
\chapter{Abrégé de topologie générale\label{ChapitreTopologie} }


La topologie d'un espace métrique est bien connue du lecteur ; nous donnons ici une brève introduction à la topologie
générale, permettant de définir les notions de convergence, de continuité, et de compacité quand un espace topologique
n'est pas muni d'une distance. Le lecteur trouvera un exposé beaucoup plus complet dans \cite{choquet}, \cite{dixmier},
\cite{bourbaki}.

\paragraph{Rappels de topologie g\e n\e rale}
\begin{Def} \index{A}{topologie!d\e finition} On appelle espace topologique tout
couple constitu\ea d'un ensemble $E$ et d'un ensemble $\cal O$ de parties de $E$ stable par intersection finie et union
quelconque et contenant $E$ et $\emptyset$.  Les \e l\e ments de $\cal O$ sont appel\e s les {\it ouverts}.
\end{Def}

\dexer Montrer qu'un espace métrique muni de $\mathcal O$, défini comme l'ensemble de toutes les unions quelconques de
boules ouvertes, est un espace topologique.
 \fexer

 %\begin{Def}  Soit $(E, \mathcal O)$ un espace topologique et $A\subset E$ une partie. On appelle topologie induite sur
% $A$ la topologie dont les ouverts sont toutes les intersections $A\cap O$, pour $O$ dans $\mathcal O$.
% \end{Def}
\begin{Def} Topologie induite: Si $(E, \mathcal O)$ est un espace topologique et $A\subset E$, on appelle topologie
induite par $E$ sur $A$  le couple $(A, \mathcal O_A)$ où $\mathcal O_A:=\{O\cap A\mid O\in \mathcal O\}.$
\end{Def}
\dexer Vérifier que la topologie induite est une topologie.
 \fexer
\dexer Décrire la topologie induite sur $[0,1]$ par celle de $\real$ et celle induite sur une droite de $\real^2$  par
la  topologie euclidienne canonique de $\real^2$. \fexer
\begin{Def} \index{A}{voisinage (d\e finition de)}  On appelle {\it voisinage} de
$x\in E$ tout sous-ensemble de $E$ contenant un ouvert contenant $x$ et on notera ${\cal V}(x)$ l'ensemble des
voisinages de $x$. \index{N}{$\vois  est $ l'ensemble des voisinages de $x$ pour la topologie consid{é}r{é}e}
\end{Def}
Cons\e  quences :\\
- Un ouvert est voisinage de chacun de ses points. R\e ciproquement, si $A$ est voisinage de chacun de ses points et si
$x \in A$, il existe $W_x$ ouvert tel que $x \in W_x \subset A$. Donc $A$ est la r\e union de tous les $W_x$ quand $x$
parcourt $A$ et de ce fait est ouvert.\\ - Les ouverts d'un espace sont connus d\ee s que sont connus pour tout $x$ les
voisinages de $x$, ou même une base de voisinages (définition suivante).

\begin{Def} \index{A}{base de voisinages!d\e finition} On appelle {\it base de voisinages} de $x \in E$, toute
partie $\cal U$ de ${\cal V}(x)$ telle que si $V \in {\cal V}(x)$, alors il existe $U\in \cal U$ tel que $x\in U\subset
V$.
\end{Def}
{\bf Exemple classique} \index{A}{espace!m\e trisable}\\
 Un espace topologique $(E,\cal O)$ est
dit m\e trisable s'il existe une distance sur $E$ telle que $\cal O$ co\"{\i}ncide  avec l'ensemble des unions
arbitraires de boules.  Une base de voisinages ouverts commode est alors constitu\e e par les boules ouvertes
elles-m\eee mes. Les boules ouvertes centr\e es en $x$ forment une base de voisinages ouverts de $x$ et \e galement les
boules ouvertes contenant $x$.
\newline
\begin{Def} \index{A}{base!d'ouverts}
On appelle {\it base d'ouverts} de $E$, toute famille d'ouverts $(O_i)_{i \in I}$ de $E$ v\e
rifiant l'une des deux propri\e t\e s \e quivalentes suivantes,\\
1) Tout $x \in E$ a une base de voisinages constitu\e e par une sous-famille de $(O_i)_{i \in
I}$,\\
2) Tout ouvert de $E$ est r\e union d'une sous-famille de $(O_i)_{i \in I}$.
\end{Def}

\dexer Exemples:

 \quest 1)  Montrer que  les boules ouvertes d'un espace métrique forment une base d'ouverts de cet
espace.

\quest 2) Montrer qu'il en est de même pour les boules ouvertes de $\real^N$ dont les rayons sont rationnels et les
centres sont rationnels. C'est donc une base d'ouverts dénombrable.

\fexer

\begin{Def} \index{A}{fermé} \index{N}{int\e rieur($A$) est l'int{é}rieur de $A$}
Une partie $F$ de $E$ est dite ferm\e e si son compl\e mentaire est ouvert. On appelle fermeture d'un ensemble $A$,
not\e e $\overline{A}$, l'intersection de tous les ferm\e s contenant $A$. On appelle ouverture, ou int\e rieur, de
$A$, not\ea $\interieur (A)$, l'union de tous les ouverts contenus dans $A$.
\end{Def}


\dexer Montrer qu'une intersection quelconque de fermés est un fermé et qu'une union finie de fermés est un fermé.
\fexer

