
\chapter{Réflexivité, séparabilité, dualité des $L^p$}
\label{dualiteLp} \setcounter{exo}{0}
\section{Espaces emboîtés d'approximation des $L^p$, séparabilité}
On va commencer par définir un mode standard pour approximer les fonctions de $L^p({\RR}^N)$, $1\leq p<\infty$ par des
fonctions en escalier. On commence par subdiviser ${\RR}^N$ en hypercubes $C^{k}_i=2^{-k}(i+[0,1[^N)$, où $i\in
\relative^N$. A $k$ fixé, ces hypercubes d'arète $2^{-k}$ forment une partition de ${\RR}^N$. Chacun des cubes
$C^{k}_i$ est une union disjointe de $2^N$ hypercubes du type $C_j^{k+1}$. On appelle $V_k$ l'espace des fonctions en
escalier, constantes sur chaque hypercube $C^{k}_i$. On voit immédiatement que ces espaces sont emboîtés :
$$V_{k}\subset V_{k+1}.$$
On a envie d'approcher les fonctions de $v\in L^p$ par des fonctions en escalier de $V_k$. Il y a un mode standard pour
le faire, qui est de poser

\begin{equation} \label{defvk}
v_k(i)(x)=\frac 1{mes(C^k_i)}\int_{C^k_i}v(y)dy\; \hbox{ si }\;x\in C^k_i.
\end{equation}
 En d'autres termes, on remplace $v$ par sa moyenne sur chaque
cube dyadique.  Dans toute la suite, si $v\in L^p({\RR}^N)$, on notera $v_k$ cette approximation standard. Remarquer
que $(\lambda v+\mu w)_k=\lambda v_k+\mu v_k.$
\begin{lem} \label{densitedansLp}\index{A}{approximation!par des
fonctions en escalier} La fonction en escalier $v_k$ est la meilleure approximation de $v$ dans $V_k$ pour la norme de
$L^2({\RR}^N)$. De plus, on a pour tout $p\geq 1$ :

 \begin{equation}\label{approximationenescalierdecroitnormeLp}
 ||v_k||_{L^p}\leq
||v||_{L^p},\end{equation}
$$v_k\to v \hbox{ dans } L^p({\RR}^N),$$
\begin{equation}\label{moyenneconserveesurVk}
\int_{C_i^k}v_k=\int_{C_i^k}v.
\end{equation}
\end{lem}
\paragraph{Démonstration}
On voit aisément (exercice !) que $v_k(i)$ est  la constante réalisant $$\min_{c\in {\RR}} \int_{C_i^k}(v(y)-c)^2dy.$$
La fonction $v_k$ est donc la fonction réalisant la meilleure approximation quadratique de $v$ sur chaque cube.  Dans
le cas où $v\in L^2({\RR}^N)$, on en déduit que $v_k$ est la fonction en escalier dont la distance $L^2$ à $v$ est
minimale.
\newline Montrons (\ref{approximationenescalierdecroitnormeLp}). En
utilisant (\ref{defvk}) et l'inégalité de Hölder,
$$
\int_{{\RR}^N} |v_k|^p=\sum_i\int_{C_i^k}|v_k|^p=\sum_i (mes(C^k_i))^{1-p}|(\int_{C^k_i }v)|^p\leq
$$
$$
\leq \sum_i (mes(C^k_i))^{1-p}(\int_{C^k_i}|v|^p)^\frac pp(mes(C_i^k))^\frac{p}{p'}=\int |v|^p.
$$
La première égalité était bien-sûr une conséquence du théorème de convergence monotone.
 Montrons maintenant que $v_k\to v$ dans
$L^p$. On approche $v$ dans $L^p$ par une fonction continue à support compact $g$ telle que $||v-g||_{L^p}\leq
\varepsilon.$  On a alors
$$||v-v_k||_p\leq ||v-g||_p+||g-g_k||_p+||g_k-v_k||_p.$$
Le premier terme est inférieur à $\varepsilon$. Grâce à (\ref{approximationenescalierdecroitnormeLp}), le troisième
aussi
   (on rappelle que
$g_k-v_k= (g-v)_k$). Le second terme est la différence entre $g$ et une approximation de Riemann, tend donc vers zéro
quand $k$ augmente. On conclut aisément.\enddemo

\dexer Soit $B$ un borné de ${\RR}^N$ et $v\in L^p(B)$. La moyenne de $v$ n'est pas la meilleure approximation de $v$
au sens de la norme $L^p$ : cela n'est en fait vrai que quand $n=2$. Pour $1<p<\infty$, caractériser  la meilleure
constante $c_p$ réalisant $\min_c\int_B|v-c|^p.$ Montrer qu'elle est unique.  Traiter à part le cas $p=1$. Dans ce
dernier cas, $c_1$ est appelée ``valeur médiane" de $v$. Expliquer pourquoi.

 \fexer

\begin{pro}\label{separabilitedesLp} \index{A}{séparabilité!de $L^p$ pour $1\leq p<\infty$}
$L^p(\RR^N)$ est séparable pour $1\leq p<\infty$ et non séparable pour $p=+\infty$.
\end{pro}
\paragraph{Démonstration}  Par le Lemme \ref{densitedansLp},
les fonctions en escalier dyadiques sont denses dans $L^p(\RR^N)$. Soit $\tilde V_k\subset V_k$ l'ensemble des
fonctions dyadiques sur $[-2^k,2^k]^N$, \a valeurs rationnelles.  Alors $\bigcup_k \tilde V_k$ est à la fois
dénombrable et dense dans $V_k$, et donc aussi dans $L^p(\RR^N)$.

