
\chapter{L'intégrale de Lebesgue} \label{intlebesgue}
\setcounter{exo}{0}
\section{L'intégrale de Lebesgue}
 Le but de ce chapitre n'est pas de construire la mesure et
l'intégrale de Lebesgue, mais d'en présenter un résumé organisé. Nous présenterons un certain nombre de propriétés (six
au total) qui peuvent être prises comme une axiomatique de la mesure et de l'intégrale de Lebesgue et dont nous
déduirons ensuite les autres propriétés. La preuve qu'il existe effectivement une notion d'intégrale et de mesure
vérifiant les propriétés que nous énoncerons se trouve dans de très nombreux livres de théorie de la mesure, de
probabilité, et d'analyse, notamment Falconer \cite{falconer}, Rudin \cite{rudin}, Williams, \cite{williams}, etc.
\newline
On admet l'existence d'une classe de fonctions $f : \RR^N\to [-\infty, +\infty]$ que l'on appelle    ``fonctions
mesurables au sens de Lebesgue". Si $f= \indic_E$ est une fonction caractéristique d'un sous-ensemble $E$ de $\RR^N$,
\ccaadd $f(x)=1$ si $x\in E$, $f(x)=0$ sinon et si $f$ est mesurable, on dit que $E$ est mesurable, ou
Lebesgue-mesurable. \index{N}{$\ind_E$ est la fonction indicatrice de l'ensemble $E$}
 Dans tout ce
qui suit, nous admettrons que les fonctions et les ensembles  considérés sont mesurables et nous admettons l'existence
d'une application qui à toute fonction $f$ mesurable et à valeurs dans $[0, +\infty]$ associe son {\it int\e grale de
Lebesgue} que l'on notera de manière plus ou moins abrégée
$$\int_{\RR^N}f(x)dx = \int f(x)dx = \int f \in [0, +\infty].$$
Si $f=\indic_E $ est une fonction caractéristique, on note $\mu (E) = \int \indic_E$ et  on appelle ce nombre {\it
mesure de} $E$. En l'absence d'une construction explicite, les {\bf propriétés} qui suivent doivent \eee tre
considérées comme des axiomes vérifiés par l'intégrale de Lebesgue.  A partir de ces axiomes, nous démontrerons les
autres propriétés dont nous aurons besoin.
\begin{propr} \label{linearitepositive}
Linéarité positive : pour $f$ et $g$ à valeurs dans $[0,+\infty]$, et $\lambda, \mu\in \RR^+$, \newline $\int \lambda
f+\mu g = \lambda \int f +  \mu \int g$.
\end{propr}
Remarquons que l'on en  déduit la croissance de l'intégrale : si $0 \leq f\leq g$, alors $\int f \leq \int g$
\begin{propr}.
Si $f\geq 0$ est Riemann-intégrable, alors elle est Lebesgue mesurable et son int\e grale au sens de Lebesgue est égale
à son intégrale au sens de Riemann.

\end{propr}
\begin{propr}\index{A}{Beppo-Levi (théorème de la convergence monotone)} (Th\e
orème de Beppo-Levi ou de la convergence monotone) Si $f_n$ est une suite croissante de fonctions mesurables définies
sur $\RR^N$ et à valeurs dans $[0,+\infty]$, on a
$$\int \lim_{n\to \infty}f_n(x)dx = \lim_{n\to \infty}\int f_n(x)dx\leq +\infty.$$
\end {propr}
\dexer  Si $\sum u_n$ est une série de fonctions $\RR^N\to [0, +\infty]$, on peut intervertir sommation et intégration
: $\int \sum_n u_n(x) dx = \sum \int u_n(x)dx.$ \fexer
%Il suffit d'appliquer le théorème de Beppo-Levi à la
%suite croissante des sommes partielles $\sum_{n=1}^k u_n$.
\begin{pro} \label {additivite}\index{A}{additivité (de la mesure)} Si $A$ et $B$
sont deux ensembles mesurables, alors $A\subset B\Rightarrow \mu(A)\leq \mu(B).$ Si $A_n$ sont des ensembles disjoints,
$\mu(\bigcup_n A_n) = \sum_n \mu(A_n)$.
  Si les $A_n$ ne sont pas disjoints, on a $\mu(\cup_n A_n)\leq
\sum_n \mu(A_n).$

\end{pro}

\paragraph{Démonstration} Exercice :
Appliquer le théorème de Beppo-Levi aux fonctions caractéristiques des ensembles pour le premier énoncé.
\enddemo


\begin{lem}\index{A}{Fatou (lemme de)}
(Lemme de Fatou). Soit $f_n$ une suite de fonctions positives.  Alors
$$\int \lim\inf_{n\to \infty} f_n \leq \lim\inf_n \int f_n.$$ Cette inégalité est
vraie que les membres de droite et de gauche soient finis, ou infinis.
\end{lem}
\paragraph{Démonstration}
Posons $g_n = \inf_{k\geq n}f_k$.  Cette suite est croissante. On applique le théorème de la convergence monotone
(Beppo-Levi). Donc $\lim_{n\to \infty} \int \inf_{k\geq n} f_k = \int \lim\inf_{n\to \infty} f_n$. Mais $\int
\inf_{k\geq n}f_k \leq \inf_{k\geq n}\int f_k.$ On conclut aisément.
\enddemo
\begin{Def} \index{A}{négligeable (ensemble)} \label{negligeable} On appelle ensemble n\e
gligeable tout ensemble de mesure nulle. On dit qu'une propriété est vérifiée presque partout si elle est vraie sauf
sur un ensemble négligeable.
\end{Def}
En vertu de la proposition \ref{additivite}, toute union dénombrable d'ensembles négligeables est négligeable.
\begin{pro}\label{nullepresquepartout}
Soit $f$ définie sur $\RR^N$ et à valeurs dans $[0, +\infty]$. On a
$$\int f(x)dx = 0 \Leftrightarrow f(x)=0 \hbox { p.p..}$$
\end{pro}
\paragraph{Démonstration}
On pose $A=\{x, f(x)\neq 0\}.$  On a $$f(x)\leq \lim_{j\to \infty} j\indic_A(x).$$ Si $\mu(A)=0$, on obtient par le
théorème de la convergence monotone (Beppo-Levi),
$$\int f(x)dx \leq \lim_{j\to \infty} j\int \indic_A(x)dx=0.$$
Réciproquement,  si $\int f(x)dx=0$, remarquons que $\indic_A(x)\leq \lim_{j\to \infty} jf(x)$ et donc, à nouveau par
Beppo-Levi,
$$\mu(A)=\int \indic_A(x)dx \leq \lim_{j\to \infty}\int jf(x)dx=0.$$
\enddemo