\dexer {\bf Adh\'erence}\index{A}{adhérence} Soit $A$ une partie de $E$, on dit que $x \in E$ est adh\'erent \`a $A$ si
$\forall V \in {\cal V}(x)$, $V\cap A \not= \emptyset$. On appellera adh\'erence de $A$, l'ensemble des points de $E$
adh\'erents \`a $A$.
\newline Montrer que $\overline{A}$ et l'adh\'erence de $A$ sont identiques et que la relation $A=\overline{A}$
caract\'erise les ensembles ferm\'es.
 \fexer
\begin{Def} \index{A}{densité!définition} On dit qu'une partie $A$ de $E$ est {\it dense} dans $E$
si $\overline{A} = E$ et donc, de mani\`ere \e quivalente, si tout ouvert non vide de $E$ rencontre $A$.
\end {Def}
Par exemple l'ensemble des points à coordonnées rationnelles est dense dans $\real^N$.

\begin{Def} \label{definitionseparable}{\bf Espace s\e parable} \index{A}{espace!séparable}
On dit qu'un espace topologique est {\it s\e parable} s'il poss\ee de une partie d\e nombrable et dense.
\end{Def}

\dexer Exemple: montrer que l'espace métrique $\real^N$ muni de la norme euclidienne canonique est séparable. \fexer

\begin{Def} {\bf Espace s\e par\ea}\index{A}{espace!séparé}
 On dit que l'espace $E$ est {\it s\'epar\'e}
 si $\forall x,y \in E$,
$x\not= y$, $\exists V \in {\cal V}(x)$ et $\exists U \in {\cal V}(y)$ tels que $U\cap V = \emptyset$.
\end{Def}

\dexer Donner un exemple simple d'espace topologique non séparé. \fexer

Tous les espaces topologiques que nous considérerons seront en fait séparés.
\begin{Def} {\bf Convergence d'une suite}\\
\index{A}{convergence!d'une suite} On dit qu'une suite $x_n$ {\it tend vers} $x$ dans $E$ si pour tout voisinage $V$ de
$x$ il existe $n_0$ tel que $n\geq n_0\Rightarrow x_n\in V$.
\end{Def}
\begin{pro}\label{sequentiellementferme}
\index{A}{fermé!séquentiellement} Tout ferm\ea $F$ est s\e quentiellement ferm\e , \ccaadd que si $F$ est ferm\ea et si
$(x_n)_n$ est une suite d'\'el\'ements de $F$ convergeant vers $x \in E$, alors $x\in F$.
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration} Si on avait $x\in F^c$, qui est ouvert, il existerait
un voisinage ouvert $U$ de $x$ tel que $U\subset F^c$.  Mais $x_n\to x$ implique que $\exists n_0, n\geq n_0
\Rightarrow x_n \in U$, ce qui contredirait $x_n\in F$.
\enddemo
\begin{Def} {\bf Valeur d'adh\'erence d'une suite}\\ \index{A}{valeur
d'adhérence d'une suite} Soit $(x_n)_n$ une suite de points de $E$, on dit que $x \in E$ est valeur d'adh\'erence de
$(x_n)_n$ si $\forall n$, $\forall V \in {\cal V}(x)$, $\exists i \geq n$ tel que $x_i \in V$.
\end{Def}

\dexer Si on note $A_n = \{ x_i,\;i\geq n\}$ alors vérifier que $x$ est valeur d'adh\'erence de $(x_n)_n$ si et
seulement si $x \in \bigcap_n \overline{A_n}$. \fexer

\begin{Def} {\bf Continuit\'e en un point} \\
\index{A}{continuité!ponctuelle} Soient $E$ et $F$ deux espaces topologiques et $f$ une application de $E$ dans $F$.
Soit $x_0 \in E$, on dit que $f$ est continue en $x_0$ si $\forall V \in {\cal V}(f(x_0))$, $\exists U \in {\cal V}
(x_0)$ tel que $f(U) \subset V$.
\end{Def}


 Une
application d'un espace topologique dans un autre est dite {\it continue} si elle est continue en tout point.
\begin{thf}
Une application $f$ d'un espace topologique  dans un autre est continue si et seulement si l'image r\e ciproque de tout
ouvert par $f$ est un ouvert ou, de mani\ee re \e quivalente, si l'image r\e ciproque de tout ferm\ea est un fermé, ou,
de manière équivalente, si l'image réciproque par $f$ de chaque élément d'une base d'ouverts de $F$ est un ouvert. On a
aussi la propriété suivante: $f$ est continue si et seulement si pour tout ensemble $A\subset E$, on a $f(\overline{A})
\subset \overline{f(A)}$.
\end{thf}

\dexer Démontrer le théorème précédent! \fexer
 Voici un exemple
que nous utiliserons souvent : une application $f$ de $E$ dans $\RR$ est continue si et seulement si pour tout
intervalle ouvert $I$ de $\RR$, l'ensemble $f^{-1}(I)$ est un ouvert.  En effet, les intervalles ouverts forment une
base de voisinages ouverts de $\RR$.  Il convient de v\e rifier que notre d\e finition de la continuit\ea g\e n\e
ralise bien la notion de continuit\ea s\e quentielle pour $f$, \ccaadd que $x_n\to x\Rightarrow f(x_n)\to f(x)$.

\begin{pro}\index{A}{continuité!s\e quentielle} Si $f
: (E, {\cal O})\to (F, {\cal U})$ est continue, alors elle est s\e quentiellement continue.
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}  Soit $x_n$ tendant vers $x$ pour $\cal O$. Fixons
$U\in \cal U$ tel que $f(x)\in U$ et montrons que $\exists n_0, n\geq n_0 \Rightarrow f(x_n)\in U$. Or, $f$ \e tant
continue, $f^{-1}(U)$ est un voisinage de $x$. Donc $\exists n_0, n\geq n_0\Rightarrow x_n\in f^{-1}(U)$ et on a donc,
comme d\e sir\e , $f(x_n)\in U$.