Considérons  les fonctions $f_r=\indic_{B(0,r)}$, $r\in \RR^+$. On $||f_r-f_{r'}||_{L^\infty}=1$ dès que $r\neq r'$.
S'il y avait une suite $g_n$ dense dans $L^\infty$, on pourrait pour tout $r$ trouver $n(r)\in \NN$ tel que
$||f_r-g_{n(r)}||<\frac 12$.  Par l'inégalité triangulaire, $||g_{n(r)}-g_{n(r')}||_{L^\infty}>
||f_r-f_{r'}||_{\infty}-||f_r-g_{n(r)}||-||f_{r'}-g_{n(r')}||_\infty>0$ si $r\neq r'$. L'application $r\to n(r)$ est
donc injective, une contradiction.

\enddemo

%marque1

\paragraph{D{é}composition dyadique d'une image}
\index{A}{images numériques} Soit $v$  une fonction de $L^{1}(\R^2)$,
 repr{é}sentant une image naturelle, de résolution infinie.
 Nous avons déja considéré la représentation
 numérique des images à la fin du
chapitre \ref{intlebesgue}. Nous supposerons que le support de $v$ est $[0,1]^2$. Bien entendu, une image de résolution
infinie est une idéalisation. Tout appareil de mesure et toute caméra ont une résolution finie et les images
représentées sur ordinateur aussi.
 On peut modéliser cette représentation par l'application $v\to
 v_k$, $k$ étant alors un indice de résolution de l'image : plus
 $k$ est grand et plus l'image est résolue. Par ailleurs, nous ne
 pourrons pas simuler numériquement l'application $v\to v_k$, mais bien
 n'importe quel passage $v_k\to v_{k'}$ où $k'<k$.
 De m\^eme que précédemment, nous consid{é}rons les fonctions $v_k$
définies, pour $x\in C^{k}_i$, par
$$v_k(x)=\frac
1{mes(C^{k}_i)}\int_{C^{k}_i}v(y)dy,$$ o\`u l'on rappelle que $C^{k}_i=2^{-k}(i+[0,1[^2)$, avec $i\in \relative^2$.
Remarquons que l'hypothèse sur le support de $v$ implique que $v_k$ est non nulle sur $2^k$ cubes dyadiques au plus. La
figure \ref{haar} représente les fonctions $v_k$, pour $k$ variant de 8 à 3, sur l'intervalle $[0,1]^2$; la diminution
de $k$ correspond à des pertes de résolution successives. Les fonctions $v_k$ sont les objets de base du traitement des
images numériques. En effet, la quantit{é} de lumi{è}re arrivant sur les capteurs {à} l'int{é}rieur d'une cam{é}ra,
apr{è}s passage par les instruments optiques (diaphragme et lentille), est représentée par une fonction $v$  born{é}e
{à} support compact. Or les capteurs d'une cam{é}ra numérique (appel{é}s CCD pour l'anglais ``charged coupled
devices'') sont carr{é}s, et tapissent le plan o\`u se projette l'image selon un damier r{é}gulier. Chacun de ces
capteurs compte le nombre de photons reçus pendant un certain laps de temps, l'image num{é}rique obtenue {é}tant
constitu{é}e de l'ensemble des valeurs retourn{é}es par ces capteurs, valeurs qui peuvent raisonnablement {\^e}tre
mod{é}lis{é}es par l'int{é}grale de la fonction $v$ sur la surface du capteur.  Une image digitale est donc directement
un élément d'un certain $V_k$. Remarquons toutefois que chacun de ces capteurs transmet une quantit{é} finie
d'information, de sorte que les valeurs retenues pour les fonctions $v_k$ appartiennent {à} un ensemble fini d'entiers
(ph{é}nom{è}ne de quantification). L'ensemble des images digitales correspond donc à  l'approximation rationnelle des
$V_k$ décrite dans le lemme \ref{approximationenescalierdecroitnormeLp} et réalise un sous-ensemble dense de
$L^2([0,1[^2)$.


\begin{figure}
\begin{center}

\includegraphics[width=10cm]{Figures/haar.ps}

\end{center}
\caption[Martingales et images digitales]{Exemples de fonctions $v_k$ dans le cas d'une image; de haut en bas et de
gauche {à} droite: $k=8,7,6,5,4,3$. D'après le lemme \ref{densitedansLp}, chaque image $v_k$ est la meilleure
approximation de l'image $v$ (qui représente la quantité de lumière émise par la scène considérée) dans $V_k$, espace
des fonctions en escalier constantes sur chaque hypercube $C^{k}_i=2^{-k}\left(i+[0,1[^2\right)$, $i \in \relative^2$.
Si l'on se restreint comme ici aux images bornées, définies sur $[0,1]^2$, la dimension de chaque espace $V_k$ est
$2^k$. La suite des images $v_k$ est une martingale, c'est à dire que sur chaque carré $C^{k}_i$, la valeur de $v_k$
est la moyenne des quatre valeurs prises par $v_{k+1}$ sur $C^{k}_i$.} \label{haar}
\end{figure}

\dexer\label{tribuengendreeparunepartition} Soit $C$ un ensemble muni d'une partition finie ou dénombrable $(C_i)_{i\in
I}$. Montrer que la tribu $\cal T$ engendrée par les $C_i$ est l'ensemble des unions finies ou dénombrables de $C_i$ :
$${\cal T}=\{\cup_{j\in J} C_j,\; J\subset I,\;\hbox{ dénombrable ou fini }\}.$$ \fexer