\begin{Def} \label{definitionintegrale} \index{A}{sommabilité d'une fonction}
Soit $f$ une fonction définie dans $\RR^N$ et à valeurs dans $\complex$. On dit que $f$ est sommable (ou intégrable au
sens de Lebesgue) si on a
$$\int_{\RR^N}|f(x)|dx <\infty.$$
L'espace des fonctions sommables est noté ${\cal L}^1(\RR^N)$.  Si $f(x)\in \RR$, on note $f=f^+-f^-$, o\u $f^+=\max
(f, 0)$, $f^-=\max(-f,0)$. Ces deux fonctions sont intégrables si $|f|$ l'est et on pose
$$\int f = \int f^+-\int f^-.$$
Si $f= f_1 + i f_2$ est à valeurs complexes, on pose
$$\int f = \int f_1 + i\int f_2.$$
\end{Def}

\dexer \label{independancedeladecomposition}Si une fonction $f$ à valeurs r\e elles vérifie $f=g-h$, avec $g\geq 0$,
$h\geq 0$, alors $\int f = \int g -\int h.$ \fexer

\begin{pro} L'application $f\to \int f $
est linéaire de ${\cal L}^1(\RR^N)$ dans $\complex$.  Si $f$ et $g$ sont sommables et à valeurs complexes,
\begin{equation}
\label{sousadditivite} |\int f(x)dx| \leq \int |f(x)|dx, \; |\int f(x)+g(x)dx|\leq \int |f(x)|dx + \int |g(x)|dx.
\end{equation}
\end{pro}

\paragraph{Démonstration}
On montre l'additivité pour des fonctions réelles : on a $f+g = f^+ + g^+ -(f^-+g^-)$ et donc, en utilisant le résultat
de l'exercice \ref{independancedeladecomposition} et  l'additivité de l'intégrale pour les fonctions positives,
$$
\int (f+g)=\int (f^++g^+) -\int (f^-+g^-)=\int f + \int g.
$$

Par la définition \ref{definitionintegrale}, on a si $\lambda\in {\RR}$, $\int \lambda f=\int (\lambda f)^+- \int
(\lambda f)^-$. Si $\lambda >0$, cela donne $\int \lambda f= \lambda\int f^+ -\lambda \int f^-`=\lambda \int f.$ On
procède de même si $\lambda<0$ car alors $(\lambda f)^+=\lambda f^-$ et $(\lambda f)^-=\lambda f^+.$  On obtient $\int
\lambda f= \lambda\int f$ quand $\lambda $ est réel. Le cas où $\lambda$ est  complexe se déduit alors aisément en
utilisant la définition \ref{definitionintegrale}.


Montrons la première relation de (\ref{sousadditivite}), qui entra\ii ne immédiatement la seconde. On choisit un nombre
complexe $\theta$ de module 1 tel que $\theta \int f$ soit un réel positif. Donc
$$|\int f(x)dx|=\theta \int f= \hbox{Re}(\theta \int f)=
\int \hbox{Re}(\theta f(x))dx \leq \int (\hbox{Re}(\theta f(x)))^+ dx \leq \int |f(x)|dx.$$
\enddemo
\begin{Def} \index{A}{espace!des fonctions sommables $L^1(\RR^N)$}
\index{N}{$\Vert . \Vert_p$ est la norme usuelle des espaces $L^p$ ou bien $\ell^p$}
L'espace $L^1(\RR^N)$.\\
Une conséquence de la proposition \ref{nullepresquepartout} est que si $f$ et $g$ sont égales presque partout, elles
ont la m\eee me int\e grale.   A partir de maintenant on identifie les fonctions égales presque partout entre elles.
On note $L^1(\RR^N)$ l'espace vectoriel des classes d'\e quivalence de fonctions pour cette relation d'équivalence.
Tous les énonc\e s qui suivent concerneront désormais ces classes.  On choisira souvent par commodité une représentante
$u$ de la classe, ce qui sera licite \a condition de la considérer comme ``définie presque partout" (p.p.). On
s'autorisera donc à écrire $u(x)$, mais cette écriture n'aura jamais un sens ponctuel (à moins qu'un élément de la
classe ne s'avère continu). Les énoncés portant sur $u(x)$ n'auront de sens que si on leur ajoute la mention ``presque
partout''. On notera
$$||u||_{L^1({\RR}^N)}=||u||_1=\int_{{\RR}^N}|u(x)|dx.$$
\end{Def}

\dexer Vérifier que $||u||_{L^1}$ est bien une norme sur $L^1({\RR}^N)$.
 \fexer

\begin{thf} ({\bf de Lebesgue, ou de la convergence dominée)}
\index{A}{Lebesgue!théorème de la convergence dominée} \label{convdom}
 Soit $f_n$ une suite de fonctions qui converge presque partout vers une
fonction $f$. On suppose qu'il existe une fonction positive sommable fixe $h$ telle que l'on ait pour tout $n$,
$|f_n(x)|\leq h(x)$ p.p..  (Cette fonction $h(x)$ s'appelle un {\rm chapeau intégrable de la suite} $f_n$).  On a alors
\begin{equation}\label{convergenceenmoyenne}
\int |f_n(x)-f(x)|\to 0,\; \; \int f_n(x)dx \to \int f(x)dx
\end{equation}
\end{thf}
\paragraph{Démonstration}
On remarque que la conclusion (\ref{convergenceenmoyenne}) ne dépend pas du choix des représentants des fonctions $f_n$
et de $f$. Soit $A_n=\{x, |f_n(x)|>h(x)\}$ et $B$ l'ensemble des points o\u  $f_n$ ne converge pas vers $f$.  Alors
$C=B \cup(\bigcup_n A_n )$ est négligeable.  On peut donc supposer, en changeant de représentants  pour $f_n$ et $f$,
que $f_n(x)\to f(x)$ partout et que $|f_n(x)|\leq h(x)$ partout (pour  tout $x$).