\enddemo
\begin{Def} {\bf Espace compact} \\ \index{A}{espace!compact}
On dit qu'un espace $E$ est compact s'il est s\e par\ea et si de tout recouvrement ouvert de $E$ on peut extraire un
sous-recouvrement fini.
\end{Def}
\dexer \label{compactimpliqueva} \hfill \newline Soit $E$ un espace topologique compact, montrer que toute suite de
points de $E$ poss\ee de une valeur d'adh\e rence.  \fexer

 \dexer Montrer que l'image d'un compact par une fonction continue à valeurs dans un espace séparé est un compact.
\fexer
\begin{Def}   On appelle \index{A}{topologie!la moins fine}
 {\rm topologie sur $E$ la moins fine vérifiant une propriété $P$} la
topologie ayant cette propri\e t\ea $P$ et  qui a le moins d'ouverts possible. Cette topologie $\cal U$ est donc telle
que pour toute autre topologie $\cal O$ vérifiant $P$,
 on ait $ {\cal U}\subset \cal O$.
\end{Def}

\dexer Montrer que la topologie $\mathcal U$ peut être construite comme l'intersection de toutes les topologies
vérifiant la propriété $P$. (Expliquer d'abord pourquoi cette intersection est non vide!)

\fexer

\begin{pro}\label{formedelatopologielamoinsfine} \index{A}{topologie!la moins fine}
Soit  $(E_j, {\cal O}_j)_{i\in J}$ une famille d'espaces topologiques et $\varphi_j : E\to E_j$ une famille
d'applications définies sur un ensemble $E$. Les ouverts de la {\rm topologie la moins
 fine sur $E$ rendant continues les applications $\varphi_j$} sont tous de la forme :
 \fb&  \label{formestandarddouvert}
 \bigcup_{i\in I}\bigcap_{j\in F_i}\varphi_j^{-1}(U_j),
 \fe&
 où $U_j$ désigne un ouvert quelconque de $E_j$, $F_i$ est un sous-ensemble fini
quelconque
  de $J$ et $I$ est un ensemble quelconque d'indices.
  \newline La même formule est encore valide si on restreint les $U_j$ à une base
  de voisinages ouverts de $E_j$.
  \end{pro}
  \drem  En conséquence, on a la base de voisinages de $x \in E$ :
  $$\bigcap_{j\in F}\varphi_j^{-1}(O_j),$$
  où $F\subset J$ est fini, et $O_j$ appartient à une base de voisinages de $\vfi_j(x)$
  dans $E_j$. Donc on
  peut caractériser la convergence des suites pour cette topologie de la manière très
simple suivante :
  \newline
  $x_n\to x$ pour la topologie ${\cal O}$ si et seulement si $\varphi_i(x_n)\to
\varphi_i(x)$ pour tout
  $i$.
  \frem
\begin{lem}\label{distributivitebooleenne}  Soient $(A_i)_{i\in J}$ une famille d'ensembles et $(J_i)_{i\in F}$ une
famille de parties de $J$. Alors
$$\bigcap_{i\in F}\bigcup_{j\in J_i}A_j=\bigcup_{\psi\in \Psi}\bigcap_{i\in
F}A_{\psi(i)},$$ où $\Psi $ est l'ensemble de toutes les applications $i\in F\to \psi(i)\in J_i$.
\end{lem}
Cette dernière formule implique que si $\cal A$ est une famille d'ensembles, alors "toute intersection finie d'unions
d'intersections finies d'éléments de $\cal A$ est une union d'intersections finies d'éléments de $\cal A$."
\paragraph{Démonstration}
Si $x$ appartient à $\displaystyle{\bigcap_{i\in F}}\displaystyle{\bigcup_{j\in J_i}}A_j$, cela revient à dire que
$$\forall i\in F, \; \exists j(=\psi(i))\in J_i, \; \; x\in A_j \Leftrightarrow$$
$$\exists \psi : \; F\to \cup_i J_i, \; \psi(i)\in J_i, \; \;\forall i\in F\; x\in A_{\psi(i)}.$$
\enddemo
\paragraph{Démonstration de la proposition \ref{formedelatopologielamoinsfine}}
Si les $\varphi_i$ sont continues, tout élément de la forme (\ref{formestandarddouvert}) est bien un ouvert de $E$.
Réciproquement, la famille des ensembles de la forme (\ref{formestandarddouvert}) est évidemment stable par union
quelconque, et par intersection finie d'après le lemme \ref{distributivitebooleenne}.
\enddemo
\begin{Def}{\bf Topologie produit} \index{A}{topologie!produit}
Soit $(E_i, {\cal O}_i)$ des espaces topologiques. L'espace topologique produit $E=\Pi_i E_i$ peut \eee tre muni de la
{\it topologie produit}, d\e finie comme la moins fine rendant les projections de $E$ sur chaque $E_i$ continues.
\end{Def}
\begin{thf}{\bf de Tikhonov} \label{Tikhonov} \index{A}{Tikhonov (th\e or\ee me de)} Soit $K=\Pi_i
K_i$ un produit de compacts.  On note ses \e l\e ments $\omega =(\omega_i)_i$ et on le munit de la topologie produit,
\ccaadd la moins fine rendant les projections $\omega\to w_i\in K_i$ continues. Alors $K$ est compact.
\end{thf}
\section{Cas des espaces m\'etriques}
Nous rappelons ici un certain nombre de propri\'et\'es vraies dans les espaces m\'etriques. Dans tout ce qui suit le
couple $(E,d)$, ou plus simplement $E$, d\'esignera un espace m\'etrique muni d'une distance $d$. On rappelle aussi
qu'un espace m\'etrique est dit complet si toute suite de Cauchy converge. \dexer \label{suiteferme}
Soit $E$ un espace m\'etrique alors \\
1) l'espace $E$ est s\'epar\'e,\\
2) si $A$ est une partie de $E$ et si $x \in E$ alors $x \in \overline{A}$ $\Longleftrightarrow$ $d(x,A) =
\displaystyle {\inf_{y \in A}}d(x,y) = 0$ $\Longleftrightarrow$ $\exists (x_n)_n \subset A$ telle que $x_n \rightarrow
x$. \fexer \dexer {\bf Continuit\'e s\'equentielle} \label{continuitesequentielle} \\Si $E$ et $F$ sont des espaces m\e
triques, alors $f : E\to F$ est continue si et seulement si elle est {\it s\e quentiellement continue}, \ccaadd si
$x_n\to x $ $\Rightarrow$ $f(x_n)\to f(x)$. \fexer \dexer \label{vacompactseq} Soit $E$ un espace métrique. Soient
$(x_n)_n$ une suite dans $E$ et $x \in E$. Alors montrer que $x$ est valeur d'adh\'erence de la suite $(x_n)_n$ si et
seulement si il existe une sous-suite $(x_{n_k})_k$ qui converge vers $x$. \fexer
\begin{Def}{\bf Compacité séquentielle} \index{A}{compacité!séquentielle}
Si $E$ est un espace métrique compact, on sait maintenant que de toute suite de points de $E$, on peut extraire une
sous-suite convergente. On traduit cette propriété en disant qu'un espace métrique compact est {\it  séquentiellement
compact.}
\end{Def}
%\drem On verra à l'exercice \ref{exemplecompactnonseqcomp} page %~\pageref{exemplecompactnonseqcomp} un exemple d'espace
%topologique compact qui n'est pas séquentiellement compact. \frem
\begin{thf} \label{theometriquecompact}
Soit $E$ un espace m\'etrique, les conditions suivantes sont \'equivalentes :\\
(i) L'espace $E$ est compact.\\
(ii) Toute suite de points de $E$ admet une valeur d'adh\'erence.\\
(iii) Toute suite de points de $E$ a une sous-suite convergente.
\end{thf}
\dexer \index{A}{Tikhonov (th\e or\ee me de) : cas d'un produit d\e nombrable de compacts m\e trisables} \hfill
\newline Montrer le th\e or\ee me de Tikhonov dans le cas un peu moins g\e n\e ral suivant : $K=\Pi_{n\in \NN}K_n$
(produit d\e nombrable) et on suppose que $K_n$ est m\e trisable et donc muni d'une distance $d_n$.  Commencer par
montrer que $K$ est m\e trisable en posant
$$d(x,y)=\sum_{n\in \NN} \frac {d_n(x_n,y_n)}{2^n diam(K_n)},$$
o\u $diam(K_n)=\max\{d(x_n,y_n), x_n,y_n\in K_n\}$ est le diam\ee tre de $K_n$ et $x=(x_n)_n$, $y=(y_n)_n$. \fexer
\begin{thf}
Un espace m\'etrique compact est complet.
\end{thf}


