
\documentclass[11pt]{book}


\usepackage{epic,epsf,amsfonts,amssymb, isolatin1}
\usepackage[french]{babel}
%\input{isolatin1.sty}
%\usepackage{french}
%\usepackage{subfigure}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\documentstyle[11pt,showidx]{book}
%\ia{water}
\textwidth 16cm \textheight 22.4cm \oddsidemargin -0.71cm \evensidemargin
-0.71cm \topmargin -0.6cm

%\input{macroo.tex}
%\input{Macro.tex}

%\input{macropict.tex}

%\pagestyle{plain}



%macros et autres yann
\newcommand \R {\mathbb R}
\newcommand \Z {\mathbb Z}
\newcommand \N {\mathbb N}
\newcommand \hu {\hat{u}}
\newcommand \tu {\tilde u}
\def\cqfd{\hfill $\large\circ$ \newline\newline}     % fin de preuve
\newcommand{\indi}{{1\!\!1}}
\newcommand \com[1]{\fbox{\sf  #1}}
%\newcommand \trait{
%\noindent\noindent
%\begin{picture}(454,5)(0,-5)
%\drawline(0,2)(454,2)
%\end{picture}
%%%%%%%%%%%%%%il y avait 2 } apres picture %%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\def\R{\'e}sum{\'e}{\small\noindent\bf R{\'e}sum{\'e}. \rm}
\def\Abstract{\small\noindent\bf Abstract. \rm}

\def\nin{\not\in}                 % la negation de \in
\def\indic{1\!\!1}                % fonction indicatrice
\def\levelset{\chi}           % la surface de niveau
\def\meas{\mathop{\rm meas}}      % mesure de
\def\setB{\SetB}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%\RR
\def\real{I\!\!R}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\NN{I\!\!N}
\def\relative{{\bf Z}}
\def\QQ{{\bf Q}}
\def\complex{{\bf C}}
\def\mes{\hbox{mes}}
\def\sin{\hbox{sin}}
\def\cos{\hbox{cos}}
\def\interieur{\hbox{\rm Int{\'e}rieur}}
\def\signe{\hbox{\rm Signe}}
\def\vect{\hbox{\rm Vect}}
\def\Re{\hbox{\rm Re}}
\def\support{\hbox{\rm Support}}
\def\supp{\hbox{\rm Support}}

\def\fb&{\begin{equation}}
\def\fe&{\end{equation}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ajouts sylvie
\newcommand{\ep}{\varepsilon}
\newcommand{\Om}{\Omega}
\newcommand{\om}{\omega}
\newcommand{\vfi}{\varphi}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\Ep}{E^{\prime}}
\newcommand{\vois}{{\cal V}(x)}
\newcommand{\lun}{{\ell}^1}
\newcommand{\linf}{{\ell}^{\infty}}
\newcommand{\Epp}{E^{\prime \prime}}
\newcommand{\Linf}{L^{\infty}}
\newcommand{\cinf}{{\cal C}^{\infty}}
\newcommand{\ff}{\widehat{f}}
\newcommand{\DD}{{\cal D}}
\newcommand{\SLS}{{\cal S}}
\newcommand{\Lun}{L_{loc}^1}
\newcommand{\feps}{f_{\varepsilon}}
\newcommand{\voisx}{{\cal V}(x)}
% ensembles Q R N Z C indicatrice polynomes
\gdef\PP{\hbox{\rm I\kern-.25em\hbox{P}}}
\gdef\ind{\indi} \gdef\RR{\hbox{\rm
I\kern-.25em\hbox{R}}}
\gdef\NN{\hbox{\rm I\kern-.25em\hbox{N}}}
\gdef\LLI{\hbox{\rm I\kern-.25em\hbox{L}}}
\gdef\ZZ{{\sl Z\hskip -1ex Z} }
\gdef\CC{\rm \hbox{C\kern-.56em\raise.4ex
         \hbox{$\scriptscriptstyle |$}\kern+0.5 em }}
\gdef\QQ{\rm \hbox{Q\kern-.35em\raise.4ex
         \hbox{$\scriptscriptstyle |$}\kern+0.5 em }}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%rappel : \overline{cequ'onveut}
%\newtheorem{thf}{Th\e or\ee me}[chapter]
\newtheorem{thf}{Th\e or\ee me}
\newtheorem{cor}{Corollaire}[chapter]
\newtheorem{pro}{Proposition}[chapter]
\newtheorem{Def}{D\e finition}[chapter]
\newtheorem{lem}{Lemme}[chapter]
\newtheorem{exa}{Exemple}[chapter]

