
\chapter{Espaces de Sobolev sur l'intervalle\label{ChapEspacesdeSobolevsurlIntervalle}}
\setcounter{exo}{0}

Dans toute la suite, $I=]a,b[$ représente un intervalle ouvert de $\RR$, borné ou non.

\begin{Def}\index{A}{espace!de Sobolev} On appelle espace de Sobolev  d'ordre
$m\geq 1$ et d'exposant $+\infty\geq p\geq 1$ sur l'intervalle $I=[0, 2\pi]$ l'ensemble des fonctions de $L^p(I)$
telles que leurs dérivées au sens des distributions d'ordre $1, ...,m$ appartiennent à $L^p(I)$.  On note cet espace
$W^{m,p}(I)$ et on le munit de la norme
$$||u||_{W^{m,p}}= \sum_{n\leq m} ||u^{(n)}||_{L^p}.$$
Si $p=2$, on note  $H^m=W^{m,2}$ et on prend pour norme
$$||u||_{H^m} = (\sum_{n\leq m} ||u^{(n)}||^2_{L^2})^\frac 1 2,$$
associée au produit hermitien
$$(u,v)_{H^m}=\sum_{n\leq m} \int_I u^{(n)}(x)\overline{v^{(n)}(x)}dx.$$
\end{Def}

\dexer\label{inclusiondesSobolevquandIinclusdansJ} \quest 1) Quand $p=2$, on vient de définir deux normes différentes
sur $W^{m,2}=H^m$. Montrer qu'elles sont équivalentes. \quest 2) Montrer que si $I\subset J$, alors $W^{n,p}(J)\subset
W^{n,p}(I).$ \fexer

 Une fonction $u$ appartient donc \a
$W^{1,p}(I)$ si $u\in L^p(I)$ et si sa dérivée au sens des distributions dans $I$ est dans $L^p$.  Cela veut dire
$$\exists v(=u')\in L^p, \; \forall \varphi\in {\cal C}_c^\infty(I), \; \int_I
v(x)\varphi(x)dx=-\int_I u(x)\varphi'(x)dx.
$$

\begin{thf}\label{fonctionsdeW1psontC0} \index{A}{continuité!des fonctions de
$W^{1,p}$} Si $u\in W^{1,p}(I)$, il existe $\tilde u\in C^0(I)$ (c'est-à-dire continue dans $I$) telle que $u=\tilde u$
presque partout dans $I$ et \fb& \label{integrationdeladeriveedansW1p} \forall x,y \in
 I,\;\int_x^yu'(t)dt=\tilde u(y)-\tilde u(x) \fe&
\end{thf}
\drem \index{A}{unicité du représentant continu d'une fonction localement intégrable} Bien entendu, on identifiera $u$
et $\tilde u$ et on dira simplement que $u$ est continue, conformément à la convention suivante : si une fonction
localement intégrable est égale
 presque partout à une fonction continue, on l'identifie à ce
 représentant continu. Cela ne conduit à aucune ambiguïté, puisque
 deux fonctions continues égales presque partout sur un intervalle
 sont identiques sur cet intervalle.
\frem

\paragraph{Démonstration}  L'énoncé porte sur un intervalle borné
$[x, y]$. On peut donc supposer sans perte de généralité que $I$ est borné (si $I\subset J$, $W^{1,p}(J)\subset
W^{1,p}(I)$, voir l'exercice \ref{inclusiondesSobolevquandIinclusdansJ}). $I$ étant donc supposé borné,  ${\cal
C}_c^\infty(I)$ est dense dans $L^1(I)$ (Corollaire \ref{densiteC0infiniCc}).  On peut choisir une suite
$v_\varepsilon\in {\cal C}_c^\infty(I)$ qui converge vers $u'$ dans $L^1(I)$.  On pose pour $a$ fixé dans $I$,
$u_\varepsilon(x)=\int_a^xv_\varepsilon(t)dt.$ La suite $u_\varepsilon$ converge uniformément   vers une fonction $w$
continue sur $I$. Alors d'une part, si $\varphi\in {\cal C}_c^\infty (I)$, par intégration par parties et par
définition de la dérivée au sens des distributions:
$$\int_Iu_\varepsilon \varphi'=-\int v_\varepsilon \varphi \to -\int u'\varphi=
\int u\varphi'$$
$$\hbox{et d'autre part  } \int_Iu_\varepsilon\varphi'\to\int w\varphi'.$$
 $$\hbox{Donc  }\forall \varphi\in {\cal C}_c^\infty(I), \; \int (w-u)\varphi'=0,$$
ce qui prouve  par le lemme \ref{deriveenulleimpliquenulle} que $w-u$ est \e gale presque partout à une constante $C$.
On conclut en posant $\tilde u=w-C$.
\enddemo

