
\documentclass[11pt]{book}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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-0.71cm \topmargin -0.6cm

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%macros et autres yann
\newcommand \R {\mathbb R}
\newcommand \Z {\mathbb Z}
\newcommand \N {\mathbb N}
\newcommand \hu {\hat{u}}
\newcommand \tu {\tilde u}
\def\cqfd{\hfill $\large\circ$ \newline\newline}     % fin de preuve
\newcommand{\indi}{{1\!\!1}}
\newcommand \com[1]{\fbox{\sf  #1}}
%\newcommand \trait{
%\noindent\noindent
%\begin{picture}(454,5)(0,-5)
%\drawline(0,2)(454,2)
%\end{picture}
%%%%%%%%%%%%%%il y avait 2 } apres picture %%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\def\R{\'e}sum{\'e}{\small\noindent\bf R{\'e}sum{\'e}. \rm}
\def\Abstract{\small\noindent\bf Abstract. \rm}

\def\nin{\not\in}                 % la negation de \in
\def\indic{1\!\!1}                % fonction indicatrice
\def\levelset{\chi}           % la surface de niveau
\def\meas{\mathop{\rm meas}}      % mesure de
\def\setB{\SetB}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%\RR
\def\real{I\!\!R}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\NN{I\!\!N}
\def\relative{{\bf Z}}
\def\QQ{{\bf Q}}
\def\complex{{\bf C}}
\def\mes{\hbox{mes}}
\def\sin{\hbox{sin}}
\def\cos{\hbox{cos}}
\def\interieur{\hbox{\rm Int{\'e}rieur}}
\def\signe{\hbox{\rm Signe}}
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\def\Re{\hbox{\rm Re}}
\def\support{\hbox{\rm Support}}
\def\supp{\hbox{\rm Support}}

\def\fb&{\begin{equation}}
\def\fe&{\end{equation}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ajouts sylvie
\newcommand{\ep}{\varepsilon}
\newcommand{\Om}{\Omega}
\newcommand{\om}{\omega}
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\newcommand{\Ep}{E^{\prime}}
\newcommand{\vois}{{\cal V}(x)}
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\newcommand{\voisx}{{\cal V}(x)}
% ensembles Q R N Z C indicatrice polynomes
\gdef\PP{\hbox{\rm I\kern-.25em\hbox{P}}}
\gdef\ind{\indi} \gdef\RR{\hbox{\rm
I\kern-.25em\hbox{R}}}
\gdef\NN{\hbox{\rm I\kern-.25em\hbox{N}}}
\gdef\LLI{\hbox{\rm I\kern-.25em\hbox{L}}}
\gdef\ZZ{{\sl Z\hskip -1ex Z} }
\gdef\CC{\rm \hbox{C\kern-.56em\raise.4ex
         \hbox{$\scriptscriptstyle |$}\kern+0.5 em }}
\gdef\QQ{\rm \hbox{Q\kern-.35em\raise.4ex
         \hbox{$\scriptscriptstyle |$}\kern+0.5 em }}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%rappel : \overline{cequ'onveut}
\newtheorem{thf}{Th\e or\ee me}[chapter]
\newtheorem{cor}{Corollaire}[chapter]
\newtheorem{pro}{Proposition}[chapter]
\newtheorem{Def}{D\e finition}[chapter]
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\newtheorem{exa}{Exemple}[chapter]

\newtheorem{rem}{Remarque}[chapter]%  remarque
\def\drem{\begin{rem}\rm}%  sans
\def\frem{\end{rem}}%                   italique !

\newtheorem{exo}{Exercice}[chapter]
\newtheorem{propr}{Propri\e t\e}[chapter]

\newtheorem{Exer}{Exercice}[chapter]  %Exercice
\def\dexer{\begin{Exer}\rm}    %sans
\def\fexer{\end{Exer}}        %italique !
\def\dexo{\begin{exo}\rm}    %sans
\def\fexo{\end{exo}}        %italique !
\def\skipaline{\vspace{4 mm}\noindent}

\def\fb& {\begin{equation}}       % debut d'une equation
\def\fe& {\end{equation}}         % fin d'une equation
\def\enddemo{\hfill $\large\circ$ \newline\newline}     % fin de preuve
\def\Varphi{{\bf \varphi}}
\def\e {{\'e}}
\def\ee {{\`e}}
\def\eee {{\^e}}
\def\e {{\'e}}
\def\ea {{\'e} }
\def\ee {{\`e}}
\def\eee {{\^e}}
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\def\ccaadd{ c'est-{\`a}-dire }
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\def\ooo {{\"o}}