\newtheorem{rem}{Remarque}[chapter]%  remarque
\def\drem{\begin{rem}\rm}%  sans
\def\frem{\end{rem}}%                   italique !

%\newtheorem{exo}{Exercice}[chapter]
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newtheorem{propr}{Propri\e t\e}[chapter]

%\newtheorem{Exer}{Exercice}[chapter]  %Exercice
\newtheorem{Exer}{Exercice}  %Exercice
\def\dexer{\begin{Exer}\rm}    %sans
\def\fexer{\end{Exer}}        %italique !
\def\dexo{\begin{exo}\rm}    %sans
\def\fexo{\end{exo}}        %italique !
\def\skipaline{\vspace{4 mm}\noindent}

\def\fb& {\begin{equation}}       % debut d'une equation
\def\fe& {\end{equation}}         % fin d'une equation
\def\enddemo{\hfill $\large\circ$ \newline\newline}     % fin de preuve
\def\Varphi{{\bf \varphi}}
\def\e {{\'e}}
\def\ee {{\`e}}
\def\eee {{\^e}}
\def\e {{\'e}}
\def\ea {{\'e} }
\def\ee {{\`e}}
\def\eee {{\^e}}
\def\a {{\`a} }
\def\aa {{\^a}}
\def\ii {{\^\i}}
\def\iii {{\"\i}}
\def\ccaadd{ c'est-{\`a}-dire }
\def\u {{\`u} }
\def\uu {{\^u}}
\def\oo {{\^o}}
\def\ooo {{\"o}}
\def\iN {\index{Ntop}}
\def\ia{\index{Atop}}
%\newcommand\contentsname{Table des Mati\ee res}
%\newcommand\chaptername{Chapitre}
%\newcommand\today{\ifcase\month\or
%  Janvier\or F{\'e}vrier\or Mars\or Avril\or Mai\or Juin\or
%  Juillet\or Ao{\^u}t\or Septembre\or Octobre\or Novembre\or D{\'e}cembre\fi
%  \space\number\day, \number\year}


%rappel pour la c\e dille : fran\c cais
\def\indexentry#1#2{\noindent #1, #2 \newline}
%\makeindex{Ntop}
%\makeindex{Atop}
\begin{document}
%\title{Exercices d'analyse, ENS Cachan}
%\author{Sylvie Fabre, Jean-Michel Morel, Yann Gousseau}
%\maketitle %\tableofcontents %\listoffigures
%\listoftables
%\listoffigures
%\noindent{\bf Notes du cours d'analyse, ENS Cachan premi\ee re ann\e e.}
{\raggedright  Mathématiques\hfill{}
Analyse Fonctionnelle \par}