\begin{cor}\label{densiteCzeroinfiniW1ploc}\index{A}{densité!de
${\cal C}^\infty$ dans $W^{1,p}$}  Si $u\in W^{1,p}(I)$, il existe une suite $w_\varepsilon\in {\cal C}^\infty (\real)$
convergeant vers $u$ uniformément et dans $W^{1, p}(K)$  sur tout intervalle compact $K\subset I$.

\end{cor}
\paragraph{Démonstration} Il suffit de reprendre la démonstration précédente en
rappelant que $C_0^\infty$ est aussi dense dans $L^p(I)$.  Donc on peut prendre $v_\varepsilon\to u'$ dans $L^p(I)$.
Cela implique que $u_\varepsilon(x)=\int_a^x v_\varepsilon(t)dt$ tend vers $u(x)-u(a)$ uniformément sur tout compact
(et donc aussi dans $L^p$ de tout compact inclus dans $I$). On conclut en posant $w_\varepsilon=u_\varepsilon +u(a).$
\enddemo
\begin{pro} \label{continuiteauxbordsdeudansW1p}\index{A}{continuité!aux extr\e
mités des fonctions de $W^{1,p}$} Si $p<\infty$, alors toute fonction $u\in W^{1,p}$ se prolonge en une fonction
continue sur la fermeture $\overline{I}$. Si $a=-\infty$ ou $b=+\infty$, on a de plus $u(x)\to 0$ quand $x\to \infty$.
\end{pro}
\paragraph{Démonstration}
Si $p<\infty$ et si $I$ est  borné, on déduit immédiatement de la relation\linebreak $|u(x)-u(y)|\leq
\int_x^y|u'(t)|dt$ que $u(x)$ est une suite de Cauchy quand $x$ tend vers $a$ ou $b$ et on peut donc définir $u$ comme
une fonction continue sur $[a,b]$. Si $I$ est non borné et $u\in W^{1,1}(I)$, on déduit par la m\eee me inégalité que
$u(x)$ a une limite quand $x\to +\infty$ (par exemple). Cette limite ne peut \eee tre que zéro, puisque $u$ est
intégrable.  Prenons maintenant  $p>1$.  Supposons un instant que $u$ soit   $C^1$. On  peut alors écrire,
 par l'inégalité de H\ooo lder,
\fb& \label{doublehoelder} |u|^p(x)-|u|^p(y)=p\int_x^y u'|u|^{p-2}u(x)dx\leq p(\int_x^y|u'|^p)^\frac 1
p(\int_x^y|u|^p)^\frac 1{p'}, \fe& ce qui implique encore que $u(x)\to 0$ quand $x\to \infty$. Prenons maintenant $u$
dans $W^{1,p}$. Par le corollaire \ref{densiteCzeroinfiniW1ploc} on peut considérer  $u_\varepsilon$, suite de
fonctions ${\cal C}^\infty$ approximant $u$ dans $W^{1,p}([x,y])$ et uniformément. L'in\e galité (\ref{doublehoelder})
s'applique à $u_\varepsilon$ et, par passage à la limite à droite et à gauche, aussi à $u$.
\enddemo
\begin{Def} \index{A}{espace!$W^{1,p}_0(I)$} Si $I=]a,b[$ et que $a$ ou $b$ est fini, on
note $W^{1,p}_0(I)$ le sous-espace des fonctions $u\in$ $W^{1,p}(I)$ telles que $u(a)=u(b)=0$.  Cette définition a un
sens gr\aa ce à la proposition préc\e dente : on prend pour $u(a)$ et $u(b)$ les valeurs limites du représentant
continu de $u$. Dans le cas particulier o\u $p=2$, on note $H_0^1(I)=W_0^{1,2}(I)$.
\end{Def}
\drem Rappelons qu'en vertu de la proposition \ref{continuiteauxbordsdeudansW1p}, si $I$ est non borné, $u(x)$ tend
vers 0 quand $x\to \infty$. \frem
\begin{thf} \label{densitedeC0infinidansW01p}
\index{A}{densité!de ${\cal C}_c^\infty$ dans $W_0^{1,p}$}
 ${\cal C}_c^\infty(I)$ est dense dans $W_0^{1,p}(I)$.  En particulier,
${\cal C}_c^\infty(\RR)$ est dense dans $W^{1,p}(\RR)$ et ${\cal C}_0^\infty(I)$ est dense dans $H_0^1(I)$.
\end{thf}
\paragraph{Démonstration}
{\bf Etape 1}  Regardons d'abord le cas o\u $I=[a,b]$ est un intervalle borné de $\RR$. Soit $u\in W_0^{1,p}(I)$ et
$g_\varepsilon \in {\cal C}_c^\infty(I)$ telle que $g_\varepsilon \to u'$ dans $L^p(I)$.  Comme $\int_I u'(x)dx=0$, il
en résulte que $\int_Ig_\varepsilon(x)dx\to 0$.  Fixons $\varphi\in {\cal C}_0^\infty(I)$ telle que $\int
\varphi(x)dx=1$.  Alors aussi
$$v_\varepsilon=g_\varepsilon -\varphi \int_I g_\varepsilon \to u'$$ et on a
maintenant $\int_I v_\varepsilon =0$. On voit immédiatement que sa primitive
$u_\varepsilon(x)=\int_a^xv_\varepsilon(x)dx$ est dans ${\cal C}_c^\infty(I)$ et par la relation
(\ref{integrationdeladeriveedansW1p}) on déduit que $u_\varepsilon$ converge uniformément (et donc dans $W^{1,p}$) vers
$u_0$.
\newline
\newline {\bf Etape 2}  Considérons maintenant $I$ non borné et  traitons
sans perte de généralité le cas $I=]0, +\infty[$. Gr\aa ce à l'étape 1, il suffit que nous montrions que toute fonction
$u\in W^{1,p}(]0, +\infty[)$ est approchable par des fonctions $u_n$ dans $W^{1,p}(]0,n[)$.  Pour cela, on considère
une fonction $\varphi\in {\cal C}_c^\infty(\RR)$ telle que $\varphi(0)=1$, $|\varphi(x)|\leq 1$ et à support dans $]-1,
1[$ et on pose simplement $u_n = u\varphi(\frac x n)$.  Par le théorème de Lebesgue, $u_n \to u$ dans $L^p$ ($|u|^p$
est chapeau intégrable) et on a aussi $u_n'\to u'$ dans $L^p$.  En effet,
$$u'_n= \frac 1 n \varphi'(\frac x n)u +
u'\varphi(\frac x n).$$ Or, le premier terme tend vers 0 dans $L^p$,  $\varphi'$ étant bornée, et le second terme tend
vers $u'$, à nouveau par le th\e orème de Lebesgue. On conclut que $u_n$ tend vers $u$ dans $W^{1,p}(\RR)$.
\enddemo