\subsection{La martingale $v_k$}
Nous allons maintenant replacer l'approximation $V_k$ dans le cadre de la théorie des probabilités afin de préciser un
peu plus encore le mode de convergence de $v_k$ vers $v$.
 Fixons $k$. On note ${\cal T}_k$ la tribu
engendrée par les hypercubes dyadiques $C_i^k$, i.e. \ccaadd l'ensemble des unions quelconques d'hypercubes $C_i^k$
(voir l'exercice \ref{approximationenescalierdecroitnormeLp}).  Alors $V_k$ est tout bonnement  l'ensemble des
fonctions ${\cal T}_k$-mesurables.   Les tribus ${\cal T}_k$ et les espaces $V_k$ sont emboîtés, car ${\cal
T}_{k'}\subset {\cal T}_k$ si $k'<k$ et de  même $V_{k'}\subset V_k$.



\begin{lem}  \index{A}{martingale}  La suite $(v_k, {\cal T}_k)$ est une {\rm
martingale} à temps discret, \ccaadd que l'on a \fb& \label{martingale1}\forall E\in {\cal T}_k,\;  \forall l\geq k,\;
\int_E v_l=\int_E v_k. \fe&
\end{lem}
\drem Dans le formalisme des martingales, la propriété précédente peut aussi s'écrire $v_k=\mathbb E(v_l\mid \mathcal
T_k)$, l'espérance conditionnelle de $v_l$ sachant $\mathcal T_k$.

\frem
\paragraph{Démonstration} Cette relation est une conséquence immédiate du fait   que
les moyennes de $v$ sont préservées sur les hypercubes dyadiques (relation (\ref{moyenneconserveesurVk})). Sommer cette
relation
     sur tous les hypercubes de ${\cal T}_k\cap E $, ou bien sur
 tous  les hypercubes de ${\cal T}_l\cap E$. Comme $E$ est aussi bien une union
   d'hypercubes de ${\cal T}_k$ que d'hypercubes de ${\cal T}_l$,
   on obtient dans les deux cas $\int_E v$.
\enddemo
Nous savons déja que $v_k\to v$ dans $L^p$ et nous pouvons en déduire par la réciproque du théorème de Lebesgue qu'une
sous-suite de $v_k$ converge presque partout vers $v$. La théorie des martingales nous permet d'en dire un peu plus.

\begin{lem} (Doob) \label{convergenceppdemartingale}\index{A}{convergence!presque partout
(de martingale)} Si $(f_k, {\cal T}_k)$ est une martingale à temps discret et si $\sup_k \int f_k^+<+\infty,$ alors la
suite $f_k(x)$ converge presque partout vers une fonction $f$.
\end{lem}
Nous allons démontrer ce lemme dans la sous-section \ref{martingalesatempsdiscret}, à la fin de ce chapitre.

\begin{cor} Soit $v \in L^p(\real^N)$. Alors la suite $v_k$ des
approximations dyadiques de $v$ converge presque partout vers $v$.

\end{cor}
\paragraph{Démonstration}  Les $v_k$ étant bornées dans $L^p(\real^N)$, l'inégalité de
Hölder implique que $\int_C |v_k|$ est une suite bornée sur tout hypercube dyadique $C$ fixe.  On peut donc appliquer
le lemme \ref{convergenceppdemartingale} dans $C$ et on déduit que la martingale $(v_k)_{|C}$ converge presque partout
dans $C$. $\real^N$ étant une union dénombrable de cubes dyadiques, on conclut que $v_k$ converge presque partout vers
$v$.

\enddemo
Le résultat précédent a une conséquence significative pour la technologie des images digitales : les valeurs $v_k(i)$
tendent
 vers des valeurs effectives de  l'image (idéale) à résolution infinie $v$
 quand $k\to \infty.$ En fait, nous avons mis en place dans cette section
  les outils qui nous permettront  de montrer
que le dual de $L^p(\real^N)$ est $L^{p'}(\real^N).$


\section{Dualité $L^p-L^{p'}$}
\label{reflexivite}

\begin{lem} \label{plongementLpLpprime}   Soit $f\in L^{p'}(\real^N)$, $1\leq p\leq +\infty$.  Alors pour tout $u\in L^p(\real^N)$
on a par l'inégalité de H\ooo lder $|\int fu|\leq ||f||_{L^{p'}}||u||_{L^p}$.  Ceci implique que $||f||_{(L^p)'}\leq
||f||_{L^{p'}}.$ Mais en fait on a $||f||_{(L^p)'}= ||f||_{L^{p'}}$ et donc un plongement isométrique $L^{p'}\subset
(L^p)'$.
\end{lem}
\paragraph{Démonstration} Supposons d'abord $1<p<\infty$.
On pose $v=\signe(f)|f|^{\frac {p'}{p}}=|f|^\frac 1{p-1}\in L^p$, ce qui nous donne
$$||v||_{L^p}=\left(\int |v|^p\right)^\frac 1p=\left(\int|f|^\frac p{p-1}\right)^\frac 1p=||f||_{L^{p'}}^{p'-1}$$ et
$$\int fv=\int |f|^{\frac 1{p-1}+1}=\int |f|^{p'}.$$ Il existe donc $v\in L^p$ telle que $\int fv=\int
|f|^{p'}=||f||_{L^{p'}}||f||_{L^{p'}}^{p'-1}=||f||_{L^{p'}}||v||_{L^p}$, ce qui prouve que
$||f||_{(L^p)'}=||f||_{L^{p'}}.$


Supposons maintenant que $p=+\infty$. Prenons $f\in L^{\infty'}=L^1$. Alors pour tout  $u\in L^\infty$,
$$|\int fu|\leq ||f||_{L^1}||u||_{L^\infty},$$ ce qui prouve que $f$  appartient à $(L^\infty)'$ et que
$||f||_{(L^\infty)'}\leq ||f||_{L^1}.$ Choisissons, pour $f\neq 0$,  $u=\signe(f)$, ce qui implique que
$||u||_{L^\infty}=1$.  On a alors $\int fu=\int |f|=||f||_{L^1}||u||_{L^\infty}$ et  donc $||f||_{L^1}\leq
||f||_{(L^\infty)'}.$

