\chapter{S{é}ries de Fourier\label{ChapSeriesdeFourier}}
\setcounter{exo}{0}
 On considère l'espace de Hilbert hermitien $L^2([-\pi, \pi])$ que l'on notera aussi
$L^2(-\pi,\pi)$.  Ces fonctions sont à valeurs réelles ou
complexes.  On va montrer que le système orthonorm\ea
$$\frac {1}{(2\pi)^\frac {1}{2}}(e^{int})_{n\in \cal Z}$$
est une base hilbertienne de $L^2(-\pi, \pi)$.  Cette base s'appelle la base de
Fourier.  On notera
$$c_n(f) = \frac {1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}dx,$$ en sorte que pour
toute $f$ dans $L^2([-\pi, \pi])$ on puisse écrire

$$ f(x) =  \sum_{n\in \relative} c_n(f)e^{inx},$$
la série précédente convergeant au sens $L^2$.  Les $c_n(f)$ s'appellent les coefficients de Fourier de $f$ et sont
proportionnels aux coordonnées de $f$ dans la base de Fourier. Pour montrer ce résultat, on va commencer par analyser
le comportement des coefficients de Fourier selon la régularité de $f$.
\begin{lem} \index{A}{Riemann-Lebesgue (Lemme de)} (Lemme de
Riemann-Lebesgue)\label{riemann-lebesgue}
\newline
i)  On pose pour $f\in L^1(\RR)$, $$\hat f(\xi) = \int_{\RRM} f(x) e^{-i\xi x}dx.$$  Si $f\in {\cal C}_c(\RR)$ est  $k$
fois continûment différentiable et
 telle que $f^{(k)}\in L^1(\RR)$,  alors
$$|\hat f(\xi)|\leq
\frac {||f^{(k)}||_{L^1}} {|\xi|^k}.$$
\newline
ii) Si $f\in L^1(\RR)$ alors $\int_{\RRM} f(x)e^{iax}dx \to 0 $ quand $|a|\to \infty$.
\newline
iii) Application aux coefficients de Fourier : si $f\in L^1(-\pi, \pi)$,
$$\lim_{\vert n\vert\to \infty} c_n(f) = 0.$$
\end{lem}
\drem Si $f\in L^2$, on sait immédiatement que $c_n(f)\to 0$ car $c_n(f)$
s'interprètent comme les coordonnées de $f$ sur un système orthonormé.
\frem

\paragraph{Démonstration}
i)
 En int{é}grant par parties $k$  fois l'int{é}grale d{é}finissant $\hat f$,
on
 obtient pour $\xi \neq 0$,
 $$|\hat f(\xi)| = |\frac 1 {(i\xi)^k}\int f^{(k)}(x)e^{-ix\xi}dx|\leq \frac
 {||f^{(k)}||_{L^1}}{|\xi|^k}.$$
\newline
ii)
 Soit $f_n$ une suite de fonctions ${\cal C}^{\infty}$ et {à} support compact qui
tendent vers
 $f$ dans $L^1$ (proposition \ref{densiteCinfiniL1deomega}).  On a, pour $n$
fix{é} assez grand : $||f_n -f||_1\leq \varepsilon$,
 ce qui implique $|\hat f_n(\xi)-\hat f(\xi)|\leq \varepsilon$ pour tout $\xi$.
En utilisant (i), on voit que $|\hat f_n(\xi)|\to 0$ quand $n$ est fix{é}
 et $|\xi|\to \infty$.  Donc $|\hat f_n(\xi)|\leq \varepsilon$  pour $\xi $ assez
grand.
 Finalement,
 $$|\hat f(\xi)| \leq |\hat f(\xi)-\hat f_n(\xi)| + |\hat f_n(\xi)|\leq
2\varepsilon$$
 pour $\xi$ assez grand.
\enddemo

\noindent La proposition suivante nous dit que la série de Fourier de $f$
converge vers $f(x)$ en tout point $x$ o\u $f$ est suffisamment régulière.

\begin{pro} \label{lemmedelocalisation}\index{A}{principe de localisation}
(Principe de localisation)
\newline
Si $f\in L^1(-\pi, \pi)$ et si la fonction $y\to\frac {f(y)-f(x)} {y-x}$ est
int{é}grable sur un voisinage de $x$, alors $\lim_{N\to \infty} s_Nf(x) =
f(x), $ o{\`u} on a not{é} : $s_Nf(x)= : \sum_{\vert n\vert \leq N}
c_n(f)e^{inx}.$
\end{pro}
Expliquons pourquoi le résultat précédent s'appelle principe de
localisation.
 Alors que $s_N(f)$ est le r{é}sultat d'un calcul int{é}gral sur tout
l'intervalle
 $[-\pi, \pi]$, et donc d'un calcul global, le comportement de $s_Nf(x)$
d{é}pend du
 comportement local de $f$ au voisinage de $x$. Il y  a donc ``localisation''.

\paragraph{Démonstration}
{\bf Etape 1}
 On se ramène au cas $f(x)=0,   x=0$.  \newline
  Supposons la proposition
d{é}montr{é}e pour $x=0$, $f(x)=0$.  Soit maintenant
 $g\in L^1(-\pi, \pi)$ telle que $\frac{g(y)-g(x)}{y-x}$ soit int{é}grable au
voisinage
 de $x$. Alors on pose $f(y)= g(x+y)-g(x) $.  On a bien $f(0)=0$ et
$\frac{f(y)}{y}=\frac {g(x+y)-g(x)}{y}$ est int{é}grable au voisinage de 0.
Donc, par
 hypoth{è}se, $s_Nf(0)\to f(0)=0$.  Mais
 $$s_Nf(0)=\sum_{|n|\leq N}c_n(g(x+y)-g(x))=\sum_{|n|\leq N}
\frac 1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(g(x+y)-g(x))e^{-iny}dy$$
 $$=(\sum_{|n|\leq N}\frac 1
 {2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g(z)e^{-in(z-x)}dz) -g(x)=(\sum_{|n|\leq N}
\frac 1 {2\pi}e^{inx}\int_{-\pi}^{\pi}g(z)e^{-inz}dz)-g(x)$$
 $$= s_Ng(x)-g(x).$$
 Donc $s_Ng(x)\to g(x).$
En fait, l'argument précédent montre que $s_N$ commute avec les translations
:
$$s_N[g(.+x)] = (s_Ng)(.+x).$$
\newline
\newline
{\bf Etape 2} On a
 \fb& \label{formeFourierRiemann}
s_Nf(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(y) \frac{\sin
(N+\frac{1}{2})y}{\sin\frac{y}{2}}dy. \fe&
 En effet, $\sum_{-N}^Ne^{iky}=\frac {\hbox{sin}(N+\frac {1} {2})y}{\hbox{sin}\frac
{y}
 {2}}$, ce qui se prouve ais{é}ment en sommant la suite g{é}om{é}trique.
\newline
\newline
{\bf Etape 3} Par l'étape 1 il suffit de montrer que si $f\in L^1(-\pi, \pi)$
et si $\frac {f(y)}{y}$ est
 int{é}grable autour de 0, alors $s_Nf(0)\to 0$.  Comme sur $[-\pi, \pi]$,
 $|\hbox{sin}\frac y 2|\geq \frac {|y|} {\pi}$, on a
 $$|\frac {f(y)} {\hbox{sin}\frac y 2}|\leq \frac {\pi |f(y)|}{|y|}\in L^1(-\pi,
\pi).$$
 Donc on peut appliquer le lemme de Riemann-Lebesgue à la  fonction
$\frac {f(y)}{\hbox{sin}\frac y 2}$.  On conclut que l'int{é}grale de
(\ref{formeFourierRiemann}) définissant $s_Nf(0)$ tend vers 0 quand $N$ tend
vers l'infini.
\enddemo


