
\chapter{Topologies faibles}
\setcounter{exo}{0}

\section{Deux exemples cl�s de convergence faible}
Consid�rons l'ensemble $E$ des fonctions $f$ de carr� int�grable sur $\RR$, telles que $\displaystyle{\int_{\RR}}
|f(x)|^2 dx<+\infty$. On a vu dans les chapitres 7 et 8 que cet espace peut �tre muni d'une structure d'espace de
Hilbert (et donc d'espace de Banach) avec  la norme $||f||=(\int |f(x)|^2)^\frac 12$. Dans ce cas $E'=E$ et que la
dualit� entre $E'$ et $E$ est tout bonnement le produit scalaire : si $g\in E'$ et $f\in E$, on a
$g(f)=\displaystyle{\int_{\RR}} f(x)g(x)dx$. Les �l�ments de $E'$ sont les formes lin�aires continues sur $E$ et elles
peuvent se concevoir, par analogie avec la dimension finie, comme des coordonn�es.  Mais une diff�rence substantielle
se fait jour. Si une suite $f_n$ tend vers 0, alors toute coordonn�e appliqu�e � $f_n$ tend aussi vers 0 : $\forall
g\in E', $ $g(f)\to 0$. En effet, $|g(f_n)|\leq ||g||_{E'}||f_n||_E\to 0.$  La r�ciproque est-elle vraie ? En dimension
finie $n$, on a dans une base de l'espace $e_i$, $f=\sum_{i=1}^n y_ie_i$ et les applications $f\to y_i=y_i(f)$ sont des
formes lin�aires continues.  Donc, si toutes les coordonn�es de $f_n$ tendent vers z�ro, on d�duit que
$$||f_n||\leq \sup_{i=1,...,n}|y_i(f_n)|\sum_{i=1}^n ||e_i||\to 0.$$
En dimension infinie, ce r�sultat n'est plus vrai. Donnons deux exemples.

\dexer Soit $f\in L^2({\RR})$ et $f_n(x)=f(x-n)$, $n\in \NN$. Montrer que $\displaystyle{\int_{\RR}} f_n(x)g(x)dx\to 0$
pour tout $g\in L^2(\RR).$\\ Indications: pour comprendre comment cela fonctionne, prenez d'abord $f$ et $g$ � support
compact, c'est-�-dire nulles en dehors d'un certain intervalle. Pour le cas g�n�ral, on montrera d'abord que si $f\in
L^2(\RR)$, alors pour tout $\varepsilon>0$, il existe $M$ tel que $\int_{|x|>M}|f(x)|^2dx<\varepsilon$ et on utilisera
l'in�galit� de Cauchy-Schwarz,
$$|\int_{\RR}f(x)g(x)dx|\leq (\int_{\RR} |f(x)|^2)^\frac 12(\int_{\RR}
|g(x)|^2)^\frac 12.$$
 \fexer

Une suite comme la suite $f_n(x)=f(x-n)$ s'appelle une ``bosse roulante" : penser � une vague solitaire se d�pla�ant
sur l'oc�an ($n$ est alors une discr�tisation du temps) et on con�oit $f_n$ comme  les positions successives de la
vague.) On peut concevoir chaque $g\in L^2(\RR)$ comme un observateur fixe. La valeur $n\to \displaystyle{\int_{\RR}}
f_n(x)g(x)dx$ peut passer par des valeurs �lev�es pour certaines valeurs de $n$ :  ce sont les moments o� $f_n$ est
observ�e du point de vue fixe $g$. Mais l'exercice pr�c�dent nous assure que $g_n(f)\to 0$, ce qui veut dire que du
point de vue de \underbar{toute} observation fixe, la vague finit par dispara�tre � l'horizon. Cela ne l'emp�che pas de
continuer � exister car la norme de $f_n$ reste constante. Un autre exemple plus subtil de convergence faible est celui
de la mont�e en fr�quence, illustr�e dans l'exercice suivant.

\dexer On consid�re cette fois-ci l'espace de Hilbert des fonctions de carr� int�grables sur un intervalle  compact
fixe $I$, not� $L^2(I)$.  Consid�rons la suite de fonctions $f_n(x)=\sin (nx).$

\quest Montrer que $||f_n||_{L^2(I)}$ tend vers une constante non nulle que l'on calculera.

\quest Montrer que si $g\in L^2(I)$, alors $\int_I f_n(x)g(x)dx\to 0$.
 \fexer
L'exercice pr�c�dent nous rappelle que la suite de fonctions $f_n(x)=\sin(nx)$ tend faiblement vers z�ro, c'est-�-dire
que toutes ses coordonn�es tendent vers z�ro. Pourtant, la norme de cette suite ne tend pas vers z�ro. On assiste � un
ph�nom�ne qui nous est pourtant familier : nous savons tous que les sons trop aigus (les ultrasons) nous restent
imperceptibles, ainsi que la lumi�re ultraviolette. Dans les deux cas, il s'agit de fonctions dont la fr�quence est
trop �lev�e pour notre perception. En dimension infinie, nous ne pouvons donc nous contenter d'une seule notion de
convergence : la convergence faible, qui exprime la convergence de toutes les coordonn�es mais pas n�cessairement celle
de la norme, va faire l'objet de ce chapitre et du suivant. Nous connaissons d�j� la convergence faible dans un espace
de Hilbert. Dans ce chapitre, nous allons donner les notions topologiques pour mieux comprendre cette convergence, et
l'�tendre aux espaces de Banach.


\section{La topologie faible $\sigma(E, E')$}

\begin{Def} \index{A}{topologie!faible} \label{deftopofaible}
On note $E$ un espace vectoriel norm�, $E'$ son dual et $f\in E'$.
 On appelle topologie faible $\sigma(E,E')$ la
topologie sur $E$ la moins fine rendant continues toutes les applications $f: \; x\to f(x)\in \RR$.
\end{Def}

 On peut
recenser les ouverts qui doivent appartenir � la topologie faible $\sigma(E,E')$ de la mani�re suivante : si $f\in E'$
et $U\subset \RR$ est un ouvert, il faut que $f^{-1}(U)$ soit un ouvert de $\sigma(E,E')$. Mais comme les intervalles
sont une base de voisinages de $\RR$, on voit que ceci revient \a dire que pour tout intervalle ouvert $]a,b[$ et tout
$f\in E'$, $f^{-1}(]a,b[)$ est dans $\sigma(E,E')$.  En r�sum�, on vient de montrer que :

\begin{pro} \index{A}{topologie!$\sigma(E,E')$ (caract�risation)}
\label{caracterisationtopofaible} La topologie $\sigma(E,E')$ est la moins fine contenant tous les ensembles
$f^{-1}(]a,b[)$ pour tout $f\in E'$ et tout intervalle ouvert $]a,b[$ de $\RR$. Dans toute la suite, les ensembles du
type $f^{-1}(]a,b[)$ s'appelleront {\rm voisinages �l�mentaires} pour la topologie $\sigma(E,E')$.\index{A}{voisinage
�l�mentaire pour la topologie faible}
\end{pro}

\begin{pro} \index{A}{ouvert!de la topologie faible} \label{ouverttopofaible}
Tout ouvert $O$ de $\sigma(E, E')$ peut s'�crire sous la forme \fb& \label{based'ouverts} O=\bigcup_{i\in
I}\bigcap_{f\in F_i } f^{-1}(]a_f,b_f[),\fe& o\u $I$ est un ensemble d'indices quelconque, chaque $F_i$ un
sous-ensemble fini de $E'$ et $]a_f,b_f[$ un intervalle ouvert quelconque de $\RR$.
\end{pro}
\paragraph{D�monstration}
 C'est une application directe de la proposition \ref{formedelatopologielamoinsfine}.
\enddemo
Donnons une base de voisinages commode pour $\sigma(E,E')$.