\begin{lem} \label{equivalencedenormeW01} \index{A}{norme!équivalente}  Soit $I=[a,b]$ un
intervalle borné. On considère pour $u\in W_0^{1,p}(I)$ la seminorme $|u|_{W_0^{1,p}}=(\int_I |u'|^p)^\frac 1p.$ Cette
norme est en fait une norme équivalente à $||u||_{W^{1,p}}$ pour $u\in W_0^{1,p}(I).$

\end{lem}
\paragraph{Démonstration}
On a évidemment $|u|_{W_0^{1,p}}\leq ||u||_{W^{1,p}}.$  Par la relation (\ref{integrationdeladeriveedansW1p}) et
l'inégalité de Hölder, on a pour tout $x\in [a,b],$
$$|u(x)|=|\int_a^x u'(t)dt|\leq (b-a)^\frac
1{p'}(\int_a^b|u'|^p)^\frac 1p.$$ En intégrant encore une fois cette inégalité élevée à la puissance $p$,
$$\int_a^b|u|^p\leq (b-a)^{\frac p{p'}+1}\int_a^b
|u'|^p=(b-a)^p\int_a^b |u'|^p.$$ On conclut aisément.

\enddemo




\section{Les espaces $W^{1,p}(I)$ comme espaces de Banach}
\begin{thf}\label{SobolevsontBanach} \index{A}{complétude!des espaces de Sobolev}
$W^{1,p}(I)$ est un espace de Banach pour $1\leq p\leq +\infty$.
\end{thf}
\paragraph{Démonstration}
Soit $u_n$ une suite de Cauchy dans $W^{1,p}$. Comme $L^p(I)$ est complet, il existe   $(u,g)\in (L^p(I))^2$ tels que
$$u_n\to u \hbox{ dans } L^p, \; u'_n\to g \hbox{ dans } L^p.$$
Mais $u_n\to u$ dans $L^p(I)$ implique $u_n\to u$ dans ${\cal D}'(I)$. Donc aussi $u'_n\to u'$ dans ${\cal D}'$. Les
deux distributions $u'$ et $g$ sont donc égales et donc $u\in W^{1,p}(I).$  On conclut que $u_n\to u$ dans $W^{1,p}$.
\enddemo

La démonstration précédente nous invite à regarder $W^{1,p}$ comme un sous-espace fermé de $L^p(I)\times L^p(I)$.

\dexer Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés. Alors le dual topologique de $E\times F$ est $E'\times F'$ et
la dualité s'exprime sous la forme $(f,g)(x,y)=f(x)+g(y)$, où $x\in E$, $y\in F$, $f\in E'$, $g\in F'$.

\fexer

\begin{thf} (Dual de $W^{1,p}(I)$)\index{A}{dual!de $W^{1,p}$} Si $1\leq p<\infty$,
toute forme linéaire $f$ sur $W^{1,p}(I)$ peut s'écrire sous la forme \fb& \label{dualdeW1p} f(u)= \int_I gu+\int_I
hu', \hbox{ o\u } g,h\in L^{p'}. \fe& Réciproquement on peut associer à tout couple $g,h\in L^{p'}(I)$ une forme
linéaire sur $W^{1,p}(I)$ par la formule (\ref{dualdeW1p}).
\end{thf}
\drem Le dual de $W^{1,p}$ est souvent noté $W^{-1, p'}$. Pourquoi ? \frem
\paragraph{Démonstration}
On a $f(u)\leq C(||u||_{L^p}+||u'||_{L^p})$. On considère le plongement $u\in W^{1,p}\to J(u)=(u,u')\in (L^p)^2$.  Donc
$\tilde f=f\circ J^{-1}$ vérifie, sur l'image $J(W^{1,p})$,
$$
|\tilde f(v,w)|\leq C(||v||_{L^p}+||w||_{L^p}).
$$
 Par le théorème de Hahn-Banach (cf chapitre \ref{ChapHahnBanach}), on peut \e
tendre $\tilde f $ à $(L^p)^2$. Comme $L^{p'}$ est le dual de $L^p$, l'exercice qui précède montre qu'il existe donc
des fonctions $g, h\in (L^p)'=L^{p'}$ telles que $\tilde f(v,w)=\int gv+\int hw$. Donc $f(u) = \int gu + \int hu'$. La
réciproque est immédiate. Remarquer que $||f||_{(W^{1,p})'}= \max (||g||_{L^{p'}}, ||h||_{L^{p'}})$.
\enddemo

\drem La formule (\ref{dualdeW1p}) appliquée avec $u\in {\cal C}_0^\infty(\RR)$ montre que la restriction $\tilde f$ de
$f$ à ${\cal C}_0^\infty(I)$ est une distribution sur $I$ et que l'on a $\tilde f= g-h'$. On peut donc considérer, en
identifiant
 $f$ et $\tilde f$, les éléments de $W^{1,p}$ comme des distributions et on \e
crit donc
$$(W^{1,p}(I))'=\{g-h',\; g,h\in L^{p'}(I)\}.$$
\frem

\dexer \quest 1) Soit $u\in W^{1,p}(I)$, $1\leq p\leq +\infty$, où $I$ est un intervalle de $\real$ borné ou non borné.
Montrer qu'il existe une constante $C$ que l'on précisera telle que $|u(x)|\leq C||u||_{W^{1,p}}$.

\quest 2) En déduire  qu'une somme finie de masses de Dirac dans $I$ appartient à $W^{-1,p}$ pour tout $1\leq
p\leq\infty$.