Finalement traitons le cas $p=1$ et prenons $f\in L^{1'}=L^\infty.$  On a pour $u\in L^1$,
$$|\int fu |\leq ||f||_{L^\infty}\;||u||_{L^1}$$ et donc  $f\in (L^1)'$ et $||f||_{(L^1)'}\leq ||f||_{L^\infty}.$ Pour
montrer l'inégalité inverse, posons $$A_n=\{x\in B(0,n),\;  |f(x)|\geq ||f||_{L^\infty}-\frac 1n\},$$ ce qui implique
en particulier  que  $\mes(A_n)>0$ pour $n$  assez grand.  Posons $g_n=\indic_{A_n}\signe(f),$ qui vérifie
$||g_n||_{L^1}=\mes(A_n).$ On a donc
$$\mes(A_n)||f||_{L^\infty}\geq \int fg_n=\int_{A_n}f\signe(f)\geq \mes(A_n)(||f||_{L^\infty}-\frac 1n).$$
Donc $L^{1'}=L^\infty\subset (L^1)'$ est un  prolongement isométrique.
\enddemo

On va montrer dans cette section que le plongement isométrique précédent est en fait surjectif, et que l'on peut donc
identifier $(L^p)'$ et $L^{p'}$ pour $1\leq p <+\infty$.
\begin{thf}\label{reflexivitedeLp}\index{A}{réflexivité!de $L^p$} Pour tout
$1\leq p<\infty$, $L^{p'}(\RR^N)$ est le dual topologique de $L^p$.  En d'autres termes, pour toute forme linéaire
continue $\tilde f$ sur $L^p$, il existe  une fonction $f\in L^{p'}$ telle que
$$\forall u\in L^p,\;\tilde f(u) = \int fu$$ et
$$||\tilde f||_{(L^p)'}=||f||_{L^{p'}}.$$
\end{thf}
 %%%%%%%%%%%%%%COUPER

On considère de nouveau la suite d'espaces emboîtés $V_k$ de fonctions en escalier dyadiques constantes sur des
hypercubes $(C_i^k)_i$, définie dans la section précédente. Par analogie avec la projection $v\to v_k$, on
 associe à $\tilde f \in (L^{p})'$ sa ``projection'' $f_k$ sur $V_k$,
définie par
$$f_k(i)=\tilde f(\frac
1{\mes(C_i^k)}\indic_{C_i^k}),\;\; f_k=\sum_i f_k(i)\indic_{C_i^k}.$$ La fonction $f_k$ peut \eee tre considérée comme
la restriction de $\tilde f$ à $V_k\cap L^p$ car elle vérifie
\begin{lem}
\fb& \label{projectionsurVk} \forall v_k\in V_k\cap L^p,\; \tilde f(v) = \int f_kv_k. \hbox{ De plus,  } \fe& \fb&
\label{comparaisondenormes}
 ||f_k||_{L^{p'}}\leq ||\tilde f||_{(L^p)'}.
\fe&
\end{lem}
\paragraph{Démonstration}
Si $v\in V_k\cap L^p$, on a $v_k=\sum_i v_k(i)\indic_{C_i^k}$ (la convergence de cette série se fait évidemment dans
$L^p(\real^N)$). La forme $\tilde f$ étant continue sur $L^p$,
$$\tilde f(v_k)=\sum_i v_k(i)\tilde f(\indic_{C_i^k})=\sum_i v_k(i)f_k(i)\mes(C_i^k)=
\int_{\RR^N} f_k(x)v_k(x)dx,$$ ce qui prouve (\ref{projectionsurVk}). Montrons (\ref{comparaisondenormes}).
  Comme $f_k$ est
constante sur chaque cube $C_i^k$, on a en utilisant (\ref{projectionsurVk}) et le lemme \ref{densitedansLp},
 $$\forall v\in L^p, \; \int_{\RR^N} f_kv = \int_{\RR^N} f_kv_k = \tilde f(v_k)\leq ||\tilde
f||_{(L^p)'}||v_k||_{L^p}\leq ||\tilde f||_{(L^{p})'} ||v||_{L^p},$$ ce qui implique que $||f_k||_{(L^p)'}\leq ||\tilde
f||_{(L^p)'}.$ Mais, par le lemme \ref{plongementLpLpprime}, on a $||f_k||_{(L^p)'}=||f_k||_{L^{p'}}$, et on obtient
donc  (\ref{comparaisondenormes}).
\enddemo


\begin{lem}  La suite $(f_k, {\cal T}_k)$ est une {\rm
martingale} à temps discret, \ccaadd que l'on a \fb& \label{martingale1}\forall E\in {\cal T}_k,\; \forall l\geq k,\;
\int_E f_l=\int_E f_k. \fe&
\end{lem}
\paragraph{Démonstration}
En effet, si $E\in {\cal T}_k$, sa fonction indicatrice $\indic_E$ est dans $V_k\subset V_l$ et on a donc en utilisant
deux fois (\ref{projectionsurVk})
$$\forall l\geq k, \int_E f_l = \int f_l\indic_E=\tilde f(\indic_E)=\int
f_k\indic_E=\int_E f_k.$$
\enddemo



Le théorème \ref{reflexivitedeLp} découle immédiatement du lemme suivant, qui nous assure que notre procédé
d'approximation de $\tilde f$ converge vers une fonction $f\in L^{p'}.$
\begin{lem}\label{caspleq2}  La suite des restrictions $f_k$ de
$\tilde f$ à $V_k$
 converge presque partout  vers une fonction $f\in L^{p'}(\real^N)$ telle que
\fb& \label{dualitedansCpleq2} \forall v\in L^p(\real^N), \;\tilde f(v) = \int f(x)v(x)dx \fe& Cette fonction $f$
satisfaisant (\ref{dualitedansCpleq2}) est unique.
\end{lem}
%

