\documentclass[11pt,a4paper]{article}
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-0.71cm \topmargin -0.6cm

%macros et autres yann
% ensembles Q R N Z C indicatrice polynomes
\gdef\PP{\hbox{\rm I\kern-.25em\hbox{P}}} \gdef\ind{\indi}

\def\RR{\mathbb R}
\def\RRM{\small\mathbb R}
%{\hbox{\rm I\kern-.25em\hbox{R}}}

\gdef\NN{\hbox{\rm I\kern-.25em\hbox{N}}} \gdef\LLI{\hbox{\rm I\kern-.25em\hbox{L}}} \gdef\ZZ{{\sl Z\hskip -1ex Z} }
\gdef\CC{{\rm \hbox{C\kern-.56em\raise.4ex
         \hbox{$\scriptscriptstyle |$}\kern+0.5 em }}}
\gdef\QQ{\rm \hbox{Q\kern-.35em\raise.4ex
         \hbox{$\scriptscriptstyle |$}\kern+0.5 em }}
% ensembles Q R N Z C indicatrice polynomes
\gdef\PP{\hbox{\rm I\kern-.25em\hbox{P}}} \gdef\ind{\indi}

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I\kern-.25em\hbox{N}}} \gdef\LLI{\hbox{\rm I\kern-.25em\hbox{L}}}
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\hbox{C\kern-.56em\raise.4ex
         \hbox{$\scriptscriptstyle |$}\kern+0.5 em }}
\gdef\QQ{\rm \hbox{Q\kern-.35em\raise.4ex
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\newcommand \R {\RR}
\newcommand \Z {\ZZ}
\newcommand \N {\NN}
\newcommand \Sum{\Sigma}
\newcommand \hu {\hat{u}}
\newcommand \tu {\tilde u}
\def\cqfd{\enddemo}     % fin de preuve
\newcommand{\indi}{{1\!\!1}}
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\newcommand \trait{
\noindent\noindent
\begin{picture}(454,5)(0,-5)
\drawline(0,2)(454,2)
\end{picture}}
\newcommand{\lp}{{\ell}^p}
\newcommand{\lpp}{{\ell}^{p^{\prime}}}
\newcommand{\pp}{p^{\prime}}



%\def\R{é}sum{é}{\small\noindent\bf R{é}sum{é}. \rm}
\def\Abstract{\small\noindent\bf Abstract. \rm}

\def\nin{\not\in}                 % la negation de \in
\def\indic{1\!\!1}                % fonction indicatrice
\def\levelset{\chi}           % la surface de niveau
\def\meas{\mathop{\rm meas}}      % mesure de
\def\setB{\SetB}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%\RR
\def\real{\RR}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\NN{I\!\!N}
\def\relative{{\ZZ}}

\def\complex{{\CC}}
\def\mes{\hbox{mes}}
\def\sin{\hbox{sin}}
\def\cos{\hbox{cos}}
\def\interieur{\hbox{\rm Int{é}rieur}}
\def\signe{\hbox{\rm Signe}}
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\def\Re{\hbox{\rm Re}}
\def\support{\hbox{\rm Support}}
\def\supp{\hbox{\rm Support}}

\def\fb&{\begin{equation}}
\def\fe&{\end{equation}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ajouts sylvie
\newcommand{\ep}{\varepsilon}
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\newcommand{\om}{\omega}
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\def\drem{\begin{rem}\rm}%  sans
\def\frem{\end{rem}}%                   italique !