%\newcommand\contentsname{Table des Mati\ee res}
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%  Janvier\or F{\'e}vrier\or Mars\or Avril\or Mai\or Juin\or
%  Juillet\or Ao{\^u}t\or Septembre\or Octobre\or Novembre\or D{\'e}cembre\fi
%  \space\number\day, \number\year}


%rappel pour la c\e dille : fran\c cais
\def\indexentry#1#2{\noindent #1, #2 \newline}
\makeindex
\begin{document}
\title{Notes du cours d'analyse, ENS Cachan premi\ee re ann\e e}
\author{Sylvie Fabre, Jean-Michel Morel, Yann Gousseau}
\maketitle %\tableofcontents %\listoffigures
%\listoftables
%\listoffigures
%\noindent{\bf Notes du cours d'analyse, ENS Cachan premi\ee re ann\e e.}

 \vskip 1.5em
\chapter{Topologie et compacité }

Dans ce paragraphe, nous nous contentons de rappeler quelques d\'efinitions et r\'esultats
utiles
pour la suite de cet ouvrage. Le lecteur pourra trouver les
d\'emonstrations de tous
les \'enonc\'es cit\'es dans [Choquet] et [Dixmier].\\
\paragraph{Rappels de topologie g\e n\e rale} : On appelle espace topologique tout
couple
constitu\ea d'un ensemble $E$ et d'un ensemble $\cal O$ de parties de $E$ stable par
intersection finie
et union quelconque et contenant $E$ et $\emptyset$.  Les \e l\e ments de $\cal
O$ sont appel\e s les {\it ouverts}.  On appelle {\it voisinage} de $x\in E$ tout
sous-ensemble
de $E$ contenant un ouvert contenant $x$ et on notera ${\cal V}(x)$ l'ensemble des voisinages 
de $x$.\\ 
Cons\e  quences :\\
- Un ouvert est voisinage de chacun de ses points et r\e ciproquement. En effet, si $A$
est
voisinage de chacun de ses points et si $x \in A$, il existe $W_x$ ouvert tel que $x
\in W_x
\subset A$. Donc $A$ est la r\e union de tous les $W_x$ quand $x$ parcourt $A$ et de ce
fait
est ouvert.\\
- Les ouverts d'un espace sont connus d\ee s que sont connus pour tout $x$ les
voisinages de
$x$.\\
On appelle {\it base de voisinages} de $x \in E$, toute partie $\cal U$ de ${\cal V}(x)$
telle que si $V \in {\cal V}(x)$, alors il existe $U\in \cal U$ tel que $x\in
U\subset V$.\\
{\bf Exemple classique }: un espace topologique $(E,\cal O)$ est dit m\e trisable
s'il existe une distance sur $E$ telle que $\cal O$ co\"{\i}ncide  avec
l'ensemble des unions arbitraires de boules.  Une base de voisinages ouverts
commode est alors constitu\e e par les boules ouvertes elles-m\eee mes. Les
boules ouvertes centr\e es en $x$ forment une base de voisinages ouverts de $x$
et \e galement les boules ouvertes contenant $x$.
\newline
On appelle {\it base d'ouverts} de $E$, toute famille d'ouverts $(O_i)_{i \in I}$ de
$E$ v\e
rifiant l'une des deux propri\e t\e s \e quivalentes suivantes,\\
1) Tout $x \in E$ a une base de voisinages constitu\e e par une sous-famille de
$(O_i)_{i \in
I}$,\\
2) Tout ouvert de $E$ est r\e union d'une sous-famille de $(O_i)_{i \in I}$.\\
\begin{Def} Une partie $F$ de $E$ est dite ferm\e e si son compl\e mentaire est ouvert.
On appelle
fermeture d'un ensemble $A$, not\e e $\overline{A}$, l'intersection de tous les
ferm\e s contenant $A$. On appelle ouverture, ou int\e rieur, de $A$,not\ea $\interieur
(A)$,
l'union de
tous les ouverts contenus dans $A$.
\end{Def}
\begin{Def} {\bf Adh\'erence} Soit $A$ une partie de $E$, on dit que $x \in E$ est
adh\'erent
\`a $A$ si
$\forall V \in {\cal V}(x)$, $V\cap A \not= \emptyset$. On appellera adh\'erence
de $A$, l'ensemble des points de $E$ adh\'erents \`a $A$. 
\end{Def}
\dexer
\hfill \newline
Montrer que $\overline{A}$ et l'adh\'erence de $A$ sont identiques et que la
relation $A=\overline{A}$ caract\'erise les ensembles ferm\'es. \fexer