 \paragraph{Démonstration} Considérons un cube dyadique fixe $C$ de
 $\real^N$.
Par l'inégalité de H\ooo lder et par (\ref{comparaisondenormes}), on obtient $||f_k||_{L^1(C)}\leq
c||f_k||_{L^{p'}(C)}\leq c||\tilde f||_{(L^p)'}$.   On peut donc appliquer sur $C$ le lemme de Doob (Lemme
\ref{convergenceppdemartingale}) à la martingale $f_k\indic_C$.  Donc $f_k(x)$ converge presque partout sur tout cube
dyadique, et donc presque partout dans $\real^N$. Par le lemme \ref{lalimiteppdansLp} on conclut que la limite $f$ est
dans $L^{p'}(\real^N)$. Revenons encore à un cube $C$ pour montrer que $f_k$ converge dans $L^1(C)$. Comme la suite
$f_k$ est bornée dans $L^{p'}(C)$ et que $p'>1$, elle est équiintégrable. En effet, par l'inégalité de H\ooo lder,

$$\int_C |f_k(x)|dx \leq (\mes(C))^\frac 1 p ||f_k||_{L^{p'}}\leq
c\mes(C)^\frac 1p.
$$
Par le lemme de Vitali (lemme \ref{lemmedeVitali}), $f_k$ converge donc vers $f$ dans $L^1(C)$. (On rappelle que la
convergence presque sûre implique la convergence en probabilité). Reste à montrer que $\tilde f(v)=\int fv$ pour tout
$v\in L^p(\real^N)$. Mais cette relation est vraie si $v$ est dans un quelconque $V_k$ et à support $C$ borné.  En
effet, dans ce cas, $\tilde f(v)=\int f_kv$ par le lemme \ref{projectionsurVk} et nous venons de montrer que $f_k$ tend
vers $f\in L^1(C)$.
 Comme les fonctions de $V_k$ sont
bornées sur tout borné, on peut passer à la limite quand $k\to \infty$ et on obtient $\tilde f(v)=\int fv$ pour toute
fonction $v\in V_k$ à support dans $C$. Cela prouve que les formes linéaires continues  $\tilde f$ et $f$ co\iii
ncident sur un sous-espace dense de $L^p(\real^N)$ et donc partout.

Montrons que la fonction $f$ est unique.  Si on a  pour toute fonction $v$ dans $L^p(C)$, $\int_C f_1v=\int_Cf_2v,$
alors $\int (f_1-f_2)v=0$ et en choisissant $v=\signe(f_1-f_2)$ on obtient $f_1=f_2$ presque partout.
\enddemo





\section{Martingales à temps
discret}\label{martingalesatempsdiscret} Dans cette sous-section, nous démontrons le fameux lemme de Doob dont dérive
le lemme \ref{convergenceppdemartingale} que nous avons utilisé pour montrer la dualit\ea $L^p-L^{p'}$. Nous allons
commencer par préciser quelques définitions.
\begin{Def} \index{A}{martingale} On dira qu'une suite de fonctions $f_k, k\in
\NN$ sommables sur un espace de probabilité $C$ muni d'une tribu $ {\cal T}$ et d'une suite croissante de sous-tribus,
${\cal T}_k\subset \cal T$ est une {\rm martingale à temps discret} si, pour  tout $k$, $f_k$ est ${\cal
T}_k$-mesurable et \fb& \label{martingale2}\forall E\in {\cal T}_k, \forall l\geq k,\; \int_E f_l=\int_E f_k. \fe&
\end{Def}

\begin{Def}\index{A}{temps d'arr\eee t} \label{definitiontempsd'arret}
On appelle {\rm temps d'arr\eee t} associé à la martingale $(f_k, {\cal T}_k)$ une fonction à valeurs entières, $
k(x)\in \NN$, définie sur une partie de $C$ et telle que pour tout $k_0\in \NN$, les ensembles $\{x, k(x)=k_0\}$
appartiennent à ${\cal T}_{k_0}$. On prendra la convention commode de poser $k(x)=+\infty$ quand $x$ n'est pas dans le
domaine de $k$.
\end{Def}
\begin{lem}
Si $k(x)\leq l(x)$ sont deux temps d'arr\eee t associés à une martingale $(f_k,{\cal T}_k)$ et $\kappa\in \NN$, alors
\fb& \label{martingaleetempsd'arret} \int_{\{x,k(x)\leq \kappa\}} f_{k(x)}(x)dx = \int_{\{ x, k(x)\leq \kappa\}}
f_{\min(l(x),\kappa)}(x)dx. \fe&
\end{lem}
%
\paragraph{Démonstration}
En effet, l'ensemble $\{k(x)\leq \kappa\}$ est une union d'ensembles $\{k(x)=k_0\}\in {\cal T}_k$.  Par additivité de
l'intégrale, il suffit de montrer (\ref{martingaleetempsd'arret}) pour ces ensembles.  Or, en utilisant deux fois la
relation de martingale (\ref{martingale2}),
$$\forall k_0\leq \kappa, \; \int_{k(x)=k_0}
f_{k_0}=\int_{k(x)=k_0}f_\kappa=\sum_{l_0\leq \kappa} \int_{k(x)=k_0,\;l(x)=l_0}
f_\kappa+\int_{k(x)=k_0,\;l(x)>\kappa}f_\kappa=$$
$$\sum_{l_0\leq \kappa} \int_{k(x)=k_0,\; l(x)=l_0}f_{l_0}+ \int_{k(x)=k_0,\;l(x)>\kappa}f_\kappa
=\int_{k(x)=k_0}f_{\min(l(x),\kappa)},$$ car $\{k(x)=k_0,\; l(x)=l_0\}\in {\cal T}_{l_0}$.