\begin{cor} \label{basedevoisinagesdex}\index{A}{base de voisinages!pour la
topologie faible} Les ouverts de la forme $\bigcap_{i=1,...,k } f_i^{-1}(]a_i,b_i[)$, o\u $k\in \NN$, $f_i\in E'$ et
$]a_i,b_i[$ sont des intervalles ouverts quelconques de $\RR$, forment une base de voisinages ouverts de
$\sigma(E,E')$.\newline Les ouverts de la forme \fb& U=\bigcap_{i=1,...,k}f_i^{-1}(]f_i(x)-\varepsilon,
f_i(x)+\varepsilon[), \fe& $k\in \NN$, $f_i\in E'$, $\varepsilon>0$ forment une base de voisinages ouverts de $x\in E$.
\end{cor}
\paragraph{D�monstration}
 Le premier �nonc� est imm�diat. Pour montrer que les ouverts de la forme $U$
forment une base de voisinages de $x$, on remarque que   si $x\in f^{-1}(]a,b[)$, alors $]a,b[$ contient $f(x)$ et donc
aussi un intervalle $]f(x)-\varepsilon, f(x)+\varepsilon[$.  Donc $f^{-1}(]a,b[)$ contient $f^{-1}(]f(x)-\varepsilon,
f(x)+\varepsilon[)$.
\enddemo
\begin{pro} \index{A}{s�paration!de la topologie faible} \label{topofaibleseparee}
La topologie $\sigma(E, E')$ est s�par�e, \ccaadd que si $x, y\in E$, alors il existe deux ouverts $U\owns x$, $V\owns
y$, tels que $U\cap V = \emptyset$.
\end{pro}
\paragraph{D�monstration}
Appliquer le th�or�me de Hahn-Banach \ref{hahn-banachfermecompact}, version ferm�-compact : il existe $f\in E'$ et
$\alpha$ tels que l'hyperplan $\{z, \;f(z)=\alpha\}$ s�pare au sens strict $x$ et $y$ et donc on peut prendre
$U=f^{-1}(]-\infty, \alpha[)$  et $V=f^{-1}(]\alpha, +\infty[).$
\enddemo
\begin{Def}\index{A}{convergence!faible} \label{defconvergencefaible}
\index{N}{$\rightharpoonup$ signifie convergence pour la topologie faible, c'est en g{�}n{�}ral pr{�}cis{�} dans le
texte} Si $x_n\to x$ dans $\sigma(E,E')$, on dit que $x_n$ converge faiblement vers $x$ dans $E$ et on note $x_n
\rightharpoonup x$, $\sigma(E,E')$.
\end{Def}
\begin{pro}
\index{A}{convergence!faible (caract�risations)}\label{liensentreconvergences} Soit $E$ un espace de Banach. Soit
$(x_n)$ une suite de $E$. Alors
\newline\newline
(i) $x_n\rightharpoonup x$ dans $\sigma(E,E')$ si et seulement si $\forall f \in E', \; f(x_n)\to f(x)$.
\newline\newline
 (ii) Si $x_n\to x$ fortement, alors $x_n\rightharpoonup x$ dans
$\sigma(E,E')$.
\newline\newline
(iii) Si $x_n\rightharpoonup x$ dans $\sigma(E,E')$, alors $||x_n||$ est born\e e et $||x||\leq \lim\inf_{n\to
+\infty}||x_n||.$
\newline\newline
(iv) Si $x_n\rightharpoonup x$  dans $\sigma(E,E')$ et si $f_n \to f$ fortement, alors $f_n(x_n)\to f(x).$
\end{pro}
\paragraph{D�monstration}
 Montrons l'�quivalence (i). La
topologie $\sigma (E, E')$ ayant �t� construite pour que les �l�ments de $E'$ soient continus, l'implication directe
($\Rightarrow$) est claire, puisque la continuit� des $f\in E'$ entraine leur continuit� s�quentielle.  La r\e ciproque
d�coule de la forme des voisinages dans la topologie faible.  On doit montrer que si $f(x_n)\to f(x)$ pour tout $f$,
alors pour tout $U$
 voisinage de $x$ pour $\sigma(E,E')$, il existe $n_0$ tel $n\geq n_0$ implique
$x_n\in U$.  Or on a vu (Corollaire \ref{basedevoisinagesdex}) qu'on peut choisir des voisinages $U$ de $x$ de la forme
$U=\bigcap_{i=1, ...,k}f_i^{-1}(]f_i(x)-\varepsilon, f_i(x)+\varepsilon[)$.  On choisit $n_0$ assez grand pour que
$n\geq n_0\Rightarrow |f_i(x_n)-f_i(x)|<\varepsilon$, $i= 1, ...,k$.  Alors $x_n\in U$.  On a donc bien
$x_n\rightharpoonup x$ pour $\sigma(E,E')$.



\noindent La relation (ii) r�sulte de $|f(x_n)-f(x)|\leq ||f||\;||x-x_n||.$ Pour montrer (iii), on consid�re les $x_n$
et $x$ comme des formes lin�aires sur $E'$ et on applique le th�or�me de Banach-Steinhaus  (Th�or�me
\ref{banach-steinhaus}).  Les op�rateurs continus de $E'$ dans $\RR$ d�finis par $J_{x_n}(f)=f(x_n)$ v�rifient $\forall
f\in E',$ $\sup_n |J_{x_n}(f)|<+\infty$, car $J_{x_n}(f)=f(x_n) $ a une limite, $f(x)$.  Par le
 corollaire \ref{normepardualite},   $||J_x||_{E''}=||x||$ et
 $||J_{x_n}||_{E''}=||x_n||.$ Donc (iii) se d�duit du
   corollaire \ref{normedoperateurdecroit}. On termine en montrant (iv) par la simple in�galit\ea
$$|f_n(x_n)-f(x)|\leq ||f_n - f||\;||x_n|| + |f(x_n-x)|.$$

