
\section{Distributions p�riodiques et leurs s�ries de Fourier}

PROBLEME  DE NOTATION ?!: PASSAGE BRUSQUE DE x A t ET DE 2$\pi$ A T
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Les calculs pr�c�dents sur le peigne de Dirac nous conduisent � nous int�resser aux distributions p�riodiques et � leur
s�rie de Fourier : nous avons d�ja trait� un exemple o� une distribution se d�compose en s�rie de Fourier ! Peut-on
d�velopper en s�rie de Fourier n'importe quelle distribution p�riodique ? Les coefficients de Fourier $c_k(u)$ sont-ils
uniques ?  Comment les calcule-t-on ? Et quel est est leur comportement quand $k\to \infty$ ? Nous allons dans cette
section r�pondre � toutes ces questions.

\begin{Def}\index{A}{translat�e!d'une distribution}
 Si $u$ est une distribution, on pose
$$<\tau_T u, \varphi>=<u, \tau_{-T}\varphi>.$$

\end{Def}
\dexo Montrer que  cette  d�finition de la translat�e co�ncide avec celle d'une fonction $u$, si cette fonction est
dans $L^1_{loc}$. \fexo

\begin{Def}\index{A}{distribution!p�riodique}
On se donne un nombre $T>0$,  la "p{�}riode", et lui associe la "fr{�}quence" $\omega = \frac {2\pi}{T}$.  On dit
qu'une distribution $u$ est $T$-p{�}riodique si sa translat{�}e $\tau_T u$ est  {�}gale {�} $u$.
 \end{Def}

\begin{pro}\index{A}{croissance lente (d'une suite)}
Soit $(\gamma_k)_{k\in Z}$ une suite {�} croissance lente, c'est-{�}-dire v{�}rifiant une in�galit� du type
$$\forall k \in Z,\; |\gamma_k|\leq C(1+|k|)^N.$$
Alors la s{�}rie  $\sum_{-\infty}^{+\infty} \gamma_k e^{ik\omega t}$ converge au sens des  distributions et d{�}finit
une distribution $T$-p{�}riodique.
\end{pro}

\paragraph{D�monstration} On pose  $$u(t)=\sum_{k\neq 0}\frac 1{(ik\omega)^{N+2}}
\gamma_k e^{ik\omega t}.$$ Il s'agit d'une s�rie uniform�ment convergente, son terme g�n�ral �tant major� par un terme
de la forme $\frac C{(1+|k|)^2}$. L'�galit\ea pr�c�dente est donc valide au sens des distributions. En la d�rivant
$n+2$ fois au sens des distributions, on obtient une nouvelle distribution et l'\e galit\ea
$$\sum_{-\infty}^{+\infty} \gamma_k e^{ik\omega t}=u^{(n+2)} +\gamma_0.$$
  Comme $u(t)$ est une fonction $2\pi$-p�riodique,
il est imm�diat que $u^{(n+2)}$ est une distribution $2\pi$-p�riodique.
\enddemo


\begin{thf}\label{unicitedescoefficientsdefourier}\index{A}{unicit� des
coefficients de Fourier d'une distribution} (Unicit� des coefficients de Fourier) Si $\gamma_k$ est une suite �
croissance lente telle que l'on ait $u=\sum_k \gamma_k e^{ik\omega t}=0$  au sens des distributions, alors $\forall k,
\gamma_k=0$.
\end {thf}
\paragraph{D�monstration}
Pour tout $\varphi\in {\cal C}_c^\infty$,
$$<\sum_k \gamma_ke^{ik\omega t}, \varphi>=\sum_k \gamma_k<e^{ik\omega t},
\varphi>= \sum_k \gamma_k\int_{\RR} \varphi(t)e^{ik\omega t}.$$ Le th�or�me r�sulte alors imm�diatement du lemme qui
suit.

\enddemo
\begin{lem} \index{A}{fonction!test pour Fourier}\label{fonctiontestfourier}
$\forall k_0\in\relative,\; \exists \varphi\in {\cal C}_0^\infty,\; \forall k\in \relative,\;\;\int
\varphi(t)e^{ik\omega t}dt=\delta_{k,k_0}.$
\end{lem}

\begin{lem} \label{partitiondeluniteperiodique}\index{A}{partition p�riodique de l'unit� }
Il existe $\chi\in {\cal C}_c^\infty(\RR)$ telle que \fb&
 \sum_{l\in Z}\chi(t+lT)= 1.
\fe& Une telle fonction $\chi$ est appel�e ``partition de l'unit� $T$-p�riodique".
\end{lem}
\paragraph{D�monstration} Il suffit de prendre    $\phi \in {\cal C}_c^\infty$
positive partout et strictement positive sur $[0,T]$, puis de poser $\chi(t) = \frac {\phi(t)}{\sum_{l\in
\relative}\varphi(t+lT)}\;.$
\enddemo

\begin{lem}\label{coefficientsdelaperiodisee} Soit $\varphi\in C_0^\infty(\real)$. On pose
$d_k(\varphi)=\frac 1T\int_{\real} \varphi(x)e^{-ik\omega x}.$ Alors

$$  d_k(\varphi) =
c_k(\tilde\varphi),$$ o�   $\tilde \varphi(x)=\sum_l\varphi(x+T l)$  est  la $T$- p�riodis�e de $\varphi$ et les
$c_k(\tilde \varphi)=\frac 1T\int_{[0,\;T]}\tilde\varphi(x)e^{-ik\omega x}$ sont ses coefficents de Fourier.
\end{lem}