\begin{cor} \index{A}{principe de localisation!(pour une fonction H\ooo lderienne)}
si $f\in L^1([-\pi, \pi])$ est H{\"o}ld{é}rienne d'exposant
 $0<\alpha\leq 1$ en $x$ (\ccaadd $\vert f(x)-f(y)\vert \leq C\vert x-y
\vert^\alpha $ ), alors $s_Nf(x)\to f(x)$. Cette conclusion s'applique si $f$ est une primitive sur $[-\pi, \pi]$ d'une
fonction de $L^2(-\pi, \pi)$.
\end{cor}
\paragraph{Démonstration}
 L'application du principe de localisation est imm{é}diate :\newline $|\frac
{f(y)-f(x)}{y-x} |\leq |x-y|^{\alpha -1}$ qui
 est bien int{é}grable au voisinage de $x$.
 Soit maintenant $f$ une fonction qui est la primitive sur $[-\pi, \pi]$ d'une
fonction de $L^2(-\pi, \pi)$. En appliquant l'in{é}galit{é} de Cauchy-Schwarz,
  $$|f(x)-f(y)| = |\int_y^x f'(t)dt|
 \leq |y-x|^{\frac 1 2}(\int_{-\pi}^{\pi} |f'(t)|^2dt)^{\frac 1 2}.$$
 La fonction $f$ est donc H{\"o}lderienne d'exposant $\frac 1 2$ et le principe de
 localisation s'applique.
\enddemo



\dexer {\bf Une preuve rapide et une généralisation du principe de
localisation.}
\newline
 Soit $f\in L^1(0, 2\pi)$,
$2\pi$-périodique. On note $s_{N,M}f$ la série partielle de
Fourier de $f$, définie par
$$s_{N,M}f(x)=\Sigma_{k=-N}^{k=M} c_k(f)e^{ikx},$$
où $c_k(f)=\frac 1{2\pi} \int_0^{2\pi} f(x)e^{-ikx}dx.$ On
rappelle que par le Lemme de Riemann-Lebesgue, $c_k(f)\to 0$ quand
$k\to \pm \infty$. Nous allons montrer le théorème suivant, qui
est une version du "principe de localisation".

\begin{thf}\index{A}{principe de localisation!généralisation}
(i) Soit $f(x)$ une fonction $2\pi$-périodique telle que
$$\frac{f(x)}{e^{ix}-1}=g(x)\in L^1(0, 2\pi).$$  Alors
$s_{N,M}f(0)\to 0$ quand $N, M \to +\infty$.\newline (ii)  Plus
généralement, si $x\to \frac{f(x)-c}{x-y}\in L^1(0, 2\pi)$, alors
$s_{N,M}f(y)\to c$.
\end{thf}
\noindent{\bf Remarque :} si $f$ est continue en 0, la première
hypothèse entraîne $f(0)=0$. Si $f$ est continue en $y$, la
deuxième hypothèse entraîne $f(y)=c$.
\newline
\newline
On appelle l'énoncé précédent le principe de localisation car il dit, en termes informels, que ``si $f$ est régulière
en $x$, alors la série de Fourier de $f$ tend vers $f(x)$ au point $x$''. Bien que $s_{N,M}f$ soit définie par une
formule globale (une intégrale sur l'intervalle $[0, 2\pi]$), la série de Fourier reconnaît les points réguliers et son
comportement dépend du comportement local de $f$.  La démonstration qui suit est vraiment élémentaire grâce à
l'astucieuse démonstration due  à Ronald Coifman, de l'Université de Yale (démonstration communiquée par Yves Meyer).
 \newline\newline
1) Déduire (ii) de (i).
\newline\newline
2) Sous l'hypothèse de (i), on appelle $\gamma_k$ les coefficients
de Fourier de $g$. Montrer que $c_k=\gamma_{k-1}-\gamma_k$. En
déduire que $\sum_N^M c_k \to 0$ et conclure en appliquant le
Lemme de Riemann-Lebesgue.

\fexer


\begin{cor} \index{A}{base!de Fourier} \label{basel2} Le système
$$\frac {1}{(2\pi)^\frac {1}{2}}(e^{ikt})_{k\in \cal Z}$$
est une base hilbertienne de $L^2(-\pi, \pi)$. Notant $c_n(f) = \frac
{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-inx}f(x)dx,$ on a donc pour toute $f$ dans
$L^2([-\pi, \pi])$,
$$ f(x) =  \sum_{n\in \relative} c_n(f)e^{inx},$$
la série précédente convergeant au sens $L^2$.
\end{cor}
\paragraph{Démonstration}
On appelle polyn\oo me trigonométrique toute expression de la forme $P(t)=\sum_{k=-N}^N a_k e^{ikt},$ o\u les $a_k$
sont des nombres complexes. Pour montrer que le système de Fourier est une base hilbertienne, il nous suffit de montrer
que c'est un système total, \ccaadd que les polyn\oo mes trigonométriques forment un sous-espace vectoriel dense de
$L^2(-\pi, \pi)$. Mais le  lemme \ref{lemmedelocalisation} (Principe de localisation) nous assure que si $f$ est ${\cal
C}^2$ et à support compact dans $[-\pi,\pi]$, alors $s_N(f)(x)\to f(x)$ en tout point (On peut aussi utiliser
directement le théorème de Stone-Weierstrass). Comme de plus les coefficients de la série de Fourier de $f$ vérifient
$|c_k(f)|\leq \frac C{k^2}$, la série de Fourier est en fait uniformément convergente et donc converge  aussi dans
$L^2([-\pi, \pi])$ vers $f$. Or, par la proposition \ref{densiteCinfiniL1deomega}, les fonctions ${\cal C}^{\infty}$ à
support compact dans $[-\pi,\pi]$ sont denses dans $L^2(-\pi,\pi)$. On conclut que le système de Fourier est total, et
donc une base hilbertienne.
\enddemo



\section{Convolution des fonctions périodiques et séries de Fourier}
La décomposition en série de Fourier d'une fonction $f\in L^2([-\pi, \pi])$ implique qu'on la considère comme une
fonction $2\pi-$périodique, puisque la série de Fourier l'est.  On note $L^2_{per}(\real)$ l'ensemble des fonctions
$f\in L^2_{loc}(\real)$ qui sont $2\pi$-périodiques. Toute fonction $f\in L^2([-\pi,\; \pi])$ définit un élément unique
de $L^2_{per}(\real)$.
\begin{Def}\index{A}{convolution!périodique} {\bf et proposition}
 Si  $f\in L^1([-\pi, \pi])$ et $g\in L^1([-\pi, \pi])$, on prolonge $f$
et $g$ en des fonctions $2\pi $-périodiques sur $\RR$ et on pose $f \ast
g(x)=\int_{-\pi}^\pi f(y)g(x-y)dy$. La fonction $f \ast g$ ainsi définie
appartient à $L^1(-\pi,\pi)$ et est $2\pi$-périodique.
\end{Def}
\dexer  En reprenant l'argument du théorème
\ref{universalitedelaconvolution}, montrer que si $T:
L^2_{per}([-\pi, \pi])\to C^0_{per}([-\pi,\pi])$ est linéaire,
continu  et commute avec les translations, alors il existe une
fonction $g\in L^2([-\pi, \pi])$ telle que
 $Tf=g\ast f$, o\u "$\ast$" désigne la convolution périodique.`
\fexer

\begin{thf} \index{A}{continuité!de la convolée de deux fonctions
$L^2$}
 Si $f, g \in L^2(-\pi, \pi)$, alors $f\ast g$ est continue
et $c_n(f\ast g) = 2\pi c_n(f)c_n(g)$. De plus, la s{é}rie de
Fourier de $f\ast g$ converge uniformément vers $f\ast g$.
\end{thf}
Remarquons que la relation précédente montre l'effet régularisant de la
convolution : les hautes fréquences de $f\ast g$ sont plus faibles que celles
de $f$, puisque $c_n(g)$ tend vers zéro.
\paragraph{Démonstration}