\quest 3) Trouver $f, \; g\in L^p(\real)$ telles que $\delta =f'+g$ et en déduire à nouveau le résultat du 2) pour
$1\leq p<\infty.$ \fexer

\begin{cor} \index{A}{réflexivité!de $W^{1,p}$} $W^{1,p}$ est réflexif pour
$1<p<\infty$ et séparable pour $1\leq p<\infty$.
\end{cor}
\paragraph{Démonstration}
En effet, le plongement de $W^{1,p}$ dans $(L^p)^2$ en fait un sous-espace fermé d'un espace réflexif si $1<p<\infty$
et séparable si $1\leq p<\infty$.
\enddemo

\section{Une application : l'élastique chargé}
L'introduction de $W_0^{1,p}$ et de sa norme et la description du dual de $W^{1,p}$ nous permettent d'introduire un
nouveau point de vue sur l'équation de la corde élastique chargée considérée dans le théorème \ref{elastisquecharge}.

\begin{thf} (Le point de vue variationnel) \index{A}{méthode variationnelle
(pour l'élastique chargé )} Soit   $f\in W^{-1,2}= (W^{1,2})'$. La solution de l'équation
(\ref{equationbarreelastique}) se caractérise comme l'unique minimum de la fonction continue   sur $H_0^1(I)=W_0^{1,2}$
définie par
$$E(u)=\frac 1 2\int_I u'(x)^2-<f, u>.$$  De plus, $u$ est
solution, au sens des distributions, de
$$-u''=f,\quad, u\in W_0^{1,2}(I).$$
 (On a posé $I=[0,2\pi]$
et le problème peut bien-sûr se résoudre pour un intervalle borné quelconque $I$).
\end{thf}
La fonction $u$ représente le déplacement vertical d'un élastique tendu de même longueur au repos que $I$. La condition
$u\in W_0^{1,2}$ traduit le fait que les extrémités de l'élastique sont fixées. Dans l'énergie précédente, le premier
terme est l'énergie élastique (linéarisée) et le second terme est l'énergie potentielle associée à la charge $f$.
Remarquons que $W^{-1,2}$ contient des masses de Dirac : le théorème montre donc que l'on peut pendre des masses
ponctuelles à un fil.

\paragraph{Démonstration} On considère la forme bilinéaire
sur $H_0^1([0,2\pi])$,
$$
a(u,v)=\int_I u'(x)v'(x) dx.
$$
 Comme $a(u,u)=
|u|_{H_0^1}^2$ est coercive par le lemme \ref{equivalencedenormeW01},  on peut appliquer le théorème de Lax-Milgram
(théorème \ref{laxmilgram}) et il existe un unique minimum de $\frac 12a(u,u)-<f,\;u>$, qui satisfait de plus
$$\forall v\in H_0^1(I), \int_I u'(x)v'(x) dx=<f,\;u>.$$
Comme ${\cal C}_c^\infty(I) $ est contenu dans $H_0^1(I)$, on a aussi
$$\forall \varphi\in {\cal C}_c^\infty(I), \int_I
u'(x)\varphi'(x) dx=<f,\;\varphi>$$
$$\hbox{et donc  }\forall \varphi\in {\cal C}_c^\infty, \; <-u'', \varphi>=<f,
\varphi>,$$
 ce qui veut dire que $u$ vérifie l'équation
$-u''=f$ au sens des distributions.
\enddemo