\enddemo

\begin{rem}  Si la dimension de $E$ est finie, la topologie faible et la topologie
forte co{\"\i}ncident.
  En dimension infinie, les ouverts faibles sont des ouverts forts,
mais il y a plus d'ouverts forts que d'ouverts faibles.  De m\eee me, tous les ferm�s faibles sont des ferm�s forts,
mais il y a plus de ferm�s forts que de ferm�s faibles, comme le montre la proposition suivante.
\end{rem}


\begin{pro}  \index{A}{ouvert} \label{bouleuniteforte} En dimension infinie, la
boule unit� $B(0,1)=\{x, ||x||<1\}$ est un ouvert de la topologie forte mais n'est pas un ouvert de la topologie
faible.  (Et donc son compl�mentaire est un ferm� de la topologie forte, mais pas de la topologie faible).
\end{pro}

\paragraph{D�monstration}
En effet, tous les ouverts de la topologie faible contiennent des ensembles de la forme $U=\bigcap_{i=1,
...,k}f_i^{-1}(]f_i(x)-\varepsilon, f_i(x)+\varepsilon[)$. Montrons que de tels ensembles sont non born�s. On choisit,
dans $E$, $y\neq 0$ tel que $f_i(y)=0, i=1,..., k$.  Comme $E$ est de dimension infinie et donc sup�rieure � $k$, c'est
possible.  On remarque que $x+ty\in U$ pour tout $t>0$.  Mais $||x+ty|| \geq |t| ||y|| -||x||$ tend vers l'infini quand
$t\to +\infty$.  Donc aucun voisinage faible n'est  inclus dans la boule unit�, qui n'est donc pas ouverte pour la
topologie faible.
\enddemo

\dexer \index{A}{fermeture!faible de la sph�re unit� } Montrer qu'en dimension infinie, la fermeture de $S(0,1)=\{x,
||x||=1\}$ pour la topologie faible est $\overline{B}(0,1)=\{x, ||x||\leq 1\}$. \fexer
\begin{thf} \label{convexefortfaible} \index{A}{fermeture!d'un convexe} Soit $E$ un
espace vectoriel norm� et $C\subset E$ convexe.  Alors, $C$ est  ferm� pour la topologie faible si et seulement s'il
est  ferm� pour la topologie forte.
\end{thf}

\paragraph{D�monstration} Les ouverts faibles sont des ouverts forts et donc les ferm�s faibles sont des ferm�s forts.
R�ciproquement, si $C$ est  ferm� pour la topologie forte,  $C$ est par le corollaire \ref{intersectiondedemiespaces}
une intersection de demi-espaces ferm�s (pour la topologie forte). Mais ce sont aussi des ferm�s pour la topologie
faible. Donc $C$ est ferm� pour la topologie faible.
\enddemo



\section{La topologie $\star \sigma(E',E)$}
Soit $E$ un espace de Banach, $E'$ son dual, $E''$ son bidual topologique, muni de la norme $$||\xi||_{E''}=\sup_{f\in
E', ||f||_{E'}\leq 1}\vert \xi(f) \vert.$$ On a introduit au corollaire \ref{normepardualite}  une {\it injection
canonique} $J : \; E \to E''$. En effet, tout �l�ment $x\in E$ d�finit un �l�ment $J_x\in E''$ par la relation
$J_x(f)=f(x)$. Le corollaire mentionn� dit que $||J_x||_{E''}=||x||_E$. L'inclusion $J(E)\subset E''$ va nous permettre
de d�finir une nouvelle topologie sur $E'$.

\begin{Def} \index{A}{topologie!faible-$\star$}
La topologie $\star \sigma(E',E)$ est la moins fine rendant continues les formes lin�aires $J_x : f\to f(x)$, pour tout
$x\in E$.

\end{Def}
Cette topologie est donc {\it a priori} moins fine que $\sigma(E',E'')$.
\begin{pro}\index{A}{base de voisinages!pour la topologie
faible-$\star$} On a la base de voisinages en $f_0\in E'$ pour la topologie faible-$\star$ :
$$U= \{f\in E', \; |(f-f_0)(x_i)|<\varepsilon\},\; i=1, ...,n, \; x_i\in E,\; n\in
\NN .$$
 Dans toute la suite, les ensembles du
type $\{f\in E', \; |(f-f_0)(x)|<\varepsilon\}$ s'appelleront {\rm voisinages �l�mentaires} pour la topologie
$\star\sigma(E',E)$.\index{A}{voisinage �l�mentaire pour la topologie faible �toile}
\end{pro}
\begin{pro}\label{voisinagesfaibleetoile} \index{A}{convergence!faible-$\star$)}
Soit $E$ un espace de Banach. Si $(f_n)$ est une suite de $E'$,
\newline (i) $(f_n\rightharpoonup f$, $\star\sigma(E',E))$ $\Leftrightarrow$
$(\forall x\in E\; f_n(x)\to f(x)).$
\newline
(ii) Si $f_n\to f$ fortement, alors $f_n\rightharpoonup f$, $\star \sigma(E',E)$.
\newline
(iii) Si $f_n\rightharpoonup f$, $\star\sigma(E',E)$, alors $||f_n||$ est born\e e et $$||f||\leq \lim\inf_{n\to
+\infty}||f_n||.$$ (iv) Si $f_n\rightharpoonup f$, $\star \sigma(E',E)$, si $x_n\to x$ fortement, alors $f_n(x_n)\to
f(x)$.
\end{pro}

\paragraph{D�monstration}
Pour (i), (ii), (iv), les m\eee mes que pour la proposition \ref{liensentreconvergences}. La relation (iii), est le
corollaire \ref{normedoperateurdecroit} du th�or�me de Banach-Steinhaus.
\enddemo
\begin{pro} \index{A}{s�paration!de la topologie $\sigma(E',E)$}
La topologie $\star \sigma(E',E)$ est s�par�e.
\end{pro}
\paragraph{D�monstration}
En effet, si deux formes lin�aires $f$ et $g$ sur $E$ sont distinctes, il existe $x\in E$ tel que $f(x)\neq g(x) $.
\enddemo


 \begin{thf}
(Banach-Alaoglu-Bourbaki, cas s�parable).\label{alaogluseparable}\index{A}{Banach-Alaoglu-Bourbaki (th\e or�me de, cas
s�parable)} Soit $E$ un espace vectoriel norm� s�parable. L'ensemble $\overline{B_{E'}}=\{f\in E', \; ||f||\leq 1\}$
est s�quentiellement compact pour la topologie $\star\sigma(E',E)$.
\end{thf}