\dexer Montrer que les compacts de  $\real^N$ muni  de la distance euclidienne canonique sont les fermés bornés.

\fexer \begin{Def} On dit que $f: E\to F$ espaces métriques est uniformément continue si
$$\forall \varepsilon\exists\eta,\; \forall x,y\in E \;(d(x,y)<\eta)\Rightarrow(d(f(x),f(y))<\varepsilon).$$
On pose $m(r):=\sup_{d(x,y)<r}d(f(x),f(y)).$ Montrer que $f$ est uniformément continue si et seulement si $m(r)\to 0$
quand $r\to 0$.  On appelle $m$ le {\it module de continuité uniforme} de $f$.
\end{Def}

\dexer Si $E$ est un espace métrique compact, $F$ métrique  et si $f: E\to F$ est continue alors elle est uniformément
continue. \fexer \dexer Montrer que toute fonction réelle continue sur un compact atteint son maximum et son minimum.
On pourra considérer une suite minimisante et utiliser la compacité séquentielle et la continuité séquentielle...\fexer
\begin{thf} {\bf dit  de prolongement}  \index{A}{prolongement!théorème de}
\label{theoprolongement}\\
Soient $E$ un espace m\e trique et $F$ un espace m\e trique complet. Soit $X \subset E$, une partie dense dans $E$.
Enfin soit $f : X \rightarrow F$ uniform\e ment continue. Montrer qu'il existe un unique prolongement $\tilde{f}$ de f,
continu. De plus, $\tilde{f}$ est uniform\e ment continue.
\end{thf}
 Pour  des compléments de topologie générale nous renvoyons aux ouvrages de G.Choquet et J.Dixmier, et
à la Topologie Générale de N. Bourbaki.