\enddemo
%
On définit les temps d'arr\eee ts suivants, sur l'intervalle $[0, \kappa]\subset \NN$ associés à deux réels $b>a$.
\newline\newline
$\bullet$ $k_1(x) =$ premier $k$, s'il existe dans $[0,\kappa]$, tel que $f_k(x)>b$.
\newline
$\bullet$ $k_2(x) =$ premier $k>k_1$, s'il existe dans $[0,\kappa]$, tel que $f_k(x)<a$.
\newline .............\newline
\newline
$\bullet$ $k_{2m-1}(x) =$ premier $k\geq k_{2m-2}$, s'il existe dans $[0,\kappa]$, tel que $f_k(x)>b$.
\newline
$\bullet$ $k_{2m}(x) =$ premier $k>k_{2m-1}$, s'il existe dans $[0,\kappa]$, tel que $f_k(x)<a$.
\newline\newline
Il est immédiat que les $k_m$ sont des temps d'arr\eee t pour la martingale $(f_k, {\cal T}_k)$. On peut interpréter
leur domaine ainsi :
\newline\newline
$\bullet$ $\Omega_{2m}=\{x, k_{2m}(x)\leq \kappa\}$ est l'ensemble des $x\in C$ tels que $f_k(x)$ traverse exactement
$m$ fois l'intervalle $[a,b]$ dans le sens descendant pour $1\leq k\leq \kappa$.
\newline
$\bullet$ $\Omega_{2m+1}=\{x, k_{2m+1}(x)\leq \kappa)$ est l'ensemble des $x\in C$ tels que $f_k(x)$ traverse
exactement $m\geq 1$ fois l'intervalle $[a,b]$ dans le sens descendant et puis encore une fois de plus dans le sens
ascendant pour $1\leq k\leq \kappa$.
\newline\newline
On définit enfin $\gamma_{a,b}^\kappa(x)$ comme le nombre de passages de $f_k(x)$ par $[a,b]$ dans le sens descendant
pour $k\leq \kappa$ et $\gamma_{a,b}(x)$ le nombre de passages, éventuellement infini, de $f_k(x)$ par $[a,b]$ dans le
sens descendant.  On a bien-s\uu r \fb& \label{identifications} \forall m\in \NN, \{x, \gamma_{a,b}^\kappa(x)\geq m\}=
\{x, k_{2m}(x)\leq \kappa\}=\Omega_{2m} \fe& et on peut donc calculer l'espérance du nombre de passages par $[a,b]$ :
\fb& \label{esperancedunombredepassages} \int \gamma_{a,b}^\kappa(x)dx=\sum_m \mes\{x, \gamma_{a,b}^\kappa(x)\geq
m\}=\sum_m \mes(\Omega_{2m}), \fe&
 en vertu de (\ref{identifications}) et de la
remarque suivante : \drem Si $\gamma(x)$ est une fonction à valeurs dans $\NN$, $\int \gamma(x)dx=\sum_{m\geq
1}\mes\{x,\; \gamma(x)\geq m\}.$ En effet,
$$\int \gamma(x)dx=\sum_k k\mes\{x, \gamma(x)=k\}=\sum_{m\geq 1}\sum_{k\geq m} \mes\{x,
\gamma(x)=k\} =\sum_{m\geq 1}\mes\{x, \gamma(x)\geq m\}.$$ \frem
%
\begin{lem} {\bf de Doob} \index{A}{Doob (lemme de))}
\fb& \label{estimationfinaledunombredepassages} (b-a)\int_C \gamma_{a,b}(x)dx \leq \sup_\kappa\int_C (f_\kappa(x)-b)^+.
\fe&
\end{lem}
\index{N}{$E \setminus F$ est l'ensemble $\{ x\in E : x \not\in F \}$}
\paragraph{Démonstration}
Comme sur $\Omega_{2m-1}=\{k_{2m-1}(x)\leq \kappa\}$ on a $f_{k_{2m-1}(x)}\geq b$, on obtient en utilisant
(\ref{martingaleetempsd'arret}),
$$
0\leq \int_{\Omega_{2m-1}}(f_{k_{2m-1}}(x)-b)dx = \int_{k_{2m-1}(x)\leq \kappa}(f_{k_{2m-1}}(x)-b)dx=
$$
$$
\int_{k_{2m-1}(x)\leq \kappa}(f_{\min( k_{2m},\kappa)}(x)-b)dx \leq (a-b)\mes(\Omega_{2m}) +
\int_{\Omega_{2m-1}\setminus\Omega_{2m}}(f_\kappa(x)-b)dx.
$$
D'o\u
$$(b-a)\mes (\Omega_{2m})\leq
\int_{\Omega_{2m-1}\setminus\Omega_{2m}}(f_\kappa(x)-b)dx.
$$
et en sommant sur $m$ et en utilisant (\ref{esperancedunombredepassages}), on obtient \fb&
\label{estimationdunombredepassages} (b-a)\int_C \gamma_{a,b}^\kappa(x)dx \leq \int_C (f_\kappa(x)-b)^+. \fe& La
relation (\ref{estimationfinaledunombredepassages}) vient car $\gamma_{a,b}$ est la limite croissante des
$\gamma_{a,b}^\kappa$.
\enddemo