\paragraph{D�monstration} Soit $Z$ un sous-ensemble d�nombrable dense
dans $E$. On peut supposer que $Z$ est un espace vectoriel sur $\QQ$ car l'ensemble des combinaisons lin�aires finies
sur $\QQ$ d'un ensemble d�nombrable est encore d�nombrable. Consid�rons une suite $(f_n)_{n\in \NN}$ dans la boule
unit� de $E'$ et notons $Z=(z_k)_{k\in\NN}$. On a $f_n(z_k)\leq ||z_k||$ par hypoth�se. On extrait  des sous-suites
emboit�es de $f_n$ not�es $f_{\varphi_k(n)}$ telles que $f_{\varphi_k(n)}(z_l)$  converge quand $n\to\infty$ d�s que
$k\geq l$. On appelle la limite $f(z_l)$. Par le proc�d� d'extraction diagonale, consid�rons la suite
$g_n=f_{\varphi_n(n)}$. Alors $g_n(z_l)\to f(z_l)$ pour tout $l$ quand $n\to \infty$. Chaque $g_n$ �tant lin�aire sur
$(Z,\QQ)$, $f$ l'est encore et on a aussi $f(z_l)\leq ||z_l||$ en passant � la limite quand $n\to \infty$ dans
$g_n(z_l)\leq ||z_l||$. Comme $f$ est lin�aire et continue sur $(Z,\QQ)$ et que $\overline{Z}=E$, $f$ a une unique
extension lin�aire � $(E,\real)$ que l'on note encore $f$ et qui a encore une norme inf�rieure ou �gale � 1. Reste �
montrer que $g_n$ tend vers $ f$ dans $\star\sigma(E',E)$. Soit $x\in E$ et fixons $z_k\in Z$ tel que $||x-z_k||\leq
\varepsilon$. Alors comme $g_n$ et $f$ sont de norme inf�rieure ou �gale �  1,
$$||g_n(x)-f(x)||\leq
||g_n(x)-g_n(z_k)||+||g_n(z_k)-f(z_k)||+||f(z_k)-f(x)||\leq 2\varepsilon +||g_n(z_k)-f(z_k)||\leq 3\varepsilon$$ pour
$n$ assez grand.  Donc $g_n(x)\to f(x)$ pour tout $x\in E$.
\enddemo

\noindent{\bf Deux exemples illustr�s de convergence $\star\sigma(E',E)$}

Dans ces deux exemples, l'espace $E$ est un espace fonctionnel. Pour $g \in E'$ et $f \in E$, nous notons $\langle
f,g\rangle$ le produit de dualit�.
\begin{enumerate}

\item
Convergence $\star\sigma(L^{\infty},L^1)$ de $\sin(nx)$ vers 0.

Soit $f_n(x)=\sin(nx)$, une suite de fonctions de $L^{\infty}(\RR)$, espace des fonctions ``essentiellement'' born�es
de $\RR$ dans $\RR$. Nous avons vu dans le chapitre  \ref{dualiteLp} que cet espace, muni de la norme
$||f||_{\infty}=\sup_{x\in{\RR}} |f(x)|$, est un Banach qui est l'espace dual de $L^{1}(\RR)$,
 espace des fonctions
int�grables de $\RR$ dans $\RR$, �galement un Banach muni de la norme  $||f||_{1}=\int|f|$. L'op�ration de dualit� est
alors $\langle f,g\rangle=\int fg$. On a bien s�r $L^\infty \subset \left(L^1\right)'$. Nous nous int�ressons � la
convergence de $\langle \sin(nx), g\rangle$, pour $g \in L^1(\RR)$. Montrer en utilisant le Lemme de Riemann-Lebesgue
la convergence $\star\sigma(L^{\infty},L^1)$ de $\sin(nx)$ vers 0. Cette convergence   est illustr�e par la figure
\ref{sinnx}, dans les cas o\`u $g$ est une fonction indicatrice d'intervalle, puis la fonction $\exp(-|x|)$.

\item
Convergence d'une suite de mesures.

%Soit $C^{0,0}(\RR)$ l'espace des fonctions continues qui tendent vers 0 �
%l'infini:
%$$C^{0,0}(\RR)=\left\{f \in C^0 | \lim_{|x|\rightarrow +\infty} f
%=0\right\}.$$
\index{N}{${\cal C}_c(\Om)$ est l'ensemble des fonctions continues et {�} support compact dans $\Om$} Soit ${\cal
C}_c(\RR)$ l'espace des fonctions continues r�elles, � support compact sur $\RR$. Cet espace est muni de la norme
$||f||_{\infty}$. Soit ${\mathcal M}$ le dual de ${\cal C}_c$. Nous appellerons ``mesures de Radon'' les �l�ments de
${\mathcal M}$. Pour $x \in \RR$, d�finissons l'application $\delta_{x}$ de ${\cal C}_c$ dans \RR, d�finie par
$$\delta_x(f)=f(x).$$
Cette application s'appelle la mesure de Dirac au point $x$. Montrez que $\delta_x \in {\mathcal M}$. Nous d�finissons
alors deux op�rations pour les mesures de Dirac:

$$\mbox{Le zoom: } Z_{\lambda}\delta_x= \delta_{\lambda x},$$
 $$\mbox{La convolution: }\delta_x \ast \delta_y = \delta_{x+y}.$$

Un r�sultat classique (et ici admis) de la th�orie des probabilit�s, le th�or�me central limite, concerne la
convergence de la suite de mesures d�finie par
$$\mu_1=\frac 1 2 \left(\delta_{-1}+\delta_1\right),$$
\begin{equation}
\label{mun} \mu_{n}=Z_{\sqrt n} \left(\mu_1 \ast^n \right), \forall n \geq 1,
\end{equation}
expression o\`u $\mu_1\ast ^n$ repr�sente la mesure obtenue en convoluant $\mu_1$ $n$ fois � elle m\^eme (avec la
d�finition de la convolution entre mesures de Dirac donn�e ci-dessus). La mesure $\mu_1$ correspond � la loi de
probabilit� associ�e � un tirage de pile ou face, et la mesure $(\mu_1\ast^n)$ � la loi associ�e � $n$ tirages
ind�pendants. On peut montrer que
$$\mu_n \rightharpoonup g(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\exp(-x^2/2),$$
(convergence $\star\sigma({\mathcal M},{\cal C}_c$)). Il est alors entendu que la fonction $g$ est l'�l�ment de
${\mathcal M}$ d�fini par $\langle f,g \rangle=\int fg$, pour tout $f\in {\cal C}_c$. Ce r�sultat est illustr� sur la
figure \ref{centrallimite}, o\`u l'on consid�re, � $N$ fix�, les produits $\langle \mu_N,
T_{[-5+\frac{n-1}{5},-5+\frac{n}{5}]}\rangle$ et $\langle g,T_{[-5+\frac{n-1}{5},-5+\frac{n}{5}]}\rangle$, pour
$n=1,...,50$.

Les fonctions de ${\cal C}_c$ utilis�es sont d�finies ainsi: $T(x)=\sup(0,1-|x|)$, et, pour un intervalle $[a,b]$,
$T_{[a,b]}(x)=\frac{2}{b-a}T\left(\frac{2(x-(a+b)/2)}{b-a}\right)$, c'est � dire une fonction triangulaire s'appuyant
sur l'intervalle $[a,b]$. Ainsi les $T_{[-5+\frac{n-1}{5},-5+\frac{n}{5}]}$ sont des fonctions continues qui balayent
l'intervalle $[-5,5]$, en dehors duquel la fonction $g$ est proche de 0. Ces produits sont trac�s en fonction de $n$,
pour $N=10$ (figure (a)), $N=100$ (figure (b)), $N=1000$ (figure (c)), et $N=5000$ (figure (d)).