\noindent i) On a par l'inégalité de Cauchy-Schwarz
$$|(f\ast g)(x)|\leq
 \int|f(x-y)||g(y)|dy\leq ||f||_{L^2}||g||_{L^2}.$$
\newline Donc $f\ast g$ est majorée et appartient aussi à $L^2(-\pi, \pi)$. On a, en
appliquant plusieurs fois le théorème de Fubini (les intégrales se  font
sur $[-\pi, \pi]$ ou, indifféremment, sur n'importe quel intervalle de
longueur $2\pi$) :
$$c_n(f\ast g)=\frac 1{2\pi}\int\int f(x-y)g(y)e^{-int}dydx =
\frac 1 {2\pi}\int\int f(x-y)e^{-in(x-y)}g(y)e^{-iny}dydx$$
$$= \frac 1 {2\pi}(\int g(y)e^{-iny}dy
)(\int f(u)e^{-inu}du)=2\pi c_n(f)c_n(g).$$
\newline
 Le terme général de la série de Fourier de $f\ast g$ vérifie
$$|c_n(f\ast g)e^{inx}|=|c_n(f)||c_n(g)|\leq |c_n(f)|^2+|c_n(f)|^2.$$
 Cette
dernière série est convergente.  La série de Fourier de $f\ast g$,  $F_N(x)=\sum_{n=1}^N c_n(f\ast g)e^{inx},$ est donc
uniformément convergente.  Sa $F$ limite est donc continue.
  Donc d'une part $F_N$ tend vers $f\ast g$ dans $L^2$ et donc par la réciproque du théorème de Lebesgue
   une sous-suite tend vers cette fonction presque partout.
  De l'autre $F_N$ tend uniformément vers $F$. On en déduit que $f\ast g=F$ presque partout et on en déduit aussi que $f\ast g$ est égale
  presque partout à une fonction
  continue (et donc peut être appelée continue).
\enddemo

\dexer{\bf Transformée de Fourier discrète et transformée
inverse.}
\newline La transformée de Fourier discrète est l'application de
$L^2([-\pi, \;\pi])\to l^2(\relative)$ qui associe à une fonction $u$ la suite de ses coefficients de Fourier
$c(f)=(c_k(u))_{k\in\relative}$.  la transformée inverse est la série de Fourier associée à $c\in l^2(\relative), $
notée
$$S(c)(x)=\sum_{k\in\relative} c_k e^{ikx}.$$
On a donc $S(c(f))=f$, ce qui constitue une {\it formule
d'inversion de Fourier}. Si $a,\;b\in l^2(\relative)$, on note
$ab$ le produit terme  à terme, défini par $(ab)_k=a_kb_k$.


\quest 1) Avec le formalisme précédent, vérifier  que $S(ab)=\frac
1{2\pi} S(a)\ast S(b).$

\quest 2) Cette formule nous permet de mieux comprendre.  La démonstration que nous avons donnée pour le principe de
localisation.  Considérons le ``filtre passe-bas" $b^N\in l^2(\relative)$ défini par $b^N_k=1 $ si $|k|\leq N$,
$b^N_k=0$ sinon.  Calculer $S(b^N)$.

\quest 3) En  déduire que la série de Fourier tronquée de $f$,
$s_Nf$, est obtenue par convolution $2\pi$-périodique de $f$ avec
ce qu'on appelle le noyau de Féjer, $s_Nf=h_N\ast f$, où
$$h_N(x)=\frac 1{2\pi}\frac{\sin(N+\frac 12)y}{\sin\frac y 2}.$$

\quest 4) Dessiner le noyau de Féjer. En déduire qu'une coupure brutale des fréquences dépassant un seuil peut faire
apparaître des oscillations dans le signal: comparer avec le paragraphe sur le phénomène de Gibbs.
 \fexer


\subsection{Autres bases de Fourier}

\begin{cor} \index{A}{base!de Fourier en sinus et cosinus} {\bf Bases
en sinus et en cosinus}
\newline i) On pose pour $T>0$ $\omega =\frac{2\pi}T$, c'est la fréquence de base associée à la période
$T$.  Les fonctions  $$\frac 1{\sqrt{T}}e^{ik\omega t},\;\;
k\in\relative$$ forment une base hilbertienne de $L^2(0,T)$. Les
fonctions
$$\frac{1}{\sqrt T},    \sqrt \frac{2}{T} \cos(\frac {2k\pi t}{T}),
  \sqrt \frac{2}{T} \sin(\frac {2k\pi t}{T}),   k=1, 2, ... $$
forment également une base hilbertienne de $L^2(0,T)$ : c'est en fait la base originale de Fourier!
\newline
 ii) Il en est de m\eee me pour  les fonctions \index{A}{base!en
cosinus}
$$\frac{1}{\sqrt T},    \sqrt \frac{2}{T} \cos(\frac {k\pi t}{T}),   k=1,
2, ...  $$
  La transformée associée à la base en cosinus s'appelle la "transformée en
cosinus."
\newline Il y a également une  "base en sinus",\index{A}{base!en sinus} $\sqrt
\frac{2}{T} \sin(\frac {k\pi t}{T}),   k=1, 2, ...  $.
\end{cor}

\paragraph{Démonstration}
i) La deuxième base résulte de l'application à la base de Fourier
de la remarque générale suivante.  Si $(e_k)_{k\in \relative }$
est une base hilbertienne, alors le système $f_0=e_0$,...,
$f_{2k}=\frac{e_k+e_{-k}}{\sqrt 2}$,
$f_{2k+1}=\frac{e_k-e_{-k}}{\sqrt 2}$, ... aussi.
\newline
ii) Si $f\in L^2(0,T)$, on lui associe la fonction paire $\tilde
f$ sur $[-T, T]$ qui co{\"\i}ncide avec $f$ sur $[0,T]$.  On
décompose $\tilde f$ sur la base de Fourier de $[-T,T]$.   La base
de Fourier sur $[-T, T]$ est formée des fonctions $\frac 1{\sqrt
{2T}}e^{i\pi kt\over T}$. Donc on a
\newline
$\tilde f(x) =_{\small L^2} \sum_{n\in \relative}\frac 1 {2T}(\int_{-T}^{T}\tilde f(t)e^{-i\pi kt\over T}dt )e^{i\pi
kx\over T}.$ Comme $\tilde f$ est paire, on voit en faisant le changement de variables $t\to -t$ dans les intégrales
que les coefficients de $e^{i\pi kx \over T}$ et $e^{-i\pi kx \over T}$ sont égaux.  On remarque aussi que
$\int_{-T}^T\tilde f(t)e^{i\pi k t\over T}dt =2 \int_0^T f(t)\cos(\frac{\pi kt}T)dt$.  Aussi,
\newline
$\tilde f(x) =_{\small L^2}\frac 1 {2T}\int_{-T}^T\tilde f(t)dt + \sum_{n\in
\NN^*}\frac 1 {2T}(\int_{-T}^{T}\tilde f(t)e^{-i\pi kt\over T}) (e^{i\pi kx\over
T}+e^{i\pi kx \over T}),$ et donc
\newline
$ f(x) =_{\small L^2}\frac 1 {T}\int_{0}^T f(t)dt + \sum_{n\in \NN}\frac 2
{T}(\int_{0}^{T} f(t)\cos(\frac{\pi kt}T)) \cos(\frac{\pi kx}T).$
 Comme les fonctions \linebreak $\frac 1 {\sqrt T},\;\sqrt{\frac 2 T}
\cos(\frac{\pi kx}T)$ forment un système orthonormé de $L^2(0,T)$, l'\e
galité  précédente exprime qu'elles forment en fait une base hilbertienne.
\newline\newline
(iii)   Si on prolonge la fonction $f$ en une fonction impaire sur $[-T, T]$ et
que l'on reprend le raisonnement précédent,  on trouve la base en sinus.
Cette base a la propriété, utile pour modéliser les cordes vibrantes, que
ses éléments valent 0 aux extrémités de l'intervalle.

