forall p,q \in \NN,\quad \lim_{n \infty} \left(\sup_{x \in \RR} \vert x^p
f_n^{(q)}(x) \vert \right) = 0.$$ Montrer que si $f_n$ tend vers $0$ dans $\SLS$ alors

$f_n^{\prime}$ tend vers $0$ dans $\SLS$,

pour tout polyn{\^o}me $P$, $Pf_n$ tend vers $0$ dans $\SLS$,

$f_n$ tend vers $0$ dans $L^1(\RR)$ et $\widehat{f_n}$ tend vers $0$ dans
$\SLS$.\\ \\
6) Soit $a>0$ et $\psia(x) = e^{-ax^2}$. V{�}rifier que $\psia \in \SLS$ et montrer que
$$ \widehat{\psia}(\xi) = \sqrt{\frac{\pi}{a}}\; e^{-(\frac{\xi^2}{4a})} \quad
\mbox{et}\quad \int_{\RR} \widehat{\psia}(\xi) d\xi = 2\pi.$$ 7) Soit $f \in \SLS$, on veut montrer la formule
d'inversion suivante
$$\forall x \in \RR,\qquad f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{\RR} e^{ix\xi} \ff(\xi)
d\xi.$$

a) Soit $\Phi \in \SLS$, montrer que pour tout $x \in \RR$,
$$(\star) \quad \int_{\RR} e^{ix\xi} \ff \, {\Phi} d\xi = \int_{\RR}
\widehat{\Phi}(y) f(x+y) dy.$$

b) Soit $\Phi_0 \in \SLS$ donn{�}e, choisir $\Phi(t) = \Phi_0(\ep t)$ o{\`u} $\ep >0$ dans ($\star$) et montrer que
$$\Phi_0(0) \int_{\RR} e^{ix\xi} \ff(\xi) d\xi = f(x) \int_{\RR}
\widehat{\Phi_0}(y) dy.$$

c) Conclure.\\ \\
Deuxi{�}me partie :\\
8) V{�}rifier que $\SLS$ est dense dans $L^2(\RR)$.\\
9) Soient $\vfi$ et $\psi$ dans $\SLS$, montrer que
\begin{eqnarray*}
a)& &\int_{\RR} \widehat{\vfi} \,\psi\, dx = \int_{\RR} \vfi \,\widehat{\psi}\,
d\xi.\\
b)& & \int_{\RR} \vfi\, \overline{\psi}\, dx = \frac{1}{2\pi} \int_{\RR} \widehat{\vfi} \,
\overline{\widehat{\psi}} \,d\xi.\\
c)& & \widehat{\vfi\ast\psi} = \widehat{\vfi}\,\widehat{\psi}.
\end{eqnarray*}
10) D{�}montrer le r{�}sultat suivant :\\
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels norm{�}s, $F$ complet, et $G$ un sous-espace vectoriel dense dans $E$. Si $A$
est un op{�}rateur lin{�}aire continu de $G$ dans $F$ alors il existe un prolongement unique $\tilde{A}$ lin{�}aire
continu de $E$ dans $F$ et $\Vert \tilde{A} \Vert = \Vert A \Vert$ (voir le th\'eor\`eme
\ref{theoprolongement} page ~\pageref{theoprolongement}).\\
11) Si on note ${\cal F}$ l'application d{�}finie sur $\SLS$, {�} valeurs dans $L^2(\RR)$, par ${\cal F}(f) = \ff$,
v{�}rifier que $\Vert {\cal F}(f) \Vert^2_{L^2} = 2\pi\,\Vert f \Vert^2_{L^2}$ et que $\cal F$ se prolonge en un
isomorphisme de
$L^2(\RR)$ sur $L^2(\RR)$.\\
(Un isomorphisme est une application lin{�}aire bijective bicontinue.) \fexo
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