\end{enumerate}

\begin{figure}
\begin{center}
\label{sinnx} \psfrag{sinindic}{\footnotesize $\langle sin(kx),\indic_{[ 0,5]}\rangle$} \psfrag{sinexp}{\footnotesize
$\langle sin(kx),\exp(-|x|)\rangle $}


\subfigure[Graphes sur ${[}0,5{]}$des fonctions $x\rightarrow sin(kx)$ pour $k=3,5,10,20$.]
{\includegraphics[width=6cm]{Figures/Sinnx.eps}}
%\subfigcapmargin 0cm
\subfigure[Produits $\langle sin(kx),\indic_{{[}0,5{]}}\rangle =\int_0^5 sin(kx)dx$ trac�s en fonction de $k$.
$\indic_{{[} 0,5 {]}}$ d�signe la fonction indicatrice de l'intervalle ${[}0,5{]}$.]
{\includegraphics[width=6cm]{Figures/Sinnx2.eps}}


\subfigure[Produits $\langle sin(kx),\exp(-|x|)\rangle =\int sin(kx)\exp(-|x|)dx$ trac�s en fonction de
$k$.]{\includegraphics[width=6cm]{Figures/Sinnx3.eps}}

\caption[Convergence $\star \sigma \left(L^{\infty},L^1\right)$ de $sin(nx)$] {Illustration de la convergence $\star
\sigma \left( L^{\infty},L^1\right)$. Nous d�finirons au chapitre \ref{espacesLp} l'espace $L^\infty(\RR)$ des
fonctions mesurables born�es sur $\RR$, et $L^1(\RR)$ l'espace des fonctions int�grable sur $\RR$. Nous montrerons
�galement au chapitre \ref{dualiteLp} que $(L^1(\RR))'=L^\infty(\RR)$ (l'application de dualit� �tant d�finie par
$\langle f,g\rangle=\int fg$). Nous nous int�ressons ici aux fonctions $sin(kx)$, $k\in \NN$, qui appartiennent �
$L^\infty$. Nous tra\c{c}ons les valeurs des produits $\langle sin(kx),f\rangle $ en fonction de $k$, avec $f$
successivement une fonction indicatrice (figure (b)), puis la fonction $\exp(-|x|)$ (figure (c)), deux fonctions
appartenant � $L^1$. Ces produits tendent vers 0 quand $k$ tends vers l'infini, ce qui illustre la convergence de
$(sin(kx))$ vers 0 pour la topologie $\star \sigma \left(L^{\infty},L^1\right)$. }
\end{center}
\end{figure}



\begin{figure}
\begin{center}
\label{centrallimite}

\subfigure[$N=10$]{\includegraphics[width=6cm]{Figures/centlim10.eps}}
\subfigure[$N=50$]{\includegraphics[width=6cm]{Figures/centlim100.eps}}
\subfigure[$N=1000$]{\includegraphics[width=6cm]{Figures/centlim1000.eps}}
\subfigure[$N=5000$]{\includegraphics[width=6cm]{Figures/centlim5000.eps}}


\caption[Exemple de convergence $\star \sigma \left({\mathcal M},C^{0,0}\right)$]{Le th�or�me central limite:
illustration de la convergence $\star \sigma \left({\mathcal M},{\cal C}_c\right)$ de $\mu_n$. La mesure $\mu_n$ est
d�finie � partir des mesures de Dirac (voir la formule (\ref{mun})), et est associ�e � une suite de $n$ tirages de pile
ou face. Nous avons admis que $\mu_n \rightharpoonup g(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\exp\left(-x^2/2\right)$. Les courbes
faites de $+$ repr�sentent $\langle g, T_{[-5+\frac{n-1}{5},-5+\frac{n}{5}]}\rangle$ en fonction de $n$, les courbes
faites de $\cdot$ repr�sentent $\langle \mu_N, T_{[-5+\frac{n-1}{5},-5+\frac{n}{5}]}\rangle$ en fonction de $n$, en
fonction de $n$, pour $N=10,50,1000,5000$ (attention, l'�chelle en ordonn�es diff�re entre la figure (a) et les
suivantes). Pour un intervalle $I$ de $\RR$, les fonctions $T_I$ sont des fonctions continues � support dans $I$.}
\end{center}
\end{figure}

\section{Du cas r\e el au cas complexe}
On suppose que les espaces vectoriels norm\e s sont complexes. Dans toute cette partie, on notera $D$ une disque ouvert
quelconque du plan complexe et $D(z,r)$ le disque ouvert de centre $z$ et de rayon $r$.
%Apr\e s
% avoir remplac\ea $\RR$ par $\CC$, $I$ et $I_f$ (intervalles ouverts de $\RR$)
% par $D$ et $D_f$ (disques ouverts de $\CC$),
%N\e anmoins,
%nous conviendrons que tout \e nonc\ea concernant des espaces vectoriels
%dont le corps des scalaires n'
%est pas pr\e cis\e, est vrai dans les deux cas, r\e el ou complexe.
Nous allons signaler de quelle fa\c con modifier les \e nonc\e s pour
"passer" au cas complexe.\\
Dans la d\e finition \ref{deftopofaible}, remplacer $\RR$ par $\CC$.\\
Dans la proposition \ref{caracterisationtopofaible}, remplacer $I$ intervalle ouvert
de $\RR$ par $D$ disque ouvert de $\CC$.\\
Dans la proposition  \ref{ouverttopofaible}, remplacer $I_f$ intervalle
ouvert quelconque de $\RR$ par $D_f$ disque ouvert quelconque de $\CC$.\\
Le corollaire \ref{basedevoisinagesdex} se modifie de la fa\c con suivante (la d\e monstration est identique \a celle
du cas r\e el, en rempla\c cant
les intervalles par des disques):\\
\begin{cor} \index{A}{base de voisinages!pour la topologie faible}
Les ouverts de la forme $\bigcap_{i=1,...,k } f_i^{-1}(D_i)$, o\u $k\in \NN$, $f_i\in E'$ et $D_i$ sont des disques
ouverts quelconques de $\CC$, forment une base de voisinages ouverts de $\sigma(E,E')$.\newline Les ouverts de la forme
\fb& U=\bigcap_{i=1,...,k}f_i^{-1}(D(f_i(x),\varepsilon)), \fe& $k\in \NN$, $f_i\in E'$, $\varepsilon>0$ forment une
base de voisinages ouverts de $x\in E$.
\end{cor}
Dans la proposition \ref{topofaibleseparee}, il n'y a rien \a modifier. \dexo V\e rifier que les ensembles $\{ x \in E
: Re(f(x)) < \alpha \}$ o\u $f \in \Ep$ est non
 identiquement nulle et $\alpha \in \RR$, sont des ouverts faibles.
 En d\e duire que la topologie faible est s\e par\e e.
 \fexo
La d\e finition \ref{defconvergencefaible}, la proposition \ref{liensentreconvergences}, la remarque 3.1, la
proposition \ref{bouleuniteforte}, le th\e or\ee me
\ref{convexefortfaible}, le corollaire \ref{mazur} sont valables tels que.\\ \\
Tout le paragraphe Topologie $\star \sigma(E',E)$ est vrai dans le cas complexe avec pour seules modifications, dans la
d\e monstration du th\e or\ee me \ref{alaoglu}, de remplacer $\RR$ par $\CC$.
\newpage