%\newtheorem{exo}{Exercice}[chapter]
\newtheorem{exo}{Exercice}
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\def\fb& {\begin{equation}}       % debut d'une equation
\def\fe& {\end{equation}}         % fin d'une equation
\def\enddemo{\hfill $\large\circ$ \newline\newline}     % fin de preuve
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\def\ooo {{\"o}}

\begin{document}
{\raggedright  Mathématiques\hfill{}
Analyse Fonctionnelle \par}

{\raggedright ENS de Cachan\hfill{} S.Fabre  2008-2009}


\vspace{0.5cm}

{\centering TD2  Topologie\\}

\vspace{0.5cm}


Bibliographie recommandée : poly analyse, J.Dixmier "topologie générale", G.Choquet "cours de topologie". 
\vspace{0.5cm}
\dexer
\hfill \newline
Soit $E$ un espace topologique "grossier" i.e. les ouverts de $E$ sont $\left\{ \emptyset,E \right\}$. Montrer que si $E$ contient plus d'un élément, il n'est pas séparé.
\fexer
\dexer
\hfill \newline
1) Soient $E$ un espace topologique compact et $F$ un espace topologique séparé. Soit $f :E \rightarrow F$ une application continue. Montrer que $f(E)$ est compact.\\
2) Soient $E$ un espace métrique compact et $F$ un espace métrique. Soit $f :E \rightarrow F$ une application continue. Montrer que $f$ est uniformément continue. 
\fexer
\dexer
\hfill \newline
Soit $E$ un e.v.n. de dimension finie, montrer que $E$ est séparable.
\fexer
\dexer
\hfill \newline
Soit $E={\cal C}_b(\RR)$ l'ensemble des fonctions continues et bornées sur $\RR$, à valeurs réelles. On munit $E$ de la norme $\Vert . \Vert_{ \infty}$. On souhaite montrer ici que $E$ n'est pas séparable.\\
On note $A=\left\{0,1\right\}^{\NN}$, l'ensemble des suites constituées de 0 ou 1.\\
1) Vérifier que $\forall z=(z_n)_n \in A$, il existe $f_z \in E$ telle que $f_z(n)=z_n$, $\forall n$, $0\leq f_z(x) \leq 1$, $\forall x\in \RR$ et telle que $z\neq t \Rightarrow \Vert f_z - f_t\Vert_{ \infty}=1$.\\
2) Supposer qu'il existe une suite $(g_n)_n$ dense dans $E$ et construire une injection de $A$ dans $\NN$. Conclure.
\fexer
\dexer  Théorème de Weierstrass
\hfill \newline
Soit $Q_n(t)=c_n(1-t^{2})^{n}$ sur $\left[-1,1\right]$ où $c_n$ est choisi pour que $\int^{1}_{-1}Q_n dt =1$.\\
1) Vérifier que (faire un dessin)
$$\int^{1}_{0} (1-t^{2})^{n} dt \geq \int^{\frac{1}{\sqrt{n}}}_{0} (1-nt^{2}) dt,$$
et en déduire que $c_n < \sqrt{n}$.\\ \\
2) Soit $f \in {\cal C}\left(\left[0,1\right],\RR\right)$. On suppose que $f(0)=f(1)=0$ et on prolonge $f$ et $Q_n$ par 0 à $\RR$ tout entier. On pose $P_n(x)=f\ast Q_n(x)$ pour $x\in \left[0,1\right]$.\\
Vérifier que $P_n$ est polyn\^{o}mial et montrer que $(P_n)_n$ converge uniformément vers $f$ sur $\left[0,1\right]$.\\ \\
3) Montrer que les polyn\^{o}mes à coefficients réels sont denses dans ${\cal C}\left(\left[0,1\right],\RR\right)$. C'est le théorème de Weierstrass. \\ \\ 
4) En déduire que ${\cal C}\left(\left[0,1\right],\RR\right)$ est séparable.\\

\fexer
\dexer
\hfill \newline
Soit $E$ un espace métrique et $A\subset E$ une partie non vide. Montrer que $\overline{A}$ est compact si et seulement si de toute suite de points de $A$, on peut extraire une sous-suite convergeant dans $E$.\fexer
\dexer  Théorème d'Ascoli
\hfill \newline
%{\bf Exercice 2} Théorème d'Ascoli 
%\\ \\
Soit $(K,d)$ un espace métrique compact et soit $E={\cal C}(K,\RR)$ muni de la distance de la convergence uniforme. Enfin soit $A$ une partie de $E$.\\ On note $A_x=\left\{ f(x), f\in A\right\}$ pour $x\in K$.\\
On suppose que la partie $A$ vérifie les deux conditions suivantes,