\enddemo

\dexer Détailler la preuve de (iii) en vous inspirant de la preuve
de (ii). \fexer

{\bf Remarque:} Le r{é}sultat ii), relatif {à} la transform{é}e en cosinus, s'obtient en consid{é}rant la s{é}rie de
Fourier du signal pair $\tilde f$ obtenu par symm{é}trie par rapport {à} l'axe des $y$. Ceci est tr{è}s important en
pratique, car l'introduction de cette symm{é}trie, qui se g{é}n{é}ralise sans mal au cas des images, permet d'éviter la
pr{é}sence de discontinuit{é}s aux frontières du domaine du signal ou de l'image (supposés périodique dans le cadre de
la décomposition en séries de Fourier), qui sont {à} l'origine d'effets de Gibbs (voir le paragraphe \ref{Gibbs}). Ce
type de transform{é}e en cosinus est souvent utilis{é} en compression des images (comme dans le standard JPEG). Un
autre avantage de cette d{é}composition, pour la compression, est pr{é}sent{é} ci-dessous.

\section{Bases de Fourier en dimension 2}
 Les
\e nonc\e s qui suivent se g\e n\e ralisent sans changement de d\e
monstration \a la dimension $N$. Nous traitons le cas $N=2$ pour
\e viter des indices de sommation inutiles. On pose
$x=(x_1,x_2)\in \real^2$, $k=(k_1, k_2) \in \real^2$   et on note
$k.x= k_1x_1+k_2x_2$ leur produit scalaire.

\begin{lem} \label{totalitedesseparables}
\index{A}{fonction!à variables séparées} Les fonctions à variables
séparées, \ccaadd de la forme $w(x) = u(x_1)v(x_2)$ avec $u, v\in
L^2(0,2\pi)$ forment un syst\ee me total de $L^2([0,2\pi]^2).$
\end{lem}
\paragraph{D\e monstration}
 Les fonctions caract\e ristiques de
rectangles sont à variables séparées et elles forment un syst\ee
me total de $L^2([0,2\pi]^2)$.
\enddemo

\begin{lem} \label{convergenceL2deproduittensoriel}
Si $u_k(x)\to u(x)$ et $v_l(x)\to v(x)$ dans $L^2(0,\;2\pi)$,
alors $u_k(x_1)v_l(x_2)\to u(x_1)v(x_2)$ dans $L^2([0,\;2\pi]^2)$
quand $k,\; l\to +\infty.$
\end{lem}

\paragraph{Démonstration}
On remarque que par le théorème de Fubini,
$$||u(x_1)v(x_2)||_{L^2([0,\; 2\pi]^2)}=||u(x_1)||_{L^2([0,\;
2\pi])}||v(x_2)||_{L^2([0,\; 2\pi])}.$$ Donc, par l'inégalité
triangulaire,
$$||u_k(x_1)v_l(x_2)-u(x_1)v(x_2)||_{L^2([0,\; 2\pi]^2)}
\leq ||(u_k-u)v_l||_{L^2([0,\; 2\pi]^2)} + ||u(v_l-v)||_{L^2([0,\; 2\pi]^2)}= $$
 $$||u_k-u||_{L^2([0,\; 2\pi])}||v_l||_{L^2([0,\;
2\pi])} +||u||_{L^2([0,\; 2\pi])}||v_l-v||_{L^2([0,\; 2\pi])}.$$
 Les deux
termes de droite tendent vers zéro quand $k,\; l\to +\infty.$
\enddemo

\begin{thf} \label{seriedeFouriersurlecarre} \index{A}{série de
Fourier!sur  le carré} Les fonctions $e_{k}(x)=\frac 1 {2\pi}e^{ik.x}$, $k\in \relative^2$, forment une base
hilbertienne de $L^2([0,2\pi]^2)$ et on a donc pour toute fonction $u\in L^2([0,2\pi]^2),$ \fb&
\label{developpementenseriedeFourierdouble} u= \sum_{k\in \relative^2} c_k(u)e^{ik.x},\; \hbox{avec  }  c_k(u) = \frac
1 {(2\pi)^2}\int_{[0,2\pi]^2} u(x)e^{-ik.x}dx, \fe& la convergence de la s\e rie se v\e rifiant au sens de $L^2$.
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
On v\e rifie facilement que $e_{k}$ est un syst\ee me orthonormé.
Pour montrer qu'il est total, il suffit de montrer, par le lemme
\ref{totalitedesseparables}, que les $e_{k}$ engendrent les
fonctions s\e parables.  Mais si $w(x)=u(x_1)v(x_2)\in
L^2([0,2\pi])^2$ est une telle fonction,  par une application
directe du th\e or\ee me de Fubini, $u(x_1) \hbox{ et } v(x_2)$
sont dans $L^2(0,2\pi)$.  Les fonctions $u$ et $v$ sont donc
sommes au sens $L^2$ de leurs s\e ries de Fourier :
$$u(x_1) = \sum_{k_1\in \relative} c_{k_1}e^{ik_1 x_1}, \; \; c_{k_1}=\frac
1{2\pi}\int_{[0,2\pi]} u(x_1)e^{-ik_1x_1} ;$$
$$v(x_2) = \sum_{k_2\in \relative} c_{k_2}e^{ik_2 x_2}, \; \; c_{k_2}=\frac
1{2\pi}\int_{[0,2\pi]} v(x_1)e^{-ik_2x_2}.$$

En appliquant le lemme \ref{convergenceL2deproduittensoriel} à $u_N(x_1)=\sum_{-N}^Nc_{k_1}(u)e^{ik_1x_1}$ et
$v_M(x_2)=\sum_{-M}^{M}c_{k_2}(v)e^{ik_2x_2}$ qui convergent respectivement vers $u(x_1)$ et $v(x_2)$ dans $L^2([0,
2\pi])$, on obtient une s\e rie double convergente dans $L^2([0,2\pi]^2)$. On obtient donc
(\ref{developpementenseriedeFourierdouble}) dans le cas d'une fonction s\e parable $w(x) =u(x_1)v(x_2)$ avec
$c_k(w)=c_{k_1}(u)c_{k_2}(v).$  Il en r\e sulte que le syst\ee me $(e_{k})_{k\in \relative^2}$ est une base
hilbertienne de $L^2([0,2\pi]^2)$ et (\ref{developpementenseriedeFourierdouble}) est donc valide.
\enddemo

\section{ D{é}croissance des coefficients de Fourier et probl{è}mes de compression du
signal}

On s'int{é}resse au comportement des coefficients de Fourier quand la
$2\pi$-p{é}riodis{é}e de  $f$ est $C^1, C^2,$ etc... Si $f$ est $C^p$ et
$2\pi$-p{é}riodique, en int{é}grant par parties $p$ fois sur
 $[0, 2\pi]$,  $$c_n(f) = \int e^{-inx}f(x)dx = \frac 1 {(in)^p} \int
 e^{-inx}f^{(p)}(x)dx.$$
 Donc, les coefficients d{é}croissent d'autant plus vite que $f$ est plus
 r{é}guli{è}re.

