


\chapter{Séries de Fourier et espaces de Sobolev}
\setcounter{exo}{0}


\section{Distributions}
 \noindent{\bf Un exemple clé, l'intégration par parties.}\newline Prenons une fonction $u$ qui est $C^k$ sur $\RR$
et une autre fonction $\varphi\in {\cal C}_c^\infty$ que l'on s'habituera à appeler ``fonction test". On peut intégrer
par parties
$$\int u^{(k)}(x)\varphi(x)dx=(-1)^k\int u(x)\varphi^{(k)}(x)dx.$$
Si $u\in L^1_{loc}(\real)$, le membre de droite garde un sens. On peut donc considérer l'application linéaire
$$\varphi\to (-1)^k\int u(x)\varphi^{(k)}(x) dx=l_k(\varphi)$$
comme une généralisation de la dérivée $k$-ième de $u$. Cette dérivée n'est donc plus une fonction, c'est une forme
linéaire ayant la notable propriété de continuité
$$|l(\varphi)|\leq C\max |\varphi^{(k)}(x)|,$$
où $C$  dépend  de $u$ et du support de  $\varphi$.


Dans toute la suite, $\Omega$ désigne un  ouvert de $\RR^N$,
borné ou pas.
 On note ${\cal C}_c^\infty(\Omega)$ l'ensemble des fonctions réelles ${\cal
C}^{\infty}$ à support compact dans $\Omega$, encore appelées fonctions test.
Nous allons définir les distributions sur un ouvert quelconque de $\RR^N$. On notera $\bx=(x_1,\dots,x_N)\in\RR^N$,  $\bi=(i_1,i_2,\dots,i_N)\in \relative^N$,   $|\bi|=i_1+\dots  +i_N$ et  $$\partial^\bi u:=\frac{\partial^{|\bi|}u}{\partial x_1^{i_1}\dots\partial x_N^{i_N}}.$$
\begin{Def}\label{Definitiondedistribution}\index{A}{distribution!définition}
 On appelle distribution dans $\Omega$ toute forme linéaire $u$
sur ${\cal C}_c^\infty(\Omega)$ ayant la propriété de continuité suivante : Pour tout  compact $K\subset \Omega$ il
existe un entier $p=p(K)$ et une constante $C_K$ tels que pour toute fonction $\varphi\in {\cal C}_c^\infty(\Omega)$ à support
inclus dans $K$, on ait \fb& \label{inegalitedefinissantdistribution} |<u,\varphi>|\leq C_K\max_{|\bi|\leq p}\max_{\bx\in
K}|\partial^i\varphi(\bx)|. \fe&
\end{Def}
Cette relation exprime que la forme linéaire $u$  agit continûment sur $\varphi$ et ses dérivées d'ordre inférieur ou
égal à $p$. Aussi, il ne faut pas se surprendre si beaucoup d'exemples de distributions sont des formules explicites où
$u(\varphi)$ dépend de $\varphi$ et de ses dérivées, mais toujours jusqu'à un ordre fini sur  chaque compact. Si $u\in L^1_{loc}(\Omega)$ est
une fonction intégrable sur tout borné de $\Omega$, on voit immédiatement que l'on peut lui associer une distribution
$\tilde u$ dans $\Omega$ en posant, pour $\varphi$ dans ${\cal C}_c^\infty(\Omega)$,
$$<\tilde u,
\varphi>=\int_{\Omega}u(x)\varphi(\bx)d\bx.$$

\dexer \index{A}{distribution!associée \a une fonction $L^1_{loc}$}
 Montrer  en utilisant le corollaire \ref{orthogonalaCcimpliquenul}
 page ~\pageref{orthogonalaCcimpliquenul} que
 si deux distributions $\tilde u$ et $\tilde v$ dans $\RR^N$ sont associ\e
es à des fonctions $u$ et $v$ appartenant à $L^1_{loc}(\RR^N)$ et si elles sont deux distributions égales, alors $u=v$
p.p. \fexer Grâce à ce résultat d'unicité, nous considérerons  les fonctions $u\in L^1_{loc}$ comme des distributions
et identifierons $u$ et $\tilde u$.

 \dexer \index{A}{masse de Dirac} \index{A}{peigne de Dirac}Montrer que $<\delta_\bx, \varphi>:=\varphi(\bx)$ est
une distribution dans $\RR^N$, appelée masse de Dirac en $\bx$.  Montrer qu'il en est de m\eee me pour le ``peigne de
Dirac'' $u=\sum_{\bn\in\relative^N} \delta_{2\bn\pi}$ et pour $<\partial^\bi\delta_\bx,\varphi>:=(-1)^{|\bi|}\partial^\bi\varphi(\bx)$. \fexer
\begin{Def} \index{A}{convergence!des distributions}
Soient $(u_n)_n$ une suite de distributions sur $\Omega$ et  $u$ une distribution sur $\Omega$. On dit que $u_n$ converge vers
$u$ au sens des distributions si pour toute $\vfi \in \DD(\Omega)$, la suite $(<u_n, \vfi>)_n$ converge vers $<u,\vfi>$.
\end{Def}
\noindent On admettra le théorème suivant, qui est une conséquence du théorème de Banach-Steinhaus :
\begin{thf} \index{A}{convergence!des distributions}
 si $u_n$ est une suite de distributions dans $\Omega$ telle que $\forall
\varphi \in {\cal C}_c^\infty$, la suite $<u_n, \varphi>$ converge vers une valeur que l'on note $<u,\varphi>$, alors $u$ est
aussi une distribution dans $\Omega$.
\end{thf}
Voir l'exercice \ref{banachsteinhauspourdistrib} {à} la fin de ce chapitre. On dit que $u_n$ tend vers  $u$ dans
$L^1_{loc}(\RR^N)$ si elle tend vers $u$  dans $L^1(B)$  pour tout borélien borné de $\RR^N$. \dexer Montrer que si
$u_n \in L^1_{loc}$ converge vers $u$ dans $L^1_{loc}$, alors aussi $u_n\to u$ au sens des distributions. \fexer

\begin{Def}\label{droitdederiverunedistribution} {\bf et proposition : ``On a toujours le droit de dériver une
distribution".} \index{A}{dérivée!d'une distribution} Si $u$ est une distribution dans $\Omega$ et $\bi\in \relative^N$, alors on appelle dérivée
partielle d'ordre  $\bi$ de $u$ la distribution dans $\Omega$ définie par $<\partial^\bi u,\varphi>=(-1)^{|\bi|}<u, \partial^{\bi}\varphi>$. Si $u$ est ${\cal
C}^k$ dans $\Omega$, alors sa dérivée classique notée $\partial^{\bi}\{u\}$ co\iii ncide avec sa dérivée au sens des distributions,
$\partial^\bi u$.
\end{Def}
\paragraph{Démonstration}
Si $u$ est ${\cal C}^k$ dans $\Omega$, elle-même et toutes ses dérivées jusqu'à l'ordre $k$
 $\partial^\bj u$, $|\bj|\leq k$, sont dans
$L^1_{loc}(\Omega)$, et donc sont des distributions. On a $<\partial^\bj\{u\},\varphi>=\int_\Omega \partial^\bj\{u\}(\bx)\varphi(\bx)$ et en
intégrant par parties $|\bj|$ fois, on obtient
$$<\partial^\bj\{u\},\varphi>=(-1)^{|\bj|}\int_\Omega u(\bx)\partial^\bj\varphi(\bx)d\bx=<\partial^\bj u, \varphi>.$$
\enddemo
\index{N}{$\Di(\Om)$ est l'ensemble des distributions sur $\Om$} \index{N}{${\cal C}^{\infty}_c(\Om)$ est l'ensemble
des fonctions de classe ${\cal C}^{\infty}$ {à} support compact dans $\Om$}
\begin{thf} \index{A}{dérivée!d'un passage à la limite}
{\bf ``On a toujours le droit de dériver un passage à la limite"} \label{interversiondelimiteetderivation} Si $u_n\to
u$ au sens des distributions, alors $\partial^\bi  u_n\to \partial^\bi u$ au sens des distributions.
\end{thf}
La démonstration est évidente. L'énoncé qui précède est aussi là pour nous montrer que nous risquons des excès de
fatigue à écrire trop souvent ``au sens des distributions''.  L'usage est d'écrire à la place `` dans ${\cal D}'(\Omega)$ '',
car les distributions apparaissent comme des éléments du dual de ${\cal D}=\mathcal C_c^\infty$. La notation $\cal D$
ne sera pas utilisée mais on utilisera ${\cal D}'$.