\paragraph{D�monstration}
 $$Td_k(\varphi)=\int_{\real}
 \varphi(x)e^{-ik\omega x}=\sum_{l\in\relative}\int_{[l T,\;(l+1)T]}\varphi(x)e^{-ik\omega x}=
 $$
 $$
 \int_{[0,\;T]}\sum_l
 \varphi(x-T l)e^{-i\omega k(x-T
 l)}=\int_{[0,\;T]}\tilde\varphi(x)e^{-ik\omega x}=Tc_k(\tilde\varphi).$$
\enddemo



\paragraph{D�monstration du Lemme \ref{fonctiontestfourier}.}
On pose simplement $\varphi(t)=\frac 1T\chi(t)e^{-ik_0\omega t}$, o\u $\chi(t)$ d\e finit une partition de l'unit�
(Lemme \ref{partitiondeluniteperiodique}). Alors par le Lemme \ref{coefficientsdelaperiodisee},
$$
\int_{\real} \varphi(t)e^{ik\omega t}dt=d_k(\varphi)= c_k(\tilde \varphi)=c_k(e^{-ik_0\omega t})=\delta_{k,k_0}.$$
\enddemo

\section{La dualit� distributions p�riodiques-fonctions test
p�riodiques} Nous avons vu que l'on pouvait construire des distributions p�riodiques en sommant des s�ries de Fourier
dont les coefficients sont � croissance lente. En fait, toutes les distributions p�riodiques peuvent �tre construites
ainsi.




\begin{pro} \index{A}{coefficients de Fourier!d'une distribution p�riodique}
Soit $u$ une distribution $T$-p�riodique et $\chi$ une partition $T$-p�riodique de l'unit�.  Alors
$$u=\sum_{k\in\relative} c_k(u) e^{ik\omega x}, \hbox{ o� }\;\;
c_k(u)=\frac 1T<u,\;\chi e^{-ik\omega x}>$$ et la suite $c_k(u)$ est � croissance lente.  On appelle ces $c_k(u)$ les
coefficients de Fourier de $u$ et ils ne d�pendent pas du choix de $\chi$.
\end{pro}

\paragraph{D�monstration}
Soit $K$ le support de $\chi$. Comme $u$ est une distribution, il existe $C_K$ et $p\in \NN$ tels que
$$|c_k(u)|=\frac 1T<u,\; \chi e^{-ik\omega x}>|\leq C_K \max_{i\leq p}
\max_{x\in K}|(\chi e^{-ik\omega x})^{(i)}|.$$ On v�rifie ais�ment que le membre de droite est major� par un polyn�me
en $k$ de degr� inf�rieur ou �gal � $p$.   Donc la s�rie $\sum_k c_k(u)e^{ik\omega x}$ converge au sens des
distributions vers une distribution que nous appellerons $v$. Reste � montrer que $u=v$. Or, pour toute fonction test
$\varphi$, on a
$$<v,\;\varphi>=\sum_kc_k(u)<e^{ik\omega x},\;
\varphi>=\frac 1T\sum_k<u,\; \chi e^{-ik\omega x}><e^{ik\omega x},\;\varphi>=$$
$$
 \sum_k<u,\; \chi e^{ik\omega x}>d_{-k}(\varphi)=
<u,\sum_k c_{-k}(\tilde \varphi)\chi(x)e^{-ik\omega x}>=< u, \chi \tilde \varphi>= <u, \varphi>.
$$
La deuxi�me �galit� vient du Lemme \ref{coefficientsdelaperiodisee} et de la relation $u=\sum_l\tau_l(u\chi)$.
\enddemo

Le lecteur est invit� � v�rifier que les �galit�s de la d�monstration pr�c�dente sont toutes valides.  Il aura besoin
de du fait  que la s�rie de Fourier de $\tilde \varphi$ converge dans ${\cal C}^\infty$ de tout compact vers $\tilde
\varphi$, ce qui est assur� par la proposition suivante :

\begin{pro}\label{decroissancerapidedescoefficients} \index{A}{d�croissance
rapide (de coefficients de Fourier)} Si $f$ est $T$-p{�}riodique et de classe ${\cal C}^{\infty}$, la suite des
$c_k(f)=\frac 1{T}\int_0^T f(t)e^{ik\omega t}$ est {�} d{�}croissance  rapide, c'est-{�}-dire que l'on a $|c_k(f)|\leq
C_N(1+|k|)^{-N}$ pour tout $N$ et  la diff{�}rence
$$f-\sum_L^{L'}c_k(f)e^{ik\omega t}$$  tend vers 0 uniform{�}ment ainsi que
chacune de ses d{�}riv{�}es lorsque $L$ et $L'$ tendent vers $+\infty$.
\end{pro}


\paragraph{D�monstration}  On obtient l'estimation $|c_k(f)|\leq
C_N(1+|k|)^{-N}$ en int�grant par parties $N$ fois $ c_k(f) =\frac 1 T\int_0^{T}f(t)e^{-ik\omega t}dt$.  Gr\aa ce �
cette estimation, la s�rie $\sum_k c_k(f)e^{ik\omega t}$ et toutes ses d�riv�es terme � terme sont uniform�ment
convergentes.  On peut donc intervertir sommation et d\e rivation.
\enddemo
