
\chapter{Transform\e es de Fourier bidimensionnelles}
\section{Base de Fourier sur un carr\ea }
Dans ce chapitre, on va d'abord g\e n\e raliser les s\e ries de Fourier \a des fonctions d\e finies sur le  carr\ea
$[0,2\pi]^2$, puis \a des fonctions p\e riodiques sur un r\e seau de $\real^2$. Tous les \e nonc\e s se g\e n\e
ralisent sans changement de d\e monstration \a la dimension $N$. Nous traitons le cas $N=2$ pour \e viter des indices
de sommation inutiles. On pose $x=(x_1,x_2)\in \real^2$, $k=(k_1, k_2) \in \real^2$   et on note $k.x= k_1x_1+k_2x_2$
leur produit scalaire.

\begin{lem} \label{totalitedesseparables}
Les fonctions s\e parables, \ccaadd de la forme $w(x) = u(x_1)v(x_2)$ avec $u, v\in L^2(0,2\pi)$ forment un syst\ee me
total de $L^2([0,2\pi]^2).$
\end{lem}
\paragraph{D\e monstration}
 Les fonctions caract\e ristiques de
rectangles sont s\e parables et elles forment un syst\ee me total de $L^2([0,2\pi]^2)$.
\enddemo

\begin{thf} \label{seriedeFouriersurlecarre}
Les fonctions $e_{k}(x)=\frac 1 {2\pi}e^{ik.x}$, $k\in \relative^2$, forment une base hilbertienne de $L^2([0,2\pi]^2)$
et on a donc pour toute fonction $u\in L^2([0,2\pi]^2),$ \fb& \label{developpementenseriedeFourierdouble} u= \sum_{k\in
\relative^2} c_k(u)e^{ik.x},\; \hbox{avec  }  c_k(u) = \frac 1 {(2\pi)^2}\int_{[0,2\pi]^2} u(x)e^{-ik.x}dx, \fe& la
convergence de la s\e rie se v\e rifiant au sens de $L^2$.
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
On v\e rifie facilement que $e_{k}$ est un syst\ee me orthonorm\e .  Pour montrer qu'il est total, il suffit de
montrer, par le lemme \ref{totalitedesseparables}, que les $e_{k}$ engendrent les fonctions s\e parables.  Mais si
$w(x)=u(x_1)v(x_2)\in L^2([0,2\pi])^2$ est une telle fonction,  par une application directe du th\e or\ee me de Fubini,
$u(x_1) \hbox{ et } v(x_2)$ sont dans $L^2(0,2\pi)$.  Les fonctions $u$ et $v$ sont donc sommes au sens $L^2$ de leurs
s\e ries de Fourier :
$$u(x_1) = \sum_{k_1\in \relative} c_{k_1}e^{ik_1 x_1}, \; \; c_{k_1}=\frac
1{2\pi}\int_{[0,2\pi]} u(x_1)e^{-ik_1x_1} ;$$
$$v(x_2) = \sum_{k_2\in \relative} c_{k_2}e^{ik_2 x_2}, \; \; c_{k_2}=\frac
1{2\pi}\int_{[0,2\pi]} v(x_1)e^{-ik_2x_2} ;$$ En multipliant simplement les relations pr\e c\e dentes, on obtient une
s\e rie double convergente dans $L^2([0,2\pi]^2)$, ce qui donne (\ref{developpementenseriedeFourierdouble}) dans le cas
d'une fonction  s\e parable $w(x) =u(x_1)v(x_2)$ avec $c_k(w)=c_{k_1}(u)c_{k_2}(v).$  Il en r\e sulte que le syst\ee me
$(e_{k})_{k\in \relative^2}$ est une base hilbertienne de $L^2([0,2\pi]^2)$ et
(\ref{developpementenseriedeFourierdouble}) est donc valide.
\enddemo