Si maintenant $f$ pr{é}sente un saut en 0, on montre que si $f$ est $C^1$ sur
$[0, 2\pi]$ mais pas $2\pi$-p{é}riodique, alors $c_n(f)=O(\frac 1 n)$. Plus
pr{é}cis{é}ment, si nous notons $f(0^+)$ la valeur en 0 par la
 droite et $f(2\pi^-)$ la valeur en $2\pi$ par la gauche
$$c_n(f) = \frac 1 {in}\int_0^{2\pi} e^{-inx}f'(x)dx +
\frac{f(0^+)-f(2\pi^-)}{in}.$$ Or on montre (par le lemme de Riemann-Lebesgue)
que le premier terme est $o(\frac 1 n)$. On sait que
 $\sum_{n\geq N} \frac 1{n^2} = O(\frac 1 n)$, et la d{é}croissance des
coefficients de Fourier de la fonction est donc tr{è}s lente (1000
 termes pour une pr{é}cision de  $10^{-3}$), d{è}s que la fonction pr{é}sente
une discontinuit{é}.

En ce qui concerne les coefficients de Fourier $c_{k,l}$ d'une ``image'',
c'est-{à}-dire une fonction $f(x,y)$ d{é}finie sur un carr{é} $[0,
2\pi]\times [0, 2\pi]$, $C^1$, mais pas $2\pi\times 2\pi$-p{é}riodique, le
r{é}sultat est identique. On montre que $c_{n, m} = O(\frac 1 {nm})$ et le
reste (pour la  norme $L^2$) de la
 s{é}rie double est donc en $O(\frac 1 {nm})$.  Donc, pour
 une pr{é}cision de $10^{-3}$,
 il faut encore 1000 termes.

Une bonne alternative lorsque la fonction pr{é}sente une discontinuit{é} du
 type pr{é}c{é}dent consiste {à} utiliser la tranform{é}e en cosinus: $c_n(f)
 =\frac 1 \pi \int _0^{2\pi} \cos (nx) f(x) dx$. On a, en int{é}grant par parties
 et en remarquant que $\sin (nx)$ s'annule en 0 et
 $2\pi$, $$c_n(f) = \frac 1 {i\pi n}\int_0^{2\pi}\sin (nx)f'(x)dx.$$
On a $c_n(f) = o(\frac 1 n)$ par le lemme de Riemann-Lebesgue. Les coefficients de
 Fourier ``en cosinus'' d{é}croissent donc plus vite qu'avec la transform{é}e de Fourier
classique
 et on peut donc en transmettre moins pour une qualit{é} d'image {é}gale. Pour
 transmettre une image, on la d{é}coupe en petits carr{é}s et on transmet une partie
 des coefficients de Fourier de chaque imagette (principe utilis{é}e par le
 standard JPEG).  On augmente ainsi la probabilit{é}
 qu'une imagette pr{é}sente une couleur homog{è}ne et soit donc r{é}guli{è}re.
 L'utilisation de la tranform{é}e en cosinus permet donc de comprimer l'information dans
 les sous-carr{é}s de l'image o{\`u} celle-ci est r{é}guli{è}re.  Par contre, les
 calculs pr{é}c{é}dents prouvent qu'on ne gagne rien quand un ``bord'' est pr{é}sent
 dans l'imagette. En effet, un calcul du m{\^e}me type que ci-dessus
implique
 que les coefficients $c_{n,0}(f)$ d{é}croissent en $O(\frac 1 {n})$. C'est ce qui explique les
 ph{é}nom{è}nes de ``halo'' autour des objets sur un fond contrast{é} : le petit
 nombre de coefficients transmis ne suffit pas {à} approcher bien
 l'imagette. Nous verrons au paragraphe \ref{Gibbs} qu'il y a plus grave : le ph{é}nom{è}ne de Gibbs (voir la figure \ref{maillezais}). Le long des discontinuit{é}s de
 l'image, apparaissent toujours des oscillations r{é}siduelles, quel que soit
 le nombre de coefficients transmis.

En conclusion, la transform{é}e en cosinus, s'affranchissant des
discontinuit{é}s aux fronti{è}res du domaine de l'image, pr{é}sente un
double avantage sur la transform{é}e de Fourier. En termes d'{é}conomie de la
repr{é}sentation, elle tire mieux partie de l'eventuelle r{é}gularit{é} de
la fonction {à} l'int{é}rieur de son domaine (r{é}gularit{é} souvent
{é}lev{é}e dans le cas d'imagettes). De plus, elle {é}vite l'apparition
d'oscillations r{é}siduelles le long de ces fronti{è}res.

\section{Ph{é}nom{è}ne de Gibbs}
\label{Gibbs} \index{A}{phénomène de Gibbs} La repr{é}sentation
d'un signal par sa s{é}rie de Fourier conduit {à} l'apparition
d'oscillations r{é}siduelles, dont l'amplitude ne d{é}pend pas du
nombre de coefficients utilis{é}s pour repr{é}senter la fonction.
Ce r{é}sultat math{é}matique sur l'approximation d'un signal par
les sommes partielles de sa s{é}rie de Fourier porte le nom de
ph{é}nom{è}ne de Gibbs.
 Ce ph{é}nom{è}ne
est observ{é} {à} la sortie de tout syst{è}me physique ou
num{é}rique mesurant ou calculant  une fonction $f$. Si la
fonction $f(t)$ ($t$ d{é}signant par exemple le temps) ``saute''
brusquement d'une valeur {à} une autre, alors l'exp{é}rimentateur
observe une s{é}rie d'oscillations avant et apr{è}s le saut.  Il
se gardera bien de les interpr{é}ter comme faisant partie du
signal.  En effet, le ph{é}nom{è}ne est  d{\^u} au fait que les
appareils de mesure (et les programmes num{é}riques sur
ordinateur) ``tronquent'' n{é}cessairement les hautes
fr{é}quences.  Cela veut aussi dire que l'on n'observe jamais les
fonctions elles m{\^e}mes, mais des sommes partielles de leur
s{é}rie de Fourier. Et on observe donc aussi les ``parasites''
d{\^u}s {à} cette troncature en fr{é}quence ; en particulier, le
ph{é}nom{è}ne de Gibbs. Du point de vue math{é}matique, on peut
{é}noncer le ph{é}nom{è}ne comme suit :
  \newline
`` Si une fonction $f$, par ailleurs r{é}guli{è}re,   pr{é}sente un saut
en un point, alors les sommes partielles $s_Nf$ de sa  s{é}rie de  Fourier
accentuent ce saut en le multipliant par un facteur qui ne  d{é}pend pas de
$N$.''