On pose   $h_n(x) = \sup_{k\geq n}|f_k(x)-f(x)|$.  Alors $h_n$ est une suite décroissante de fonctions positives qui
tend vers zéro partout. De plus, $h_n(x)\leq 2h(x)$ partout.  On va montrer que $\int h_n(x)dx$ tend vers zéro, ce qui
nous donnera (\ref{convergenceenmoyenne}).  Or, le th\e orème de la convergence monotone (Beppo-Levi) s'applique à la
suite croissante de fonctions positives $2h-h_n$ et donne $$\lim_{n\to +\infty} \int (2h(x)-h_n(x))dx = 2\int h(x)dx.$$
Donc $\int h_n(x)dx \to 0$.
\enddemo
%
\begin{thf}  (Réciproque du théorème de Lebesgue).\index{A}{Lebesgue!r\e
ciproque du théorème de}
\newline Si $f_n\to f$ dans $L^1$, alors il
existe une sous-suite $f_{n_k}$ de la suite $f_n$ qui converge presque partout vers $f$ et un chapeau intégrable $h$
tel que $\forall k, \; |f_{n_k}(x)|\leq h(x)$ p.p..
\end{thf}
%(Voir la démonstration dans l'exercice \ref{reciproqueLebesgue}).

Le théorème de Lebesgue nous permet de justifier une technique d'approximation de $f$ sommable par des fonctions
bornées: la troncature.
\begin{Def} {\bf et Proposition} \index{troncature d'une fonction} \label{troncaturedefinition}On pose pour $M>0$,  $f^M=\max(-M,\min(M,f))$ et on l'appelle troncature de $f$.  Alors: \begin{enumerate}
\item $f^M$ tend vers $f$ presque  partout;
\item si $f$ est sommable, $\int|f^M-f|\to 0$ quand $M\to \infty$;
\item on a toujours $|f^M-g^M|\leq |f-g|.$
\end{enumerate}
\end{Def}
\paragraph{Démonstration} La première  propriété est évidente et la seconde
 une conséquence immédiate de Lebesgue, puisque $|f|$ est chapeau
intégrable pour $f^M$. La troisième propriété vient de ce que $s\to max(-M,\min(M,s)) $ est une fonction 1-Lipschitz.
\enddemo
\begin{pro}\label{equiintegrabiliteduneseulefonction}
Soit $f$ une fonction sommable. Alors
$$\forall \varepsilon>0\;  \exists \eta, \; \mes(K)<\eta\Rightarrow   \int_K
|f(x)|dx<\varepsilon.$$
\end{pro}

\paragraph{Démonstration} Par la seconde propriété de la définition \ref{troncaturedefinition}, on peut choisir $M$
assez grand pour que $\int |f_M-f|<\varepsilon.$ On a alors
$$\int_K |f|\leq \int_K |f-f^M|+\int_K|f_M|\leq \varepsilon  + M\mes(K),$$
et  on conclut aisément.
\enddemo

\begin{thf} {\bf dit de convergence bornée}\label{convergencebornee}
Soit $f_k$ sommable une suite uniformément bornée tendant en probabilité vers $f$ sur un ensemble borné $C$. Alors
$\int_C|f_k-f|\to 0$.

\end{thf}
\paragraph{Démonstration} Appelons $M$ la borne uniforme de $f_k$. Il est facile de vérifier qu'aussi $|f|\leq M$
presque  partout.  On choisit $k$ assez grand pour que $\mes(\{|f_k-f|>\varepsilon\})<\varepsilon.$
 On a alors
  $$\int|f_k-f|\leq \int_{|f_k-f|>\varepsilon}|f_k-f| +\int_{|f_k-f|\leq\varepsilon}|f_k-f|\leq 2M\varepsilon
  +\varepsilon \mes(C).$$

\enddemo
On peut  obtenir la convergence $L^1$ d'une suite convergeant en probabilité si on a une information supplémentaire :
l'équiintégrabilité de la suite.

\begin{Def} \index{A}{equiintegrabilite d'une suite de $L^1$@équiintégrabilité
d'une suite de $L^1$} Une suite de fonctions $f_k$ est dite {\it équiintégrable} si
$$\forall \varepsilon>0\;  \exists \eta, \; \mes(K)<\eta\Rightarrow   \forall k\geq 1,\;\int_K
|f_k(x)|dx<\varepsilon.$$
\end{Def}
Remarquer que par la proposition \ref{equiintegrabiliteduneseulefonction}, la suite $f_k=f$ est équiintégrable si $f$
est sommable.

\begin{lem} \label{lemmedeVitali}(Vitali) \index{A}{Vitali (lemme de)}  Soit $C$ un borné de $\RR^N$
et $f_k$  une suite de fonctions équiintégrable dans $L^1(C)$ qui converge en probabilité
 vers une fonction $f$.  Alors
$f_k$ converge vers $f$ dans $L^1(C)$.
\end{lem}
%\drem La réciproque est vraie. Voir l'exercice \ref{recipvitali}
% page ~\pageref{recipvitali}. \frem

\paragraph{Démonstration}
On a
 $$M\mes(\{|f_k|\geq M\})\leq \int |f_k(x)|\leq c$$ et donc
$\mes(\{|f_k|\geq M\})\leq \eta$  pour $M$ assez grand.  En prenant $\eta =\eta(\varepsilon)$ et en utilisant
l'équiintégrabilité, on en déduit que $\int_{\{|f_k|\geq M\}} |f_k(x)|dx\leq \varepsilon$ pour $M$ assez grand.
Utilisant la définition de la troncature, on déduit que pour $M$ assez grand,
$$\int  |f_k^M-f_k|\leq \int_{\{|f_k|\geq M\}} |f_k(x)|dx\leq \varepsilon.$$
 Fixons $M$ tel qu'on ait aussi $\int |f-f^M|<\varepsilon$.
 Finalement, remarquant que $f_k^M$ converge en probabilité vers $f^M$, prenons, par
 le théorème \ref{convergencebornee} de convergence bornée,  $k$ assez grand pour que $\int |f^M-f_k^M|<\varepsilon.$
  Donc pour ces valeurs de $M$ et de $k$,

$$\int |f-f_k|\leq \int |f-f^M|+\int|f^M-f_k^M|+\int |f_k^M-f_k|\leq 3\varepsilon.$$
\enddemo