\section{Th\e or\ee me d'Ascoli-Arzela}

\dexer \hfill \newline Soit $E$ un espace métrique et $A\subset E$ une partie non vide. Montrer que $\overline{A}$ est
compact si et seulement si de toute suite de points de $A$, on peut extraire une sous-suite convergeant dans $E$.\fexer
\begin{thf} {\bf (Ascoli-Arzela)}\label{ascoliarzela}\index{A}{Ascoli-Arzela!th\e
or\ee me de} Soit $f_n$ une suite de fonctions d\e finies sur un espace m\e trique compact $(K, d)$ et \a valeurs r\e
elles.  On suppose que la suite $f_n$ a les deux propri\e t\e s suivantes :
\newline
$\bullet$ $f_n$ est \e quicontinue : $\forall \varepsilon, \exists \eta, \; \forall x, y \in K,\;\forall n\in \NN,\;
d(x, y)\leq \eta \Rightarrow |f_n(x)-f_n(y)|\leq \varepsilon. $
\newline
$\bullet$ La suite $(f_n(x))_n$ est born\e e pour tout  $x\in K$.
\newline
Alors il existe une sous-suite de $f_n$ qui converge vers une fonction continue $f$.
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
Remarquons d'abord qu'il existe une suite de points $(x_k)_k$ qui est dense dans $K$.  En effet, $K$ est compact et
donc on peut le recouvrir pour tout $n$ par un nombre fini de boules de rayon plus petit que $\frac 1 n$. L'union des
centres de ces boules est un ensemble d\e nombrable qui r\e pond \a la question.
\newline
On va alors extraire pour tout $k$ de la suite $f_n$ une sous-suite $f_{\varphi_k(n)}$ telle que
$f_{\varphi_k(n)}(x_l)$ converge pour $l\leq k$ et telle que $f_{\varphi_k(n)}$ soit une sous-suite de
$f_{\varphi_{k-1}(n)}$. On proc\ee de par extractions successives. Comme la suite $f_n(x_1)$ est born\e e, la suite
$f_n$ admet une sous-suite convergente en $x_1$ que nous notons $f_{\varphi_1(n)}$.  On extrait de cette sous-suite une
nouvelle sous-suite $f_{\varphi_2(n)}$ qui converge aussi en $x_2$, etc.. On applique alors le proc\e d\ea dit
d'extraction diagonale : on consid\ee re la suite de fonctions $g_n=f_{\varphi_{n}(n)}$. Elle converge en tout point de
la suite $x_k$. On appelle $g(x_k)$ sa limite en $x_k$.
 D\ee s que $n\geq k$, la suite $f_{\varphi_{n}(n)}$ devient une sous-suite de
$f_{\varphi_k(n)}$.  Elle converge donc en $x_k$.  La suite $g_n$ converge donc en tout $x_k$. En fait,  la fonction
$g$ est uniform\e ment continue et se prolonge d'une mani\ee re unique en une fonction continue sur $K$, que nous
noterons encore $g$. Voyons pourquoi. On a
$$|g(x_l)-g(x_k)|\leq
|g(x_l)-g_n(x_l)|+|g(x_k)-g_n(x_k)|+|g_n(x_l)-g_n(x_k)|.$$ Le troisi\ee me terme est rendu inf\e rieur \a $\varepsilon$
pour tout $n$ si on  impose $d(x_l, x_k)<\eta(\varepsilon)$.  Les deux premiers termes tendent vers z\e ro quand $n\to
\infty$.  On obtient donc $|g(x_l)-g(x_k)|\leq \varepsilon$ si $d(x_k, x_l)<\eta(\varepsilon)$. Donc $g$ est uniform\e
ment continue sur la suite $x_k$ et a d'ailleurs le m\eee me module d'uniforme continuit\ea  que la suite $f_n$. La
fonction  $g$ est uniform\e ment continue sur un ensemble dense dans $K$. Par le th\e or\ee me \ref{theoprolongement}
page ~\pageref{theoprolongement}, elle se prolonge de mani\ee re unique en une fonction uniform\e ment continue sur
$K$, avec le m\eee me module de continuit\ea uniforme.
  Montrons pour finir que
$g_n\to g$ uniform\e ment.  On fixe $\varepsilon>0$, puis $k$ assez grand pour
$$\forall x\in K,\;
\exists l\leq k, \; d(x, x_l)\leq \eta(\varepsilon).$$  On fixe
 $n_0$ assez grand pour que
$$n\geq n_0\Rightarrow \forall l\leq k, \; |g_n(x_l)-g(x_l)|\leq\varepsilon.$$
En combinant les deux derni\ee res in\e galit\e s, on a pour $n\geq n_0$ et $x$ dans $K$,
$$|g_n(x)-g(x)|\leq |g_n(x)-g_n(x_l)|+|g_n(x_l)-g(x_l)|+|g(x_l)-g(x)|\leq
3\varepsilon.$$
\enddemo
\drem On peut montrer que le th\e or\ee me d'Ascoli-Arzela est encore valable si les fonctions $f_n$ sont \a valeurs
dans un espace m\e trique complet et si on suppose, comme deuxi\ee me hypoth\ee se, que pour tout $x$ dans $K$,
l'ensemble $(f_n(x))$ est relativement compact (\ccaadd de fermeture compacte), voir les ouvrages de [Choquet] et
[Dixmier]. \frem
\begin{cor} \index{A}{compacité}
Toute famille  $f_n$ de fonctions $L$-lipschitziennes r\e elles, d\e finies sur un  compact $K$ et telle que pour un
certain point $x_0$, $f_n(x_0)$ soit born\ea admet une sous-suite uniform\e ment convergente vers une fonction \e
galement $L$-lipschitzienne.
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration} Comme $K$ est compact, il est born\ea et on a donc
$d(x, x_0)\leq M$ pour tout $x$ dans $K$. D'o\u $|f_n(x)|\leq |f_n(x_0)|+LM$ est aussi born\e . On peut donc appliquer
le th\e or\ee me d'Ascoli-Arzela.
\enddemo
\dexer {\bf (longueur d'un arc rectifiable)} \index{A}{longueur d'un arc rectifiable}\\ On appelle arc rectifiable un
sous-ensemble $C$ de $\RR^N$ qui est l'image d'une  application Lipschitz $c :$ $s\in[0,1]\to c(s)\in \RR^N$. On
appelle longueur de l'arc, $l(C)$, l'infimum des constantes de Lipschitz des applications surjectives $c$ : $[0,1]\to
C$. Montrer que cet infimum est atteint. \newline Marche \a suivre : consid\e rer une suite $c_n$ dont les constantes
de Lipschitz tendent vers $l(C)$.  Extraire une sous-suite convergeant uniform\e ment vers un arc $c$ et montrer que
$c$ est Lipschitz et que sa constante de Lipschitz est \e gale \a $l(C)$. \fexer
\section{Exercices}
\dexo
D\e montrer le th\e or\ee me \ref{theometriquecompact}:\\
Soit $E$ un espace m\'etrique, les conditions suivantes sont \'equivalentes :\\
(i) L'espace $E$ est compact.\\
(ii) Toute suite de points de $E$ admet une valeur d'adh\'erence.\\
(iii) Toute suite de points de $E$ a une sous-suite convergente. \\
Indication pour $(iii) \Rightarrow (i)$ : Soit $(O_i)_{i\in I}$ un recouvrement ouvert de $E$,

1) montrer que $\exists r>0$, tel que $\forall x \in E$, $\exists i \in I$, tel que $B(x,r) \subset O_i$.