\begin{Def} On dit qu'une partie $A$ de $E$ est {\it dense} dans $E$ si $\overline{A} =
E$ et
donc, de mani\`ere \e quivalente, si tout ouvert non vide de $E$ rencontre $A$.
\end {Def}
\begin{Def} {\bf Espace s\e parable} On dit qu'un espace topologique est 
{\it s\e parable} s'il poss\ee de une
partie
d\e nombrable et dense.
\end{Def}
\begin{Def} {\bf Espace s\e par\ea} On dit que l'espace $E$ est {\it s\'epar\'e}
 si $\forall x,y \in E$,
$x\not= y$,
$\exists V \in {\cal V}(x)$ et $\exists U \in {\cal V}(y)$ tels que $U\cap V =
\emptyset$.
\end{Def}
Remarque : Tous les espaces topologiques que nous considérerons seront séparés.
\begin{Def} {\bf Convergence d'une suite}\\
On dit qu'une suite $x_n$ {\it tend vers} $x$ dans $E$ si pour tout voisinage $V$ de
$x$ il
existe $n_0$
tel que $n\geq n_0\Rightarrow x_n\in V$.
\end{Def}
\begin{pro}\label{sequentiellementferme}
Tout ferm\ea $F$ est s\e quentiellement ferm\ea  , \ccaadd que si $F$ est
ferm\ea et si $(x_n)_n$ est une suite d'\'el\'ements de $F$ convergeant vers $x \in E$,
alors
$x\in F$.
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration} Si on avait $x\in F^c$, qui est ouvert, il existerait
un voisinage ouvert $U$ de $x$ tel que $U\subset F^c$.  Mais $x_n\to x$ implique
que $\exists n_0, n\geq n_0 \Rightarrow x_n \in U$, ce qui contredirait $x_n\in
F$.
\enddemo
\begin{Def} {\bf Valeur d'adh\'erence d'une suite}\\
Soit $(x_n)_n$ une suite de points de $E$, on dit que $x \in E$ est valeur
d'adh\'erence de $(x_n)_n$ si $\forall n$, $\forall V \in {\cal V}(x)$, $\exists
i \geq n$ tel que $x_i \in V$.
\end{Def}
Si on note $A_n = \{ x_i,\;i\geq n\}$ alors $x$ est valeur d'adh\'erence de
$(x_n)_n$ si et
seulement si $x \in \bigcap_n \overline{A_n}$.\\ \\
\begin{Def} {\bf Continuit\'e en un point} \\
Soient $E$ et $F$ deux espaces topologiques et $f$ une application de $E$ dans
$F$. Soit $x_0 \in E$, on dit que $f$ est continue en $x_0$ si $\forall V \in
{\cal V}(f(x_0))$, $\exists U \in {\cal V} (x_0)$ tel que $f(U) \subset V$.
\end{Def}
 \dexer
 \hfill \newline
 Une
application d'un espace topologique dans un autre est dite {\it continue} si
elle est continue en tout point. Démontrer que $f$ est continue si et seulement
si l'image r\e ciproque de tout ouvert par l'application est un ouvert, ou de
mani\ee re \e quivalente, si l'image r\e ciproque de tout ferm\ea est un ferm\ea
. Montrer que $f$ est continue si et  seulement si pour tout ensemble $A\subset
E$, on a $f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}$. \fexer
 Un exemple
que nous utiliserons souvent : une application $f$ de $E$ dans $\RR$ est
continue si et seulement si pour tout intervalle ouvert $I$ de $\RR$, l'ensemble
$f^{-1}(I)$ est un ouvert.  En effet, les intervalles ouverts forment une base
de voisinages ouverts de $\RR$.  Il convient de v\e rifier que notre d\e
finition de la continuit\ea g\e n\e ralise bien la notion de continuit\ea s\e
quentielle pour $f$ (\ccaadd : $x_n\to x\Rightarrow f(x_n)\to f(x)$.)
\begin{pro}\index{Continuit\ea s\e quentielle (d'une application continue)} Si $f
: (E, {\cal O})\to (F, {\cal U})$ est continue, alors elle est s\e
quentiellement continue.
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}  Soit $x_n$ tendant vers $x$ pour $\cal O$. Fixons
$U\in \cal U$ tel que $f(x)\in U$ et montrons que $\exists n_0, n\geq n_0
\Rightarrow f(x_n)\in U$. Or, $f$ \e tant continue, $f^{-1}(U)$ est un voisinage
de $x$. Donc $\exists n_0, n\geq n_0\Rightarrow x_n\in f^{-1}(U)$ et on a donc,
comme d\e sir\e , $f(x_n)\in U$.