%\dexer \label{injectioncompacte}  Montrer que de toute suite
%bornée dans $W^{1,p}(I)$ on peut extraire une sous-suite
%convergeant uniformément sur tout compact et telle que $u$ et $u'$
%convergent faiblement dans $L^p$. \fexer
 \dexer \index{A}{Prolongement des fonctions de
$W^{1,p}(I)$}\label{prolongementdeW1p} Montrer que toute fonction de $ W^{1,p}([a,b])$ peut se prolonger en une
fonction $Pu$ de $W^{1,p}(\RR)$. On symétrisera $u\in W^{1,p}(]a,b[)$  en posant par exemple $Pu(a-x)=u(a+x)$ si $0\leq
x\leq b-a$, on périodisera ensuite la fonction obtenue (période $2(b-a)$) et on la multipliera finalement par une
fonction de ${\cal C}_0^\infty(\RR)$ égale à 1 sur $I$. On vérifiera que le prolongement $P: u \to Pu$ ainsi obtenu est
une application continue de $W^{1,p}(I)$ dans $W^{1,p}(\RR)$. Dans le cas o\u $a=-\infty$ ou $b=+\infty$, il suffit
bien-s\uu r de faire une symétrisation par rapport à la borne finie de l'intervalle. \fexer \dexer \index{A}{densité!de
${\cal C}^{\infty}(I)$ dans $W^{1,p}(I)$ quand $I$ est borné}. Déduire de l'exercice précédent et du théorème
\ref{densitedeC0infinidansW01p} que si $I=]a,b[$ est  un intervalle borné, alors les fonctions ${\cal C}^{\infty}$ sont
denses dans $W^{1,p}(I)$. \fexer

\dexer (Inégalité de Poincaré )\index{A}{inégalité!de Poincaré } Si $u\in W_0^{1,p}(]a,b[), $ $-\infty<a<b<+\infty$,
alors
$$||u||_{W^{1,p}}\leq (1+b-a)||u'||_{L^p}.$$
Marche à suivre : utiliser l'inégalité de H\ooo lder et le fait que $u$ est une primitive de $u'$. \fexer \dexer Soit
$u\in L^p(I)$, $1<p\leq +\infty$.  Alors (i)$\Leftrightarrow$(ii)$\Leftrightarrow$(iii), o\u
\newline (i) $u\in W^{1,p}$.
\newline (ii) $\exists C>0$, $\forall \varphi\in {\cal C}_c^1(I)$, $|\int_I
u\varphi'|\leq C||\varphi||_{L^{p'}(I)}$,
\newline (iii) $\exists C$, $\forall \omega\subset\subset I$, $\forall h, |h|\leq
distance(\omega, I^C)$, $||\tau_hu-u||_{L^p(\omega)}\leq C |h|.$ \fexer

\section{Exercices}
\dexo \label{compaciteh1l2} \index{A}{injection compacte} \index{A}{formule!d'int\e gration par parties}
\index{A}{plongement!continu et compact d'espaces de Sobolev} \hfill \newline 1) Montrer que l'injection $H^1(0,1)
\longrightarrow {\cal C}[0,1]$ est
compacte.\\
2) Montrer que $\forall u,v \in H^1(0,1)$,
$$\int_0^1 u^{\prime}v + \int_0^1 uv^{\prime} = u(1)v(1) - u(0)v(0).$$
(On pourra d'abord le d{é}montrer pour des fonctions de $H_0^1(0,1)$ en utilisant la densit{é} de fonctions
r{é}guli{è}res.) \fexo \dexo Soit $f \in L^2(0,1)$ et $a(u,v)=\int_0^1 u^{\prime}v^{\prime} + (\int_0^1 u)(\int_0^1
v).$

1) Montrer qu'il existe un unique $u \in H^1(0,1)$ tel que $a(u,v)=\int_0^1 fv$, $\forall v \in H^1(0,1).$

2) V{é}rifier que $u \in H^2(0,1)$ et interpréter le probl{è}me diff{é}rentiel r{é}solu (c'est-\`a-dire trouver
l'{é}quation diff{é}rentielle et les conditions aux limites satisfaites par u). \fexo \dexo Soit $V=\{ u \in
H^1(0,1)\,:\,u(\frac{1}{2}) = 0 \}$.

1) Montrer que V est un sous-espace vectoriel ferm{é} de $H^1(0,1)$ et que $v \rightarrow {\Vert v^{\prime}
\Vert}_{L^2}$ est une norme sur V {é}quivalente {à} la norme usuelle de $H^1$.

2) Montrer qu'il existe un unique  $u \in V$ tel que $\int_0^1 u^{\prime}v^{\prime} =v(0)$ pour tout $v \in V$.