{\raggedright ENS de Cachan\hfill{} S.Fabre  2008-2009}


\vspace{0.5cm}

{\centering  TD 1 : Exercices de Topologie \\}

\vspace{0.5cm}
Bibliographie recommandée : poly analyse, J.Dixmier "topologie générale", G.Choquet "cours de topologie". 
\vspace{0.5cm}
\dexer
\hfill \newline
Montrer que $\overline{A}$ et l'adh\'erence de $A$ sont identiques et que la
relation $A=\overline{A}$ caract\'erise les ensembles ferm\'es. \fexer
 \dexer
 \hfill \newline
 Une
application d'un espace topologique dans un autre est dite {\it continue} si
elle est continue en tout point. Démontrer que $f$ est continue si et seulement
si l'image r\e ciproque de tout ouvert par l'application est un ouvert, ou de
mani\ee re \e quivalente, si l'image r\e ciproque de tout ferm\ea est un ferm\ea
. Montrer que $f$ est continue si et  seulement si pour tout ensemble $A\subset
E$, on a $f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}$. \fexer
\dexer
\hfill \newline
Soit $E$ un espace topologique compact, montrer que toute suite de points de $E$
poss\ee de
une valeur d'adh\e rence.
\fexer
\dexer 
Soit $E$ un espace m\'etrique alors \\
1) l'espace $E$ est s\'epar\'e,\\
2) si $A$ est une partie de $E$ et si $x \in E$ alors $x \in \overline{A}$
$\Longleftrightarrow$
$d(x,A) = \displaystyle {\inf_{y \in A}}d(x,y) = 0$ $\Longleftrightarrow$ $\exists (x_n)_n
\subset
A$ telle que $x_n
\rightarrow
x$.
\fexer
\dexer {\bf Continuit\'e s\'equentielle}  \\Si $E$ et $F$ sont
des
espaces m\e triques,
alors $f : E\to F$ est continue si et seulement si elle est {\it s\e
quentiellement continue}, \ccaadd si $x_n\to x $ $\Rightarrow$ $f(x_n)\to f(x)$.
\fexer
\dexer {\bf Valeur d'adh\'erence dans un espace métrique}  \\
Soient $E$ un espace métrique, $(x_n)_n$ une suite de points de $E$ et $x \in E$. Montrer que $x$ est valeur
d'adh\'erence de la suite $(x_n)_n$ si et seulement si il existe une sous-suite
$(x_{n_k})_k$ qui converge vers $x$.
\fexer
\begin{thf} 
Soit $E$ un espace m\'etrique, les conditions suivantes sont \'equivalentes :\\
(i) L'espace $E$ est compact.\\
(ii) Toute suite de points de $E$ admet une valeur d'adh\'erence.\\
(iii) Toute suite de points de $E$ a une sous-suite convergente.
\end{thf}
\dexer
%{\bf Exercice 5}\\
D\e montrer le th\e or\ee me 1. \\
Indication pour $(iii) \Rightarrow (i)$ : Soit $(O_i)_{i\in I}$ un recouvrement ouvert
de $E$,

1) montrer que $\exists r>0$, tel que $\forall x \in E$, $\exists i \in I$, tel que
$B(x,r)
\subset O_i$.

2) montrer que $E$ est recouvert par un nombre fini de $O_i$.
\fexer
\begin{thf} {\bf Th\e or\ee me de prolongement} \\
Soient $E$ un espace m\e trique et $F$ un espace m\e trique complet. Soit $X \subset
E$, une
partie dense dans $E$.
Enfin soit $f : X \rightarrow F$ uniform\e ment continue. Montrer qu'il existe un
unique
prolongement $\tilde{f}$
de f, continu. De plus, $\tilde{f}$ est uniform\e ment continue.
\end{thf}
\dexer
\hfill \newline
D\e montrer le th\e or\ee me 2.
\fexer
%\section{Exercices}
\dexer
%{\bf Exercice 7}\\
Montrer qu'un espace m\e trique compact est s\e parable.
\fexer

\dexer
%\newline
\hfill \newline
1) Soient E un espace vectoriel r{é}el norm{é} de dimension finie et F un
espace
vectoriel norm{é}

a) Montrer que toutes les normes sur E sont {é}quivalentes.

b) Soit $u : E \rightarrow F$ lin{é}aire, montrer que u est continue.\\
2) Soit $E = \QQ[\sqrt{2}] = \left\{ a+b\sqrt{2}, a \in \QQ, b \in \QQ
\right\}$. On d{é}finit sur $E$, $N_0(a+b\sqrt{2}) = \vert a+b\sqrt{2} \vert$
et
$N_1(a+b\sqrt{2}) = \max(\vert a \vert, \vert b \vert)$.