\enddemo
\begin{Def} {\bf Espace compact} \\
On dit qu'un espace $E$ est compact s'il est s\e par\ea et si de tout recouvrement
ouvert de $E$
on peut extraire un sous-recouvrement fini.
\end{Def}
\dexer
\hfill \newline
Soit $E$ un espace topologique compact, montrer que toute suite de points de $E$
poss\ee de
une valeur d'adh\e rence.
\fexer
L'image d'un compact
par une fonction continue est un compact.  En cons\e quence, toute fonction r\e
elle continue sur un compact atteint son maximum et son minimum.
\newline
\begin{Def}{\bf Topologie produit}  Soit $(E_i, {\cal O}_i)$ des espaces topologiques.
L'espace topologique produit $E=\Pi_i E_i$ peut \eee tre muni de la {\it
topologie produit}, d\e finie comme la moins fine rendant les projections de $E$
sur chaque $E_i$ continues.
\end{Def}
\begin{Def}   On appelle
 {\rm topologie sur $E$ la moins fine vérifiant une propriété $P$} la
topologie ayant cette propri\e t\ea $P$ et  qui a le moins d'ouverts possible.
Cette topologie $\cal U$ est donc telle que pour toute autre topologie $\cal O$
vérifiant $P$,
 on ait $ {\cal U}\subset \cal O$.  On la
trouve en  prenant tout simplement l'intersection de toutes les topologies
vérifiant $P$
 : c'est encore une topologie, le v\e rifier !
 \end{Def}

\begin{pro}\label{formedelatopologielamoinsfine} Soit  $(E_j, {\cal O}_j)_{i\in J}$ une
famille d'espaces topologiques et
$\varphi_j : E\to E_j$ une famille d'applications définies sur un ensemble $E$.
Les ouverts de la {\rm topologie la moins
 fine sur $E$ rendant continues les applications $\varphi_j$} sont tous de la forme :
 \fb&  \label{formestandarddouvert}
 \bigcup_{i\in I}\bigcap_{j\in F_i}\varphi_j^{-1}(U_j),
 \fe&
 où $U_j$ désigne un ouvert quelconque de $E_j$, $F_i$ est un sous-ensemble fini
quelconque
  de $J$ et $I$ est un ensemble quelconque d'indices.
  \newline La même formule est encore valide si on restreint les $U_j$ à une base
  de voisinages ouverts de $E_j$.
  \end{pro}
  \drem  En conséquence, on a la base de voisinages de $E$ :
  $$\bigcap_{j\in F}\varphi_j^{-1}(O_j),$$
  où $F\subset J$ est fini, et $O_j$ appartient à une base de voisinages de $E_j$. Donc
on
  peut caractériser la convergence des suites pour cette topologie de la manière très
simple
suivante :
  \newline
  $x_n\to x$ pour la topologie ${\cal O}$ si et seulement si $\varphi_i(x_n)\to
\varphi_i(x)$
pour tout
  $i$.
  \frem
\begin{lem}\label{distributivitebooleenne}
$$\bigcap_{i\in F}\bigcup_{j\in J_i}A_j=\bigcup_{\psi\in \Psi}\bigcap_{i\in
F}A_{\psi(i)},$$
où $\Psi $ est l'ensemble de toutes les applications $i\in F\to \psi(i)\in J_i$.
\end{lem}
Cette dernière formule prouve que si $\cal A$ est une famille d'ensembles, alors
"toute intersection finie d'unions d'intersections finies d'éléments de $\cal A$
est une union d'intersections finies d'éléments de $\cal A$."
\paragraph{Démonstration}
Si $x$ appartient à $\displaystyle{\bigcap_{i\in F}}\displaystyle{\bigcup_{j\in J_i}}A_j$, cela
revient à dire
que
$$\forall i\in F, \; \exists j(=\psi(i))\in J_i, \; \; x\in A_j \Leftrightarrow$$
$$\exists \psi : \; F\to \cup_i J_i, \; \psi(i)\in J_i, \; \; x\in A_{\psi(i)}, \; \;
\forall
i\in F.$$
\enddemo
\paragraph{Démonstration de la proposition \ref{formedelatopologielamoinsfine}}
Si les $\varphi_i$ sont continues, tout élément de la forme
(\ref{formestandarddouvert}) est bien un ouvert de $E$. Réciproquement, la
famille des ensembles de la forme (\ref{formestandarddouvert}) est évidemment
stable par union quelconque, et par intersection finie d'après le lemme
\ref{distributivitebooleenne}.
\enddemo