\section{Base de Fourier sur un r\e seau}

\begin{Def}
Un sous-ensemble $\Gamma$ de $\real^3$ est appel\ea un r\e seau s'il existe une base $(e_1, e_2)$ de $\real^2$ telle
que les \e l\e ments de $\Gamma$ soient exactement les vecteurs dont les composantes dans cette base sont enti\ee res :
$\gamma = x_1e_1+x_2 e_2, \; x_1, x_2 \in \relative.$ On dit alors que $(e_1, e_2)$ est une base du r\e seau $\Gamma$.
On dit qu'une fonction $f$ d\e finie dans $\real^2$ est $\Gamma $-p\e riodique si on a $f(x+\gamma)=f(x)$ pour tout
$\gamma$ dans $\Gamma$.
\end{Def}
\drem Tout changement de base \fb& \label{changementdebase} \tilde e_1 = ae_1+ be_2, \; \tilde e_2 = ce_1 + de_2 \;
\hbox{ v\e rifiant } |ad-bc| = 1, \;  a, b, c, d\in \relative\fe&
 est licite et nous donne une nouvelle base du r\e
seau.  R\e ciproquement, si $(\tilde e_1, \tilde e_2)\in \Gamma$ est une autre base du r\e seau, on est assur\ea de
l'existence de $a, b, c, d\in \relative$ v\e rifiant (\ref{changementdebase}), car la matrice de changement de base
doit \eee tre inversible et d'inverse \a coefficients entiers, ce qui impose que son d\e terminant vaille $+1$ ou $-1$.
\frem

\begin{Def} {\bf et Proposition}  On consid\ee re l'ensemble $\Gamma^\star$ des $k= (k_1,
k_2)\in \real^2$ tels que pour tout $\gamma\in \Gamma$, on ait
$$k.\gamma \in 2\pi \relative.$$  Alors $\Gamma^\star$ est un r\e seau, appel\ea r\e seau
r\e ciproque de $\Gamma$, et dont une base peut \eee tre d\e finie de la mani\ee re suivante :   Si $(e_1, e_2)$ est
une base de $\Gamma$, on appelle base r\e ciproque  de $(e_1, e_2)$  l'unique syst\ee me $(e_1^\star, e_2^\star)$ v\e
rifiant \fb& \label{relationsdereciprocite} e_i.e_j^\star =2\pi\delta_{ij} .\fe&
 Alors $(e_1^\star,
e_2^\star)$ engendre $\Gamma^\star.$
\end{Def}

\paragraph{D\e monstration}
Si $k\in \real^2$ appartient \a $\Gamma^\star$, on note $(k_1, k_2) $ ses composantes dans la base r\e ciproque
$(e_1^\star, e_2^\star)$ d'une base $(e_1, e_2)$ de $\Gamma$. On a, en utilisant les relations de r\e ciprocit\ea
(\ref{relationsdereciprocite}), $(k, e_1)= 2\pi k_1$ et $(k, e_2)= 2\pi k_2$ et comme $k$ est dans $\Gamma^\star$, on
en d\e duit que $k_1\in \relative$, $k_2\in \relative$. R\e ciproquement, si $k$ est dans le r\e seau engendr\ea par
$(e_1^\star, e_2^\star)$, on a $k= k_1e_1^\star + k_2e_2^\star$. Si $\gamma = x_1e_1 +x_2e_2\in \Gamma$, on a par les