On commence par donner le r{é}sultat pr{é}cis dans un cas simple:
on consid{è}re la fonction ``en dents de scie'' $s(x)$,
$2\pi$-p{é}riodique et telle que $s(x)=\frac{\pi-x}{2}$ sur
$\lbrack 0, 2\pi\lbrack$.  Le calcul des coefficients de Fourier
de $s$ et le corollaire \ref{basel2} montrent que
$s(x)$"="$\sum_{k=1}^\infty \frac {\sin(kx)}{k}$ au sens de la
convergence $L^2$, ainsi qu'en tout point de l'intervalle ouvert
$]0,2\pi[$, d'après la proposition \ref{lemmedelocalisation}. On
consid{è}re les sommes partielles de cette s{é}rie de Fourier,
$s_n(x) = : \sum_{k=1}^n \frac {\sin(kx)}{k}$.


\begin{pro}{\bf (Phénomène de Gibbs)}: \index{A}{phénomène de Gibbs}
\begin{equation}
\label{limsupinf} \limsup_{n\to \infty, x\to 0^+} s_n(x) =(1+c) s(0^+); \quad
\liminf_{n\to \infty, x\to 0^+} s_n(x) =(1-c') s(0^+).
\end{equation}
\end{pro}
\paragraph{Démonstration}
On va étudier la suite $s_n(\frac{\pi}{n})$
 quand $n\to\infty$. On commence par étudier les variations de $G(a)=:
\int_0^a\frac{\sin(t)}{t}dt$ pour en d{é}duire que
 $G(\pi)>G(+\infty)$. La fonction $G(a)$ est croissante sur les intervalles pairs $[2k\pi,
(2k+1)\pi]$ et
 d{é}croissante sur les intervalles impairs.  On voit ais{é}ment que
 $|G((n+1)\pi)-G(n\pi)|$ est une suite d{é}croissante.  Il en r{é}sulte que
 la suite $G(2n\pi)$ est une suite croissante strictement, la suite $G((2n+1)\pi)$ une
 suite strictement d{é}croissante, et les deux convergent vers une valeur commune
 not{é}e $G(+\infty)$.  On a donc $G(\pi)>G(+\infty)$. On sait par ailleurs
 que $G(+\infty)=\frac{\pi}{2}$. Revenons à la suite $s_n(\frac {\pi} n)$. On a
$$s_n(\frac
{\pi} n) =\sum_{k=1}^n \frac{\sin(\frac {k\pi}n)}k=\frac\pi
n\sum_{k=1}^n \frac{\sin(\frac {k\pi}n)}{\frac{k\pi}n}\to_{n\to
+\infty} \int_0^{\pi} \frac {\hbox{sin}u}{u}du.$$

La dernière limite vient du fait que l'on reconnaît la somme de
Riemann associée à l'intégrale. Mais
 $$  s_n(\frac \pi n)\to G(\pi) > G(+\infty)=\frac {\pi} 2 = s(0^+),$$
 car $s(0^+)=\frac {\pi}{2}=\int_0^{+\infty}\frac {\hbox{sin}u}{u}du$.
 Donc pour tout $n$, il y a une valeur tr{è}s  proche de 0, en l'occurrence
  $\frac \pi n$,
telle que la somme partielle de la s{é}rie de Fourier d{é}passe d'un facteur
 constant $\frac {G(\pi)}{G(+\infty)}$ la valeur de la limite $s(0^+)$.  Pour raisons de
 sym{é}trie, la m{\^e}me chose se produit en $0^-$ avec la suite $s_n(-\frac \pi
 n)$. Nous avons donc montr{é} l'existence des limites sup et inf de
 l'{é}quation (\ref{limsupinf}).
\enddemo

\dexer On peut préciser un peu plus le résultat précédent en
donnant le comportement asymptotique de $s_n(x)$ au voisinage de
0, ce qui permet de tracer les oscillations  de $s_n$ au voisinage
de la discontinuité. Montrer que pour $\vert x\vert \leq 1$ et
uniform{é}ment en $x$,
$$s_n(x) =
\int_0^x\frac {\sin(nt)}{t}dt -\frac{x}{2} + O(x,\frac{1}{n}).$$
\fexer

Num{é}riquement, les constantes positives $c$ et $c'$ sont de l'ordre de
$0,18$. Plus pr{é}cis{é}ment, la somme partielle $s_n$ de la s{é}rie de
Fourier de $f$ pr{é}sente des oscillations, maximales aux points
$\frac{k\pi}{n}$. Les oscillations de cette approximation ont donc une
fr{é}quence de plus en plus {é}lev{é}e avec l'ordre d'approximation $n$,
mais l'erreur reste proportionnelle au saut de la fonction $f$. Ce r{é}sultat
se g{é}n{é}ralise au cas d'une fonction $C^1$ sur $[0, 2\pi]$, mais pas
$2\pi$ p{é}riodique. Pour ce faire, on soustrait {à} la fonction $f$ une
fonction en ``dents de scie'' $\lambda s + \mu = \tilde s$, o\u $\lambda$ et
$\mu$ ont été choisis de mani{è}re {à} la rendre Lipschitzienne  et on
applique {à} la diff{é}rence $f-\tilde s$ le principe de localisation. Il y
a donc convergence uniforme de la série de Fourier de $f-\tilde s$ vers
$f-\tilde s$, alors que la série de Fourier de $\tilde s$ présente le ph\e
nomène de Gibbs.  Le développement de Fourier de $f$ présente donc aussi
le phénomène de Gibbs.

Nous illustrons, {à} la figure \ref{marchegibbs}, le ph{é}nom{è}ne dans le
cas de la fonction $2\pi$-p{é}riodique, impaire, et valant 1
sur l'intervalle $]0,\pi]$. Nous montrons les sommes partielles de sa s{é}rie de Fourier.
Remarquons en particulier le fait que l'erreur
maximum ne varie pas avec le nombre de coefficients de l'approximation. En
revanche, la fr{é}quence de ces oscillations augmente avec l'ordre
d'approximation.
 Nous présentons ensuite une illustration du ph{é}nom{è}ne de Gibbs
dans le cas des images numériques: partant d'une image, nous calculons sa
s{é}rie de Fourier (en fait une approximation finie de cette s{é}rie
pr{é}sent{é}e au paragraphe suivant: la transform{é}e de Fourier
discr{è}te), mettons les hautes fr{é}quences {à} z{é}ro, puis calculons
l'image dont la s{é}rie de Fourier est celle ainsi obtenue (anticipant sur les
d{é}finitions et notations du paragraphe suivant sur la transform{é}e de
Fourier discr{è}te, nous multiplions l'image $\tilde u _{mn}$ par la fonction
indicatrice d'un carr{é} centr{é} sur $\tilde u_{0,0}$, puis appliquons la
TFD inverse). Nous montrons le r{é}sultat figure \ref{maillezais}, o{\`u} l'image
originale est plac{é}e à gauche. Le r{é}sultat, image
obtenue apr{è}s troncature des hautes fr{é}quences, à droite, pr{é}sente de
tr{è}s nombreuses oscillations.