a) V{é}rifier que $N_0$ et $N_1$ sont des normes sur $E$.\\
Soit $x = \sqrt{2} -1$, montrer que $\forall n \geq 1$, $x^n = a_n+b_n\sqrt{2}$
o{\`u} $a_n,b_n \in \QQ$ et $a_nb_n < 0$. En d{é}duire que $(\sqrt{2}+1)^n =
\vert
a_n \vert + \vert b_n \vert \sqrt{2}$.

b) Montrer que $N_0$ et $N_1$ ne sont pas {é}quivalentes sur $E$. ($E$ est un
$\QQ$-espace vectoriel de dimension finie, commenter.)
%\\ \\
%{ \bf Exercice 2}
%
\fexer
\dexer 
Soient E et F deux espaces vectoriels norm{é}s \\
a) Montrer que  si F est complet, l'espace ${\cal {L}}(E,F)$ est complet (donc
$E^{\prime}$
est toujours complet).\\
b) Montrer que si ${\overline {B}}_E(0,1)$ est compacte, la dimension de $E$ est finie.
%\\ \\
%{ \bf Exercice 3}
%\\ \\
\fexer
\dexer
Soient E un espace vectoriel norm{é} et $f \in E^{\prime}$, $f \not\equiv 0$.\\
Soit $H = \{ x \in E : f(x) = 0 \}$, on se propose de montrer
 que
 $$ \forall x \in E, \quad \, \, d(x,H) =  \inf_{y \in H} \Vert x-y \Vert = \frac
{\vert f(x)\vert}{\Vert f \Vert}\qquad \,(\star)$$ 1) V{é}rifier que $\vert
f(x)\vert \leq \Vert f \Vert \;d(x,H),\,\;\,\forall x \in
E.$\\
2) Soit $u \in E \backslash H$, en notant que $y=x- \frac {f(x)}{f(u)} \, u$ est
dans H, montrer que $d(x,H) \leq \frac {\vert f(x) \vert}{\vert f(u) \vert} \;
\Vert u \Vert$ et prouver
$(\star)$.\\
3) Soit $E={\cal C}_0=\{x=(x_n)_{n \geq 1} \in \RR^{\NN^{\star}} \mbox{ tel que
} x_n \rightarrow 0\}$ que l'on munit
 de $${\Vert x \Vert}_{\infty} = \sup_n \vert x_n \vert .$$
 a) V{é}rifier que $(E,{\Vert \,\, \Vert}_{\infty})$ est un espace de Banach.\\
 b) Soient $f : E \rightarrow \RR$, d{é}finie par $f(x) = \displaystyle{\sum_{1}^{\infty}}
\frac{x_n}{2^n}$ et $ H = Kerf.$ V{é}rifier que $f \in E^{\prime}$, donner une
expression de $d(x,H)$.
${\Vert f \Vert}_{E^{\prime}}$ est-elle atteinte ?
\fexer
%{ \bf Exercice 4} Th{é}or{è}mes du point fixe
%\\ \\
\dexer Th{é}or{è}mes du point fixe 
\\
1) Soit (E,d) un espace m{é}trique complet et soit $f : E \rightarrow E$ une
application k-lipschitzienne avec k$<$1.
Montrer que f admet un unique point fixe $x = f(x)$.\\
2) Soit (E,d) un espace m{é}trique complet et soit $\Lambda$ un espace
topologique. Soit $f : E \times \Lambda \rightarrow
E$ telle que\\
- $\forall x \in E, \quad \lambda \rightarrow f(x,\lambda)$ est continue de
$\Lambda$
dans E,\\
- $\exists k < 1, \quad \forall \lambda \in \Lambda, \quad x \rightarrow
f(x,\lambda)$ est k-lipschitzienne de E dans E. On pose $f_\lambda(x) =
f(x,\lambda)$. Si $a_\lambda$ est l'unique point fixe de $f_\lambda$, montrer
que $\lambda \rightarrow a_\lambda$
est continue de $\Lambda$ dans E.\\
3) Soit (E,d) un espace m{é}trique compact et $f : E \rightarrow E$ telle que
$$\forall x,y \in E, \qquad d(f(x),f(y)) < d(x,y).$$
Montrer que f admet un unique point fixe.\\
4) Soit C un convexe compact dans E espace vectoriel norm{é} et soit $f : C
\rightarrow C$ 1-lipschitzienne. Montrer que f admet un point fixe ( pour z
fix{é} dans C, consid{é}rer $f_n(x)=\frac {1}{n+1} z +
\frac{n}{n+1} f(x)$).
\fexer
\dexer
%{ \bf Exercice 5}
\hfill \newline
Soit $E={\cal C}^1 ([0,1])$. Pour $f \in E$, on pose $N(f) = { ({f(0)}^2 +
\int_0^1 f^{\prime}(t)^2 dt)}^{1/2}$ et $\Vert f {\Vert}_{\infty} = \sup_{[0,1]}
\vert f(x) \vert.$\\
a) V{é}rifier que N est une norme sur E.\\
b) Montrer que pour toute $f$ dans $E$, ${\Vert f \Vert}_{\infty} \leq \sqrt {2}
\;
N(f)$.\\
c) Montrer que ${\Vert \, \Vert}_{\infty}$ et N ne sont pas {é}quivalentes sur
E.
\fexer
\dexer
\hfill \newline
Soit E un espace m{é}trique complet tel que pour tout $\eps > 0$, il existe un
recouvrement fini de E par des boules de rayon $\eps$, montrer que E est
compact.
\fexer 