\begin{thf}{\bf de Tikhonov} \label{Tikhonov} \index{Tikhonov (th\e or\ee me de)} Soit $K=\Pi_i
K_i$ un produit de compacts.  On note ses \e l\e ments $\omega =(\omega_i)_i$ et
on le munit de la topologie produit, \ccaadd la moins fine rendant les
projections $\omega\to w_i\in K_i$ continues. Alors $K$ est compact.
\end{thf}
\section{Cas des espaces m\'etriques}
Nous rappelons ici un certain nombre de propri\'et\'es vraies dans les espaces
m\'etriques. Dans tout ce qui suit le couple $(E,d)$, ou plus simplement $E$,
d\'esignera un espace m\'etrique muni d'une distance $d$. On rappelle aussi
qu'un espace m\'etrique est dit complet si toute suite de Cauchy converge.
\dexer \label{suiteferme}
Soit $E$ un espace m\'etrique alors \\
1) l'espace $E$ est s\'epar\'e,\\
2) si $A$ est une partie de $E$ et si $x \in E$ alors $x \in \overline{A}$
$\Longleftrightarrow$
$d(x,A) = \displaystyle {\inf_{y \in A}}d(x,y) = 0$ $\Longleftrightarrow$ $\exists (x_n)_n
\subset
A$ telle que $x_n
\rightarrow
x$.
\fexer
\dexer {\bf Continuit\'e s\'equentielle} \label{continuitesequentielle} \\Si $E$ et $F$ sont
des
espaces m\e triques,
alors $f : E\to F$ est continue si et seulement si elle est {\it s\e
quentiellement continue}, \ccaadd si $x_n\to x $ $\Rightarrow$ $f(x_n)\to f(x)$.
\fexer
\dexer {\bf Valeur d'adh\'erence} \label{valeuradherence} \\
Soient $(x_n)_n$ une suite dans $E$ et $x \in E$. Alors $x$ est valeur
d'adh\'erence de la suite $(x_n)_n$ si et seulement si il existe une sous-suite
$(x_{n_k})_k$ qui converge vers $x$.
\fexer
\begin{thf} \label{theometriquecompact}
Soit $E$ un espace m\'etrique, les conditions suivantes sont \'equivalentes :\\
(i) L'espace $E$ est compact.\\
(ii) Toute suite de points de $E$ admet une valeur d'adh\'erence.\\
(iii) Toute suite de points de $E$ a une sous-suite convergente.
\end{thf}
%\dexer \index{Tikhonov (th\e or\ee me de) : cas d'un produit d\e nombrable de
%compacts m\e trisables}
%\hfill \newline
%Montrer le th\e or\ee me de Tikhonov dans le cas un peu moins
%g\e n\e ral suivant : $K=\Pi_{n\in \NN}K_n$ (produit d\e nombrable) et on suppose
%que $K_n$ est m\e trisable et donc muni d'une distance $d_n$.  Commencer par
%montrer que $K$ est m\e trisable en posant
%$$d(x,y)=\sum_{n\in \NN} \frac {d_n(x_n,y_n)}{2^n diam(K_n)},$$
%o\u $diam(K_n)=\max\{d(x_n,y_n), x_n,y_n\in K_n\}$ est le diam\ee tre de $K_n$
%et $x=(x_n)_n$, $y=(y_n)_n$.
%\fexer
\begin{thf}
Un espace m\'etrique compact est complet.
\end{thf}
\begin{thf} {\bf Th\e or\ee me de prolongement} \label{theoprolongement}\\
Soient $E$ un espace m\e trique et $F$ un espace m\e trique complet. Soit $X \subset
E$, une
partie dense dans $E$.
Enfin soit $f : X \rightarrow F$ uniform\e ment continue. Montrer qu'il existe un
unique
prolongement $\tilde{f}$
de f, continu. De plus, $\tilde{f}$ est uniform\e ment continue.
\end{thf}
Pour plus de compl\e ments de topologie générale nous renvoyons aux ouvrages de
G.Choquet et J.Dixmier, et bien-sûr \`a la Topologie Générale de N. Bourbaki.