\hspace{0.5cm}
(i) $A$ est équicontinue sur $K$ c'est-à-dire $\forall \varepsilon >0, \exists
\eta >0,$  $\forall x, y \in K,$ \\$d(x, y)\leq \eta
\Rightarrow |f(x)-f(y)|\leq \varepsilon, \forall f\in A,$

\hspace{0.5cm}
(ii) $\forall x\in K$, $\overline{A_x}$ est compact dans $\RR$.\\
On va montrer que $\overline{A}$ est compact dans $E$ en utilisant le critère des suites. \\
Soit donc $(f_n)_n\subset A$.\\
1) Vérifier qu'il existe une suite $(x_k)_k \subset K$ dense dans $K$ et en utilisant le procédé d'extraction diagonale, montrer qu'il existe une sous-suite $(g_n)_n$ de $(f_n)_n$ telle que $\forall k$, $(g_n(x_k))_n$ converge dans $\RR$ vers une limite notée $g(x_k)$.\\
2) Montrer que $g$ est uniformément continue sur la suite $(x_k)_k$ et en déduire qu'elle se prolonge de façon unique en une application uniformément continue à $K$ tout entier.\\
3) Soit $\eps >0$ fixé et soit $\eta >0$ donné par l'hypothèse (i) et l'uniforme continuité de $g$. Vérifier qu'il existe $k \in \NN$ tel que $\forall x\in K$, $\exists l \leq k$ tel que $d(x,x_l)\leq \eta$.\\
Utiliser ce résultat pour montrer que $g_n \longrightarrow g$ uniformément sur $K$.\\ \\
Remarque: On peut facilement remplacer $\RR$ par $\RR^N$ dans l'énoncé (même démonstration) et aussi remplacer la condition (ii) par $\forall x\in K$, ${A_x}$ est borné.\\
Pour un énoncé où $\RR$ est remplacé par $F$ espace métrique complet voir Choquet ou Dixmier.\fexer
%\\ \\
%{ \bf Exercice 3} 
%\\ \\
\dexer
\hfill \newline
Soient $E$ et $F$ deux espaces de Banach. On note $B_E = \overline{B_E(0,1)}$. On dit que $T \in {\cal 
L}(E,F)$ est 
un op\'erateur compact si $\overline{T(B_E)}$ est compact dans F.\\
1) Soit $T \in {\cal L}(E,F)$ avec $\dim \mbox{Im}T < \infty$, montrer que $T$ est compact.\\
%2)  Soit $T \in {\cal L}(E,F)$, $T$ compact et tel que Im$T$ est ferm\'e dans $F$, montrer que $\dim 
%\mbox{Im}T < 
%\infty$.\\
2) Soit $E$ l'espace de Banach ${\cal C}[0,1]$ muni de la norme $\Vert f \Vert = \sup_{[0,1]} \vert 
f(x) \vert$.\\ 
Soit $K \in {\cal C}([0,1]\times[0,1])$. Pour $f \in E$, on d\'efinit $T(f)$ par $$T(f)(x) = \int_0^1 
K(x,y) f(y) dy.$$ 
Vérifier que $T(f)\in E$ et que $T \in {\cal L}(E,E)$. Puis, montrer que $T$ est compact.\fexer
\dexer {\bf (longueur d'un arc rectifiable)} 
\hfill \newline
On appelle arc rectifiable un sous-ensemble $C$ de $\RR^N$ qui est
l'image d'une  application Lipschitz $c :$ $s\in[0,1]\to c(s)\in \RR^N$. On
appelle longueur de l'arc, $l(C)$, l'infimum des constantes de Lipschitz des
applications surjectives $c$ : $[0,1]\to C$. Montrer que cet infimum est
atteint. \newline Marche \a suivre : consid\e rer une suite $c_n$ dont les
constantes de Lipschitz tendent vers $l(C)$.  Extraire une sous-suite
convergeant uniform\e ment vers un arc $c$ et montrer que $c$ est Lipschitz et