 \dexer On appelle ordre d'une distribution
$u$ sur un compact $K$ le plus petit entier $p$ tel que la relation (\ref{inegalitedefinissantdistribution}) soit vraie
(pour une constante arbitraire $C$).

\quest 1) Montrer que l'ordre de $u\in L^1_{loc}(\Omega)$ est zéro sur tout compact.

\quest 2) On considère une mesure bornée $\mu$, c'est-à-dire une forme linéaire continue sur $C_b(\real^N)$, l'espace des
fonctions continues bornées muni de la norme de la convergence uniforme. Montrer que $\mu$ est une distribution et que
son ordre est zéro.

\quest 3) Montrer que si l'ordre d'une distribution sur $K$ est $p$, alors l'ordre de $\partial^\bi u$ est inférieur ou égal à
$p+|\bi|$. Donner un exemple où cette inégalité est stricte.

\fexer


\begin{thf} {\bf (formule des sauts)}\label{formuledessauts}
\index{A}{formule!des sauts}Soit $f$  une fonction ${\cal C}^1$ par morceaux sur un intervalle $I\subset\RR$ et $(a_n)_{n\in \relative}$ la
suite discrète de ses sauts.  On désigne par $\{f\}'$ la dérivée ponctuelle de $f$ et par $f(a_n^\pm)$ les limites \a
gauche et à droite de $f$ en $a_n$. Alors la dérivée distributionnelle $f'$ de $f$ est donnée par
$$f'= \{f\}'+\sum_n (f(a_n^+)-f(a_n^-))\delta_{a_n}.$$
\end{thf}
\paragraph{Démonstration}
Prendre $\varphi$ dans ${\cal C}_c^\infty$ et intégrer par parties $<f', \varphi>=-\int f\varphi'.$
\enddemo
Que se passe-t-il quand la dérivée au sens des distributions d'une fonction est nulle~?
\begin{lem}\index{A}{distribution!à dérivée nulle}
 \label{deriveenulleimpliquenulle} Soit $f\in L^1(I)$ telle que $f'=0$,
\ccaadd \fb& \label{orthogonaleauxderivees}\forall \varphi\in {\cal C}_0^\infty(I), \int_If(x)\varphi'(x)dx=0. \fe&
Alors il existe une constante $C$ telle que $f=C$ presque partout.
\end{lem}
\paragraph{Démonstration}  Voir l'exercice \ref{distributionconstante} {à} la fin de ce chapitre.

%Comme ${\cal C}_c^\infty(I)$ est dense dans ${\cal C}_c^1(I)$
%(Corollaire \ref{densiteC0infiniCc}), la relation (\ref{orthogonaleauxderivees})
%est encore vraie si
%$\varphi\in {\cal C}_c^1(I)$. Fixons $\psi\in {\cal C}_c(I)$ telle que
%$\int_I\psi(x)dx=1$.
%Alors pour toute fonction
%$w\in {\cal C}_c(I)$, il existe  une ``pseudo-primitive''  de $w$, $\varphi\in
%{cal
%C}_c^1(I)$,
%satisfaisant
%$$\varphi'(x)=w(x)-(\int_Iw)\psi(x).$$
%Il suffit de choisir pour $\varphi$  la primitive à support compact de
%$w-(\int_Iw)\psi$, qui est d'intégrale nulle.  Donc
%$$\forall w\in {\cal C}_c(I),\;\int_I f(x)(w(x)-(\int_Iw)\psi)=0 \hbox{ et par
%Fubini
%}$$
%$$\forall w\in {\cal C}_c(I), \; \int_I(f(x)-\int_If\psi)w(x)dx=0,$$
%ce qui implique par le lemme \ref{orthogonalaCcimpliquenul} que $f(x)=\int_If\psi$
%est constante.
\enddemo


\begin{pro} \index{A}{dérivée!d'une série de Fourier}Soit
$f$ une fonction définie sur $\RR$, $2\pi$-périodique et telle que $f\in L^2(0,2\pi)$.  On a le droit de d{é}river  la
s{é}rie de Fourier de $f$ autant de fois que l'on veut et on
 a donc
\fb& \label{deriveeseriedefourier}f^{(p)} = \sum_{-\infty}^{+\infty} (ik)^pc_k(f)e^{ikt}, \fe&
  cette égalité étant  valide comme égalité de
deux distributions dans $\RR$.
\end{pro}
\drem L'égalité est aussi valide comme égalité de deux distributions dans $]0,\; 2\pi[$ ou en fait dans tout intervalle
ouvert de $\RR$. \frem
\paragraph{Démonstration}
\skipaline  On remarque d'abord que si $I$ est un ouvert et $u$ une fonction dans $L^2(I)$, dans $L^1$, ou dans
$L^p_{loc}$, alors elle est une distribution dans $I$, car toute fonction de $L^1_{loc}(I)$ est une distribution dans
$I$. De plus, si une suite de fonctions $u_n$ converge dans l'un des ces espaces, elle converge aussi
 au sens des distributions dans $I$. Si
$f\in L^2(0,2\pi)$ et est $2\pi$-périodique, elle est  une distribution qui est la somme (au sens $L^2_{loc}$ et donc
au sens des distributions dans $\RR$) de la série $\sum_kc_k(f)e^{ikt}.$ Soient $s_{n,m}(f)=\sum_{-m}^nc_k(f)e^{ikt}$
les sommes partielles de la série de Fourier. Comme $s_{n,m}(f)$ tend vers $f$ au sens des distributions quand $n$ et
$m$ tendent vers l'infini, $s_{n,m}(f)^{(p)}$ tend vers $ f^{(p)}$ au sens des distributions par le théorème
\ref{interversiondelimiteetderivation}. Dérivant terme à terme $s_{n,m}(f)$ (définition
\ref{droitdederiverunedistribution}), on obtient
$$f^{(p)}=\sum_k (ik)^{p}c_k(f)e^{ikt},$$
la convergence de la série se faisant au sens des distributions dans $\RR$.
\enddemo
On remarquera que la dimension n'intervient pas dans les arguments précédents. On peut donc étendre le résultat par exemple aux séries doubles de Fourier, dans $\RR^2$.
\begin{cor}
  \index{A}{dérivée!d'une série de Fourier}Soit
$f$ une fonction définie sur $\RR^2$, $2\pi\times 2\pi$-périodique et telle que $f\in L^2([0,2\pi]^2)$.  On a le droit de d{é}river  la
s{é}rie de Fourier de $f$ autant de fois que l'on veut et on
 a donc en posant $\bp=(p,q),$ $\bm=(m,n)$, $\bx=(x,y)$,
\fb& \label{deriveeseriedefourier2}\partial^\bp f = \sum_{\bm\in\relative^2} (im)^p(in)^qc_\bm(f)e^{i\bm.\bx}, \fe&
  cette égalité étant  valide comme égalité de
deux distributions dans $\RR^2$.
\end{cor}
\dexer Montrer que si $u$ est une distribution et $f\in {\cal C}^{\infty}(\Omega)$, alors $fu$ définie par
$$<fu, \varphi> = <u, f\varphi>$$
est bien une distribution \fexer