\chapter{Corrig{é}s des exercices}
%\setcounter{exo}{0}
%\section{Chapitre Topologie}
%\setcounter{chapter}{1}
\dexo
\hfill \newline
On note $\interieur(A) = \{ x \in A : \exists U \mbox{ ouvert tel que } x \in U \subset A \}$
et
$$\mbox{adh} (A) = \{ x \in E : x \mbox{ est adh{é}rent \`a } A \} = \{ x \in E : \forall V \in
{\cal V}(x), V\cap A  \neq \emptyset \}.$$
Alors,
\begin{eqnarray*}
x \not\in \mbox{adh}(A) &\Longleftrightarrow& \exists V \in {\cal V}(x),\,V\cap A =
\emptyset,\\
 \,&\Longleftrightarrow& x \in \interieur(E \setminus A).
\end{eqnarray*}
Donc $E \setminus \mbox{adh}(A) = \interieur(E \setminus A)$ d'o\`u $\mbox{adh}(A)$ est ferm{é}
et par
d\e finition de $\overline{A}$, $\overline{A} \subset \mbox{adh}(A)$.\\
D'autre part, $\overline{A}$ est ferm\ea par d\e finition donc $E\setminus \overline{A}$
est ouvert et inclus dans $\interieur(E\setminus A)
= E\setminus \mbox{adh}(A)$. On en d\e duit que $\mbox{adh}(A) \subset \overline{A}$, d'o\`u
$\mbox{adh}(A) = \overline{A}$.\\
Si $A = \overline{A}$ alors $A$ est ferm\ea par d\e finition de $\overline{A}$.\\
Si $A$ est ferm\ea, $A =\overline{A}$ puisque $\overline{A}$ est le plus petit ferm\ea
contenant $A$.
\fexo
\dexo
\hfill \newline
Soit $f:E \rightarrow F$ continue, Soit $U$ un ouvert de $F$, montrons que $f^{-1}(U)$ est
ouvert dans $E$.\\
Soit $x_0 \in f^{-1}(U)$ alors comme $f(x_0) \in U$ ouvert, par continuit\ea de $f$ en $x_0$,
$\exists W \in {\cal V}(x_0)$
telque $f(W) \subset U$. Alors $W \subset f^{-1}\circ f(W) \subset f^{-1}(U)$ donc $f^{-1}(U)$
est ouvert.\\
Supposons maintenant que l'image r\e ciproque de tout ouvert est ouverte et montrons que $f$
est continue.\\
Soit donc $V \in {\cal V}(f(x_0))$ alors $\exists U$ ouvert tel que $f(x_0) \in U \subset V$,
alors
$x_0 \in f^{-1}(U)$ ouvert $\subset f^{-1}(V)$. Donc $f^{-1}(V) \in {\cal V}(x_0)$ et
$f(f^{-1}(V)) \subset V$.\\
L'autre \e quivalence se d\e duit de la pr\e c\e dente par application de la formule
$f^{-1}(E\setminus A) = E\setminus f^{-1}(A)$.\\
Si $f$ est continue, la relation $A \subset f^{-1}(f(A)) \subset f^{-1}(\overline{f(A)})$
montre que