\begin{thf} (Théorème de dérivation sous le signe somme)
\index{A}{dérivée!sous le signe somme (Théorème de)} \label{derivsoussomme} Soient $I$ un intervalle de $\RR$ et $A$ un
sous-ensemble de $\RR^n$. On se donne une fonction $f$ définie sur $A\times I$ vérifiant les trois hypothèses
suivantes.
\newline
(a) Pour tout $\lambda\in I$, la fonction $x\to f(x,\lambda)$ est sommable sur $A$.
\newline
(b) La dérivée partielle $\frac{\partial f}{\partial \lambda}(x, \lambda)$ existe en {\rm tout} point de $A\times I$.
\newline
(c) Il existe une fonction $h$ positive et sommable sur $A$ telle que l'on ait $|\frac{\partial f}{\partial \lambda}(x,
\lambda)|\leq h(x)$ pour tous $x$ et $\lambda$. Alors la fonction $F$ définie par
$$F(\lambda)=\int_A f(x, \lambda)dx$$ est dérivable dans $I$ et on a
$$F'(\lambda) = \int_A \frac{\partial f}{\partial \lambda}(x,\lambda)dx.$$
\end{thf}

\paragraph{Démonstration}
On a, à $\lambda$ fixé,
$$\frac 1 l [F(\lambda +l )-F(\lambda)] = \int_A g_l(x)dx,$$
o\u l'on a pos\ea
$$g_l(x) = \frac 1 l[f(x,\lambda+l)-f(x,\lambda)].$$
La fonction $g_l$ converge en tout point vers $\frac {\partial f}{\partial \lambda}.$  D'autre part,  $$|g_l(x)|\leq
\sup_{0\leq\theta\leq 1}|\frac{\partial f}{\partial \lambda}(x, \lambda+\theta l)|\leq h(x)$$ d'apr\ee s le théorème
des accroissements finis.  Le théorème résulte alors de l'application du théorème de Lebesgue.
\enddemo



L'avant-dernière propriété de l'intégrale de Lebesgue que nous admettrons est la suivante.  Comme précédemment, on
suppose que les fonctions considérées sont mesurables. Nous allons souvent utiliser la notion de support d'une fonction
et le terme ``fonction à support compact".

\begin{Def}  \index{A}{support!d'une fonction} Soit $f$ une fonction définie sur $\RR^N$. On
appelle support de $f$ et on note $\supp(f)$ le complémentaire du plus grand ouvert $O$ tel que  $f(x) =0$ presque
partout sur $O$. Le support de $f$ est donc un fermé.  S'il est de plus borné, on dit que $f$ est à support compact.
\end{Def}

\begin{Def} \index{A}{fonction!en escalier} On considère un quadrillage de taille
$a$ de l'espace $\RR^N$ par des hypercubes de longueur d'arète $a$. Posant $C=[0,a[^N$, ce quadrillage peut se définir
par le  recouvrement disjoint
$$\RR^N=\bigcup_{\hbox{\bf n}\in \relative^N}
(a\hbox{\bf n}+C).$$
 On appelle fonction en escalier une fonction à laquelle on peut associer un
quadrillage de taille $a$ tel que $f$ soit constante sur chacun des hypercubes du quadrillage et à support borné.
\end{Def}
\begin{Def} \index{A}{fonction!en escalier!dyadique} On appelle fonction en escalier
dyadique une fonction en escalier associée à un quadrillage de taille $a=2^k$, $k\in \relative$.
\end{Def}

\begin{propr} \label{densiteescalierL^1}  \index{A}{densité!des fonctions en
escalier dans $L^1$}
 Pour toute fonction $f$ sommable sur $\RR^N$, il existe une suite de
fonctions en escalier qui converge vers $f$ dans $L^1(\RR^N)$. Cette propri\e té reste vraie si on impose aux fonctions
en escaliers d'\eee tre dyadiques.
\end{propr}

On va  déduire de la proposition \ref{densiteescalierL^1} une propriété de densité plus forte concernant les fonctions
continues à support compact.

\begin{Def} \index{A}{fonction!continue!àsupport compact} Si $f$ est une fonction continue et nulle
en dehors d'une boule, son support est fermé et borné et donc compact. Si $\Omega $ est un ouvert de $\RR^N$, on note
${\cal C}_c(\Omega)$ l'ensemble des fonctions continues à support compact contenu dans $\Omega$.
\end{Def}

\begin{cor}\label{densiteCoL^1}\index{A}{densité!de ${\cal C}_c$ dans $L^1$}
Pour toute fonction $f$ sommable sur $\RR^N$ il existe une suite de fonctions $f_n\in {\cal C}_c(\RR^N)$, \ccaadd
continues et à support compact, telles que
$$\int_{\RR^N}|f_n-f|\to 0.$$
\end{cor}
\paragraph{Démonstration}
On commence par montrer que si $C$ est un hypercube de $\RR^N$ et $\indic_C$ sa fonction caractéristique, alors il
existe des fonctions continues $f_N$ \a support compact telles que $\int |f_N-\indic_C|(x)dx$ soit arbitrairement
petit. On peut bien s\uu r se ramener au cas o\u $C=[-1,1]^N$. Commen\c cons par le cas $N=1$. On considère l'unique
fonction continue et affine sur $[-1-\varepsilon, -1]$ et sur $[1, 1+\varepsilon]$  telle que $f_1(x) = 0$ si $|x|\geq
1 +\varepsilon$ et $f_1(x)=1$ si $|x|\leq 1$.  La fonction $f_N(x_1, ..., x_N)=f_1(x_1)...f_1(x_N)$ convient en
dimension $N$.  En considérant les supports de $f_N$ et de $\indic_C$, on voit  en effet que $||\indic_C
-f_N||_{L^1}\leq 2^N ((1+\varepsilon)^N -1)$ qui tend vers 0 quand $\varepsilon \to 0$.