que sa constante de Lipschitz est  \e gale \a $l(C)$. \fexer
\newpage
\setcounter{exo}{4}
{ \bf Corrigé}
\dexo
\hfill \newline
1) Sur $[0,1]$, $(1-t^2)^n \geq 1 -nt^2$ et $\int_0^1 (1-t^2)^n dt \geq
\int_0^{\frac{1}{\sqrt{n}}} (1 - nt^2) dt$ (puisqu'on ne consid{è}re que la
partie positive de l'aire constitu{é}e par le graphe de $1 -nt^2$ sur
$[0,1]$.) Donc,
$$ 1 = c_n \int_{-1}^1 (1-t^2)^n dt = 2c_n \int_0^1 (1-t^2)^n dt \geq
2c_n\int_0^{\frac{1}{\sqrt{n}}} (1 - nt^2) dt = \frac{4c_n}{3\sqrt{n}},$$
on en d{é}duit que $c_n \leq \frac{3}{4} \sqrt{n}$.\\
2) Pour $x \in [0,1]$, on a
$$P_n(x) = \int_{-1}^1 f(x-y) Q_n(y) dy = \int_0^1 Q_n(x-y) f(y) dy.$$
Si $Q_n(x) = \displaystyle{\sum_0^{d_n}} a_p x^p$ alors
\begin{eqnarray*}
\int_0^1 Q_n(x-y)f(y) dy &=& \int_0^1 \displaystyle{\sum_{p=0}^{d_n}} a_p
\displaystyle{\sum_{k=0}^p} C_p^k
x^k
(-y)^{p-k} f(y) dy,\\
 &=& \displaystyle{\sum_{p=0}^{d_n}} a_p \displaystyle{\sum_{k=0}^p} C_p^k x^k (-1)^{p-k}
\underbrace{\int_0^1y^{p-k}f(y) dy}_{\mbox{constante}}.
 \end{eqnarray*}
Ce qui montre que $P_n$ est polynomial.\\
L'application $f$ est uniform{é}ment continue sur $\RR$ donc pour $\ep >0$
fix{é}, il existe $\delta >0$ tel que $\forall x \in [0,1]$ et $\forall y$ tel
que $\vert y \vert \leq \delta$, $\vert f(x-y) - f(x) \vert \leq \ep$. Comme
$\int_{-1}^1 Q_n dt =1$, on a
\begin{eqnarray*}
\vert P_n(x) - f(x) \vert &=& \vert \int_{-1}^1 (f(x-y) - f(x)) Q_n(y) dy \vert,\\
 &\leq& \int_{[\vert y \vert \leq \delta]} \vert f(x-y) - f(x) \vert Q_n(y) dy + 2
\Vert f \Vert_{\infty} \int_{[1 \geq \vert y \vert \geq \delta]} Q_n(y) dy.
 \end{eqnarray*}
Enfin, comme $(1-t^2)^n \geq (1 - \delta^2)^n$ si $1 \geq t \geq \delta$, on a
$$\int_{\delta}^1 Q_n(y) dy \leq Q_n(\delta) \leq \sqrt{n} (1 - \delta^2)^n
\rightarrow 0,$$ donc $\exists N$ tel que $\forall n \geq N$,  $\int_{\delta}^1
Q_n(y) dy \leq \ep$. D'o{\`u} $\vert P_n(x) - f(x) \vert \leq (1+4\Vert f
\Vert_{\infty}) \ep$ et ceci $\forall x \in [0,1]$, on en d{é}duit que $\Vert
f - P_n \Vert_{\infty}
\rightarrow 0$ quand $n \rightarrow +\infty$.\\
3) Soit $f \in {\cal C}([0,1])$, alors $\widehat{f} = f - f(0) - x(f(1)-f(0))$
est continue et v{é}rifie $\widehat{f}(0) = \widehat{f}(1) = 0$, donc par 2),
$\forall \ep > 0$, $\exists \widehat{P_{\ep}}$ polyn{\^o}me tel que $\Vert
\widehat{f} -
\widehat{P_{\ep}} \Vert_{\infty} \leq \ep.$\\
Soit $P_{\ep} = \widehat{P_{\ep}}- f(0) - x(f(1)-f(0))$ alors $P_{\ep}$ est
polynomial et $f - P_{\ep} = \widehat{f} - \widehat{P_{\ep}}$ ce qui montre que
les polyn{\^o}mes sont denses dans ${\cal C}([0,1])$.\\
4) On en déduit que les polyn{\^o}mes à coefficients rationnels sont denses dans ${\cal C}([0,1])$, ils constituent une partie dénombrable de ${\cal C}([0,1])$. Donc ${\cal C}([0,1])$ est séparable.\fexo
%\\ \\
%Exercice 1: \\
\dexo
\hfill \newline