relations de r\e ciprocit\ea (\ref{relationsdereciprocite}),
$$k.\gamma = 2\pi k_1x_1 + 2\pi k_2x_2\in 2\pi \relative.$$
\enddemo
\begin{cor}
Soit $\Gamma$ un r\e seau de $\real^2$ et $\Gamma^\star$ son r\e seau r\e ciproque.  Alors la fonction de deux
variables $x\to e^{ik.x}$ est $\Gamma$-p\e riodique si et seulement si $k\in \Gamma^\star$.
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
Comme $e^{ik.(x+\gamma)}= e^{ik.x}e^{ik.\gamma},$ la $\Gamma$-p\e riodicit\ea \e quivaut \a $e^{ik.\gamma}=1$ pour tout
$\gamma\in \Gamma$, soit $k.\gamma \in 2\pi \relative$, et donc \a $k\in \Gamma^\star$.
\enddemo
\begin{Def}
{\bf(mailles d'un r\e seau)} Soit $\Gamma $ un r\e seau et $(e_j)$ une base de celui-ci.  On appelle maille de $\Gamma$
pour la base $(e_j)$ un parall\e pip\ee de \fb& \label{definitiondemaille} M = \{ \sum_1^2 x_je_j, \; a_j\leq
x_j<a_j+1\}, \fe& o\u les $a_j$ appartiennent \a $\real$. Lorsque $\gamma $ parcourt $\Gamma$, les
 translat\e s $M+\gamma$ de la maille $M$ sont deux \a deux disjoints et recouvrent
$\real^2$.
\end{Def}
\begin{thf}
Soient $M$ et $M'$ deux mailles d'un r\e seau $\Gamma$, relatives \a deux bases $(e_1,e_2)$ et $(e'_1, e'_2)$.  Alors,
pour toute fonction localement sommable et $\Gamma$-p\e riodique, les int\e grales de $f$ sur $M$ et $M'$ sont \e
gales.  En particulier, $M$ et $M'$ ont la m\eee me surface.
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
Le second \e nonc\ea d\e coule du premier en prenant $f=1$. Consid\e rons les ensembles $A_\gamma = M'\cap (M+\gamma).$
L'ensemble $M'$ \e tant born\e , l'ensemble $\Gamma_0\subset \Gamma$ constitu\ea des $\gamma$ tels que $A_\gamma \neq
\emptyset$ est fini.  Les $A_\gamma$ sont disjoints et recouvrent $M'$.  Notons $B_\gamma$  le translat\ea $A_\gamma
-\gamma$.  Les $B_\gamma$ sont contenus dans $M$.  Montrons qu'ils sont disjoints : si on avait $x\in B_\gamma\cap
B_{\gamma'}$, on aurait dans une m\eee me maille $M'$ deux points $x+\gamma$ et $x+\gamma'$ dont la diff\e rence est un
vecteur du r\e seau ; cela est interdit par (\ref{definitiondemaille}).  Montrons que la r\e union des $B_\gamma$ est
$M$ : si $x$ appartient \a  $M$, il appartient aussi, comme tout point de $\real^2$, \a un certain translat\ea
$M'_{\gamma_0}$ de la maille $M'$ par un  \e l\e ment du r\e seau ; cela signifie que $x+\gamma_0\in A_{\gamma_0}$ et
donc que $x\in B_{\gamma_0}$.

