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\subsection*{Exercices, séries de Fourier}
\dexer
$L^2_{per}(\RR^N)$ désigne l'espace des fonctions $2\pi\times\dots \times 2\pi$
périodiques appartenant à $L^2_{loc}(\RR^N)$, muni de la norme
$||u||_{per}=\int_{[0,2\pi]^N}|u|^2(x)dx$.

\quest 1) Est-ce bien un espace de Hilbert?


\quest 2) Montrer que tout opérateur invariant par translation et continu de
 $L^2_{per}(\RR^N)$ dans $C^0_{per}(\RR^N)$ peut s'écrire sous la forme
 $Tf=g\ast f$, où $g\in L^2([0,2\pi]^N$ et ``$\ast$'' désigne la convolution $2\pi\times\dots \times 2\pi$ périodique.
\fexer

\dexer
Soient $f$, $g$ dans $L^2_{per}(\RR^N)$. Montrer par un argument de densité, sans utiliser la transformée de Fourier, que $f\ast  g$ est continue et périodique.

\fexer

\dexer
Etudier les variations du noyau de Dirichlet, $h_N(x)=\frac 1{2\pi}\frac{\sin(N+\frac  12)y}{\sin\frac y2}=
\frac 1{2\pi}\sum_{n=-N}^N e^{inx}$. Le dessiner. Montrer qu'il est d'intégrale 1 sur $[-\pi, \pi]$.
\fexer

\dexer Montrer que la base en sinus $\sqrt{\frac 2T}\sin\left(\frac{k\pi t}T\right)$, $k=1, 2, \dots$ est bien une base hilbertienne de $L^2([0,2\pi])$. On commencera par étendre $u\in L^2(0,2\pi)$ en une fonction  impaire sur $[-2\pi, 2\pi]$, puis on  utilisera la base de Fourier standard de $L^2(-2\pi, 2\pi).$

\fexer

\dexer Montrer que si  $u_k\to u$ et $v_k\to v$ dans $L^2(0,2\pi)$,  alors
$u_k(x_1)v_k(x_2)\to u(x_1)v(x_2)$ dans $L^2([0,2\pi]^2).$

\fexer 