\paragraph{Démonstration du lemme \ref{convergenceppdemartingale}}
On choisit une suite $(a_n)$ dense dans $\RR$ avec $a_n\neq a_m$, quand $n\neq m$. Considérons pour $n\neq m$ les
ensembles
 $N_{n,m}= \{x, \gamma_{a_n,a_m}=+\infty\}$.  Ces ensembles sont négligeables par
la relation \ref{estimationfinaledunombredepassages}, ainsi que leur union $N$. Si $x$ est dans le complémentaire de
$N$, la suite $f_k(x)$ ne peut osciller indéfiniment.  Elle converge donc soit vers une valeur finie $f(x)$, soit vers
$+\infty$, soit vers $-\infty$. Mais comme $\sup_k \int f_k^+<\infty$, on d\e duit  du lemme de Fatou que l'ensemble
des $x$ o\u la limite est $+\infty$ est aussi négligeable. En effet, le lemme de Fatou donne $\int \lim\inf_k
f_k^+(x)dx\leq \sup\int f_k^+.$
 Comme $\int_C f_k(x)dx=\int_Cf_1(x)dx$ est constante, on a aussi $\sup_k\int
f^-(x)dx<\infty$  et l'ensemble des points o\u $f_k(x)$ tend vers $-\infty$ est également négligeable.

\enddemo

\section{Exercices}

\dexer On considère $L^1(\real)$ et son dual $L^\infty(\real)$. Soit $g\in L^\infty$ et la suite  $g_n(x)=g(x-n)$.

\quest 1)  Montrer par un exemple que $g_n$ est bornée dans $L^\infty$ mais qu'elle ne converge pas
 nécessairement faiblement-*.

 \quest 2)  Donner un exemple simple de fonction
 $g$ non nulle telle que la convergence faible a bien lieu.
\fexer

 \dexo \hfill \newline Soit $E = L^1(\RR) \cap L^2(\RR)$
muni de $\Vert f \Vert =
\Vert f \Vert_1+\Vert f \Vert_2$.\\
1) V{é}rifier que $(E,\Vert f \Vert)$ est un espace de Banach.\\
Soit $f(x) = f_1(x)+f_2(x)$ avec $f_1 \in \Linf(\RR)$ et $f_2 \in L^2(\RR)$, montrer que
$$u \mapsto \int_{\RR} f(x) u(x) dx \in \Ep.$$
2) Soit $0 < \alpha < \frac{1}{2}$, montrer que
$$u \mapsto \int_{\RR} \frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}}\, u dx \in \Ep.$$
(D{é}composer l'int{é}grale suivant les ensembles $[\vert x \vert > M]$ et $[\vert x
\vert \leq M]$.)\\
3) Soit $K = \{ u \in E : u \geq 0 \;\mbox{p.p. et}\; \int_{\RR} u dx \leq 1 \}$.\\
Montrer que $K$ est un convexe ferm{é} de $E$.\\ \\
Soit $(u_n)_n \subset K$ et $u \in L^2(\RR)$ tels que $u_n \rightharpoonup u$ dans
$L^2(\RR)$ faible.\\
4) Montrer que $u \in K$.\\
5) Montrer que
$$\int_{\RR} \frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}} u_n dx \longrightarrow \int_{\RR}
\frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}}\, u dx.$$ 6) Pour $u \in E$, on d{é}finit
$$J(u) = \int_{\RR} u^2 dx - \int_{\RR} \frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}}\, u dx,$$
o{\`u} $\alpha \in ]0,\frac{1}{2}[$.\\
Montrer que $\exists C \in \RR$ tel que $J(u) \geq C$, $\forall u \in K$.\\
On pose $m = \inf_{u \in K} J(u)$. On cherche {à} prouver que cet inf est
atteint.\\
7) Soit $(u_n)_n \subset K$ telle que $J(u_n) \longrightarrow m$. Montrer que $\Vert
u_n \Vert$ reste born{é}e.\\
8) Extraire une sous-suite qui converge faiblement dans $L^2(\RR)$ et conclure.\\
9) $E$ est-il r{é}flexif ? \fexo \dexo \hfill \newline Soit $\Om$ un ouvert de $\RR^N$ et soit $f$ une fonction
mesurable réelle sur
$\Om$.\\
On pose $K = \{ u \in L^p(\Om);\, u \geq f\,p.p.\,\}$.\\
1) Si $1 \leq p < +\infty$, v{é}rifier que K est ferm{é} pour la topologie faible
de $L^p(\Om)$.\\
2) On consid{è}re le cas $p = +\infty$.

a) Montrer que
$$K = \{ u \in L^{\infty}(\Om);\,\forall \vfi \in L^1(\Om), \,\vfi \geq 0,\, f\vfi
\in L^1(\Om), \mbox{on ait } \int_{\Om} u\vfi \geq \int_{\Om} f\vfi \,\}.$$ (On pourra d'abord supposer que $\vert \Om
\vert < \infty$.)

b) En d{é}duire que K est ferm{é} faible $\star$ dans $L^{\infty}(\Om)$.