%\MAILLES   ************* A VOIR DEMANDE TDSERIESDEFOURIERHILBERT CF JMM   *******************
%\begin{figure}
%\begin{center}
%\includegraphics[width=12cm]{Figures/maille.eps}
%\caption{Egalité des mailles}\label{maille}
%\end{center}
%\end{figure}
En conclusion, nous avons \e crit $M'$ comme r\e union disjointe d'un nombre fini d'ensembles $A_\gamma$, $\gamma\in
B_{\gamma_0}$ et $M$ comme r\e union disjointe des translat\e s $B_\gamma= A_\gamma -\gamma$.  On a donc, pour $f$
localement sommable et $\Gamma$-p\e riodique,
$$\int_{M'} f(x)dx = \sum_{\gamma\in \Gamma_0}\int_{A_\gamma} f(x)dx=
\sum_{\gamma\in \Gamma_0}\int_{B_\gamma} f(y+\gamma)dy=$$
$$
\sum_{\gamma\in \Gamma_0}\int_{B_\gamma} f(y)dy=\int_M f(y)dy.
$$
\enddemo
\begin{cor}\label{celluled'unreseau}
On appelle plus g\e n\e ralement {\rm cellule} de $\Gamma$ un sous-ensemble born\ea $D$ de $\real^2$ tel que les
translat\e s $D+\gamma, \gamma\in \Gamma$, soient deux \a deux disjoints et recouvrent $\real^2$. Alors l'int\e grale
sur $D$ d'une fonction $f$ localement sommable et $\Gamma$-p\e riodique ne d\e pend pas de $D$ et est \e gale \a
l'int\e grale de $f$ sur une maille du r\e seau.
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
Il suffit de reprendre la d\e monstration pr\e c\e dente en rempla\c cant $M$ par $D$.
\enddemo
\begin{thf} \label{seriedefouriersurunreseau}
Notons $L_\Gamma^2$  l'espace des fonctions localement de carr\ea sommable et $\Gamma$-p\e riodiques muni du produit
scalaire
$$
(f,g) = \frac 1 S\int_M \overline{f(x)}g(x)dx,
$$
o\u $M$ est une cellule quelconque du r\e seau et $S$ sa surface. Alors $L_\Gamma^2$ est un espace de Hilbert, et les
fonctions $x\to e^{ik.x}$, $k\in \Gamma^\star$ en constituent une base hilbertienne. Toute fonction $f\in L^2_\gamma$
peut donc se d\e composer d'une mani\ee re unique sous la forme
$$f=\sum_{k\in \Gamma^\star}c_{k}(f) e^{ik.x}, \hbox{ avec  }
c_k(f) = \frac 1 S\int_M e^{-ik.x}f(x)dx.$$
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}  L'espace $L^2_\Gamma$ est isom\e trique \a $L^2(M)$ et est
donc un espace de Hilbert. Soit $(e_1, e_2)$ une base du r\e seau $\Gamma$ et choisissons la maille
$M=\{x_1e_1+x_2e_2,\;0\leq x_1, x_2\leq 1\}$. On consid\ee re l'isomorphisme $I$ de $L^2(M)$ dans $L^2([0,1]^2)$ d\e
fini par $If(x_1, x_2)= f(x_1e_1+x_2e_2)$. Comme toute fonction de $L^2([0,1]^2)$ est d\e composable en s\e rie double
de Fourier (th\e or\ee me \ref{seriedeFouriersurlecarre}), on peut \e crire
$$If(x_1,x_2) = \sum_{k_1,k_2\in \relative} c_{k_1k_2} e^{2i\pi(k_1x_1+k_2x_2)}.$$
Posons $x=x_1e_1+x_2e_2$ ; on a donc
$$f(x)  = \sum_{k_1,k_2\in \relative}c_{k_1k_2} e^{2i\pi(k_1x_1+k_2x_2)}.$$
En utilisant la d\e finition de la base duale $(e_1^\star, e_2^\star),$ on a
\newline
$e_1^\star.x = 2\pi x_1$, $e_2^\star.x = 2\pi x_2$ et $k=k_1e_1^\star + k_2e_2^\star\in \Gamma^\star$. Donc
$$f(x) = \sum_{k_1,k_2\in \relative}c_{k_1k_2} e^{i(k_1e_1^\star + k_2e_2^\star).x}=
\sum_{k\in \Gamma^\star}c_{k}(f) e^{ik.x}.$$ De plus (th\e or\ee me \ref {seriedeFouriersurlecarre}),
$$c_k(f) = c_{k_1k_2}= \int_{[0,1]^2}f(x_1e_1+x_2e_2)e^{-2i\pi(k_1x_1+k_2x_2)}dx_1dx_2.$$
On fait le changement de variable $x=x_1e_1 +x_2e_2$, qui applique $[0,1]^2$ sur $M$ et dont le jacobien est le rapport
des aires, \ccaadd $S$.  Donc, pour tout $k\in \Gamma^\star$,
$$c_k(f) = \int_{S}f(x)e^{-ik.x}\frac {dx}S.$$
\enddemo
On note $L^1_\Gamma$ l'ensemble des fonctions $\Gamma$-p\e riodiques et localement int\e grables.
\begin{Def} {\bf et Proposition} Soit $\Gamma$ un r\e seau de $\real^2$, $D$ une cellule du
r\e seau et $u, v$ deux fonctions de $L^1_\Gamma$. On d\e finit la convol\e e $\Gamma$- p\e riodique de $u$ et $v$ par
\fb& \label{convolutionperiodiquesurreseau} u\ast v(x) = \int_D u(x-y)v(y)dy. \fe& Alors $u\ast v$ ne d\e pend pas du
choix de la cellule $D$ et appartient aussi \a $L^1_\Gamma$.
\end{Def}
\paragraph{D\e monstration} C'est une cons\e quence imm\e diate du corrolaire
\ref{celluled'unreseau}.
\enddemo
\begin{pro}
La convolution $\Gamma$-p\e riodique jouit des propri\e t\e s  de la convolution sur $\real^2$ : commutativit\e ,
associativit\e . Si $f, g\in L^2_\Gamma$, alors leur convol\e e  est continue et $\Gamma$-p\e riodique et on a \fb&
\forall k \in \Gamma^\star, \;\; c_k(f\ast g)= Sc_k (f)c_k(g). \fe&
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
Les d\e monstrations sont strictement les m\eee mes qu'en dimension 1 gr\aa ce au th\e or\ee me
\ref{seriedefouriersurunreseau} et au corollaire \ref{celluled'unreseau}.
\enddemo