2) montrer que $E$ est recouvert par un nombre fini de $O_i$. \fexo \dexo \hfill \newline D\e montrer le th\e or\ee me
\ref{theoprolongement} \fexo
 \dexo
Montrer qu'un espace m\e trique compact est s\e parable. \fexo \dexo \index{A}{norme!équivalente}
%\newline
\hfill \newline 1) Soient E un espace vectoriel r{é}el norm{é} de dimension finie et F un espace vectoriel norm{é}

a) Montrer que toutes les normes sur E sont {é}quivalentes.

b) Soit $u : E \rightarrow F$ lin{é}aire, montrer que u est continue.\\
2) Soit $E = \QQ[\sqrt{2}] = \left\{ a+b\sqrt{2}, a \in \QQ, b \in \QQ \right\}$. On d{é}finit sur $E$,
$N_0(a+b\sqrt{2}) = \vert a+b\sqrt{2} \vert$ et $N_1(a+b\sqrt{2}) = \max(\vert a \vert, \vert b \vert)$.

a) V{é}rifier que $N_0$ et $N_1$ sont des normes sur $E$.\\
Soit $x = \sqrt{2} -1$, montrer que $\forall n \geq 1$, $x^n = a_n+b_n\sqrt{2}$ o{\`u} $a_n,b_n \in \QQ$ et $a_nb_n <
0$. En d{é}duire que $(\sqrt{2}+1)^n = \vert a_n \vert + \vert b_n \vert \sqrt{2}$.