\dexer \index{A}{dérivée!de la masse de Dirac}Dérivée de la masse de Dirac
\newline D{é}montrer que dans $\RR$, $x\delta_0'=-\delta_0$.
\fexer
\paragraph{Solution}  On calcule
$$<x\delta_0', \varphi>=<\delta_0',
x\varphi>= -<\delta_0, (x\varphi)'>=-<\delta_0, \varphi +  x\varphi'>=$$
$$-\varphi(0) = <-\delta_0, \varphi>.$$
\enddemo


\begin{pro}\index{A}{peigne de Dirac}\index{A}{formule!de Poisson}
(Peigne de Dirac et formule sommatoire de Poisson). On pose
$$<\tilde{\delta}, \varphi> = \sum_{n\in {\ZZ}}
\varphi(2n\pi).$$  On l'appelle la "$2\pi$-p{é}riodis{é}e" de la masse de Dirac, ou "peigne de Dirac". Alors
$2\pi\tilde{\delta}-1=s'$ est la d{é}riv{é}e de la fonction "en dents de scie", $2\pi$-p{é}riodique, d{é}finie sur
$\lbrack 0, 2\pi \lbrack$ par $s(x)=\pi-x$ et on a
$$\tilde{\delta} = \frac{1}{2\pi}\sum_n e^{inx},$$
ce qui se traduit pour $\varphi \in {\cal C}_c^\infty$ par la formule sommatoire de Poisson,
$$\sum_{k=-\infty}^{k=+\infty}\varphi(2k\pi)= \frac{1}{2\pi}\sum_
{p=-\infty}^{p=+\infty} \hat{\varphi}(p).$$ (On note $\hat{\varphi}(p)=\int_{\RRM} \varphi(x)e^{-ipx}dx.$)
\end{pro}
\paragraph{Démonstration}
Par intégration par parties, pour $n\neq 0$, $c_n(s) = \frac 1 {2\pi}\int_0^{2\pi}(\pi-x)e^{inx}dx = \frac 1 {in}.$
Donc le développement en série de Fourier de $s$ est
$$s = \sum_{n\in \relative\setminus\{0\}} \frac 1 {in}e^{inx},$$
la convergence se faisant au sens $L^2_{loc}$, donc aussi au sens $L^1_{loc}$ et donc aussi au sens des distributions.
On dérive terme à terme cette derni\ee re formule (au sens des distributions, formule (\ref{deriveeseriedefourier})) et
on obtient donc
$$s'= \sum_{n\in \relative\setminus\{0\}}e^{inx}.$$
La formule des sauts (théorème \ref{formuledessauts}) nous donne $s'=-1+\sum_{n\in\relative}2\pi\delta_{2\pi n}$, les
sauts de $s$ aux points $2\pi n$ étant de $+2\pi$ et $s$ étant ${\cal C}^1$ aux autres points et de dérivée ponctuelle
égale à  -1.  On obtient donc
$$\sum_{n\in\relative}2\pi\delta_{2\pi n}=1+\sum_{n\neq 0}e^{inx}=\sum_{n\in
\relative} e^{inx},$$ soit la formule annoncée,
$$\sum_{n\in\relative}\delta_{2\pi n}=\frac 1{2\pi}\sum_{n\in
\relative} e^{inx}.$$ La formule de Poisson s'obtient en appliquant cette dernière formule à une fonction $\varphi \in
{\cal C}_c^\infty$ arbitraire.
\enddemo



\section{Espaces de Sobolev périodiques $H^m_{per}(0, 2\pi)$}


\begin{Def}\index{A}{espace!de Sobolev!périodique} On appelle espace de Sobolev p\e
riodique d'ordre $m\geq 1$ et on note $H^m_{per}(0, 2\pi)$ l'ensemble des fonctions $2\pi$-périodiques sur $\RR$,
appartenant à $L^2(0, 2\pi)$ et telles que leurs dérivées au sens des distributions d'ordre $1, ...,m$ appartiennent
aussi à $L^2(0,2\pi)$. On le munit de la norme
$$||u||_{H^{m}_{per}}= (\sum_{n\leq m} ||u^{(n)}||_{L^2}^2)^\frac 12$$
associée au produit hermitien
$$(u,v)_{H^m_{per}}=\sum_{n\leq m} \int_{[0,2\pi]}
u^{(n)}(x)\overline{v^{(n)}(x)}dx.$$
\end{Def}


Les espaces $H^m_{per}(0,2\pi)$ sont particulièrement faciles à étudier gr\aa ce au fait qu'ils sont caractérisés par
le comportement de leur s\e rie de Fourier.  Dans toute la suite de ce chapitre, on note $I=]0,2\pi[$.

\begin{pro} \index{A}{coefficients de Fourier!d'une dérivée}
Si $u\in H^m_{per}$, alors pour tout $n\leq m$, les coefficients de $u^{(n)}$ vérifient $$c_k(u^{(n)})=(ik)^nc_k(u).$$
\end{pro}
\paragraph{Démonstration}
En effet, on a vu que si $u\in L^2(I)$ on peut écrire
$$u=\sum_k c_k(u)e^{ikt},$$
où les $c_k(u)$ sont les coefficients de Fourier de  $u$, et cette égalité est valable dans $L^2_{loc}(\RR)$ à
condition de périodiser $u$. En conséquence,
$$u^{(n)}=\sum_k c_k(u)(ik)^ne^{ikt},$$
la convergence se faisant au sens des distributions dans $\RR$.  Comme on a supposé que $u^{(n)}$ est dans $L^2(I)$,
$u^{(n)}$ admet un développement en série de Fourier dont les coefficients $(c_k(u^{(n)}))_k$ appartiennent \a
$L^2(\relative)$. Par unicité du développement de Fourier pour une distribution (qui sera montrée plus tard: théorème
\ref{unicitedescoefficientsdefourier}), on a
$$c_k(u)(ik)^n=c_k(u^{(n)}).$$
\enddemo
\begin{pro}\label{regulariteHm}
 \index{A}{régularité!des fonctions de $H^m_{per}([0,2\pi])$}Les fonctions de
$H^m_{per}([0,2\pi])$ appartiennent à $C^{m-1}(\RR)$. En particulier, les fonctions de $H^1_{per}([0,2\pi])$ sont continues.
\end{pro}

\paragraph{Démonstration}
Prenons $m=1$.  Alors $c_k(u)= \frac 1{ik}c_k(u')$ est le produit de deux s\e ries appartenant à  $l^2(\relative)$.
Donc $c_k(u)\in l^1$ et donc la série $\sum_k c_ke^{ikt}$ converge uniformément sur $\RR$. La limite est donc continue
et donc $u$ est continue (ou, pour \eee tre exact, $u$ est égale presque partout à une fonction continue et est donc
continue).  On peut alors raisonner par récurrence, en remarquant que si  $u$ est dans $H^m_{per}([0,2\pi])$, alors $u^{(m-1)}$
est dans $H^1_{per}([0,2\pi])$.
\enddemo

\begin{cor}\label{integrationdansH1}  Toute fonction de $H^m_{per}$ vérifie le théorème fondamental de l'analyse pour $m\geq 1$: 
\begin{equation}\label{integrationentrexety}u(y)-u(x)=\int_{[x,y]}u'(t)dt.$$
\end{equation}
\end{cor}
\paragraph{Démonstration} Considérons $u_n:=\sum_{|k|\leq n} c_k(u)e^{ikt}$,  la série de Fourier tronquée de $u$. Par la proposition \ref{regulariteHm}, $u_n$ converge  uniformément vers $u$ et $u'_n$ tend dans $L^2_{loc}$ vers $u'$. De plus $u_n$ vérifie (\ref{integrationentrexety}): 
$u_n(y)-u_n(x)=\int_x^y u'_n(t)dt.$ On peut passer à la limite à gauche en raison de la convergence uniforme de $u_n$ et à droite en raison de la convergence $L^1_{loc}$ de $u'_n$. 