Le sens direct est immédiat. Pour l'autre sens, on se donne $(x_n)_n$ une suite de $\overline{A}$ et on veut montrer qu'elle admet une sous-suite convergente. Comme $x_n \in \overline{A}$ pour tout $n$, il existe $y_n \in A$ tel que $d(x_n,y_n)\leq \frac{1}{n}$ par exemple. Par hypothèse, $(y_n)_n$ a une sous-suite $(y_{nk})_{nk}$ convergente dans $E$. On en déduit facilement que $(x_{nk})_{nk}$ converge vers la même limite.\fexo
%\\ \\
%Exercice 2:\\
\dexo
\hfill \newline
1) On sait qu'un espace métrique compact est séparable (vu en TD1) donc
 il existe une suite de points $(x_k)_k$ qui
est dense dans $K$. \\
On va alors extraire pour tout $k$ de la suite $f_n$ une
sous-suite $f_{\varphi_k(n)}$ telle que $f_{\varphi_k(n)}(x_l)$
converge pour $l\leq k$ et telle que $f_{\varphi_k(n)}$ soit une
sous-suite de $f_{\varphi_{k-1}(n)}$. On procède par
extractions successives. \\
Comme la suite $(f_n(x_1))_n\subset \overline{A_{x_1}}$ est bornée,
la suite $(f_n)_n$ admet une sous-suite convergente en $x_1$ que nous
notons $f_{\varphi_1(n)}$ et donc  $f_{\varphi_1(n)}(x_1) \longrightarrow y_1$ dans $\RR$.  Maintenant, la suite $(f_{\varphi_1(n)}(x_2))_n \subset \overline{A_{x_2}}$ est bornée, elle admet une sous-suite $f_{\varphi_2(n)}$ qui converge aussi en
$x_2$, et on recommence ainsi de suite, au rang $k$ par exemple, il existe $(f_{\varphi_k(n)})_n$ extraite de $(f_n)_n$ telle que $(f_{\varphi_k(n)})_n$ est extraite de $(f_{\varphi_{k-1}(n)})_n$ et $f_{\varphi_k(n)}(x_k) \longrightarrow y_k\in \RR$.\\
On applique alors le procédé dit d'extraction
diagonale : on pose $g_n=f_{\varphi_{n}(n)}$ "suite diagonale" alors $g_n$ vérifie :\\
dès que $n\geq k$, $(g_n)_n$ est extraite de $(f_{\varphi_k(n)})_n$ (elle-même extraite de $(f_n)_n$) et converge en tout point de la suite
$x_k$ vers $y_k\in \RR$. On pose alors $g(x_k)=y_k$ pour tout $k$.\\
2) Soit $\eps >0$, on cherche $\eta >0$ tel que $\forall l,k$, $d(x_l,x_k)\leq \eta $ $\Longrightarrow $ $\vert g(x_l)-g(x_k)\vert \leq \varepsilon $.\\
"On coupe en 3": $\vert g(x_l)-g(x_k)\vert \leq \vert g(x_l)-g_n(x_l)\vert + \vert g_n(x_l)-g_n(x_k)\vert + \vert g_n(x_k)-g(x_k)\vert$, et on utilise l'équicontinuité des $g_n$ : $\varepsilon >0$ étant fixé,\\
$\exists \eta >0$ tel que $\forall l,k$, $d(x_l,x_k)\leq \eta \Longrightarrow \vert g_n(x_l)-g_n(x_k)\vert \leq \varepsilon$, $\forall n$. Les 2 autres termes tendent vers 0 quand $n$ tend vers l'infini donc, on obtient par exemple \\
$\exists \eta >0$ tel que $\forall l,k$, $d(x_l,x_k)\leq \eta$ $\Longrightarrow$ $\vert g(x_l)-g(x_k)\vert \leq 3\varepsilon $.\\
On utilise ensuite le théorème de prolongement vu en TD1, $g$ se prolonge de façon unique à $K$ tout entier en une fonction uniformément continue encore notée $g$.\\
3) Par équicontinuité des $g_n$ et uniforme continuité de $g$ sur $K$, on peut écrire:\\