Toute combinaison linéaire finie de fonctions caractéristiques d'hypercubes est donc approchable dans $L^1$ par une
combinaison linéaire finie de fonctions continues à support compact. Il en résulte que toute fonction en escalier est
approchable par des fonctions à support compact dans $L^1$. On conclut en utilisant la propriété
\ref{densiteescalierL^1}.
\enddemo
L'espace $L^1(\RR^N)$ appara\ii t donc comme  la complétion de ${\cal C}_c(\RR^N)$ pour la norme
$$||f||_{L^1}=\int_{\RR^N}|f(x)|dx,$$ mais il faudra montrer qu'il
est effectivement complet. Voyons tout de suite deux cons\e quences importantes de cette propriété de densité.

\begin{thf} (équicontinuité en moyenne des fonctions sommables)
\index{A}{equicontinuite en moyenne des fonctions sommables@équicontinuité en moyenne des fonctions sommables} Pour
tout $f\in L^1(\RR^N),$ on a
$$\lim_{y\to 0}\int_{\RR^N}|f(x+y)-f(x)|dx = 0.$$
\end{thf}
\paragraph{Démonstration}
On fixe $\varepsilon>0$ et on choisit gr\aa ce au corollaire \ref{densiteCoL^1} une fonction $f_\varepsilon$, continue
et à support compact inclus dans une boule $B(0,R)$, telle que $||f_\varepsilon -f||_{L^1}\leq \varepsilon.$  La
fonction $f_\varepsilon$ est uniformément continue. Il existe donc $\eta$ tel que $|y|\leq \eta \Rightarrow
|f_\varepsilon(x+y)-f_\varepsilon(x)|\leq \frac{\varepsilon}{\mes(B(0,2R)}.$  Ceci implique en intégrant $\int
|f_\varepsilon(x+y)-f_\varepsilon(x)|dx \leq \varepsilon$ pour $|y|\leq \min(\eta, R).$
   On a donc
$$\int |f(x)-f(x+y)|dx\leq$$
$$\int |f(x)-f_\varepsilon(x)|dx+\int |f_\varepsilon(x)-f_\varepsilon(x+y)|dx+
\int |f_\varepsilon(x+y)-f(x+y)|dx\leq 3\varepsilon.$$
\enddemo


\begin{thf} (de changement de variable) \index{A}{changement de variable
(théorème de)}\newline Soient $\Omega_1$ et $\Omega_2$ deux ouverts de $\RR^N$ et $\Varphi$ un difféomorphisme entre
$\Omega_1$ et $\Omega_2$. On notera $J_\Varphi(x)$ le déterminant de la matrice jacobienne de $\Varphi$ au point $x$.
Soit $f$ une fonction définie sur $\Omega_2$.
\newline (a) Si la fonction $f$, mesurable, est à valeurs dans $\RR^+\cup \{+ \infty\}$, on
a l'égalité suivante, o\u les deux membres  ont un sens dans $\RR^+\cup\{+\infty\},$ \fb& \label{changementdevariable}
\int_{\Omega_2}f(y)dy=\int_{\Omega_1}f(\Varphi(x))|J_\varphi(x)|dx. \fe&
\newline (b)  Si $f$ est à valeurs complexes, elle est sommable dans $\Omega_2$
si et seulement si $f(\Varphi(x))J_{\Varphi}(x)$ est sommable dans $\Omega_1$, et les deux membres de l'égalité
précédente sont alors égaux.
\end{thf}


\paragraph{Démonstration} Par un résultat classique de calcul intégral% \ref{??},
  la formule (\ref{changementdevariable}) est vraie si
$f$ est intégrable au sens de Riemann, continue, et à support compact contenu dans $\Omega$.  Pour la montrer dans ce
cadre plus général, nous allons utiliser deux résultats que nous montrons dans le prochain chapitre. Le premier est que
$L^1(\Omega)$ est complet (Théorème \ref{lpcomplet}), et le second (Proposition \ref{densiteCinfiniL1deomega}) est que
toute fonction  de $L^1(\Omega)$ est la limite d'une suite de fonctions continues à support compact dans $\Omega$. Pour
éviter toute inconsistence, il faudra vérifier que nous n'utilisons pas le théorème de changement de variable pour
montrer ces deux résultats, ce qui est bien le cas.


 Si $f$ est sommable sur $\Omega_2$, on peut donc  considérer
des fonctions continues $f_n$ \a support compact qui tendent vers $f$ dans $L^1$. Par la réciproque du théorème de
Lebesgue, on peut aussi supposer que $f_n\to f$ presque partout. On a
\begin{equation}\label{changementdevariableapproche}
\int_{\Omega_2}f_n(y)dy=\int_{\Omega_1} f_n(\Varphi(x))|J_\Varphi(x)|dx
\end{equation}
et on peut écrire une formule analogue pour $|f_n-f_p|$.  Il en résulte que les fonctions
$f_n(\varphi(x))|J_\Varphi(x)|$ forment une suite de Cauchy dans $L^1$.  On en d{é}duit que leur limite simple
$f(\varphi(x))|J_\Varphi(x)|$ est   sommable dans $\Omega_1$. En passant à la limite  à droite et à gauche dans
(\ref{changementdevariableapproche}), on obtient la formule de changement de variable (\ref{changementdevariable}).
\enddemo
La dernière propriété de l'intégrale de Lebesgue que nous admettons est la suivante (nous supposons toutes les
fonctions considérées mesurables).
\begin{propr} \index{A}{Fubini-Tonelli (théorème de)}{\bf (Théorème de
Fubini-Tonelli)}\newline Soit $f(x,y)$ une fonction définie dans $\RR^p\times\RR^q$.
\newline
(a) (Tonelli) Si $f$ est à valeurs dans $\RR^+\cup\{+\infty\}$, on a l'\e galité suivante, o\u les trois membres
définissent un élément de $\RR^+\cup\{+\infty\}$,
$$\int_{\RR^{p+q}}f(x,y)dxdy=\int_{\RR^p}(\int_{\RR^q}f(x,y)dy)dx
=\int_{\RR^q}(\int_{\RR^p}f(x,y)dx)dy.$$ (b) (Fubini) Si $f$ est sommable dans $\RR^{p+q}$, les trois membres de
l'égalité précédente ont un sens et sont égaux.  Plus précisément, dire que le troisième membre a un sens signifie :
\newline $\bullet$ pour presque tout $y$, la fonction $x\to f(x,y)$ est sommable
dans $\RR^p$,
\newline $\bullet$ la fonction $\varphi(y)=\int f(x,y)dx$ qui est ainsi définie
presque partout est sommable dans $\RR^q$.
\end{propr}