3) Interpréter le probl{è}me r{é}solu, d{é}terminer explicitement $u$ et calculer $ u^{\prime \prime}$ au sens des
distributions. $u \in H^2(0,1)$ ?? \fexo \dexo \hfill \newline V{é}rifier que $v \rightarrow {\Vert v^{\prime}
\Vert}_{L^2}$ est une norme sur $H^1(0,+\infty)$. Est-elle {é}quivalente {à} $\Vert v \Vert_{H^1}$ ? \fexo \dexo \hfill
\newline Soit $E = \{f \in {\cal C}^1(\RR)\,\,t.q.\,\,f^{\prime} \in \Linf(\RR) \}.$ Soient
 $f \in E$ et I un intervalle ouvert de $\RR$. Si $\vert I \vert = + \infty$, on
suppose de plus que $f(0)=0$. Enfin, soit $u \in \Hun$.\\
1) Montrer que $f(u) \in \Ld$.\\
2) Soit $u_n \in \DD(\RR)$ tel que $u_n \rightarrow u$ dans $\Hun$.

a) V{é}rifier que $f(u_n) \rightarrow f(u)$ dans $\Ld$.

b) Soient $\alpha_n = f^{\prime}(u_n)(u_n^{\prime} - u^{\prime})$ et $\beta_n = (f^{\prime}(u_n) -
f^{\prime}(u))u^{\prime}.$ V{é}rifier que $\alpha_n \rightarrow 0$ dans $\Ld$ et qu'il existe une sous-suite
$(\beta_{n_k})_{k}$ telle que $\beta_{n_k} \rightarrow 0$ dans $\Ld$.

