
\section{Deux exemples clés de convergence faible}
Considérons l'ensemble $E$ des fonctions $f$ de carré intégrable sur $\RR$, telles que $\displaystyle{\int_{\RR}}
|f(x)|^2 dx<+\infty$. On verra dans les chapitres 7 et 8 que cet espace peut être muni d'une structure d'espace de
Hilbert (et donc d'espace de Banach) avec  la norme $||f||=(\int |f(x)|^2)^\frac 12$. On verra également que dans ce
cas $E'=E$ et que la dualité entre $E'$ et $E$ est tout bonnement le produit scalaire : si $g\in E'$ et $f\in E$, on a
$g(f)=\displaystyle{\int_{\RR}} f(x)g(x)dx$. Les éléments de $E'$ sont les formes linéaires continues sur $E$ et elles
peuvent se concevoir, par analogie avec la dimension finie, comme des coordonnées.  Mais une différence substantielle
se fait jour. Si une suite $f_n$ tend vers 0, alors toute coordonnée appliquée à $f_n$ tend aussi vers 0 : $\forall
g\in E', $ $g(f)\to 0$. En effet, $|g(f_n)|\leq ||g||_{E'}||f_n||_E\to 0.$  La réciproque est-elle vraie ? En dimension
finie $n$, on a dans une base de l'espace $e_i$, $f=\sum_{i=1}^n y_ie_i$ et les applications $f\to y_i=y_i(f)$ sont des
formes linéaires continues.  Donc, si toutes les coordonnées de $f_n$ tendent vers zéro, on déduit que
$$||f_n||\leq \sup_{i=1,...,n}|y_i(f_n)|\sum_{i=1}^n ||e_i||\to 0.$$
En dimension infinie, ce résultat n'est plus vrai. Donnons deux exemples.

\dexer Soit $f\in L^2({\RR})$ et $f_n(x)=f(x-n)$, $n\in \NN$. Montrer que $\displaystyle{\int_{\RR}} f_n(x)g(x)dx\to 0$
pour tout $g\in L^2(\RR).$\\ Indications: pour comprendre comment cela fonctionne, prenez d'abord $f$ et $g$ à support
compact, c'est-à-dire nulles en dehors d'un certain intervalle. Pour le cas général, on montrera d'abord que si $f\in
L^2(\RR)$, alors pour tout $\varepsilon>0$, il existe $M$ tel que $\int_{|x|>M}|f(x)|^2dx<\varepsilon$ et on utilisera
l'inégalité de Cauchy-Schwarz,
$$|\int_{\RR}f(x)g(x)dx\leq (\int_{\RR} |f(x)|^2)^\frac 12(\int_{\RR}
|g(x)|^2)^\frac 12.$$
 \fexer

Une suite comme la suite $f_n(x)=f(x-n)$ s'appelle une ``bosse roulante" : penser à une vague solitaire se déplaçant
sur l'océan ($n$ est alors une discrétisation du temps) et on conçoit $f_n$ comme  les positions successives de la
vague.) On peut concevoir chaque $g\in L^2(\RR)$ comme un observateur fixe. La valeur $n\to \displaystyle{\int_{\RR}}
f_n(x)g(x)dx$ peut passer par des valeurs élevées pour certaines valeurs de $n$ :  ce sont les moments où $f_n$ est
observée du point de vue fixe $g$. Mais l'exercice précédent nous assure que $g_n(f)\to 0$, ce qui veut dire que du
point de vue de \underbar{toute} observation fixe, la vague finit par disparaître à l'horizon. Cela ne l'empêche pas de
continuer à exister car la norme de $f_n$ reste constante. Un autre exemple plus subtil est celui de la montée en
fréquence.

\dexer On considère cette fois-ci l'espace des fonctions de carré intégrables sur un intervalle  compact fixe  $I$,
noté $L^2(I)$. C'est encore un espace de Hilbert et donc de Banach, et on verra que son dual est lui même. Considérons
la suite de fonctions $f_n(x)=\sin (nx).$

\quest Montrer que $||f_n||_{L^2(I)}$ tend vers une constante non nulle que l'on calculera.

\quest Montrer que si $g$ est une fonction continue sur $I$, alors $\int_I f_n(x)g(x)dx\to 0$.

\quest On admettra (voir chapitre 6) que pour toute fonction $g$ de $L^2(I)$ il existe une suite $g_n$ de fonctions
continues sur $I$ telles que $\int_I (g_n-g)^2(x)dx\to 0$. En déduire, en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, que
$\int_I g(x)\sin(nx)dx\to 0 $ pour toute fonction $g\in L^2(I)$. \fexer

L'exercice précédent nous montre que la suite de fonctions $f_n(x)=\sin(nx)$ tend ``faiblement" vers zéro, c'est-à-dire
que toutes ses coordonnées tendent vers zéro. Pourtant, la norme de cette suite ne tend pas vers zéro. On assiste à un
phénomène qui nous est pourtant familier : nous savons tous que les sons trop aigus (les ultrasons) nous restent
imperceptibles, ainsi que la lumière ultraviolette. Dans les deux cas, il s'agit de fonctions dont la fréquence est
trop élevée pour notre perception. En dimension infinie, nous ne pouvons donc nous contenter d'une seule notion de
convergence : la convergence faible, qui exprime la convergence de toutes les coordonnées mais pas nécessairement celle
de la norme, va faire l'objet de ce chapitre et du suivant.