\section{Mesurabilit{é} et ensembles de niveau des images}
\index{A}{images naturelles} Nous avons vu au d{é}but de ce chapitre qu'un ensemble $E$ est dit mesurable si $\indic_E$
est mesurable au sens de Borel-Lebesgue (c'est {à} dire dont on peut calculer une int{é}grale, {à} valeurs dans
$[0,+\infty]$, l'existence de cette int{é}grale ayant {é}t{é} admise). Le succ{è}s de l'int{é}grale de Lebesgue est
d\^u d'une part au caract{è}re tr{è}s g{é}n{é}ral de th{é}or{è}mes tels que \ref{derivsoussomme} et \ref{convdom}, et
d'autre part au fait que la classe des applications mesurables est tr{è}s large, et contient en particulier des
ensembles tr{è}s irr{é}guliers. Pour justifier le besoin en pratique d'une th{é}orie de l'int{é}gration incluant des
ensembles tr{è}s irr{é}guliers, nous utilisons les ensembles de niveau des images naturelles. Il est possible de
montrer qu'une fonction $f:\R^n \rightarrow [0,+\infty]$ est mesurable au sens de Borel-Lebesgue si les ensembles
$\chi_{\lambda}=\left\{x \in \R^n/ f(x)\geq \lambda \right\}$ sont mesurables pour presque tout $\lambda \in \R$ (c'est
{à} dire que l'ensemble des $\lambda$ tels que $\chi_{\lambda}$ ne soit pas mesurable est n{é}gligeable au sens de la
d{é}finition \ref{negligeable}). Les ensembles $\chi_{\lambda}$ s'appellent ``ensembles de niveau'' de la fonction $f$.
Nous nous int{é}ressons au cas o{\`u} $n=2$, et o{\`u} la fonction $f$ repr{é}sente une ``image naturelle''. C'est {à}
dire que nous supposons que la lumi{è}re issue d'une sc{è}ne est projet{é}e sur un plan face {à} cette sc{è}ne (au
moyen d'instruments optiques) et que pour chaque point $x$ de ce plan, la valeur $f(x)$ est la quantit{é} de lumi{è}re
re{\c c}ue en ce point. On suppose que de telles fonctions sont born{é}es. Ces fonctions sont tr{è}s oscillantes, comme
en t{é}moigne la figure \ref{line}. Cette figure repr{é}sente d'une part la fonction $f$ en associant {à} chaque point
$x$ du plan un gris d'autant plus clair que $f(x)$ est grand (le minimum de $f$ correspond au noir et son maximum au
blanc), et d'autre part le graphe de la fonction $f$ ({à} chaque point $x$ correspond une altitude proportionnelle {à}
$f(x)$) dont l'aspect tridimensionnel est simul{é} par un algorithme de visualisation. Les oscillations sont
principalement dues aux nombreux d{é}tails pr{é}sents dans une telle sc{è}ne, ainsi qu'aux perturbations al{é}atoires
introduites par l'appareil optique (le ``bruit''). Une autre fa{\c c}on d'appr{é}hender l'irr{é}gularit{é} d'une telle
fonction consiste {à} en tracer les ensembles de niveau, ce qui est fait sur la figure \ref{line}, sous-figure du bas,
o\`u l'on peut voir les fronti{è}res de quelques ensembles de niveau de la fonction $f$.  On appelle lignes de niveau
ces frontières. On remarquera que les lignes de niveau peuvent être très oscillantes et presque impossibles  à suivre
du regard.

\begin{figure}
\begin{center}

\includegraphics[width=6cm]{Figures/montre2.ps}
\includegraphics[width=11cm]{Figures/montre2-3D.eps}
\includegraphics[width=8cm]{Figures/montre2-lignes.ps}

\end{center}
\caption[Images naturelles et ensembles mesurables]{Haut: repr{é}sentation de la fonction $f$ par niveaux de gris ({à}
chaque point est affect{é} un gris d'autant plus clair que la valeur de $f$ y est grande); milieu: repr{é}sentation de
$f$ par son graphe ({à} chaque point est affect{é} une altitude d'autant plus {é}lev{é}e que la valeur de $f$ y est
grande); bas: quelques lignes de niveau (fronti{è}res des ensembles de niveau) de la fonction $f$. Sur cette dernière
image, nous remarquons la présence de quelques lignes fortement oscillantes. } \label{line}
\end{figure}
%\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% EXO LEBESGUE
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Exercices}
\dexo Ensembles de Cantor \label{Cantordemesurepositive} \index{A}{ensembles de Cantor} \index{N}{$\vert A \vert$ est
la mesure de $A$ si $A$ est un ensemble mesurable} \hfill \newline Soit $E_0=[0,1]$ et soit $(\ell_n)_n$ une suite de
r\e els $>0$ suffisamment petits. On
construit de proche une suite d'ensembles $(E_n)_n$, inclus dans $E_0$, de la fa\c con suivante : \\
On enl\ee ve au centre de $E_0$ un petit segment ouvert de longueur $\ell_1$ et on appelle $E_1$ l'union des deux
segments disjoints qui restent. On r\e applique cette construction \a $E_1$, on enl\ee ve au centre des deux segments
de $E_1$ un petit segment ouvert de longueur $\ell_2$ et on appelle $E_2$ l'ensemble restant etc.. Si $E_n$ est \e gal
\a l'union des $2^n$ segments disjoints ainsi obtenus, on enl\ee ve au centre de chacuns d'eux un petit segment de
longueur $\ell_{n+1}$ et on appelle $E_{n+1}$ l'ensemble restant. On a $E_{n+1} \subset E_n \subset ... \subset E_1$ et
on
pose $E = \displaystyle{\bigcap_{n \geq 1}} E_n$.\\
Calculer $\vert E \vert$. Si $\ell_n = (\frac {1}{3})^n$, on obtient l'ensemble triadique de Cantor,
v\e rifier que $\vert E \vert = 0$. \\
Donner un exemple d'ensemble de Cantor $E$ de mesure strictement positive. \fexo
%{ \bf Exercice 3} Propri{é}t{é} d'absolue continuit{é} de l'int{é}grale

\dexo
\hfill \newline
Soit $A\subset \RR^N$ et soit $h$ la fonction égale à $+\infty$ dans $A$ et à $0$ dans son complémentaire. Montrer en utilisant le théorème de convergence monotone, que
$$\int_{\RR^N} h(x) dx = \left\{ \begin{array}{ll}
                                   0 & \mbox{si $\vert A \vert =0$}, \\
                                   +\infty & \mbox{si $\vert A \vert >0$.}
                                   \end{array}
                          \right.  $$
En déduire que si $f$ est à valeurs dans $[0,+\infty]$ et vérifie $\int f(x)dx < +\infty$, \\l'ensemble $\left\{ x\in \RR^N : f(x)= +\infty  \right\}$ est de mesure nulle.  \fexo
\dexo{Tout graphe est de mesure nulle.}

\hspace{1.5cm} 1) Démontrer que le graphe d'une application continue $f$ de ${\RR}$ dans ${\RR}$ est un sous-ensemble de mesure nulle dans ${\RR}^2$.  (On montrera que la portion du
graphe comprise entre les abcisses $-k$ et $k$ peut être recouverte par des rectangles dont la somme des mesures
est arbitrairement petite).