Ce ph{é}nom{è}ne appara{\^\i}t {é}galement lorsque le spectre est
utilis{é} {à} des fins de manipulation d'image, comme nous le verrons au
chapitre suivant.
\begin{figure}
\begin{center}

\includegraphics[width=8cm]{Figures/marchegibbs1.eps}
\includegraphics[width=8cm]{Figures/marchegibbs2.eps}
\end{center}
\caption[Phénomène de Gibbs 1]{Sommes partielles de la s{é}rie de Fourier de la fonction
$2\pi$-périodique, impaire, valant 1 sur $]0,\pi]$.
Haut: les approximations sont représent{é}es sur le m{\^e}me graphe, sur
l'intervalle $]0,\pi]$. Bas: les diff{é}rentes approximations sont
tra\c{c}{é}es selon un troisi{è}me axe (nombre de termes entre 1 et 20). On
remarque que l'erreur maximale d'approximation ne varie pas avec le nombre de
termes, tandis que la fr{é}quence des oscillations augmente.}
\label{marchegibbs}
\end{figure}
\begin{figure}
\begin{center}

\includegraphics[width=7.5cm]{Figures/maille1.ps}
\includegraphics[width=7.5cm]{Figures/maille3.ps}
\end{center}
\caption[Phénomène de Gibbs 2]{Illustration de l'effet de Gibbs. Gauche: l'image originale;
droite: l'image
apr{è}s que l'on ait tronqu{é} ses hautes fr{é}quences, et sur laquelle
sont visibles de nombreuses oscillations. L'image de droite est obtenue en ne
conservant que les fréquences dont le module est inférieur au quart de la
fréquence maximale. Le phénomène est
particulièrement visible le long des frontières du domaine de l'image
(voir en particulier le c\^oté droit) et le long des discontinuités de
l'image. Remarquons que l'image est également devenue floue par suppression
des hautes fréquences.} \label{maillezais}
\end{figure}

\section{Note historique}
\subsection{Gammes, harmoniques} {\it  L'audition humaine va de 25 Hz à 20000 Hz (chez l'enfant). Le piano  (voir le site\linebreak
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fréquencesdestouchesdupiano) de 27,5 Hz à 4186 Hz, note la plus aigüe, pour  88 touches.

Sur les harmoniques et la gamme naturelle:

Voir $ http:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Gamme\_naturelle$

Un harmonique est l'élément de décomposition primaire d'une fonction périodique exprimé dans la base de Hilbert.

En d'autres termes, un harmonique correspond à une fonction trigonométrique sinusoïdale (sinus ou cosinus) dont la
fréquence est un multiple de la fréquence de la fonction périodique décomposée. La somme infinie de tous les
harmoniques d'une fonction périodique reconstitue la fonction.

        Comme un signal périodique peut se décomposer en une somme de sinus et cosinus dont les fréquences sont des multiples de la
         fréquence du signal (dite fréquence fondamentale), le « poids » de certains harmoniques dans la décomposition spectrale d'un
         son correspond au module de leur coefficient harmonique dans le plan complexe.

        Le son le plus simple acoustiquement parlant n'a qu'un harmonique,
         la fréquence fondamentale, les autres harmoniques ayant un module nul. C'est donc une sinusoïde, mais sa phase dépend de la
          répartition entre la partie réelle (cosinus) et imaginaire (sinus) de l'harmonique, autrement dit de son argument complexe.

 Il y d'abord la gamme musicale fondée sur le choix d'harmoniques simples du son fondamental (ou tonique). Du fait
  de cette définition, on parle aussi de gamme des physiciens.

Il ne fait pas de doute que les phénomènes de consonance ont été identifiés par les premiers musiciens avant que les
mathématiciens n'en élaborent une théorie. Les premières gammes naturelles, créées de façon empirique, ont donc
certainement précédé de très longtemps la gamme pythagoricienne, édifice algébrique assez complexe.

La gamme pythagoricienne est construite à partir d'un harmonique particulier, la quinte, puis par des montées
successives de quintes le nombre de fois nécessaires pour parcourir une octave complète.

Il est à remarquer que les sons obtenus par cette méthode sont des harmoniques de plus en plus complexes du son
fondamental. On a vu aussi que cette méthode ne permet pas de retrouver directement la quarte qui est pourtant un
harmonique très simple (4/3) de celle-ci (et complément obligatoire de la quinte).

La gamme pythagoricienne, d'ailleurs, résultat de spéculations théoriques remarquables, n'est pas sans défauts :

    * le problème du comma, résolu faute de mieux par la « quinte du Loup», interdit certaines combinaisons de notes et certaines modulations ;
    * certains intervalles très intuitifs, et particulièrement la tierce majeure (DO-MI) ne sont pas générés de façon parfaite,
     et sonnent, en réalité, assez faux.

D'où les tentatives des théoriciens pour mettre en œuvre d'autres méthodes, basées sur d'autres considérations.

Les sons harmoniques ou partiels

Un son musical invariable continu résulte de la superposition (ou combinaison) d'un son simple et de ses sons
harmoniques dont les fréquences sont des multiples entiers de sa propre fréquence. On appelle le seconde harmonique le
son de fréquence double, troisième le son de fréquence triple etc. On appelle sons partiels des sons plus aigus que
l'on peut entendre ou extraire par analyse lorsqu'un instrument émet un son, et qui sont très proches des sons
harmoniques.

Si l'on part du DO 0 en prenant sa fréquence comme unité :

\begin{itemize}

\item partiel  1 : fréquence 1 (=DO 0)
\item partiel  2 : fréquence 2 (=DO 1)
\item partiel  3 : fréquence 3 (=SOL 1)
\item partiel  4 : fréquence 4 (=DO 2)
\item partiel  5 : fréquence 5 (=MI 2, tierce pure)
\item partiel  6 : fréquence 6 (=SOL 2)
\item partiel  7 : fréquence 7
\item partiel  8 : fréquence 8 (=DO 3)
\item partiel  9 : fréquence 9 (=RE 3)
\item partiel  10 : fréquence 10 (=MI 3, tierce pure)
\item partiel  11 : fréquence 11
\item partiel  12 : fréquence 12 (=SOL 3)
\item partiel  13 : fréquence 13
\item partiel  14 : fréquence 14
\item partiel  15 : fréquence 15
\item partiel  16 : fréquence 16 (=DO 4)

\item etc.
\end{itemize}

Les noms des notes ci-dessus correspondent aux hauteurs définies dans la gamme de Pythagore sauf pour les MI. Comme on
le voit, la note SOL est un harmonique de la note DO, mais pas de celle qui la précède dans son octave : DO 0 pour SOL
1, DO 1 pour SOL 2 etc. Donc l'intervalle de quinte (rapport 3/2) relie deux notes — DO 1 et SOL 1 par exemple — dont
la plus aiguë n'est pas un harmonique de la plus grave ; cependant les deux sont des harmoniques d'une même troisième
note plus grave. C'est donc par un abus de langage, qu'autorise le principe de l'équivalence des octaves, que l'on peut
énoncer que SOL est un harmonique de DO. C'est aussi par commodité que, de même, on considèrera dans ce qui suit comme
en rapport harmonique des sons dont les fréquences relatives sont en rapport rationnel l'une par rapport à l'autre : il
existe alors une note suffisamment grave (mais peut-être inaudible !) dont elles sont toutes deux de vrais partiels.


}

\subsection{Séries trigonométriques}
{\it  NOTE HISTORIQUE (WIKIPEDIA)

Les premières considérations sur les séries trigonométriques apparaissent vers 1400 en Inde, chez Madhava, chef de file
de l'école du Kerala[1]. En Occident, les elles apparaissent au XVIIe siècle chez James Gregory, au début du XVIIIe
chez Brook Taylor. C'est l'ouvrage de ce dernier, Methodus Incrementorum Directa et Inversa, paru en 1715, qui donne le
coup d'envoi à l'étude systématique des cordes vibrantes et de la propagation du son, thème de recherche majeur pendant
tout le siècle.

Une controverse éclate dans les années 1750 entre d'Alembert, Euler et Daniel Bernoulli sur le problème des cordes
vibrantes. D'Alembert détermine l'équation d'onde et ses solutions analytiques. Bernoulli les obtient également, sous
forme de décomposition en série trigonométrique. La controverse porte sur la nécessité de concilier ces points de vue
avec les questions de régularité des solutions. Selon J.-P. Kahane[2], elle aura un rôle majeur dans la genèse des
séries de Fourier.