\section{Compl�ments}
{\small
\begin{cor}{\bf (Th�or�me de Mazur)}\index{A}{Mazur (th�or�me de)} \label{mazur} Soit
$E$ un espace vectoriel norm�.  Si $x_n\rightharpoonup x$, $\sigma(E,E')$, il existe une suite $y_n$ de combinaisons
convexes des $x_k$, $k\geq n$, qui converge fortement vers $x$.

\end{cor}
\paragraph{D�monstration}
On consid�re $C_n = \overline{Conv\{x_k, \; k\geq n\}}^{\sigma(E,E')}$, la fermeture, pour la topologie faible, de
l'enveloppe convexe des $x_k,$ $k\geq n$. D'apr�s le th�or�me \ref{convexefortfaible}, $C_n$  est aussi la fermeture de
$Conv\{x_k, k\geq n\}$ pour la topologie forte. Puisque $x_n\rightharpoonup x$, on a donc aussi $$x\in C_n =
\overline{Conv\{x_k, \; k\geq n\}},$$ o\u la fermeture s'entend pour la topologie forte. Il existe donc, pour tout $n,$
$y_n\in Conv\{x_k, \; k\geq n\}$ tel que $||y_n-x||\leq \frac 1 n$.
\enddemo


\begin{thf}
(Banach-Alaoglu-Bourbaki).\label{alaoglu}\index{A}{Banach-Alaoglu-Bourbaki (th\e or�me de)}  Soit $E$ un espace
vectoriel norm�. L'ensemble $\overline{B_{E'}}=\{f\in E', \; ||f||\leq 1\}$ est compact pour la topologie
$\star\sigma(E',E)$.
\end{thf}
\paragraph{D�monstration}
On  plonge $E'$ dans $Y=\RR^E$, l'espace des applications de $E$ dans $\RR$ muni de la topologie produit, \ccaadd la
topologie la moins fine rendant continues les projections $Y\to \RR$, $\omega = (\omega_x)_{x\in E}\to E$. La topologie
sur $Y=\RR^E$ est appel�e topologie de la convergence simple.  Le plongement $\Phi : (E', \sigma(E',E))\to Y$, $f\to
(f(x))_{x\in E}\in Y$    est continu, injectif et d'inverse continue sur son image. En effet la topologie
$\star\sigma(E,E')$ est la restriction � $E'$ de la topologie de la convergence simple.  Montrons que l'image $K$ de
$\overline{B_{E'}}$ par $\Phi$ est un compact. On a
$$K=\{\omega\in Y, \;\forall x,y \in E,\;\forall \lambda \in \RR,\; |\omega_x|\leq ||x||,\;
\omega_{x+y}=\omega_x+\omega_y, \; \omega_{\lambda x}=\lambda\omega_x\}.$$ On \e crit $K=K_1\cap K_2$, avec
$$K_1=\{\omega\in Y, \; \forall x\in E, |\omega_x|\leq ||x||\}\hbox{  et }$$
$$K_2 = \{\omega \in Y, \; \forall x, y\in E,\;\forall \lambda \in \RR,
\omega_{x+y}=\omega_x+\omega_y, \; \omega_{\lambda x}=\lambda\omega_x.\}$$ Par le th�or�me de Tikhonov \ref{Tikhonov},
$K_1=\Pi_{x\in E}[-||x||, ||x||]$ est compact.
%
$K_2$ est ferm� comme intersection de ferm�s. En effet les applications $\omega\to \omega_x$ sont continues pour la
topologie de la convergence simple et donc les applications $f_{x,y}: \omega\to \omega_{x+y}-\omega_x-\omega_y$ et
$g_{x,\lambda}: \omega\to \omega_{\lambda x}-\lambda\omega_x$ le sont aussi. $K_2$ est l'intersection de tous les
ferm�s $f_{x,y}^{-1}(0)$ et $g_{x,\lambda}^{-1}(0)$.
%
Donc $K=K_1\cap K_2$ est compact et donc $\overline{B_{E'}}$ aussi.
%
%Pour montrer que $K_2$ est ferm� dans $Y$, v�rifions que $\overline{K_2} \subset
%K_2$. Soit $w^0 \in \overline{K_2}$ alors tout voisinage de $w^0$ pour la topologie
%produit rencontre $K_2$. En particulier, soient $x,y \in E$, $\alpha, \beta \in \RR$
%et $\ep>0$ alors le voisinage $U$ d�fini par
%$$U =\{ w \in Y;\,\,\vert w_x-w^0_x \vert < \ep \} \cap \{ w \in Y;\,\,\vert
%w_y-w^0_y \vert < \ep \} \cap \{ w \in Y;\,\,\vert w_{\alpha x+\beta
%y}-w^0_{\alpha x+\beta y} \vert < \ep \}$$
%rencontre $K_2$. Donc, il
%existe $w \in K_2$ tel que $w \in U$. On peut donc �crire $$w^0_{\alpha
%x+\beta y} - \alpha w^0_x - \beta w^0_y = (w^0_{\alpha x+\beta y} - w_{\alpha
%x+\beta y}) + \alpha (w_x - w^0_x) + \beta (w_y - w^0_y).$$ On en d�duit que
%$$\vert w^0_{\alpha x+\beta y} - \alpha w^0_x - \beta w^0_y \vert \leq (1+\vert
%\alpha \vert + \vert \beta \vert) \,\ep \,\,\, \, \mbox{et ceci}\,\forall \ep
%>0.$$ D'o\`u $w^0 \in K_2$ et $K_2$ est ferm�.
\enddemo

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%MODIFICATIONS LE 3 NOVEMBRE 2005:%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \drem
 Nous avons utilis� dans la d�monstration le th�or�me de Tikhonov. Mais nous avons vu que le
  th�or�me de Tikhonov d�nombrable suffit d�s que $E$ est
 s�parable, c'est-�-dire quand il admet une suite d�nombrable dense. De plus, la
 la compacit� obtenue dans le th�or�me  n'est en pratique utilis�e que quand la boule unit�
$\overline{B_{E'}}$ est m�trisable.  On verra plus loin que c'est le cas quand $E$ est s�parable (Th�or�me
\ref{metrisabilitedelabouleunite}).  C'est pourquoi nous avons donn� dans le corps principal du chapitre une preuve
plus constructive du  th�or�me de Banach-Alaoglu-Bourbaki dans le cas o� $E$ est s�parable.
 \frem