c) Montrer que $\forall \vfi \in \DD(I)$, on a
$$\int_I f(u) \vfi^{\prime}\,= - \int_I f^{\prime}(u)u^{\prime} \vfi.$$
En d{é}duire que $f(u) \in \Hun$ et que ${(f(u))}^{\prime} = f^{\prime}(u)
u^{\prime}.$\\
3) Soit $\eps > 0$, on note $\feps(t) = \sqrt {t^2+\eps^2} -\eps$ si $t>0$ et $\feps \equiv 0$ ailleurs. V{é}rifier que
$\feps \in E$ et que $\feps(u)
\rightarrow u^+$ dans $\Ld$.\\
4) En passant {à} la limite $\eps \rightarrow 0$ dans
$$ \int_I \feps(u) \vfi^{\prime}\,= - \int_I \feps^{\prime}(u)u^{\prime} \vfi,$$
o{\`u} $\vfi \in \DD(I)$, montrer que $u^+ \in \Hun$ et que $(u^+)^{\prime} =
1_{[u>0]} u^{\prime}.$\\
5) En d{é}duire que $\vert u \vert \in \Hun.$ \fexo \dexo \hfill \newline Soit $N$ une norme d{é}rivant d'un produit
scalaire, montrer que $N^2$ est strictement convexe c'est-\`a-dire $\forall u \not= v$, $\forall t \in ]0,1[$, $N^2(tu
+ (1-t)v) < tN^2(u) + (1-t) N^2(v).$ (une norme est-elle strictement convexe ?) \fexo \dexo
On note $\Hnulo = \{u \in \Huno\,:\,u(0)=u(1)=0 \}.$\\
1) V{é}rifier que ${\Vert u \Vert}_2 \leq \frac {1}{\sqrt 2} {\Vert u^{\prime} \Vert}_2$ si $u \in \Hnulo$ et en
d{é}duire que $\Hnulo$ muni de ${\Vert u^{\prime}
\Vert}_2$ est un Hilbert.\\
2) Soit $f \in L^2(0,1)$. Pour $v \in \Huno$ on d{é}finit
$$ F(v) = \frac{1}{2} \int_0^1 {\vert v^{\prime} \vert}^2 \,+\, \frac{1}{4}
\int_0^1 {\vert v \vert}^4\,-\,\int_0^1 fv.$$ V{é}rifier que $F(v)$ a bien un sens si $u \in \Huno$ et que $\exists C$
tel que
$\forall v \in \Hnulo$, $F(v) \geq C.$\\
Montrer qu'il existe un unique $u \in \Hnulo$ tel que $F(u) = \inf_{v \in \Hnulo}
F(v)$  $\,\,\,(\star)$.\\
3) Montrer que si u est solution de $(\star)$ alors
$$\int_0^1 u^{\prime} v^{\prime} + \int_0^1 u^3 v = \int_0^1 fv,\quad\forall v \in
\Hnulo.$$
(Ecrire $F(u+tv) \geq F(u)$, $\forall t>0$ et $\forall v \in \Hnulo.$)\\
4) En d{é}duire que $u$ satisfait : $-u^{\prime \prime} + u^3 = f$ p.p.
$(\star\star)$ et que $u \in H^2(0,1)$.\\
5) R{é}ciproquement : montrer que si $u \in H^2\cap\Hnulo$ v{é}rifie $(\star\star)$
alors u est solution de $(\star)$.\\
6) Montrer que si $f \geq 0$ p.p. alors u solution de $(\star)$ est telle que $u \geq 0$ p.p. \fexo \dexo Sur l'espace
de Sobolev $H^1(0,1)$, on consid{è}re la forme bilin{é}aire
$$a(u,v) = \int_0^1 u^{\prime} v^{\prime} + \int_0^1 uv - \left(\int_0^1 u \right)