\enddemo

\begin{pro} \index{A}{espace!de Hilbert $H^m_{per}$} \label{H1norme} Les espaces
$H^m_{per}(0,2\pi)$ sont des espaces de Hilbert et leur norme peut s'écrire
$$||u||^2_{H^m_{per}}=\sum_{n\leq m}
||u^{(n)}||^2_{L^2}=\sum_k|c_k(u)|^2(1+|k|^2+...+|k|^{2m}).$$ Une norme hilbertienne équivalente est
$|u|_{H^m_{per}}^2=\sum_k|c_k(u)|^2(1+|k|^{2m}).$
\end{pro}
\paragraph{Démonstration}
L'application $u\in H^m_{per}([0,2\pi])\to (c_k(u)(1+|k|^2+...+|k|^{2m})^\frac 12$ est une isométrie de $H^m_{per}(0,2\pi)$ sur
$l^2(\relative)$ qui est un espace de Hilbert. $H^m_{per}([0,2\pi])$ est donc aussi un espace de Hilbert. L'équivalence des
normes est immédiate.
\enddemo
\begin{thf}\label{elastisquecharge} (première application) \index{A}{Elastique chargé }
On considère le problème de l'élastique chargé, \fb& \label{equationbarreelastique} -u'' = f, \; u(0)=v(2\pi)=0, \fe&
o\u $f\in L^2([0, 2\pi]).$  Alors il existe une unique  $u\in L^2([0,2\pi])$ solution (au sens des distributions !) de
(\ref{equationbarreelastique}).  Cette solution appartient en fait à $H^2_{per}([-2\pi,2\pi])$ (fonctions $4\pi$ périodiques).
\end{thf}
\paragraph{Démonstration}  Pour avoir de manière naturelle les conditions
aux limites $u(0)=u(2\pi)=0$, il est convenable d'exprimer $u$ et $f$ sur la base en sinus $(\sin(\frac{kt}2)), \; k\in \NN^*$, puisque cela revient à implicitement étendre $u$ et $f$ en des fonctions impaires sur $[-2\pi,2\pi]$. Leur série de Fourier sur $[-2\pi,2\pi]$ donne par un simple réarrangement une décomposition de $u$ et $f$ sur la base en sinus. On
développe donc $u$ et $f$ dans cette base de Fourier et on identifie les coefficients de Fourier à droite et à gauche de
l'équation, comme on le peut en vertu de l'unicité des coefficients de Fourier d'une distribution. (Cette unicité
entra\ii ne immédiatement l'unicité des coefficients sur la base en sinus, puisque les coefficients en sinus de $u$ ne
sont autres que les coefficients de Fourier classiques sur $[-2\pi, 2\pi]$ de $u$ prolongée en une fonction impaire).
On pose donc pour $k\in \NN^*$, $c_k(u)=\frac 1\pi \int_0^{2\pi}u(t)\sin\frac{kt}2 dt$ et on a $u=\sum_{k\in
\NN^*}c_k(u)\sin\frac{kt}2$ et une relation du même type pour $f$. L'équation (\ref{equationbarreelastique}) est alors
équivalente \a
$$\forall k\in\NN^*,\; \frac{k^2}4c_k(u)=c_k(f), \hbox{ soit }$$
$$c_k(u)=4\frac {c_k(f)}{k^2}.$$
Donc $u =4 \sum_{k\in \NN^*}\frac {c_k(f)}{k^2}\sin{\frac k2t},$ qui appartient bien à $H^2_{per}([-2\pi,2\pi])$. Remarquer que $u$
n'est pas nécessairement ${\cal C}^2$ et que donc l'équation n'a pas de sens classique !  Par contre, comme $u\in
H^2_{per}$, $u$ est ${\cal C}^1$. Et comme $u$ est impaire, on a bien $u(0)=u(2\pi)=0$.
\enddemo



\section{Espaces de Sobolev en dimension 2}

Nous
g{é}n{é}ralisons ici les d{é}finitions et propriétés précédentes à la dimension 2. Une fonction $u$ de $\RR^2$ est dite $2\pi$-p{é}riodique
si elle est $2\pi$-p{é}rodique en chacune de ses variables.

\begin{Def}\index{A}{espace!de Sobolev!périodique d'ordre 1} On appelle espace de Sobolev p\e
riodique d'ordre $m$ et on note $H^m_{per}([0,2\pi]^2)$ l'ensemble des fonctions $u$, $2\pi$ périodiques sur $\RR^2$,
appartenant à $L^2([0,2\pi]^2)$ et telles que leurs dérivées (au sens des distributions)  $\partial^\bi u$, d'ordre total $|\bi|\leq m$ inférieur ou égal à $m$,
à $L^2([0,2\pi]^2)$. On
 munit cet espace de la norme
$$||u||_{H^{m}_{per}}=\left(\sum_{|\bi|\leq m}||\partial^\bi u||^2_{L^2} \right)^\frac 12$$
associée au produit hermitien
$$(u,v)_{H^m_{per}}=\int_{[0,2\pi]^2}
\sum_{|\bi|\leq m}\partial^\bi u(\bx)\partial^\bi\overline{v}(\bx) d\bx.$$
\end{Def}

On a alors l'{é}quivalent de la proposition \ref{H1norme} (la preuve est identique {à} celle de la dimension 1):

\begin{pro} \label{H1norme2} Les espaces $H^m_{per}([0,2\pi]^2)$
sont des espaces de Hilbert et ont pour norme équivalente
$$||u||^2_{H^m_{per}}=\sum_{\bn\in \relative^2}|c_{\bn}(u)|^2
( 1+\bn^2)^{m}.$$
\end{pro}
\begin{pro}
 \index{A}{régularité!des fonctions de $H^m_{per}([0,2\pi]^2)$}Les fonctions de
$H^m_{per}([0,2\pi]^2$ appartiennent à $C^{m-2}(\RR^2)$. En particulier, les fonctions de $H^2_{per}([0,2\pi]^2)$ sont continues.
\end{pro}

\paragraph{Démonstration}
Prenons $m=2$ et posons $d_\bk=c_\bk(1+\bk^2)$. Alors $c_\bk=\frac {d_\bk}{1+\bk^2}$ est le produit de deux s\e ries appartenant à  $l^2(\relative^2)$.
Donc $c_\bk(u)\in l^1(\relative^2)$ et donc la série $\sum_\bk c_\bk e^{i\bk\bx}$ converge uniformément sur $\RR^2$. La limite est donc continue
et donc $u$ est continue.  On peut alors raisonner par récurrence, en remarquant que si  $u$ est dans $H^m_{per}$, alors ses dérivées d'ordre $m-2$ sont dans
 $H^2_{per}$.
\enddemo
\subsection{Equations de Poisson et de Laplace}
On note le Laplacien d'une fonction $u$,
$$\Delta u:=\frac{\partial^2  u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=u_{xx}+u_{yy}.$$

\begin{thf}\label{EquationdePoisson}   \index{A}{équation de Poisson} Soit $f$ une fonction dans $L^2([0,2\pi]^2), $  que l'on assimile à une source de chaleur.
On considère l'équation de Poisson sur un carré en conditions isothermes, à savoir que la température sur le bord du carré est fixée à 0, ce l'on appelle encore  {\bf équation de Poisson avec condition de Dirichlet}. On notera $\Omega=[0,2\pi]^2$ et $\partial \Omega$ son bord.
 L'équation, où $u$ représente la température dans le carré, s'écrit \fb& \label{equationPoissonIsotherme} -\Delta u = f, \; u=0 \hbox{ sur }\partial \Omega \fe&
o\u $f\in L^2([0, 2\pi]^2).$  Alors il existe une unique  $u\in L^2([0,2\pi]^2)$ solution (au sens des distributions !) de
(\ref{equationPoissonIsotherme}).  Cette solution est en fait une fonction impaire appartenant à $H^2_{per}([-2\pi,2\pi]^2)$ (fonctions $4\pi$ périodiques).
\end{thf}
\paragraph{Démonstration}  Pour avoir de manière naturelle la condition
aux limites $u=0$, il est convenable d'utiliser la base en sinus $(\sin(\frac{kx}2)\sin(\frac{ly}2)), \; (k,l)\in (\NN^*)^2, (x,y)\in \RR^2$. On rappelle que  cela revient à étendre $u$ et $f$ en des fonctions impaires par rapport aux deux variables sur $[-2\pi,2\pi]^2$. Leur série de Fourier sur $[-2\pi,2\pi]^2$ donne par un simple réarrangement une décomposition de $u$ et $f$ sur la base en sinus. On
développe $u$ et $f$ dans cette base de Fourier et on identifie les coefficients de Fourier à droite et à gauche de
l'équation, comme on le peut en vertu de l'unicité des coefficients de Fourier d'une distribution. (Cette unicité
entra\ii ne immédiatement l'unicité des coefficients sur la base en sinus, puisque les coefficients en sinus de $u$ ne
sont autres que les coefficients de Fourier classiques sur $[-2\pi, 2\pi]^2$ de $u$ prolongée en une fonction impaire).
On pose donc pour $(k,l)\in (\NN^*)^2$, $c_{k,l}(u)=\frac 1{\pi^2} \int_{[0,2\pi]^2}u(t)\sin\frac{kt}2\sin\frac{ls}2ds dt$ et on a $u=\sum_{(k,l)\in
(\NN^*)^2}c_{k,l}(u)\sin\frac{kt}2\sin\frac{ls}2 $ et une relation du même type pour $f$. L'équation (\ref{equationbarreelastique}) est alors
équivalente \a
$$\forall k,l\in(\NN^*)^2,\; \frac 14(k^2+l^2)c_{k,l}(u)=c_{k,l}(f), \hbox{ soit }$$
$$c_{k,l}(u)=\frac {4c_{k,l}(f)}{k^2+l^2}.$$
Donc $u(x,y) = \sum_{(k,l)\in (\NN^*)^2}\frac {4c_{k,l}(f)}{k^2+l^2}\sin{\frac k2x}\sin{\frac l2y},$ qui appartient bien à $H^2_{per}([0,2\pi]^2)$. Remarquer que $u$
n'est pas nécessairement ${\cal C}^2$ et que donc l'équation n'a pas de sens classique !  Par contre, comme $u\in
H^2_{per}([0,2\pi]^2)$, $u$ est ${\cal C}^0$. Comme $u$ est impaire, on a bien $u(x,y)=0$ sur $\partial \Omega$.
\enddemo
Dans la suite on note $\frac{\partial u}{\partial n}$ la {\it dérivée normale de $u$  sur le bord}, à savoir que $\frac{\partial u}{\partial n}(0,x)=-\frac{\partial u}{\partial y}(0,x)$,
$\frac{\partial u}{\partial n}(2\pi,x)=\frac{\partial u}{\partial y}(2\pi,x)$, etc.  La manière la plus simple de réaliser $\frac{\partial u}{\partial n}=0$ est de considérer des fonctions paires en les deux variables, $4\pi$-périodiques également en les deux variables. Ainsi, on a $u(-x,y)=u(x,y)$, $u(x,-y)=u(x,y)$ pour  $(x,y)\in \Omega$, et $u$ étant $4\pi$ périodique on vérifie facilement que
si $u$ est $C^1$, $\frac{\partial u}{\partial n}=0$ sur  $\partial \Omega$.