\section{Th\e or\ee me d'Ascoli-Arzela}


\begin{thf} {\bf (Ascoli-Arzela)}\label{ascoliarzela}\index{Ascoli-Arzela (th\e
or\ee me de)} Soit $f_n$ une suite de fonctions d\e finies sur un espace m\e
trique compact $(K, d)$ et \a valeurs r\e elles.  On suppose que la suite $f_n$
a les deux propri\e t\e s suivantes :
\newline
$\bullet$ $f_n$ est \e quicontinue : $\forall \varepsilon, \exists \eta, \;
\forall x, y \in K,\;\forall n\in \NN,\; d(x, y)\leq \eta \Rightarrow
|f_n(x)-f_n(y)|\leq \varepsilon. $
\newline
$\bullet$ La suite $(f_n(x))_n$ est born\e e pour tout  $x\in K$.
\newline
Alors il existe une sous-suite de $f_n$ qui converge vers une fonction continue
$f$.
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
Remarquons d'abord qu'il existe une suite de points $(x_k)_k$ qui est dense dans
$K$.  En effet, $K$ est compact et donc on peut le recouvrir pour tout $n$ par
un nombre fini de boules de rayon plus petit que $\frac 1 n$. L'union des
centres de ces boules est un ensemble d\e nombrable qui r\e pond \a la question.
\newline
On va alors extraire pour tout $k$ de la suite $f_n$ une sous-suite
$f_{\varphi_k(n)}$ telle que $f_{\varphi_k(n)}(x_l)$ converge pour $l\leq k$ et
telle que $f_{\varphi_k(n)}$ soit une sous-suite de $f_{\varphi_{k-1}(n)}$. On
proc\ee de par extractions successives. Comme la suite $f_n(x_1)$ est born\e e,
la suite $f_n$ admet une sous-suite convergente en $x_1$ que nous notons
$f_{\varphi_1(n)}$.  On extrait de cette sous-suite une nouvelle sous-suite
$f_{\varphi_2(n)}$ qui converge aussi en $x_2$, etc.. On applique alors le
proc\e d\ea dit d'extraction diagonale : on consid\ee re la suite de fonctions
$g_n=f_{\varphi_{n}(n)}$. Elle converge en tout point de la suite $x_k$. On
appelle $g(x_k)$ sa limite en $x_k$.
 D\ee s que $n\geq k$, la suite $f_{\varphi_{n}(n)}$ devient une sous-suite de
$f_{\varphi_k(n)}$.  Elle converge donc en $x_k$.  La suite $g_n$ converge donc
en tout $x_k$. En fait,  la fonction $g$ est \e quicontinue et se prolonge d'une
mani\ee re unique en une fonction continue sur $K$, que nous noterons encore
$g$. Voyons pourquoi. On a
$$|g(x_l)-g(x_k)|\leq
|g(x_l)-g_n(x_l)|+|g(x_k)-g_n(x_k)|+|g_n(x_l)-g_n(x_k)|.$$ Le troisi\ee me terme
est rendu inf\e rieur \a $\varepsilon$ pour tout $n$ si on  impose $d(x_l,
x_k)<\eta(\varepsilon)$.  Les deux premiers termes tendent vers z\e ro quand
$n\to \infty$.  On obtient donc $|g(x_l)-g(x_k)|\leq \varepsilon$ si $d(x_k,
x_l)<\eta(\varepsilon)$. Donc $g$ est uniform\e ment continue sur la suite $x_k$
et a d'ailleurs le m\eee me module d'uniforme continuit\ea  que la suite $f_n$.
On montre ensuite  que $g_n$ converge uniform\e ment vers $g$. La fonction  $g$
est uniform\e ment continue sur un ensemble dense dans $K$. Par le th\e or\ee me
\ref{theoprolongement} page ~\pageref{theoprolongement},
elle se prolonge de mani\ee re unique en une fonction uniform\e ment
continue sur $K$, avec
le m\eee me module de continuit\ea uniforme.  Montrons pour finir que $g_n\to g$
uniform\e ment.  On fixe $\varepsilon>0$, puis $k$ assez grand pour
$$\forall x\in K,\;
\exists l\leq k, \; d(x, x_l)\leq \eta(\varepsilon).$$  On fixe finalement $n_0$
assez grand pour que
$$n\geq n_0\Rightarrow \forall l\leq k, \; |g_n(x_l)-g(x_l)|\leq\varepsilon.$$
En combinant les deux derni\ee res in\e galit\e s, on a pour $n\geq n_0$ et $x$
dans $K$,
$$|g_n(x)-g(x)|\leq |g_n(x)-g_n(x_l)|+|g_n(x_l)-g(x_l)|+|g(x_l)-g(x)|\leq
3\varepsilon.$$
\enddemo
\drem On peut montrer que le th\e or\ee me d'Ascoli-Arzela est encore
valable si les fonctions $f_n$ sont \a valeurs dans un  espace m\e trique
complet et si on suppose, comme deuxi\ee me hypoth\ee se, que pour tout $x$ dans
$K$, l'ensemble $(f_n(x))$ est relativement compacte (\ccaadd de fermeture
compacte), voir les ouvrages de [Choquet] et [Dixmier]. \frem
\begin{cor} \index{Compacit\ea (d'une famille de fonctions Lipschitz)}
Toute famille  $f_n$ de fonctions $L$-lipschitziennes r\e elles, d\e finies sur
un  compact $K$ et telle que pour un certain point $x_0$, $f_n(x_0)$ soit
born\ea admet une sous-suite uniform\e ment convergente vers une fonction \e
galement $L$-lipschitzienne.
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration} Comme $K$ est compact, il est born\ea et on a donc
$d(x, x_0)\leq M$ pour tout $x$ dans $K$. D'o\u $|f_n(x)|\leq |f_n(x_0)|+LM$ est
aussi born\e . On peut donc appliquer le th\e or\ee me d'Ascoli-Arzela.
\enddemo
\dexer {\bf (longueur d'un arc rectifiable)} \index{Longueur d'un arc
rectifiable}\\ On appelle arc rectifiable un sous-ensemble $C$ de $\RR^N$ qui est
l'image d'une  application Lipschitz $c :$ $s\in[0,1]\to c(s)\in \RR^N$. On
appelle longueur de l'arc, $l(C)$, l'infimum des constantes de Lipschitz des
applications surjectives $c$ : $[0,1]\to C$. Montrer que cet infimum est
atteint. \newline Marche \a suivre : consid\e rer une suite $c_n$ dont les
constantes de Lipschitz tendent vers $l(C)$.  Extraire une sous-suite
convergeant uniform\e ment vers un arc $c$ et montrer que $c$ est Lipschitz et
que sa constante de Lipschitz est  \e gale \a $l(C)$. \fexer
\section{Exercices}
%{\bf Exercice 1}\\
%D\e montrer les exercices 1.1, 1.2 et 1.3.\\ \\
%{\bf Exercice 2}\\
%\dexer
%{\bf Exercice 3}\\
%D\e montrer la proposition \ref{suiteferme}.
%\fexer
%\dexer
%{\bf Exercice 4}\\
%D\e montrer la proposition \ref{valeuradherence}.
%\fexer
\dexo
%{\bf Exercice 5}\\
D\e montrer le th\e or\ee me \ref{theometriquecompact}. \\
Indication pour $(iii) \Rightarrow (i)$ : Soit $(O_i)_{i\in I}$ un recouvrement ouvert
de $E$,