b) Montrer que $N_0$ et $N_1$ ne sont pas {é}quivalentes sur $E$. ($E$ est un $\QQ$-espace vectoriel de dimension
finie, commenter.) \fexo \dexo \label{dualcomplet}
Soient E et F deux espaces vectoriels norm{é}s \\
a) Montrer que  si F est complet, l'espace ${\cal {L}}(E,F)$ est complet (donc $E^{\prime}$
est toujours complet).\\
b) Montrer que si ${\overline {B}}_E(0,1)$ est compacte, la dimension de $E$ est finie. \fexo \dexo
Soient E un espace vectoriel norm{é} et $f \in E^{\prime}$, $f \not\equiv 0$.\\
Soit $H = \{ x \in E : f(x) = 0 \}$, on se propose de montrer
 que
 $$ \forall x \in E, \quad \, \, d(x,H) =  \inf_{y \in H} \Vert x-y \Vert = \frac
{\vert f(x)\vert}{\Vert f \Vert}\qquad \,(\star)$$ 1) V{é}rifier que $\vert f(x)\vert \leq \Vert f \Vert
\;d(x,H),\,\;\,\forall x \in
E.$\\
2) Soit $u \in E \backslash H$, en notant que $y=x- \frac {f(x)}{f(u)} \, u$ est dans H, montrer que $d(x,H) \leq \frac
{\vert f(x) \vert}{\vert f(u) \vert} \; \Vert u \Vert$ et prouver
$(\star)$.\\
3) Soit $E={\cal C}_0=\{x=(x_n)_{n \geq 1} \in \RR^{\NN^{\star}} \mbox{ tel que } x_n \rightarrow 0\}$ que l'on munit
 de $${\Vert x \Vert}_{\infty} = \sup_n \vert x_n \vert .$$
 a) V{é}rifier que $(E,{\Vert \,\, \Vert}_{\infty})$ est un espace de Banach.\\
 b) Soient $f : E \rightarrow \RR$, d{é}finie par $f(x) = \displaystyle{\sum_{1}^{\infty}}
\frac{x_n}{2^n}$ et $ H = Kerf.$ V{é}rifier que $f \in E^{\prime}$, donner une expression de $d(x,H)$. ${\Vert f
\Vert}_{E^{\prime}}$ est-elle atteinte ? \fexo
%{ \bf Exercice 4} Th{é}or{è}mes du point fixe
%\\ \\
\dexo Th{é}or{è}mes du point fixe \label{theodupointfixe} \index{A}{point fixe (th\e or\ee me du)}
\\
1) Soit (E,d) un espace m{é}trique complet et soit $f : E \rightarrow E$ une application k-lipschitzienne avec k$<$1.
Montrer que f admet un unique point fixe $x = f(x)$.\\
2) Soit (E,d) un espace m{é}trique complet et soit $\Lambda$ un espace topologique. Soit $f : E \times \Lambda
\rightarrow
E$ telle que\\
- $\forall x \in E, \quad \lambda \rightarrow f(x,\lambda)$ est continue de $\Lambda$
dans E,\\
- $\exists k < 1, \quad \forall \lambda \in \Lambda, \quad x \rightarrow f(x,\lambda)$ est k-lipschitzienne de E dans
E. On pose $f_\lambda(x) = f(x,\lambda)$. Si $a_\lambda$ est l'unique point fixe de $f_\lambda$, montrer que $\lambda
\rightarrow a_\lambda$
est continue de $\Lambda$ dans E.\\
3) Soit (E,d) un espace m{é}trique compact et $f : E \rightarrow E$ telle que
$$\forall x,y \in E, \qquad d(f(x),f(y)) < d(x,y).$$
Montrer que f admet un unique point fixe.\\
4) Soit C un convexe compact dans E espace vectoriel norm{é} et soit $f : C \rightarrow C$ 1-lipschitzienne. Montrer
que f admet un point fixe ( pour z fix{é} dans C, consid{é}rer $f_n(x)=\frac {1}{n+1} z + \frac{n}{n+1} f(x)$). \fexo
\dexo
%{ \bf Exercice 5}
\hfill \newline Soit $E={\cal C}^1 ([0,1])$. Pour $f \in E$, on pose $N(f) = { ({f(0)}^2 + \int_0^1 f^{\prime}(t)^2
dt)}^{1/2}$ et $\Vert f {\Vert}_{\infty} = \sup_{[0,1]}
\vert f(x) \vert.$\\
a) V{é}rifier que N est une norme sur E.\\
b) Montrer que pour toute $f$ dans $E$, ${\Vert f \Vert}_{\infty} \leq \sqrt {2} \;
N(f)$.\\
c) Montrer que ${\Vert \, \Vert}_{\infty}$ et N ne sont pas {é}quivalentes sur E. \fexo
\dexo
\hfill \newline Soit E un espace m{é}trique complet tel que pour tout $\eps > 0$, il existe un recouvrement fini de E
par des boules de rayon $\eps$, montrer que E est compact. \fexo \dexer \hfill \newline Soient $E$ et $F$ deux espaces
de Banach. On note $B_E = \overline{B_E(0,1)}$. On dit que $T \in {\cal L}(E,F)$ est
un op\'erateur compact si $\overline{T(B_E)}$ est compact dans F.\\
1) Soit $T \in {\cal L}(E,F)$ avec $\dim \mbox{Im}T < \infty$, montrer que $T$ est compact.\\
%2)  Soit $T \in {\cal L}(E,F)$, $T$ compact et tel que Im$T$ est ferm\'e dans $F$, montrer que $\dim
%\mbox{Im}T <
%\infty$.\\
2) Soit $E$ l'espace de Banach ${\cal C}[0,1]$ muni de la norme $\Vert f \Vert = \sup_{[0,1]} \vert
f(x) \vert$.\\
Soit $K \in {\cal C}([0,1]\times[0,1])$. Pour $f \in E$, on d\'efinit $T(f)$ par $$T(f)(x) = \int_0^1 K(x,y) f(y) dy.$$
Vérifier que $T(f)\in E$ et que $T \in {\cal L}(E,E)$. Puis, montrer que $T$ est compact.\fexer \dexer
Soit $E={\cal C}_b(\RR)$ l'ensemble des fonctions continues et bornées sur $\RR$, à valeurs réelles. On munit $E$ de la norme $\Vert . \Vert_{ \infty}$. On souhaite montrer ici que $E$ n'est pas séparable.\\
On note $A=\left\{0,1\right\}^{\NN}$, l'ensemble des suites constituées de 0 ou 1.\\
1) Montrer que $A$ n'est pas dénombrable.\\
2) Vérifier que $\forall z=(z_n)_n \in A$, il existe $f_z \in E$ telle que $f_z(n)=z_n$, $\forall n$, $0\leq f_z(x) \leq 1$, $\forall x\in \RR$ et telle que $z\neq t \Rightarrow \Vert f_z - f_t\Vert_{ \infty}=1$.\\
3) Supposer qu'il existe une suite $(g_n)_n$ dense dans $E$ et construire une injection de $A$ dans $\NN$. Conclure.
\fexer
\dexo
\hfill \newline
Pour $p$ r\'eel et $0<p< \infty$, on note $$ {\ell}^p = \{ x = {(x_n)}_{n \geq 1} \subset \RR \mbox { tel que } \sum_{n=1}^{+ \infty} \vert x_n \vert^p < \infty \},$$
Pour $1 \leq p < \infty$, on note $ {\Vert x \Vert}_p = \left( \sum_{n=1}^{+ \infty} \vert x_n \vert^p \right)^{\frac{1}{p}}$.
Enfin, on note $$ {\ell}^{\infty} = \{ x = {(x_n)}_{n \geq 1} \subset \RR \mbox { tel que }
\sup_n \vert x_n \vert < \infty \}$$ que l'on munit de $ {\Vert x \Vert}_{\infty} = \sup_{n \geq 1} \vert x_n \vert.$\\
%On admettra que $({\ell}^p,\Vert\,.\,\Vert_p)$ est un espace de Banach pour $1 \leq p \leq \infty$. \\
Enfin on note $e^n = {(\delta_{ni})}_{i \geq 1}$ o\`u ${\delta}_{ni} = 1$ si i =n, ${\delta}_{ni} = 0$ sinon.\\ \\
I.- Etude de $\lp$ quand $1 \leq p \leq \infty$.\\ \\
Préliminaire : Montrer que $({\ell}^p,\Vert\,.\,\Vert_p)$ est un espace de Banach pour $1 \leq p \leq \infty$. \\
1) Pour $x = (x_n) \in \lp$, on note $x^N = \sum_{n=1}^N x_n e^n$. V\'erifier que si $x\in \lp$ avec $1\leq p< \infty$, alors ${\Vert x^N -x \Vert}_p \longrightarrow 0$
quand $N \rightarrow + \infty$ (on \'ecrira alors $x = \sum_{n=1}^{+ \infty} x_n e^n$). Par contre, vérifier que  $\exists x \in \linf$
tel que $\Vert x^N - x \Vert_{\infty}$ ne tend pas vers $0$.\\
2) Si $1 \leq p < \infty$, montrer que $\lp$ est s\'eparable.\\
3) On souhaite, dans cette question, d\'emontrer que $\linf$ n'est pas s\'eparable.\\
Soit $A = \{ x \in \linf :\, \forall n,\, x_n=0 \,\mbox{ ou } \, 1 \}$, v\'erifier
que $\forall x,y \in A$ tels que $x\not=y$, $\Vert x-y \Vert_{\infty} \geq 1$.\\
Si $D$ est une partie dense dans $\linf$, construire une injection de $A$ dans $D$ et conclure.\\
4) Soit $1 < p < \infty$ et soit $p^{\prime} = \frac{p}{p-1}$, de sorte que $\frac{1}{p} + \frac{1}{p^{\prime}} = 1$.
Montrer que $\forall a \geq 0$, $\forall b \geq 0$,
$ab \leq \frac{1}{p} a^p + \frac{1}{p^{\prime}} b^{p^{\prime}}$. En d\'eduire que
$\forall x=(x_n)_n \in \lp$, $\forall y=(y_n)_n \in {\lpp}$, $\forall \lambda > 0$,
$$\sum_{n \geq 1} \vert x_n y_n \vert \leq \frac{1}{p} \Vert x \Vert_p^p \lambda^{p-1} +
\frac{1}{\lambda p^{\prime}} \Vert y \Vert_{p^{\prime}}^{p^{\prime}}.$$
En choisissant bien $\lambda$, montrer l'in\'egalit\'e
$$\sum_{n \geq 1} \vert x_n y_n \vert \leq \Vert x \Vert_p \Vert y \Vert_{p^{\prime}}.$$
V\'erifier que cette in\'egalit\'e est encore vraie avec $p=1$ et $p^{\prime}=\infty$.\\
5) Soit $\pp = \infty$ si $p=1$ et $\pp = \frac{p}{p-1}$ si $p>1$, de sorte que $\frac{1}{p} + \frac{1}{p^{\prime}} = 1$.\\
Soit $y= (y_n)_n \in \lpp$. On consid\`ere
\begin{eqnarray*}
f : \lp & \longrightarrow & \RR \\
      x & \mapsto & f(x) = \sum_{n \geq 1} x_n y_n,
\end{eqnarray*}
avec $x=(x_n)_n$. Montrer que $f \in {(\lp)^{\prime}}$. On pose ${\Lambda}_y = f$ et on d\'efinit ainsi
une application
\begin{eqnarray*}
\Lambda : \lpp & \longrightarrow & {(\lp)^{\prime}} \\
      y & \mapsto & {\Lambda}_y,
\end{eqnarray*}
o\`u $<{\Lambda}_y,x> = \displaystyle{\sum_1^{\infty}} x_n y_n$,  $\forall x=(x_n)_n \in \lp$.