\dexer Faire ces vérifications!
\fexer

 \begin{cor}\label{EquationdePoisson}   \index{A}{équation de Poisson, condition de Neumann (adiabatique)} Soit $f$ une fonction dans $L^2([0,2\pi]^2), $  que l'on assimile à une source de chaleur, vérifiant $\int_{[0,2\pi]^2}f(x,y)dxdy=0$.
On considère l'équation de Poisson sur un carré avec condition de bord adiabatique, à savoir que le flux de chaleur à travers le bord du carré est fixé à 0, ce l'on appelle encore  {\bf équation de Poisson avec condition de Neumann}. On notera $\Omega=[0,2\pi]^2$ et $\partial \Omega$ son bord.
 L'équation, où $u$ représente la température dans le carré, s'écrit \fb& \label{equationPoissonAdiabatique} -\Delta u = f, \; \frac{\partial u}{\partial n}=0 \hbox{ sur }\partial \Omega \fe&
o\u $f\in L^2([0, 2\pi]^2).$  Alors il existe une solution  $u\in L^2([0,2\pi]^2)$ solution (au sens des distributions !) de
(\ref{equationPoissonAdiabatique}). La solution vérifie $\frac{\partial u}{\partial n}=0$ au sens qu'elle est paire.   Cette solution est unique à une constante additive près, et appartient  à $H^2_{per}([-2\pi,2\pi]^2)$ (fonctions $4\pi$ périodiques).
\end{cor}

\paragraph{Démonstration}  Pour avoir de manière naturelle la condition
aux limites $\frac{\partial u}{\partial n}=0$, il est maintenant convenable d'utiliser la base en cosinus $(\cos(\frac{kx}2)\cos(\frac{ly}2)), \; (k,l)\in (\NN)^2, (x,y)\in \RR^2$. Décomposer $u$ et $f$ sur cette base les étend naturellement en des fonctions paires par rapport aux deux variables sur $[-2\pi,2\pi]^2$.   On  identifie les coefficients de Fourier à droite et à gauche de
l'équation, comme on le peut en vertu de l'unicité des coefficients de Fourier d'une distribution. (Cette unicité
entra\ii ne immédiatement l'unicité des coefficients sur la base en cosinus, puisque les coefficients en cosinus de $u$ ne
sont autres que les coefficients de Fourier classiques sur $[-2\pi, 2\pi]^2$ de $u$ prolongée en une fonction paire).
On pose donc pour $(k,l)\in (\NN)^2$, $c_{k,l}(u)=\frac{1}{(2\pi)^2}c(k)c(l) \int_{[0,2\pi]^2}u(t)\cos\frac{kt}2\cos\frac{ls}2ds dt$  où $c(k)=\frac{1}{(2\pi)^2}$ si $k=0$ et $c(k)=\frac 1{\pi^2}$ sinon. On a alors $$u=\sum_{(k,l)\in
(\NN)^2}c_{k,l}(u)\cos\frac{kt}2\cos\frac{ls}2 $$ et une relation du même type pour $f$. L'équation (\ref{equationbarreelastique}) est alors
équivalente \a
$$\forall k,l\in(\NN)^2,\; \frac 14(k^2+l^2)c_{k,l}(u)=c_{k,l}(f), \hbox{ soit }$$
$$c_{k,l}(u)=\frac {4c_{k,l}(f)}{k^2+l^2}\hbox{ pour } (k,l)\neq (0,0).$$
(Rappelons que $f$ est  d'intégrale nulle et donc $c_{0,0}(f)=0$)
Donc $u(x,y) = c+ \sum_{(k,l)\in (\NN)^2\setminus\{(0,0)\}}\frac {4c_{k,l}(f)}{k^2+l^2}\cos{\frac k2x}\cos{\frac l2y},$ qui appartient bien à $H^2_{per}$. La constante $c$ n'est pas déterminée par le système d'équations et reste donc un degré de liberté. Remarquer que $u$
n'est pas nécessairement ${\cal C}^2$ et que donc l'équation n'a pas de sens classique !  Par contre, comme $u\in
H^2_{per}$, $u$ est ${\cal C}^0$. De plus $u$ est paire, ce qui signifie que $\frac{\partial u}{\partial n}(x,y)=0$ sur $\partial \Omega$.
\enddemo




\section{Lemme de Lax-Milgram}

\begin{thf}
On considère une forme bilinéaire  $a(u,v): H\times H\to H$ définie pour un espace de Hilbert $H$.
Alors $a$ est continue si et seulement si il existe une constante  $C$ telle que $|a(u,v)\leq C ||u||.||v||.$
\end{thf}
\paragraph{Démonstration}
En effet, comme  $a$ est continue en zéro, on a $|a(u,v)|\leq 1$ pour $||u||, ||v||\leq \eta$. On considérant $\frac {u}{||u||}$ et $\frac{v}{||v||}$ on déduit immédiatement l'inégalité annoncée pour $u$ et $v$ quelconques. Inversement si $|a(u,v)\leq C ||u||.||v||$, on a par l'inégalité triangulaire
$$|a(u,v)-a(u',v')|\leq |a(u-u',v)|+|a(u',v-v')|\leq C(||u-u'||.||v||+||u'||.||v-v'||),$$
ce  qui prouve la continuité de $a$.
\enddemo
On dit qu'une forme bilinéaire symétrique ($a(u,v)=\overline{a(v,u)}$) est {\it coercive} s'il existe une constante $c>0$ telle que
$$a(u,u)\geq c||u||^2.$$

\dexer
Soit $a(u,v)$ une forme bilinéaire continue et coercive sur $H$. Alors $||u||_a:=\sqrt{a(u,u)}$  est une norme équivalente à la norme de $H$.
\fexer
Beaucoup de problèmes de physique, de mécanique, de traitement du signal ou de l'image se ramènent à minimiser  sur $H$ une fonctionnelle  d'énergie du type:
\begin{equation}\label{energieLaxMilgram}E(u)=\frac 12 a(u,u)-(b,u),\end{equation} où $b\in H$ et $a$ est bilinéaire, continue et coercive.