}







\section{Exercices}
\hfill \newline Sauf mention explicite, tous les espaces vectoriels consid\e r\e s dans
cette partie, sont {\bf{r\e els}}.\\ \\
{\bf Introduction} Variante de la d{�}finition de la topologie faible
\\ \\
Dans tout ce qui suit E d{�}signera un espace de Banach r\e el. Pour $f \in E^{\prime}$, on d{�}finit $p_f(x) = \vert
f(x) \vert$, c'est bien une semi-norme sur E. On note ${\cal P}={(p_f)}_{f \in E^{\prime}}$. Soit $p \in \cal P$, on
appelle p-boule ouverte de centre $x \in E$ et de rayon r l'ensemble $B(x,r)$ des points $y \in E$ tels que $p(x-y) <
r$. Enfin on appelle $\cal P$-boule ouverte de centre x toute
intersection finie de $p_i$-boules ouvertes de centre $x$.\\
D{�}finition : Une partie U de E est ouverte si ou bien $U = \emptyset$, ou bien $\forall x \in U$, il existe une $\cal
P$-boule ouverte de centre x contenue dans U. On peut v{�}rifier
facilement que l'on d{�}finit bien ainsi une topologie sur E.\\
On note $(E,\cal P)$ l'espace E muni de cette topologie. La topologie (E,${\cal P}$) s'appelle la topologie faible sur
E (par "opposition" {�} la topologie de la norme qui est dite topologie forte). Elle est souvent not{�}e $\sigma
(E,E^{\prime})$ ou bien $E_w$ \index{N}{$E_{w}$ est l'espace $E$ muni de la topologie
faible $\sigma(E,\Ep)$}(w=weak) dans la litt{�}rature.\\
Pour simplifier les notations, on pose $E^{\prime}=(f_i)_{i \in I}$ et on notera P.F.I l'ensemble des parties finies de
I. \index{N}{P.F.I est l'ensemble des parties finies de l'ensemble $I$} Par d{�}finition de la topologie associ{�}e {�}
une famille de semi-normes, les ensembles $V(x,J,\ep) = \{ y \in E, \vert <f_i,x-y> \vert < \ep, \forall i \in J \}$
o{\`u} $J \in P.F.I$ et $\ep > 0$ constituent une base de voisinages (ouverts) de x dans E. \dexo \index{N}{$E_{\om}$
est l'espace $E$ muni de la topologie faible $\sigma(E,\Ep)$}
%{ \bf Exercice 1}
\hfill \newline
1) V{�}rifier que la topologie faible est s{�}par{�}e.\\
2) Montrer qu'un ouvert faible est un ouvert fort.\\
3) Montrer que $E^{\prime}= (E_w)^{\prime}$. En particulier les ensembles $\{ x \in E, <f,x> < \alpha \}$
o{\`u} $f \in E^{\prime}$ et $\alpha \in \RR$ sont des ouverts faibles.\\
4) Montrer que si la dimension de $E$ est finie, $\sigma(E,E^{\prime})$ est {�}quivalente {�} $(E,\Vert \;\Vert)$ (pour
cela montrer que toute boule $B(x,r)$ contient un $V(x,J,\ep)$). \fexo \dexo \hfill \newline
%{\bf Exercice 2}
Soit $E$ un espace vectoriel norm� tel que dim$E = + \infty$. On se propose de montrer que la topologie faible n'est
pas m{�}trisable. Pour cela on raisonne par l'absurde et on suppose qu'il existe une distance
 d sur E dont la topologie est {�}quivalente {�} $\sigma(E,E^{\prime})$.\\
1) Montrer qu'il existe une suite $(f_n)_{n \geq 1}$ d'{�}l{�}ments de $E^{\prime}$ telle
que \\
$\forall k \in \NN^{\star},\quad \exists I_k \in P.F.\NN^{\star},\quad \exists {\ep}_k > 0$ tels que
$$ \bigcap_{i \in I_k} \{x \in E : \vert <f_i,x> \vert < {\ep}_k \} \subset
B_d(0, \frac{1}{k}),$$
o{\`u} $B_d(0,\frac{1}{k}) = \{x \in E : d(0,x) < \frac{1}{k} \}.$\\
2) Soient $g \in E^{\prime}$ et $V = \{ x \in E :\, \vert <g,x> \vert < 1 \}$. Montrer que $\exists I \in
P.F.\NN^{\star}$ tel que $$\bigcap_{i \in I} \ker f_i \subset V,\mbox{ puis que } \bigcap_{i \in I} \ker f_i \subset
\ker g.$$
On note $I = \{ n_1,n_2,...,n_k \}$.\\
3) On consid{�}re
\begin{eqnarray*}
F : E & \longrightarrow & {\RR}^{k+1} \\
    x & \longmapsto & (g(x),f_{n_1} (x),...,f_{n_k} (x)).
\end{eqnarray*}
S{�}parer ImF de (1,0,...,0) dans ${\RR}^{k+1}$. En d{�}duire que $\exists {({\lambda}_i)_i} \in {\RR}^{k}$ tel
que $g = \displaystyle{\sum_{i=1}^{k}} {\lambda}_i f_{n_i}$.\\
4) Soit $F_n = \mbox{vect} \{ f_1,...,f_n \}$. Montrer que $\exists n_0 \in \NN^{\star}$ tel que $E^{\prime} =
F_{n_0}$.
(remarquer que $E^{\prime} = \bigcup_{n} F_n$).\\
5) Conclure. \fexo \dexo \label{comblineairedansdual} \hfill \newline Soient $E$ un espace vectoriel norm\ea complexe,
$f,f_1,...,f_n \in \Ep$ telles que
$$\bigcap_{i=1,n} \ker f_i \subset \ker f.$$
Montrer, en s'inspirant de l'exercice pr\e c\e dent, que $\exists {({\lambda}_i)_i} \in {\RR}^{n}$ tels que $f =
\displaystyle{\sum_1^n} {\lambda}_i f_{i}$. \fexo \dexo \label{lineairecontinuitefaible}
%{ \bf Exercice 3}
Soient E et F deux espaces de Banach et $T : E \longrightarrow F$ \underline
{lin{�}aire}.\\
1) Montrer l'{�}quivalence des propri{�}t{�}s suivantes :
$$
\begin{array}{clll}
(1) &  T : E     & \longrightarrow & F \mbox{  continue.} \\
(2) &  T : E_w   & \longrightarrow & F_w \mbox{  continue.} \\