c) Soient $f_1$ et $f_2$ dans $L^{\infty}(\Om)$ telles que $f_1 \leq f_2$ p.p. Montrer que "l'intervalle" $\{u \in
L^{\infty}(\Om) : f_1 \leq \,u \leq \,f_2\, p.p.\,\}$ est compact faible $\star$ dans $L^{\infty}(\Om)$. \fexo \dexo
Soit $f \in L^1(\RR)$ fix{é}e, montrer que $y \mapsto \tau_yf$ o{\`u} $\tau_yf(x) = f(x-y)$ est uniform{é}ment continue
de $\RR$ dans $L^1(\RR)$.
\\ \\
{\bf Rappels}
\\
1) Propri{é}t{é} d'absolue continuit{é} :\\
Soit $\Om$ un ouvert de $\RR^N$, soit $f \in L^1(\Om)$ alors $\forall \ep > 0$, $\exists \delta > 0$ tel que $\forall
A$ mesurable avec $\vert A \vert \leq \delta$
on a $\int_A \vert f \vert dx \leq \ep.$\\
(Ce r{é}sultat a {é}t{é} d{é}montr{é} en exercice {\ref{absoluecontinuite}})\\
2) Th{é}or{è}me d'Egoroff  (Voir [Rudin], [Neveu]) \label{theoegoroff} : \\
On suppose $\vert \Om \vert < \infty$. Soient $f_n,f:\Om \rightarrow \RR$ mesurables telles que $f_n \rightarrow f$
p.p. alors $\forall \delta > 0$, $\exists A$ mesurable tel que $\vert A \vert \leq \delta$ et $f_n \rightarrow f$
uniform{é}ment sur $\Om \backslash A$. \fexo \dexo \hfill \newline Soit $\Om$ un ouvert born{é} de $\RR^N$, soit
$(f_n)_n \in L^p(\Om)$ et $f \in L^p(\Om)$ avec $1\leq p < +\infty$. On suppose qu'il existe $C$ tel que $\Vert f_n
\Vert_p \leq C$,
$\forall n$ et $f_n \rightarrow f$ p.p.\\
1) Montrer que si ${\Vert f_n \Vert}_p \rightarrow {\Vert f \Vert}_p$ alors ${\Vert f_n -
f \Vert}_p \rightarrow 0$.\\
2) On suppose $1<p<+\infty$. Montrer que $f_n \rightharpoonup f$ dans $L^p(\Om)$
faible.\\
3) Lorsque $p=1$, consid{è}rer $f_n = n 1_{(0,\frac{1}{n})}$ avec $\Om = ]0,1[$ et v{é}rifier que $f_n$ ne converge pas
faiblement vers $f=\lim f_n$ p.p. \fexo \dexo \label{recipvitali} \index{A}{Vitali (lemme de)} \hfill \newline Soit
$\Om$ un ouvert born{é} de $\RR^N$. Une suite $(f_n)_n$ de $L^1(\Om)$ est dite {é}qui-int{é}grable si elle v{é}rifie
$$\forall \ep >0,\,\exists \delta > 0,\,t.q.\,\forall E \subset \Om \mbox{
mesurable avec} \,\vert E \vert \leq \delta \Longrightarrow \,\forall n\geq 1,\,\int_E \vert f_n \vert dx < \ep.$$
Premi{è}re partie :\\
1) Montrer que si $(f_n)_n$ est {é}qui-int{é}grable alors elle est born{é}e dans
$L^1(\Om)$.\\
2) Soit $(f_n)_n$ une suite de $L^1(\Om)$. Montrer que $(f_n)_n$ est {é}qui-int{é}grable si et seulement si elle
v{é}rifie
$$\lim_{k \rightarrow +\infty} (\sup_{n \geq 1} \int_{[\vert f_n \vert > k]} \vert
f_n \vert dx) = 0.$$ 3) Montrer que si $(f_n)_n$ est relativement compacte dans $L^1(\Om)$ alors elle est
{é}qui-int{é}grable.\\
Deuxi{è}me partie :\\
1) Soit $(f_n)_n$ une suite de $L^1(\Om)$ telle que $\forall A \subset \Om$ mesurable,
$$\lim_{n \rightarrow \infty} \int_A f_n dx = 0.$$
Montrer que $(f_n)_n$ est {é}qui-int{é}grable.\\
(Pour $\ep>0$ fix{é}, consid{é}rer les ensembles $X = \{\ind_A,\,A \mbox{mesurable}\,\subset \Om \}$ et $X_n = \{\ind_A
\in X ;\,\forall k \geq n,\,\, \vert \int_A f_k dx \vert \leq \ep \}$, v{é}rifier que $X$ est ferm{é} dans
$L^1(\Om)$ et appliquer le lemme de Baire.)\\
2) En d{é}duire que si $(f_n)_n$ est une suite de $L^1(\Om)$, $f \in L^1(\Om)$ et si $f_n$ converge faiblement vers $f$
dans $L^1(\Om)$ alors la suite $(f_n)_n$ est
{é}qui-int{é}grable.\\
3) Soit $(f_n)_n$ une suite de $L^1(\Om)$ et soit $f \in L^1(\Om)$. On suppose que
\[ \left\{ \begin{array}{lll}
f_n &\rightharpoonup& f\,\, \mbox{dans $L^1(\Om)$ faible}\\
f_n &\longrightarrow f& \,\,\mbox{p.p.}
\end{array} \right. \]
Montrer que $\Vert f_n - f \Vert_{L^1} \longrightarrow 0$. (Utiliser le Th{é}or{è}me d'Egoroff \'enonc\'e page
~\pageref{theoegoroff}.) \fexo \dexo \hfill \newline Soit $\Om = ]0,1[$ et soit $f_n(x) = n^{\frac{1}{p}} e^{-nx}$
o{\`u} $1 \leq p <
+\infty$. \\
1) Montrer que $f_n \rightarrow 0$ p.p. dans $\Om$, $(f_n)_n$ est born{é}e dans
$L^p(\Om)$ et $f_n \not\rightarrow 0$ dans $L^p(\Om)$.\\
2) Soit $\vfi \in {\cal C}_c(\Om)$ et soit T l'application d{é}finie sur $L^p(\Om)$
par $T(g) = \int_0^1 g\,\vfi\; dx$, montrer que $T \in (L^p(\Om))^{\prime}$.\\
3) Si $1<p<+\infty$, montrer que $f_n \rightharpoonup 0$ dans $L^p(\Om)$ faible.\\
Si $p=1$, montrer que $f_n \not\rightharpoonup 0$ dans $L^1(\Om)$ faible et qu'il n'existe aucune sous-suite de
$(f_n)_n$ convergeant faiblement dans $L^1(\Om)$. Que
pouvez-vous conclure ?\\
\fexo