\begin{thf} Soit $H$ un espace de Hilbert  séparable et $E$ une fonctionnelle d'énergie du type (\ref{energieLaxMilgram}), avec $a$  bilinéaire, symétrique ($a(u,v)=\overline{a(v,u)}$), continue et coercive. Alors il existe un unique $u$ minimisant  $E(u)$ sur $H$. De plus, $u$ est caractérisé par la relation variationnelle
\begin{equation}
\label{relationvariationnelle} \forall v\in H,\; Re(a(v,u))=(b,v).
\end{equation}
\end{thf}
\paragraph{Démonstration} Supposons d'abord que le minimum $u$ existe. Alors pour tout autre vecteur $v$ dans  $H$ on considère $f(t)=E(u+tv)=\frac 12 a(u+tv,u+tv)-(b,u+tv).$  En exprimant que  $f'(0)=0$ on obtient $\frac 12 (a(v,u)+a(u,v))-(b,v)=0$, ce qui donne (\ref{relationvariationnelle}).
Montrons  que le minimum est unique. S'il y en a deux, $u$ et $v$, on peut écrire par (\ref{relationvariationnelle}),
$$Re(a(u, v-u))=(b,v-u)=Re(a(v,v-u)),$$ ce qui donne
$Re(a(u-v,v-u))=0$, ce qui implique $a(u-v,u-v)=0$ et donc $u=v$, puisque $a$ est coercive.
Montrons finalement l'existence de $u$. Pour cela, on commence par remarquer que $E(u)$ est minorée.
En effet par la coercivité et l'inégalité de Cauchy-Schwarz, $E(u)\geq c||u||^2-||b||.||u||$, qui  est une fonction réelle  de $||u||$ minorée. Donc on peut considérer une {\it suite minimisante} $u_n$ pour $E$, telle que $E(u_n)\to \inf_{u\in H}E(u).$ On a $E(u_n)\leq E(0)=0$, et donc par la coercivité $\frac c2||u_n||^2\leq ||b||.||u_n||$, qui implique $||u_n||\leq 2||b||.$  La suite minimisante $u_n$ est donc bornée dans $H$. Par la proposition \ref{compacitefaiblehilbert} il existe donc une sous-suite (que nous noterons encore $u_n$) telle que $u_n\rightharpoonup u\in H$.
Par la même proposition, appliquée avec la norme $||u||_a$, équivalente à la norme $||u||$, on obtient $a(u,u)\leq\lim\inf_n a(u_n,u_n).$ Comme $(b,u_n)\to (b,u)$ (convergence faible!) il en résulte que
$$E(u)=\frac 12 a(u,u)-(b,u)\leq\lim\inf_n(\frac 12 a(u_n,u_n))-\lim_n(b,u_n))= \lim\inf E(u_n)\to \inf_{v\in H}E(v).$$ Donc  $u$ est le minimum de $E$.
\enddemo

\section{L'interprétation variationnelle}
\begin{pro} Soit $\Omega=[0,2\pi]^2$ et  $f\in  L^2_{per}(\RR^2)$.  Alors il existe une fonction unique  $u$ dans  $H^1_{per}(\RR^2)$ minimisant l'énergie $$E(u)=\frac 12\int_\Omega |Du|^2(x,y)dxdy-\int_\Omega f(x,y)u(x,y)$$ et vérifiant $u=0$ sur $\partial \Omega$. Cette solution minimale est en fait
la restriction à  $\Omega$ d'une fonction impaire appartenant à $H^2_{per}([-2\pi,2\pi]^2)$ (fonctions $4\pi$ périodiques). Cette solution est la même que celle du problème de Dirichlet
$$-\Delta u= f, \;\;\;u=0 \hbox{ sur }\partial \Omega.$$
\end{pro}
\paragraph{Démonstration} Pour avoir automatiquement la condition de bord, considérons la base en sinus de $L^2_{per}([0,2\pi])$, $\frac 1{\pi^2} \sin\frac {kx}2\sin\frac{ky}2.$ Dans cette base on a pour   $(k,l)\in (\NN^*)^2$, $c_{k,l}(u)=\frac 1{\pi^2} \int_{[0,2\pi]^2}u(t)\sin\frac{kt}2\sin\frac{ls}2ds dt$ et  $u=\sum_{(k,l)\in
(\NN^*)^2}c_{k,l}(u)\sin\frac{kt}2\sin\frac{ls}2 $, ainsi qu'une relation du même type pour $f$.
En utilisant ces séries de Fourier, l'énergie $E$ devient
$$E(u)=\sum_{(k,l)\in
(\NN^*)^2}\frac 18(k^2+l^2)c_{k,l}(u)^2-c_{k,l}(u)c_{k,l}(f).$$
On a une somme infinie de termes à minimiser, mais  chaque terme dépend d'une variable distincte $c_{k,l}(u)$. Si on minimise chaque terme séparément, on obtient par simple dérivation   $c_{k,l}(u)=\frac 4{k^2+l^2}c_{k,l}(f)$. On reconnaît donc la solution de l'équation de Poisson  avec condition de Dirichlet.
\enddemo

\subsection{L'éditeur de  Poisson}
\begin{pro} Soit $\Omega=[0,2\pi]^2$ et  $V=(v_1,v_2)\in  (L^2_{per}(\RR^2))^2$ un champ de vecteurs.  Alors il existe une fonction unique  $u$ dans  $H^1_{per}(([-2\pi,2\pi]^2))$ minimisant l'énergie $$E(u)=\frac 12\int_\Omega |Du-V|^2(x,y)dxdy=\int_\Omega[(u_x-v_1)^2+(u_y-v_2)^2]dxdy$$ et vérifiant
$\frac {\partial u}{\partial n}=0$ sur $\partial \Omega$. Cette solution minimale est en fait
la restriction à  $\Omega$ d'une fonction paire appartenant à $H^1_{per}([-2\pi,2\pi]^2)$ (fonctions $4\pi$ périodiques). Cette solution est la même que celle du problème de Neumann
$$-\Delta u= -div (V)(=-\frac{\partial v_1}{\partial x}-\frac{\partial v_2}{\partial y}), \;\;\;\frac{\partial u}{\partial n}=0 \hbox{ sur }\partial \Omega.$$
\end{pro}

\paragraph{Démonstration}
Pour avoir de manière naturelle la condition
aux limites $\frac{\partial u}{\partial n}=0$, il est  convenable d'utiliser la base en cosinus $(\cos(\frac{kx}2)\cos(\frac{ly}2)), \; (k,l)\in (\NN)^2, (x,y)\in \RR^2$. Décomposer $u$, $v_1$ et $v_2$ sur cette base les étend naturellement en des fonctions paires par rapport aux deux variables sur $[-2\pi,2\pi]^2$.
On pose donc pour $(k,l)\in (\NN)^2$, $c_{k,l}(u)=c(k)c(l) \int_{[0,2\pi]^2}u(t)\cos\frac{kt}2\cos\frac{ls}2ds dt$
avec $c(k)=\frac{1}{\pi}$  si $k\neq 0$, $c(k)=\frac{1}{2\pi}$ si $k=0$, et on a $u=\sum_{(k,l)\in
(\NN)^2}c_{k,l}(u)\cos\frac{kt}2\cos\frac{ls}2 $ et une relation du même type pour $v_1$, $v_2$. L'énergie de l'éditeur de Poisson s'écrit donc

$$E(u)=\sum_{(k,l)\in
(\NN)^2}\frac k2(c_{k,l}(u)-c_{k,l}(v_1))^2+(\frac l2c_{k,l}(u)-c_{k,l}(v_2))^2).$$

Cette énergie est une forme quadratique diagonalisée, dépendant des $c_{k,l}$. En minimisant cette énergie composante par composante, on est amenés à minimiser pour chaque $k,l$ le trinôme
$$(\frac{k^2}4+\frac {l^2}4)c_{k,l}(u)^2-(kc_{k,l}(v_1)+lc_{k,l}(v_2))c_{k,l}(u), $$ ce qui donne
$$c_{k,l}(u)=2\frac{kc_{k,l}(v_1)+lc_{k,l}(v_2)}{k^2+l^2},\;\; \forall (k,l)\neq (0,0).$$
Remarquons que la solution ainsi obtenue est bien dans $H^1_{per}(\Omega)$. En effet la série $\frac k2c_{k,l}(u)$ est bien quadratiquement convergente, donc $\frac {\partial u}{\partial x}$ est bien dans $L^2_{per}$, et la même chose vaut pour $\frac {\partial u}{\partial y}.$
De plus, tous les $c_{k,l}(u)$ sont uniquement déterminés pour le minimum sauf $c_{0,0}(u)$ qui reste libre, puisque si $u$ est solution $u+C$ l'est aussi pour toute constante.

Donc la solution est
 $$u(x,y) = c+ \sum_{(k,l)\in (\NN)^2\setminus\{(0,0)\}}2\frac{kc_{k,l}(v_1)+lc_{k,l}(v_2)}{k^2+l^2}\cos{\frac k2x}\cos{\frac l2y},$$ et  appartient  à $H^1_{per}$. La constante $c$ n'est pas déterminée par le système d'équations et reste donc un degré de liberté.