$\forall \eps >0$, $\exists \eta >0$ tel que $\forall x,y \in K$, $d(x,y)\leq \eta \Longrightarrow$ $\vert g_n(x)-g_n(y)\vert\leq \varepsilon$, $\forall n$ et $\vert g(x)-g(y)\vert \leq \varepsilon$.\\
Soient $\varepsilon>0$ fixé et $\eta >0$ donné par ci-dessus. Comme $K$ est compact, il existe $k$ tel que
$$K \subset \bigcup_{1\leq l\leq k}B(x_l,\eta ).\quad (*)$$  
Montrons maintenant que $\forall x\in K$, $\vert g_n(x)-g(x)\vert \leq 3\varepsilon$ pour $n$ assez grand (ce qui prouvera bien la convergence uniforme).\\
On écrit:\\
$\vert g_n(x)-g(x)\vert \leq \vert g_n(x)-g_n(x_l)\vert+\vert g_n(x_l)-g(x_l)\vert+\vert g(x_l)-g(x)\vert$.\\
Avec $(*)$ et l'équicontinuité des $g_n$, $\vert g_n(x)-g_n(x_l)\vert\leq \varepsilon$, $\forall n$.\\
On fixe finalement $n_0$ assez grand pour que
$$n\geq n_0\Rightarrow \forall l\leq k, \; |g_n(x_l)-g(x_l)|\leq\varepsilon,$$
(ce qui est possible car c'est un nombre fini de suites qui tendent vers 0).\\
Enfin, par uniforme continuité de $g$ et $(*)$, $\vert g(x_l)-g(x)\vert\leq \varepsilon$.\\
Donc, on a bien montré : $\forall \eps >0$, $\exists n_0$ tel que $\forall n\geq n_0$, $\forall x\in K$, $\vert g_n(x)-g(x)\vert \leq 3\varepsilon$.\fexo
%\\ \\
%Exercice 3:\\
\dexo
\hfill \newline
1) $T(B_E)$ est inclus dans le compact $\overline{B(0,\Vert T \Vert)} \cap ImT$ de Im($T$) qui est de dimension finie. Donc $T$ est compact.\\
2) $T(f) \in E$ par convergence dominée par exemple. $T$ est linéaire et $\forall x$,$$\vert T(f)(x)\vert\leq \Vert K \Vert_{\infty}\;\Vert f \Vert_{\infty}.$$
Donc $T$ est continue sur $E$. \\
Pour montrer que $T$ est un opérateur compact, on applique le théorème d'Ascoli à $A=T(B_E)$ dans ${\cal C}[0,1]$. \\
L'uniforme continuité de $K$ permet de prouver l'équicontinuité de $T(B_E)$.\\En effet, $\forall \varepsilon >0$, $\exists \eta >0$ tel que $\forall x,z \in [0,1]$ et $\forall y\in [0,1]$, on a $\vert x-z\vert\leq \eta $ $\Longrightarrow $  $\vert K(x,y)-K(z,y)\vert\leq \varepsilon$. D'où, $\forall x,z \in [0,1]$ tels que $\vert x-z\vert\leq \eta $, on a, $\forall f\in B_E$, 
$$\vert T(f)(x)-T(f)(z) \vert \leq \Vert f \Vert_{\infty}\;\int_0^1  \vert K(x,y)-K(z,y) \vert dy \leq \varepsilon.$$
Enfin, $\forall x\in [0,1]$, $\left\{ T(f)(x), f\in B_E\right\}\subset [-\Vert K \Vert_{\infty},\Vert K \Vert_{\infty}]$ donc le point (ii) est vérifié. \\On déduit du théorème d'Ascoli que $\overline{T(B_E)}$ est compact.\fexo
\dexo
\hfill \newline
On note $S$ l'ensemble des applications surjectives $c$ de $[0,1]$ sur $C$ l'arc rectifiable et
de constante de Lipschitz $k_c$,
on a $l(C) = \displaystyle{\inf_{c \in S}} k_c$.\\
Soit $(c_n)_n \subset S$ telle que $(k_{c_n})_n$ soit une suite minimisante (par exemple :
$l(C) \leq k_{c_n} \leq l(C)+ \frac{1}{n}$).\\
On note $A = \{ c_n,\,n \geq 1 \} \subset {\cal C}[0,1]$. On va appliquer le th\e or\ee me
d'Ascoli \`a l'ensemble $A$.