\left(\int_0^1 v \right).$$
Pour $k \in \RR$, $k \not=1$, on note $V = \{ u \in H : u(0) = k u(1) \}$.\\
1) V{é}rifier que $V$ est un sous-espace ferm{é} de $H^1(0,1)$.\\
2) Montrer qu'il existe une constante $C_1>0$ telle que $\forall v \in V$, $\vert v(0) \vert \leq C_1 \Vert v^{\prime}
\Vert_2$ puis qu'il existe une constante $C$ telle que
$\forall v \in V$, $\Vert v \Vert_{\infty} \leq C\,\Vert v^{\prime} \Vert_2$.\\ \\
3) En d{é}duire que $a(.,.)$ est un produit scalaire sur $V$ et que la norme associ{é}e (not{é}e $\Vert\,\,\Vert_a$)
est {é}quivalente sur $V$ {à} la norme de
$H^1(0,1)$.\\ \\
4) Soit $f \in L^2(0,1)$, montrer qu'il existe un unique $u \in V$ tel que
$$(\star)\qquad a(u,v) = \int_0^1 fv,\,\,\,\forall v \in V.$$
5) Caract{é}riser la solution de ($\star$) par l'{é}quation diff{é}rentielle qu'elle
satisfait ainsi que les conditions aux limites.\\
(V{é}rifier que $u \in H^2(0,1)$ pour int{é}grer par parties.)\\ \\
6) Soit $(k_n)_n \subset \RR$ une suite de r{é}els telle que $\forall n$, $k_n \not=1$ et
$k_n \rightarrow k$ o{\`u} $k \in \RR$ avec $k \not=1$.\\
On note $V_n = \{ v \in H^1(0,1) : v(0) = k_n v(1) \}$ et $u_n$ l'unique solution dans $V_n$ de
$$(\star)_n \qquad a(u_n,v) = \int_0^1 fv,\,\,\,\forall v \in V_n.$$
Prouver que $(u_n)_n$ est born{é}e dans $H^1(0,1)$.\\ \\
7) En d{é}duire que l'on peut extraire une sous-suite $(u_{n_k})_k$ qui converge faiblement dans $H^1(0,1)$ et
uniform{é}ment dans ${\cal C}([0,1])$ vers une limite not{é}e
$u\star$.\\
V{é}rifier que $u\star \in V$.\\ \\
8) Soit $v \in V$, on d{é}finit
$$v_n(t) = v(t) + \frac{k - k_n}{k_n - 1} v(1).$$
Montrer que $v_n \in V_n$ et que $v_n \longrightarrow v$ dans $H^1(0,1)$.\\
Utiliser ce fait pour passer {à} la limite dans $(\star)_n$ et conclure que $u =
u\star$.\\
\\
9) En d{é}veloppant $a(u_{n_k} - u,u_{n_k} - u)$, montrer que $\Vert u_{n_k} - u
\Vert_{H^1} \longrightarrow 0$.\\ \\
10) Montrer qu'en fait, toute la suite $(u_n)_n$ converge vers $u$ dans
$H^1(0,1)$.\\ \\
11) On d{é}signe par $T$ l'op{é}rateur : $f \in L^2(0,1) \mapsto T(f)=u \in L^2(0,1)$, $u$
{é}tant la solution de ($\star$).\\
Montrer que $\forall f,g \in L^2(0,1)$,  $\int_0^1 f\,T(g) = \int_0^1 g\,T(f)$ et que $T$ est un op{é}rateur compact de
$L^2(0,1)$ dans $L^2(0,1)$. \fexo