\enddemo

\begin{pro} La solution $u$ de l'éditeur de Poisson à champ de gradient prescrit $V=(v_1,v_2)$ vérifie au sens des distributions l'équation
$$\Delta u= div(V).$$
\end{pro}
\paragraph{Démonstration}
 On fait un raisonnement perturbatif en prenant une perturbation $t\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$.
 On a pour le minimum $u$ et pour tout $t$ et tout $\varphi$:
 $$\int(D(u+t\varphi)-V)^2\geq \int(Du-V)^2.$$
 En exprimant que la dérivée de ce trinôme en $t$ est nulle pour $t=0$ on obtient
 $$\int(Du-V).D\varphi=\int (u_x-v_1)\varphi_x+\int (u_y-v_2)\varphi=0,$$ que l'on peut écrire, comme $u_x$, $u_y$,  $v_1$, $v_2$ sont dans $L^2_{loc}$ et donc sont des distributions:
 $$<u_x-v_1,\varphi_x>+<u_y-v_2,\varphi_y>=0,$$ soit encore en utilisant la définition de dérivée au sens des distributions,
 $$<u_{xx}-(v_1)_x,\varphi>+<u_{yy}-(v_2)_y,\varphi>=0,$$ et  donc
 $$\Delta u-div(V)=0.$$
\enddemo

\section{La décomposition périodique+régulier}
\begin{pro} Soit $u\in H^2([0,2\pi]^2)$. On périodise $\Delta v\in L^2([0,2\pi])^2$. Alors il y a une fonction $v\in H^2_{per}([0,2\pi]^2$ telle que $\Delta v=\Delta u$ sur  $[0,2\pi]^2$. Cette fonction est unique à une constante additive près. La différence $w=v-u$ vérifie donc $\Delta w=0$ et est donc régulière sur $[0,2\pi]^2$.
\end{pro}
\paragraph{Démonstration} On utilise la base de Fourier standard sur $[0,2\pi]^2$ et on décompose donc $u$  et $\Delta u\in L^2([0,2\pi]^2)$ dans cette base. On a donc
$$-(k^2+l^2)c_{k,l}(v)=c_{k,l}(\Delta u),$$ ce qui donne
$$v=-\sum_{(k,l)\in\relative^2\setminus \{(0,0)\}} \frac {c_{k,l}(\Delta u)}{k^2+l^2}.$$
Ceci détermine de manière unique tous les coefficients de Fourier de $v$ sauf le coefficient constant
$c_{0,0}(v)$, qui peut être fixé de manière  arbitraire.
\enddemo
La décomposition précédente permet de visualiser le spectre de $u$ ``débarrassé'' de ses effets de bord: on visualise le spectre de $v$, qui est une version périodisée de $u$ qui en a gardé intuitivement tous les détails à l'intérieur de l'image, puisque son laplacien a été conservé.
\section{Unicité des coefficients de Fourier}

\begin{Def} {\bf et proposition (partition p\e riodique de l'unit\e )} \index{A}{Partition p\e
riodique de l'unit\ea } Il existe $\chi\in C_0^\infty(\real^2)$ telle que \fb& \label{partitiondeluniteperiodique}
\sum_{\bk\in \relative^2}\chi(\bx+2\bk\pi)= 1. \fe&
\end{Def}

\paragraph{D\e monstration} S  Il suffit de
prendre $\varphi \in C_0^\infty$ positive ou nulle partout et strictement positive sur $[0,2\pi]^2$, puis de poser
$\chi(\bx) = \frac {\varphi(\bx)}{\sum_{\bk\in \relative^2}\varphi(\bx+2\pi\bk)}.$ Comme le support de $\varphi$ est compact, la
somme au d\e nominateur est une somme finie pour chaque $x$.
\enddemo

\begin{lem} \label{proprietesdelaperiodiseeenFourier} Soit $\varphi\in C_0^\infty$ une
fonction test et $\tilde \varphi(\bx)=\sum_{\bk\in \relative^2}\varphi(\bx+2\pi\bk)$ sa p\e riodis\e e. Alors le d\e veloppement en s\e rie de Fourier de $\tilde \varphi$ peut s'\e crire sous
 la forme
\fb& \tilde \varphi(\bx) =\sum_{\bm\in\relative^2}c_\bm(\tilde \varphi)e^{i\bm.\bx} \hbox{ avec  } c_\bm(\tilde \varphi)=\frac
1{2\pi^2}\int_{\real^2} \varphi(\bx)e^{-i\bm.\bx}d\bx. \fe&
\end{lem}
\paragraph{D\e monstration}Les coefficients de Fourier de $\tilde \varphi$ sont
$$c_\bm(\tilde \varphi)=\frac 1{2\pi^2} \int_{[0,2\pi]^2}\tilde \varphi(\bx)e^{-i\bm.\bx}d\bx=
\frac 1{2\pi^2}\int_{[0,2\pi]^2}\sum_{\bk\in \relative^2}\varphi(\bx+2\pi\bk)e^{-i\bm.(\bx+2\pi\bk)}d\bx=$$
$$\frac 1 {2\pi^2}\sum_{\bk\in\relative^2}\int_{[0,2\pi]^2+2\pi\bk}\varphi(\bx)e^{-i\bm.\bx}d\bx=
\frac 1{2\pi^2} \int_{\real^2} \varphi(\bx)e^{-i\bm.\bx}d\bx.$$
\enddemo

\begin{cor} \index{A}{Fonctions tests pour Fourier}\label{fonctiontestfourier}
Pour tout $\bm_0\in\relative^2$, il
existe une fonction $\varphi\in C_0^\infty$ telle que \fb& \label{orthogonalitegeneralisee} \forall \bm\in\relative^2,\; \int_{\real^2} \varphi(\bx)e^{i\bm.\bx}d\bx=\delta_{\bm,\bm_0}. \fe&
\end{cor}

\paragraph{D\e monstration}
Il suffit de prendre $\varphi(\bx)= \chi(\bx)e^{-i\bm_0.\bx}$, o\u $\chi(\bx)$ d\e finit une partition de l'unit\e .
 On a alors $\tilde \varphi(\bx)=e^{-i\bm_0.\bx}$.  On applique \a $\tilde \varphi$ le lemme
\ref{proprietesdelaperiodiseeenFourier}. Par unicit\ea des coefficients de Fourier de $\tilde \varphi$, on obtient
(\ref{orthogonalitegeneralisee}).
\enddemo

\begin{thf}\label{unicitedescoefficientsdefourier}\index{A}{Unicit\ea des
coefficients de Fourier d'une distribution} (Unicit\ea des coefficients de Fourier)   Si $u$ est une distribution admettant un développement en série de Fourier $u=\sum_{\bm\in
\Gamma^\star} c_{\bm} e^{i\bm.\bx}=0$, alors $\forall \bm, c_{\bm}=0$.
\end {thf}
\paragraph{D\e monstration}
Pour tout $\varphi\in C_0^\infty$,
$$<\sum_\bm c_{\bm}e^{i\bm.\bx}, \varphi>=\sum_\bm c_{\bm}<e^{i\bm.\bx},
\varphi>= \sum_\bm c_{\bm}\int_{\real^2} \varphi(\bx)e^{i\bm.\bx}d\bx.$$ Le th\e or\ee me r\e sulte alors imm\e diatement en
choisissant $\varphi$ comme indiqu\ea dans le Corollaire \ref{fonctiontestfourier}.
\enddemo


\section{Visualisation de fonctions dans les espaces de Sobolev}
\paragraph{Exemple de fonction continue et juste en dehors de $H^1_{per}$}

Afin de donner une id{é}e concr{è}te du type de fonction appartenant {à} l'espace $H^1_{per}$, nous allons donner
plusieurs exemples de fonctions dont le module des coefficients de Fourier décroît à une vitesse donnée, ce qui
caractérise leur appartenance à ces espaces. Dans le cas de la dimension 1, nous montrons, figure \ref{pasH11D}, trois
exemples de fonctions de $\R$ dans $\R$, dont les coefficients vérifient $|c_k(f)|=(|k|+1)^{-\alpha}$, avec
respectivement $\alpha=1,01$, $\alpha=1,5$, $\alpha=2$. Remarquons qu'une fonction avec de tels coefficients est
continue si $\alpha>1$, car alors la série $\sum |c_k|$ converge, et qu'il y a donc convergence uniforme de la série de
Fourier. D'autre part, la fonction est dans $H^1_{per}$ dès que $\alpha>\frac  3 2$, en vertu de la proposition
\ref{H1norme}, et n'y appartient pas dans le cas contraire. Dans le cas des fonctions de la figure \ref{pasH11D}, seule
la dernière fonction est dans $H_1$, la deuxième étant ``juste en dehors'' de cet espace. Numériquement, ces fonctions
sont discrètes, c'est à dire que leurs valeurs ne sont connues qu'en un nombre fini de points, et sont obtenues par
Transformée de Fourier Discrète inverse (voir le paragraphe \ref{s:TFD}). Un signal dont les termes décroissent en
$k^\alpha$ est généré, puis ses termes sont multipliés par des phases (nombres complexes de module 1) aléatoires
(uniformément tirées pour les expériences présentées) respectant les propriétés de symétrie des transformées de Fourier
des signaux réels (voir le paragraphe \ref{s:TFD}). Les fonctions sont alors obtenues par transformée de Fourier
inverse.