\hspace{1.5cm} 2) Même question si $f\in { L}^1_{loc}({\RR})$, puis si $f$ est borélienne. \fexo

\dexo
\hfill \newline
Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues telles que $f(x)=g(x)$ p.p.. Montrer que $f$ et $g$ sont égales
partout. \fexo


\dexo
\hfill \newline
Soit $f$ une fonction  intégrable sur ${\RR}$.  Démontrer que
$$\int_a^b f(x)dx \to \int_{{\RR}}f(x)dx \hbox{ quand } a\to -\infty,\; b\to
+\infty.$$ Généralisation : soit $A_n$ une suite croissante d'ensembles tels que $\bigcup_n A_n = {\RR}^N$.
Démontrer que $\int_{{\RR}^N}f(x)dx=\lim_{n\to \infty}\int_{A_n}f(x)dx. $ \fexo



\dexo{} \label{integralesurpetitsensembles}
\hfill \newline
Soit $h$ une fonction positive intégrable sur ${\RR}^N$ et $A_n$ des
bor\'eliens de ${\RR}^N$ tels que $\lambda (A_n) \to 0$. Démontrer que $\int_{A_n}h(x)dx\to 0$ quand $n\to
\infty$. \fexo

\dexo{}
\hfill \newline
Calculer $\sum_{n=1}^{\infty} \frac {(-1)^{n+1}}{n}$ \`{a} l'aide de l'int\'{e}grale
 $\int _0^1 \frac {dx}{1+x}$.
Indication : on posera $f_n(x)=\Sigma_0^n(-1)^kx^k$ pour $x\in [0,1]$. On trouvera un chapeau intégrable pour les $f_n$
et on appliquera le théorème de Lebesgue.
%Application de la convergence monotone
\fexo


\dexo{}
\hfill \newline
Soit $f\in {L}^{1}({\RR})$.  Calculer la limite de $n\int_1^\infty f(nx)dx$ quand $n\to
+\infty$. \fexo

\dexo
\hfill \newline
Donner un exemple de suite dans $L^{1}(\RR)$ qui vérifie l'inégalité stricte dans le lemme de Fatou.
\fexo
\dexo
\hfill \newline
Donner des exemples de suites de
fonctions $f_n\in L^{1} (0,1)$ telles que

$\bullet$ $f_n$ ne tend pas vers $0$ dans $L^{1}$ et $f_n(x)$ tend vers $0$ presque partout.

$\bullet$ $f_n\to 0$ dans $L^{1}$ et $f_n(x)$ ne tend pas presque partout vers $0$. (On pourra construire une suite de fonctions "bosses roulantes" dont la largeur tend vers zéro, mais qui balaye constamment l'intervalle $[0,1]$.)\fexo
\dexo \textit{Coupes d'un ensemble mesurable}\newline
 Soit $E$ un sous-ensemble de
mesure born\'{e}e
 de ${\RR}^N$.  D\'{e}montrer que pour tout $0\leq\alpha\leq 1$,
$E$ contient un
 sous-ensemble de mesure $\alpha .\lambda(E)$.
\fexo

\dexo \textit{Convergence $L^{1}$ quand il y a "conservation de la masse" (Lemme de Scheffé)}
\hfill \newline
Montrer que si une suite de  fonctions $(w_n)_n \in L^{1}$ vérifie $w_n\geq 0$, $w_n(x)\to w(x)$ presque
partout, $w\in L^{1}$ et $\int w_n \to \int w$, alors $w_n\to w$ dans $L^{1}$. (Indication: écrire
$\int w-w_n = \int (w-w_n)^+ -\int (w-w_n)^-$ et $\int |w-w_n| = \int (w-w_n)^+ + \int (w-w_n)^-$ et appliquer le
théorème de Lebesgue.) \fexo

\dexo \label{absoluecontinuite} {\it Crit\`{e}re d'int\'{e}grabilit\'{e} sur un born\'{e} $B$ de ${\RR}^N$}
\newline
  On va montrer dans cet exercice que $f\in { L}^{1}(B)$ si et seulement si $\forall
\varepsilon\quad \exists \eta, \quad \lambda(K)\leq \eta \Rightarrow \int_K |f|\leq \varepsilon.$
\newline
i) Montrer que si le critère d'intégration est vérifié, alors $f$ est intégrable.
\newline
ii)  Pour la réciproque, on raisonne par contradiction et on suppose qu'il existe $f\in {L}^{1}(B)$ telle que
le critère d'intégration ne soit pas vérifié. Montrer qu'il existe alors $\varepsilon>0$  et une suite $K_n$ de
sous-ensembles de $B$ tels que $\int_{K_n}|f|\geq \varepsilon$ et $\lambda(K_n)\leq \frac 1 {2^n}$.
\newline On pose
$J_n=\cup_{n+1}^{\infty} K_k$.  Montrer que $\int_{J_n}|f|\to 0$ et conclure.
\newline Autre méthode : appliquer directement le résultat de l'exercice
\ref {integralesurpetitsensembles} !
\newline iii) (facultatif)
Adapter le crit\`{e}re d'int\'{e}grabilit\'{e} \`{a} ${\RR}^N$. \fexo