1) montrer que $\exists r>0$, tel que $\forall x \in E$, $\exists i \in I$, tel que
$B(x,r)
\subset O_i$.

2) montrer que $E$ est recouvert par un nombre fini de $O_i$.
\fexo
\dexo
\hfill \newline
D\e montrer le th\e or\ee me \ref{theoprolongement}
\fexo
\dexo
%{\bf Exercice 7}\\
Montrer qu'un espace m\e trique compact est s\e parable.
\fexo
%{\bf Exercice 8}\\
%D\e montrer l'exercice 1.6.\\ \\
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
%{\bf Exercice 1=9}
%\\ \\
\dexo
%\newline
\hfill \newline
1) Soient E un espace vectoriel r{é}el norm{é} de dimension finie et F un
espace
vectoriel norm{é}

a) Montrer que toutes les normes sur E sont {é}quivalentes.

b) Soit $u : E \rightarrow F$ lin{é}aire, montrer que u est continue.\\
2) Soit $E = \QQ[\sqrt{2}] = \left\{ a+b\sqrt{2}, a \in \QQ, b \in \QQ
\right\}$. On d{é}finit sur $E$, $N_0(a+b\sqrt{2}) = \vert a+b\sqrt{2} \vert$
et
$N_1(a+b\sqrt{2}) = \max(\vert a \vert, \vert b \vert)$.

a) V{é}rifier que $N_0$ et $N_1$ sont des normes sur $E$.\\
Soit $x = \sqrt{2} -1$, montrer que $\forall n \geq 1$, $x^n = a_n+b_n\sqrt{2}$
o{\`u} $a_n,b_n \in \QQ$ et $a_nb_n < 0$. En d{é}duire que $(\sqrt{2}+1)^n =
\vert
a_n \vert + \vert b_n \vert \sqrt{2}$.