\paragraph{Images dans un espace de Sobolev}
Si une fonction $u$ de $L^2(I^2)$ a les coefficients $c_{i,j}$ de sa s{é}rie de Fourier tels que la
s{é}rie $\sum_{i,j}|c_{i,j}(u)|^2(1+i^2+j^2)$ diverge, elle n'est pas dans $H^1_{per}$. La figure \ref{pasH12D}
pr{é}sente plusieurs exemples de fonctions $u$ dont les coefficients de Fourier v{é}rifient
$|c_{i,j}|=\frac{1}{1+(i^2+j^2)^{\alpha/2}}$. Ces fonctions sont continues (leur s{é}rie de Fourier converge
uniform{é}ment) si $\alpha>1$, et ces fonctions ne sont pas dans l'espace $H^1_{per}$ si $\alpha<1.5$, d'apr{è}s la
proposition \ref{H1norme2}. Comme en dimension 1, ces images sont obtenues par Transformation de Fourier Discr{è}te
inverse, en imposant le module des coefficients de la transform{é}e, et en tirant des phases al{é}atoires.
\begin{figure}
\begin{center}

\includegraphics[width=7cm]{Figures/alpha_1.ps}

\includegraphics[width=7cm]{Figures/alpha_1.5.ps}

\includegraphics[width=7cm]{Figures/alpha_2.ps}

\end{center}
\caption[Espace $H^1_{per}(\R)$ et décroissance des coefficients de Fourier]{Fonctions continues de $\R$ dans $\R$ dont
les coefficients de Fourier v{é}rifient $|c_k(f)|=(k+1)^{-\alpha}$. Les arguments des $c_k(f)$ sont des variables
aléatoires indépendemment et uniformément distribués sur $[0,2\pi]$. Haut: $\alpha=1$, la fonction est en dehors de
$H^1_{per}$, milieu: $\alpha=1,5$, et la fonction est donc ``juste'' en dehors de l'espace $H^1_{per}$, bas:
$\alpha=2$, la fonction est dans $H^1_{per}$.} \label{pasH11D}
\end{figure}

\begin{figure}
\begin{center}

\includegraphics[width=7cm]{Figures/alpha2_1.ps}

\includegraphics[width=7cm]{Figures/alpha2_1.5.ps}

\includegraphics[width=7cm]{Figures/alpha2_2.ps}

\end{center}
\caption[Espace $H^1_{per}(\R^2)$ et décroissance des coefficients de Fourier]{fonctions continues dont les
coefficients de Fourier v{é}rifient $|c_{i,j}|=(1+i^2+j^2)^{-\alpha/2}$. Les arguments des $c_{i,j}$ sont des variables
aléatoires indépendemment et uniformément distribuées sur $[0,2\pi]$. Haut: $\alpha=1$, la fonction est en dehors de
$H^1_{per}$, milieu: $\alpha=1.5$, et la fonction est donc ``juste'' en dehors de l'espace $H^1_{per}$, bas:
$\alpha=2$, la fonction est dans $H^1_{per}$.} \label{pasH12D}
\end{figure}



\section{Exercices}
\dexo \hfill \newline 1) Les applications suivantes d{é}finissent-elles des distributions sur $\RR$
?\\
$$\vfi \rightarrow \sum_{n\geq0} \vfi^{(n)}(n),\qquad \vfi
\rightarrow \sum_{n\geq0} \vfi^{(n)}(0).$$ 2) Soit $f \in \Lun(\RR)$, montrer que $T_f : \vfi \mapsto \int_{\RR} f\vfi$
est dans $\Di(\RR)$,
 et qu'il n'existe pas $f \in L^1_{loc}(\RR)$ telle que $\delta_0 = T_f.$\\
D{é}finition : Les distributions du type $T_f$ sont appel{é}es "fonctions".\\
\fexo
{ \bf Rappel }:\\
\index{N}{${\cal C}^{\infty}_c(\Om)$ est l'ensemble des fonctions de classe ${\cal C}^{\infty}$ {à} support compact
dans $\Om$} Pour $K$ compact de $\RR$, on note ${{\cal C}_{c,K}^{\infty}}(\RR) = \{ \vfi \in {\cal
C}^{\infty}(\RR),\,\mbox{supp }\vfi \in K \}$ qui est naturellement muni de la topologie d{é}finie par la famille de
semi-normes $p_j(\vfi) = \sup_{m \leq j} \sup_K \vert \vfi^{m}(x) \vert$. On rappelle qu'une partie $U$ de $\DDK(\RR)$
est ouverte si ou bien $U = \emptyset$ ou bien $\forall \vfi \in U$, $\exists j,r$ tels que la boule $B_j(\vfi,r) = \{
\psi \in \DDK(\RR), p_j(\vfi - \psi) < r \} \subset
U$. (on pourra v{é}rifier que l'on d{é}finit bien ainsi une topologie.)\\
\dexo \index{A}{convergence!des distributions} \label{banachsteinhauspourdistrib} \hfill \newline Soit $(T_n)_n$ une
suite de distributions dans $\Di(\RR)$ telle que, $\forall \vfi \in \DD(\RR)$ la suite $<T_n,\vfi>$ converge vers une
limite que l'on note
$<T,\vfi>$, on veut montrer que la forme lin{é}aire $T$ est une distribution.\\
Avec les notations du rappel, on pose $E = \DDK (\RR)$ et
$$d(f,g) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{2^n} \inf(1,p_n(f-g)).$$
1) V{é}rifier que d est une distance sur E. Montrer que sur E, la topologie de la distance d est {é}quivalente {à} la
topologie d{é}finie par la famille de
semi-normes $(p_n)_n$. \\
2) V{é}rifier que $(E,d)$ est complet. On pose $F_k = \{ \vfi \in E\,:\,\forall n,\, \vert<T_n,\vfi>\vert \leq k \}$.
Montrer que $\exists k_0, i_0,\vfi,r$ tels que $B_{i_0}(\vfi,r) \subset F_{k_0}$. En d{é}duire que $T$ est continue sur
E et
donc que $T$ est bien une distribution.\\
Remarque : On peut remplacer $\RR$ par un ouvert quelconque de $\RR^N$. \fexo \dexo \label{distributionconstante}
\index{A}{distribution!à dérivée nulle} \hfill \newline Soit I un intervalle ouvert de $\RR$ et $\theta_0 \in \DD(I)$
telle que $\int_I \theta_0 = 1$.

a) V{é}rifier que $\forall \vfi \in \DD(I)$, $\exists (\lambda,\psi) \in \RR\times \DD(I)$ tel que $\vfi =
\lambda\theta_0+\psi^{\prime}$.

b) En d{é}duire que si $T \in \Di(I)$ v{é}rifie $T^{\prime} =0$ alors T est une fonction constante.

c) Soit $T \in \Di(I)$ telle que $T^{\prime} \in {\cal C}^{\infty}(I)$, montrer que $T \in {\cal C}^{\infty}(I)$. \fexo
\dexo \hfill \newline Soit $\psi$ solution de $\displaystyle{\sum_{j=0}^k} a_j \psi^{(j)}(x) = 0$ pour $x \in \RR$,
o{\`u} $a_j \in \RR$ et $a_k \not=0$,
satisfaisant \\
$\psi(0)=\psi^{\prime}(0)=...=\psi^{k-2}(0)=0$ et
$\psi^{k-1}(0)=\frac{1}{a_k}$.\\
1) Soit $Y= 1_{\RR^+}$, on pose $E=T_{Y\psi}$. V{é}rifier que $E \in \Di(\RR)$ et calculer
$\displaystyle{\sum_{j=0}^k} a_j E^{(j)}$.\\
2) Donner une solution dans $\Di(\RR)$ de $E^{\prime\prime}+E^{\prime}+E=\delta_0$. \fexo
%\include{chap1112}