Bernoulli avait introduit des séries trigonométriques dans le problème des cordes vibrantes pour superposer des
solutions élémentaires. Le trait de génie de Joseph Fourier est de considérer cette décomposition comme un outil
systématique d'analyse. Il en fait usage en 1822 pour résoudre l'équation de la chaleur dans son ouvrage Théorie
analytique de la chaleur.

Fourier énoncé qu'une fonction arbitraire peut être décomposée sous forme de série trigonométrique, et qu'il est facile
de prouver la convergence de celle-ci. Dans un article de 1829, Dirichlet donne un premier énoncé correct, et
correctement démontré de convergence, mais, faute d'une théorie de l'intégration adaptée, il se limite à une classe
très particulière de fonctions.

Avancée conjointe des séries de Fourier et de l'analyse réelle

Le Mémoire sur les séries trigonométriques de Riemann, publié en 1867, constitue une avancée décisive. L'auteur lève un
obstacle majeur en définissant pour la première fois une théorie de l'intégration satisfaisante. Il démontre notamment
que les coefficients de Fourier ont une limite nulle à l'infini, et un résultat de convergence connu comme le théorème
de sommabilité de Riemann.

Georg Cantor publie une série d'articles sur les séries trigonométriques entre 1870 et 1872, où il démontre son
théorème d'unicité. Cantor raffine ses résultats en recherchant des "ensembles d'unicité", pour lesquels son théorème
reste vérifié. C'est l'origine de l'introduction de la théorie des ensembles.

En 1873 Du Bois-Reymond donne le premier exemple de fonction continue périodique dont la série de Fourier diverge en un
point. Le dernier quart du XIXe siècle voit relativement peu d'avancées dans le domaine des séries de Fourier ou de
l'analyse réelle en général, alors que l'analyse complexe connaît une progression rapide.

Dans un note de 1900[3], Fejér démontre son théorème de convergence uniforme utilisant le procédé de sommation de
Cesàro. Surtout, il dégage un principe nouveau : l'association systématique entre régularisation au moyen d'un « noyau
» et procédé de sommation pour la série de Fourier.}

\section{Exercices}
\dexo
\hfill \newline
1) Soit ${(s_n)}_n \subset \CC$ telle que $s_n \longrightarrow s$. Montrer que
$$\frac{1}{n+1} \sum_0^n s_j \longrightarrow s.$$
2) Montrer qu'il existe ${(s_n)}_n \subset \CC$ telle que ${(s_n)}_n$ ne converge
pas et $$\frac{1}{n+1} \sum_0^n s_j \mbox{ converge.}$$
\fexo
\dexo \index{A}{série de Fourier} \label{duboisreymond}
\hfill \newline
On note ${\cal C}(\Pi) = \{ f \in {\cal C}(\RR),\;2\pi \mbox{-p{é}riodiques}
\}$, que l'on munit de ${\Vert f \Vert}_{\infty} = \sup_t \vert f(t) \vert$. On
notera ${\Vert f \Vert}_1 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \vert f(t) \vert
dt.$ Soit $f \in {\cal C}(\Pi)$, on d{é}finit les coefficients de Fourier de f
par
$$\widehat{f} (n) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) e^{-int} dt,\;\; n
\in \ZZ.$$ On note
\begin{eqnarray*}
S_n(f,t) & = & \sum_{-n}^n \widehat{f} (k) e^{ikt},\;\;n\in \NN \mbox{ et} \\
\sigma_n(f,t) & = & \frac{1}{n+1} \sum_0^n S_j(f,t).
\end{eqnarray*}
1) On pose $D_N(t) = \displaystyle{\sum_{-N}^N} e^{ikt}$ et $K_N(t)= \frac{1}{N+1}
\displaystyle{\sum_0^N}
D_j(t)$, pour $N \in \NN$.\\
Montrer que
\begin{eqnarray*}
D_N(t) & = & \frac{\sin(N+\frac{1}{2})t}{\sin\frac{t}{2}},\;\;t \not=
0,\;\;D_N(0) = 2N+1,\\
K_N(t) & = & \frac{1}{N+1} {\left( \frac {\sin \frac{N+1}{2}t}{\sin \frac{t}{2}}
\right)}^2 ,\;\;t\not=0,\;\;K_N(0) = N+1.
\end{eqnarray*}
2) V{é}rifier que $K_N(t) \geq 0$, $\forall t \in \RR$, ${\Vert K_N \Vert}_1 =
1$ et que $\forall \delta > 0$, $K_N \longrightarrow 0$ uniform{é}ment sur
$\delta
\leq \vert t \vert \leq \pi$.\\
3) Montrer que si $f \in {\cal C}(\Pi)$, $\sigma_n(f) \longrightarrow f$
uniform{é}ment sur $[-\pi,\pi]$. (Remarquer que $\sigma_n(f,t) =
\frac{1}{2\pi} \int _{-\pi}^{\pi} f(x) K_n(t-x) dx = K_n
\star f(t) = f \star K_n(t).)$\\
4) On appelle polynôme trigonom{é}trique, toute fonction de la forme
$\displaystyle{\sum_{-n}^n} a_k e^{ikt}.$\\
En d{é}duire que les polyn\^omes trigonom{é}triques sont denses dans ${\cal
C}(\Pi)$ et que si $f,g \in {\cal C}(\Pi)$ sont telles
que $\forall n \in \ZZ$, $\widehat{f} (n)=\widehat{g} (n)$ alors $f=g.$\\ \\
5) Th{é}or{è}me de Du Bois-Reymond :\\
$\exists f \in {\cal C}(\Pi)$ telle que $\lim \sup \vert S_n(f,0) \vert = +
\infty.$\\
Pour d{é}montrer ce r{é}sultat, on d{é}finit $\Lambda_n : {\cal C}(\Pi)
\longrightarrow \CC$ telle que
$\Lambda_n(f) = S_n(f,0).$

\hspace{1.5cm} a) V{é}rifier que $\Lambda_n \in ({\cal C}(\Pi))^{\prime}$.

\hspace{1.5cm} b) Montrer que $\Vert \Lambda_n \Vert = {\Vert D_n \Vert}_1.$

\hspace{1.5cm} c) Montrer que ${\Vert D_n \Vert}_1 \longrightarrow + \infty$ (par
exemple : ${\Vert D_n \Vert}_1$ est plus grand que la somme partielle d'une série divergente.)

\hspace{1.5cm} d) En d{é}duire que $\exists f \in {\cal C}(\Pi)$ telle que $\sup_n
\vert S_n(f,0) \vert = + \infty$.\\ \\
6) Soit $f \in L^1(-\pi,\pi)$ telle que $\int_{-\pi}^{\pi} f(x)p(x) dx =0$ pour tout
polyn{\^o}me $p$ trigonom{é}trique, v{é}rifier que $f = 0$ p.p.\\ \\
7) Soit $f \in L^1(-\pi,\pi)$, on note $c(f) = (\widehat{f}(n))_{n \in \ZZ}$.
V{é}rifier que
$$c(f) \in C_0(\ZZ) = \left\{ c = (c_n)_n : c_n \rightarrow 0\,\,
\mbox{quand}\,\, n \rightarrow \pm \infty \right\}.$$
Montrer que l'application $T : L^1(-\pi,\pi) \rightarrow C_0(\ZZ)$ d\'efinie
par $T(f) = (\widehat{f}(n))_{n \in \ZZ}$ est lin{é}aire continue injective mais non surjective.
\fexo
%marque1