a) Montrer que $\Lambda$ est une isom\'etrie.

b) Montrer que $\Lambda$ est un isomorphisme.\\
6) Soit $C_0$ l'espace des suites de r\'eels $(x_n)_n$ qui tendent vers $0$. On rappelle que $C_0$ muni de la norme $\Vert \,.\,\Vert_{\infty}$
est un espace de Banach. Identifier le dual topologique $(C_0)^{\prime}$ de $C_0$.
\\ \\
II.- Etude de $\lp$ pour $0<p<1$.\\ \\
On pose $d(x,y) = \displaystyle{\sum_1^{\infty}} \vert x_n - y_n \vert^p$ pour $x,y \in \lp$.\\
1) V\'erifier que $\lp$ est une espace vectoriel (r\'eel) et que $d$ est une distance sur $\lp$ qui v\'erifie $\forall x,y \in \lp$,
$d(x,y)=d(0,x-y)$.\\
L'espace $(\lp,d)$ est complet, c'est le même déùonstration que dans la partie I.\\
2) Pour $x = (x_n) \in \lp$ on note $x^N = \sum_{n=1}^N x_n e^n$. V\'erifier que $d(x^N,x) \longrightarrow 0$
quand $N \rightarrow + \infty$ et que $\lp \subset \lun$.\\
3) L'objet de cette question est de montrer que les boules (pour $d$) ne sont pas convexes.

a) D'abord, montrer que si $E$ est un espace vectoriel et si une partie $A \subset E$ est convexe
alors $\forall N$ entier, $N \geq 1$, $\forall (x_1,...,x_N) \in A^N$, $\forall (\lambda_1,...,\lambda_N)
\in [0,1]^N$ tels que $\displaystyle{\sum_1^N} \lambda_i = 1$, on a $\displaystyle{\sum_1^N} \lambda_i x_i
\in A$.

b) Soit $R>0$, montrer que $\exists \alpha >0$, tel que $\forall n \geq 1$, $\alpha e^n \in B_d(0,R)$ et
que $\forall \beta >0$,
$$\frac{\alpha e^n}{n^{\beta}} \in B_d(0,R).$$

c) En d\'eduire que $B_d(0,R)$ n'est pas convexe (raisonner par l'absurde) et conclure.\\
4) En reprennant les notations de la question I-5), soit $y \in \linf$, montrer que $\Lambda_y$ est une
application bien d\'efinie, lin\'eaire et continue
de $(\lp,d)$ \`a valeurs dans $\RR$. \\
5) On note $(\lp)^{\prime}$ l'ensemble des applications lin\'eaires continues de $(\lp,d)$ \`a valeurs dans
$\RR$.\\
On d\'efinit l'application $\Lambda$, comme dans la partie I, par
\begin{eqnarray*}
\Lambda : \linf & \longrightarrow & (\lp)^{\prime} \\
      y & \mapsto & {\Lambda}_y,
\end{eqnarray*}
o\`u $<{\Lambda}_y,x> = \sum x_n y_n$,  $\forall x \in \lp$. Montrer que $\Lambda$ est lin\'eaire bijective.
\fexo 