b) Montrer que $N_0$ et $N_1$ ne sont pas {é}quivalentes sur $E$. ($E$ est un
$\QQ$-espace vectoriel de dimension finie, commenter.)
%\\ \\
%{ \bf Exercice 2}
%
\fexo
\dexo \label{dualcomplet}
Soient E et F deux espaces vectoriels norm{é}s \\
a) Montrer que  si F est complet, l'espace ${\cal {L}}(E,F)$ est complet (donc
$E^{\prime}$
est toujours complet).\\
b) Montrer que si ${\overline {B}}_E(0,1)$ est compacte, la dimension de $E$ est finie.
%\\ \\
%{ \bf Exercice 3}
%\\ \\
\fexo
\dexo
Soient E un espace vectoriel norm{é} et $f \in E^{\prime}$, $f \not\equiv 0$.\\
Soit $H = \{ x \in E : f(x) = 0 \}$, on se propose de montrer
 que
 $$ \forall x \in E, \quad \, \, d(x,H) =  \inf_{y \in H} \Vert x-y \Vert = \frac
{\vert f(x)\vert}{\Vert f \Vert}\qquad \,(\star)$$ 1) V{é}rifier que $\vert
f(x)\vert \leq \Vert f \Vert \;d(x,H),\,\;\,\forall x \in
E.$\\
2) Soit $u \in E \backslash H$, en notant que $y=x- \frac {f(x)}{f(u)} \, u$ est
dans H, montrer que $d(x,H) \leq \frac {\vert f(x) \vert}{\vert f(u) \vert} \;
\Vert u \Vert$ et prouver
$(\star)$.\\
3) Soit $E={\cal C}_0=\{x=(x_n)_{n \geq 1} \in \RR^{\NN^{\star}} \mbox{ tel que
} x_n \rightarrow 0\}$ que l'on munit
 de $${\Vert x \Vert}_{\infty} = \sup_n \vert x_n \vert .$$
 a) V{é}rifier que $(E,{\Vert \,\, \Vert}_{\infty})$ est un espace de Banach.\\
 b) Soient $f : E \rightarrow \RR$, d{é}finie par $f(x) = \displaystyle{\sum_{1}^{\infty}}
\frac{x_n}{2^n}$ et $ H = Kerf.$ V{é}rifier que $f \in E^{\prime}$, donner une
expression de $d(x,H)$.
${\Vert f \Vert}_{E^{\prime}}$ est-elle atteinte ?
\fexo
%{ \bf Exercice 4} Th{é}or{è}mes du point fixe
%\\ \\
\dexo Th{é}or{è}mes du point fixe \label{theodupointfixe}
\\
1) Soit (E,d) un espace m{é}trique complet et soit $f : E \rightarrow E$ une
application k-lipschitzienne avec k$<$1.
Montrer que f admet un unique point fixe $x = f(x)$.\\
2) Soit (E,d) un espace m{é}trique complet et soit $\Lambda$ un espace
topologique. Soit $f : E \times \Lambda \rightarrow
E$ telle que\\
- $\forall x \in E, \quad \lambda \rightarrow f(x,\lambda)$ est continue de
$\Lambda$
dans E,\\
- $\exists k < 1, \quad \forall \lambda \in \Lambda, \quad x \rightarrow
f(x,\lambda)$ est k-lipschitzienne de E dans E. On pose $f_\lambda(x) =
f(x,\lambda)$. Si $a_\lambda$ est l'unique point fixe de $f_\lambda$, montrer
que $\lambda \rightarrow a_\lambda$
est continue de $\Lambda$ dans E.\\
3) Soit (E,d) un espace m{é}trique compact et $f : E \rightarrow E$ telle que
$$\forall x,y \in E, \qquad d(f(x),f(y)) < d(x,y).$$
Montrer que f admet un unique point fixe.\\
4) Soit C un convexe compact dans E espace vectoriel norm{é} et soit $f : C
\rightarrow C$ 1-lipschitzienne. Montrer que f admet un point fixe ( pour z
fix{é} dans C, consid{é}rer $f_n(x)=\frac {1}{n+1} z +
\frac{n}{n+1} f(x)$).
\fexo
\dexo
%{ \bf Exercice 5}
\hfill \newline
Soit $E={\cal C}^1 ([0,1])$. Pour $f \in E$, on pose $N(f) = { ({f(0)}^2 +
\int_0^1 f^{\prime}(t)^2 dt)}^{1/2}$ et $\Vert f {\Vert}_{\infty} = \sup_{[0,1]}
\vert f(x) \vert.$\\
a) V{é}rifier que N est une norme sur E.\\
b) Montrer que pour toute $f$ dans $E$, ${\Vert f \Vert}_{\infty} \leq \sqrt {2}
\;
N(f)$.\\
c) Montrer que ${\Vert \, \Vert}_{\infty}$ et N ne sont pas {é}quivalentes sur
E.
\fexo
\dexo
%{ \bf Exercice 6}
%\\ \\
\hfill \newline
Soit E un espace m{é}trique complet tel que pour tout $\eps > 0$, il existe un
recouvrement fini de E par des boules de rayon $\eps$, montrer que E est
compact.
\fexo 

\end{document}