\dexo Réciproque du théorème de convergence dominée
\hfill \newline
Soit $(f_n)_n$ une suite convergeant vers $f$ dans $L^1$.\\
1) Vérifier qu'il existe une sous-suite $(f_{n_k})_k$ telle que
$\forall k\geq 1$, $$\Vert f_{n_{k+1}} - f_{n_k}\Vert_1\leq \frac{1}{2^k}.$$
2) On pose $g_k(x)= f_{n_{k+1}}(x) - f_{n_k}(x)$ et $G(x)=\sum_1^{\infty } \vert g_k(x) \vert$. Montrer, en utilisant le théorème de convergence monotone, que $G\in L^1$.
%, $G$ est finie p.p. et $G_N\longrightarrow G$ p.p.\\
En déduire que la suite $(f_{n_k})_k$ converge p.p. vers une limite notée $h$ et qu'elle a un chapeau intégrable.\\
3) Montrer que $h=f$ p.p.
 \fexo
\dexo
\hfill \newline
Calculer $\lim_{n \rightarrow +\infty} \Gamma_n$, où $\Gamma_n=\int_0^n(1-\frac x n)^ne^{\frac x 2}dx.$
\fexo
\dexo{}
\hfill \newline
Soit $f$ une fonction sommable. Démontrer que $\lim_{\alpha\to +\infty}\alpha\lambda(\{x,\;|f(x)|\geq
\alpha\}) =0$. \fexo

\dexo
\hfill \newline
 Calculer la d\'{e}riv\'{e}e \`{a} droite en z\'{e}ro de la fonction
$$t \to \int_0^1(f(x)+t^2)^{\frac{1}{2}}dx=\varphi(t),$$
o\`{u} $f$ vérifie $0\leq f\leq 1$. Indication :  pour évaluer la limite du rapport $\frac{\varphi(t)-\varphi(0)}{t}$,
penser à utiliser le th\'{e}or\`{e}me de Lebesgue.\fexo
\dexo
\hfill \newline
Si $f\in L^{1}(\RR)$, montrer que $\tilde f(x)=\sum_{n\in {\ZZ}} f(x+n)\in
L^{1}([0,1])$ et que $\int_{[0,1]}\tilde f(x)dx=\int_{\RR} f(x)dx$. \fexo
\dexo
\hfill \newline
On pose, pour $x>0$, $\Gamma(x)=\int_0^\infty e^{-t}t^{x-1}dt$. \\
1) D\'{e}montrer que $\Gamma$ est de classe
$C^\infty$ sur $\rbrack 0, +\infty \lbrack$.\\
2) D\'{e}montrer
 que $\Gamma(x)\to +\infty$ quand $x\to 0$. (Utiliser le théorème de convergence monotone ) \\
Remarque : on peut  aussi  montrer que $\Gamma(z)$ est holomorphe sur le demi-plan $Re(z)>0$, c'est plus rapide.
\fexo
\dexo \textit{Un contre-exemple à méditer au théorème de dérivation sous le signe somme}.
\hfill \newline
Soit $\phi$ une fonction
continue sur $[0,1]$.  On considère, dans $[0,1]\times [0,1]$ la fonction $f$ définie par $f(x,\lambda) = \phi(x)$
si $x\leq \lambda$ et $f(x,\lambda)=0$ sinon.  On pose $F(\lambda)=\int_0^1f(x,\lambda)dx$. Pour chaque $\lambda$, la
dérivée partielle existe sauf en un point, et elle est majorée par une fonction sommable fixe : la fonction 0.
Déterminer la dérivée de $F$. \fexo



\dexo {Contrexemples pour le théorème de Fubini}
\hfill \newline

\hspace{1.5cm} 1) On considère la mesure de comptage sur ${\NN}\times{\NN}$. On pose pour $m\geq 1$, $f(m,m)=1$ et $f(m+1,m)=-1$, on pose sinon $f(m,n)=0$. Vérifier que
$$\sum_m\sum_n f(m,n)=1,\; \hbox{ mais que } \sum_n\sum_mf(m,n)=0.$$
Quelle est l'hypothèse du théorème de Fubini qui n'est pas vérifiée ?

\hspace{1.5cm} 2) On considère sur $[0,1]\times [1,
+\infty[$ muni de la mesure de Lebesgue, $f(x,y)=e^{-xy}-2e^{-2xy}.$ Montrer que
$$\int_0^1\int_1^\infty f(x,y)dydx= \int_0^1 x^{-1}(e^{-x}-e^{-2x})dx>0$$ et
$$\int_1^\infty\int_0^1f(x,y)dxdy=\int_1^{\infty} y^{-1}(e^{-2y}-e^{-y})dy<0.$$
  Quelle est
l'hypothèse du théorème de Fubini qui n'est pas vérifiée ?

\hspace{1.5cm} 3) Soit $X=[0,1]$ muni de la mesure de Lebesgue $\lambda$ et $Y=[0,1]$ muni de la tribu des parties et de la
mesure de comptage, $\mu$.  On pose $f(x,y)=1$ si $x=y$ et $f(x,y)=0$ sinon. Montrer que
$$\int_X\int_Y f(x,y)d\mu(y)d\lambda(x)=1 \hbox{  et }
\int_Y\int_X f(x,y)d\lambda(x)d\mu(y)=0.$$ Vérifier que $f$ est bien mesurable pour la mesure produit. Quelle est
l'hypothèse du théorème de Fubini qui n'est pas vérifiée ? \fexo


\dexo
\hfill \newline
On admet que l'on peut ordonner les réels  de $[0,1]$ par une relation d'ordre total $<'$
 de telle manière que $\forall x\in [0,1],\; \{y,\; y <' x\}$ soit un ensemble
 dénombrable.\newline
 {\small (Cette propriété s'appelle l'hypothèse du continu. Il a été
 démontré par Kurt G\"{o}del qu'elle ne contredisait par les axiomes
 classiques de la théorie des ensembles et par  Paul Cohen que son contraire ne les
 contredisait pas non plus.)}\newline
On pose $X=Y=[0,1]$, munis de la tribu borélienne et de la mesure de Lebesgue. On pose $f(x,y)=1$ si $x<'y$ et
$f(x,y)=0$ sinon. Montrer que
$$\forall x\;\; \int_X f(x,y)dx=0, \;\hbox{ et } \; \forall y\;\;\int_Yf(x,y)dy=1.$$
Quelle est l'hypothèse du théorème de Fubini qui n'est pas vérifiée ? \fexo


\dexo{Application directe du th\'eor\`eme de Fubini}
\hfill \newline
Soit $X=\NN$ muni de la mesure de comptage et $(Y,\; {\cal
T},\;\mu)$ un espace mesurable de mesure $\sigma$-finie. Si les fonctions $f_n$ sont $\cal T$-mesurables et si
$\sum_n\int|f_n|d\mu<\infty,$ alors $$\sum_n\int f_nd\mu=\int\sum_n f_nd\mu.$$ \fexo