1) $A$ est \'equicontinue :\\
On remarque que $\Vert c_n(t) - c_n(s) \Vert \leq k_{c_n} \vert t - s \vert \leq (l(C)+1) \vert
t-s \vert$ et ceci pour tous
$t$ et $s$ dans $[0,1]$. Donc $A$ est \'equicontinue.

2) Montrons que la suite $(c_n(s))_n$ est born\e e, $\forall s \in [0,1]$.\\
$C$ compact de $\RR^N$ est born\ea donc il existe $R>0$ tel que $C \subset B(0,R)$. Alors
$\forall s \in [0,1]$,
$\forall c \in S$, $\Vert c(s) \Vert \leq R$.\\
Le th\e or\ee me d'Ascoli donne l'existence d'une sous-suite $(c_{n_p})_p$ convergeant
uniform\e ment dans ${\cal C}[0,1]$. On note
$c_0$ la limite. On a
$$\forall p,\,\,\, \Vert c_{n_p}(s) - c_{n_p}(t) \Vert \leq k_{n_p} \vert s - t \vert,\,\,\,
\forall s,\,t \in [0,1],$$
donc quand $p$ tend vers l'infini, $\Vert c_0(s) - c_0(t) \Vert \leq l(C) \vert s-t \vert$,
$\forall s,\,t \in [0,1]$. Il reste \`a
v\e rifier que $c_0$ est surjective : $c_0([0,1]) = C$. On sait que pour tout $y \in C$ et pour
tout $p$, il existe un $s_{np}$ dans $[0,1]$ tel que
$y = c_{n_p}(s_{np})$. La suite $(s_{np})_p$ est dans $[0,1]$ compact donc il existe une
sous-suite encore not\e e $(s_{np})_p$ qui
converge vers un $s \in [0,1]$. Comme $s_{np} \longrightarrow s$ et $c_{n_p} \longrightarrow
c_0$ uniform\e ment, on peut passer
\`a la limite et on obtient $y=c_0(s)$, donc $c_0$ est surjective et $l(C) = k_{c_0}$.
\fexo
\end{document}