(3) &  T : E     & \longrightarrow & F_w \mbox{  continue.}
\end{array}
$$
2) Montrer que si $T : E_w \longrightarrow F$  est lin{�}aire continue alors $\dim Im(T) < \infty.$ \fexo
%{ \bf Exercice 4}
\dexo \index{A}{espace!${\ell}^1$} \hfill \newline On note $ {\ell}^1 = \{ x = {(x_n)}_{n \geq 1} \subset \RR \mbox {
tel que } \displaystyle{\sum_{n=1}^{+ \infty}} \vert x_n \vert < \infty \}$ que l'on munit de la norme $ {\Vert x
\Vert}_1 = \displaystyle{\sum_{n=1}^{+ \infty}} \vert x_n \vert$, et $ {\ell}^{\infty} = \{ x = {(x_n)}_{n \geq 1}
\subset \RR \mbox { tel que } \sup_n \vert x_n \vert < \infty \}$ que l'on munit de la norme $ {\Vert x
\Vert}_{\infty} = \sup_{n \geq 1} \vert x_n \vert.$\\
On admettra que ${\ell}^1$ et ${\ell}^{\infty}$ sont des espaces de Banach. \\
Enfin on note $e^n = {(\delta_{ni})}_{i \geq 1}$ o{\`u} ${\delta}_{ni} = 1$ si i
=n, ${\delta}_{ni} = 0$ sinon.\\
1) Pour $x = (x_n) \in \lun$ on note $x^N = \displaystyle{\sum_{n=1}^N} x_n e^n$. V{�}rifier que ${\Vert x^N -x
\Vert}_1 \longrightarrow 0$ quand $N \rightarrow + \infty$.
(On {�}crira alors $x = \displaystyle{\sum_{n=1}^{+ \infty}} x_n e^n$.)\\
2) Soit $y \in \linf$ avec $y = (y_n)$. On consid{�}re
\begin{eqnarray*}
f : \lun & \longrightarrow & \RR \\
      x & \mapsto & f(x) = \sum_{n \geq 1} x_n y_n,
\end{eqnarray*}
avec $x=(x_n)$. Montrer que $f \in {(\lun)^{\prime}}$. On pose ${\Lambda}_y = f$ et on d{�}finit ainsi une application
\begin{eqnarray*}
\Lambda : \linf & \longrightarrow & {(\lun)^{\prime}} \\
      y & \mapsto & {\Lambda}_y,
\end{eqnarray*}
o{\`u} $<{\Lambda}_y,x> = \sum x_n y_n$,  $\forall x \in \lun$.\\
a) Montrer que $\Lambda$ est une isom{�}trie.\\
b) Montrer que $\Lambda$ est un isomorphisme.\\ \\
Dans la suite on identifiera $\linf$ et ${(\lun)^{\prime}}$ {�} l'aide de $\Lambda$, c'est {�} dire que si $y \in
\linf$, on {�}crira $<y,x> = \sum_n x_n y_n$ $\forall x \in \lun$. De plus, $<y,e^i> = <
e^i,y> = y_i$, $\forall i \geq 1$ et $ \forall y \in \lun$ ou $\linf$.\\
3) Soit $(x^n)_{n \geq 1}$ une suite d'{�}l{�}ments de $\lun$, exprimer le fait que $x^n \rightharpoonup 0$
dans $\lun$ muni de la topologie faible.\\
4) On se propose de d{�}montrer le th{�}or{�}me suivant :\\
Si $x^n \rightharpoonup 0$ dans $\lun$ pour la topologie faible $\sigma(\lun,\linf)$ alors $x^n \rightarrow 0$ pour la
topologie forte c'est-\`a-dire $\Vert x^n \Vert \rightarrow 0$.\\
NB : C'est un cas TRES PATHOLOGIQUE.\\
Soit donc $(x^n)_{n \geq 1}$ une suite d'{�}l{�}ments de
$\lun$ telle que $x^n \rightharpoonup 0$ dans $\lun$ faible.\\

a) Soit $K = {\overline B}_{\linf} = \{ f \in \linf : {\Vert f \Vert}_{\infty} \leq 1\}$. On note
$$d(f,g) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac {\vert f_n - g_n \vert}{2^n} .$$
Montrer que (K,d) est un espace m{�}trique.\\

b)Montrer que $\forall r > 0$ et $\forall f \in K$,
$$\Omega = \{ g \in K : d(f,g) < r\} = B_d(f,r) \cap K $$
est un voisinage de f dans K pour la topologie faible $\star$
$\sigma(\linf,\lun)$.\\

c) En d{�}duire que (K,d) est un espace m{�}trique compact.\\

d) Soit $\ep > 0$ fix{�}. On pose
$$F_k = \{ f \in K : \vert <f,x^n> \vert \leq \ep,\,\forall n \geq k \}.$$
Montrer que $\exists f^0 \in K$, $\exists \rho > 0$ et $\exists k_0$ tels que
$$ f \in K \mbox {  et  } d(f^0,f) < \rho \, \Longrightarrow \, f \in
F_{k_0},$$
(appliquer le lemme de Baire).\\

e) Soit $N \in {\NN}^{\star}$ tel que $\frac {1}{2^{N\!-\!1}} < \rho$, montrer que $\forall n \geq k_0$,
$${\Vert x^n \Vert}_1 \leq \ep + 2\, \sum_{i=1}^{N} \vert x_i^n \vert,$$
(choisir $f = (f_1^0,f_2^0,...,f_N^0, \pm 1,\pm 1,...,\pm 1,...)$ et utiliser le fait que
$f \in F_{k_0}$.\\

f) Conclure.\\
5) On vient de d{�}montrer que l'application, id : $\lun$ faible $\rightarrow$ $\lun$ fort, est s{�}quentiellement
continue. Est-elle continue ? \fexo \dexo Hahn-Banach 1ere forme g�om�trique pour la topologie $\omega\star$
\\
\index{A}{Hahn-Banach!version g\e om\e trique pour la topologie faible-$\star$} Soit $E$ un espace de Banach. Soient
$A$ et $B$ deux parties non vides et convexes de $\Ep$ telles que $A\cap B = \emptyset$. On suppose que $A$ est ouverte
pour la
topologie faible $\star$.\\
On se propose de montrer que $\exists x \in E$, $x\not= 0$, $\exists \alpha \in \RR$
tels que  $<a,x> \;\leq \alpha \leq \;<b,x>$, $\forall a \in A$ et $\forall b \in B$.\\
\\
1) V�rifier que $\exists \xi \in \Epp$, $\xi \not\equiv 0$ et $\exists \alpha \in \RR$ tels que $<\xi,a>\;\leq \alpha
\leq\;<\xi,b>$, $\forall a \in A$ et $\forall b
\in B$.\\
2) Soit $J$ l'injection de $E$ dans $\Epp$ d�finie par
$$< J(x),f >_{\Epp,\Ep}\; =\; < f,x >_{\Ep,E},\,\,\forall f \in \Ep,\,\,\forall x\in
E.$$ Montrer qu'il existe $x_1,...,x_N \in E$ tels que $\displaystyle{\bigcap_{1\leq i \leq N}} \ker J(x_i) \subset
\ker \xi $ et conclure. \fexo
%\include{chap456}