$\overline{A} \subset f^{-1}(\overline{f(A)})$ d'o\`u $f(\overline{A}) \subset \overline
{f(A)}$.\\
Inversement, si cette relation est v\e rifi\e e $\forall A \subset E$, montrons que
$A=f^{-1}(B)$ est ferm\ea,
$\forall B$ ferm\ea $\subset F$, d'o\`u la continuit\ea de $f$.
On a $f(\overline{A}) \subset \overline {f(A)} \subset \overline{B} = B$ donc $\overline{A}
\subset f^{-1}(B) = A$
et $A = \overline{A}$ est ferm\ea.
\fexo
\dexo
\hfill \newline
On pose $A_n = \{ x_k, k \geq n \}$ o\`u $(x_n)_n \subset E$. Alors $F_n = \overline{A_n}$ est
ferm\ea et $F_{n+1} \subset F_n$.
Il faut montrer que $\displaystyle{\cap_n} F_n \neq \emptyset$. Si
$\displaystyle{\cap_n} F_n = \emptyset$ alors $E$ compact est la r\e union des ouverts
$E \setminus F_n$ donc
il existe $I$ partie finie de $\NN$ telle que $E = \displaystyle{\cup_{i \in I}} (E \setminus
F_i)$ alors
$\displaystyle{\cap_{i \in I}} F_i = \emptyset$,
c'est absurde car la suite $(F_n)_n$ est d\e croissante.
\fexo
\dexo
\hfill \newline
1) Si $x \neq y$, $B(x,r) \cap B(y,r) = \emptyset$ avec $r =
\displaystyle{\frac{d(x,y)}{4}}$.\\
2) $d(x,A) = \displaystyle{\inf_{y \in A}} d(x,y)$.
\begin{eqnarray*}
d(x,A) = 0 &\Longleftrightarrow& \forall \ep > 0,\,\;\exists y_{\ep} \in A \mbox{ tel que }
d(x,y_{\ep}) \leq \ep,\\
           &\Longleftrightarrow& \forall \ep > 0,\,\; B(x,\ep) \cap A \neq \emptyset,\\
           &\Longleftrightarrow& x \in \overline{A}.
\end{eqnarray*}
Si $d(x,A)= 0$ alors pour $\ep = \frac{1}{n}$, $\exists x_n \in A$ tel que $d(x,x_n) \leq
\frac{1}{n}$ donc il
existe une suite $(x_n)_n \subset A$ telle que $x_n \longrightarrow x$.\\
Si il existe une suite $(x_n)_n \subset A$ telle que $x_n \longrightarrow x$ alors $\forall V
\in {\cal V}(x)$, $\exists N$
tel que $\forall n \geq N$, $x_n \in V$ donc $\forall V \in {\cal V}(x)$, $V \cap A \neq
\emptyset$ et $x \in \overline{A}$.
\fexo
\dexo
\hfill \newline
Pour le sens direct, voir la proposition 1.2.\\
Soit maintenant $f$ continue s\e quentiellement et supposons que $f$ n'est pas continue en $x
\in E$, alors
$\exists \ep > 0$ telque $\forall \eta > 0$, $\exists x_{\eta}$ telque $d(x,x_{\eta}) \leq
\eta$ et $d(f(x),f(x_{\eta})) > \ep$.
On choisit $\eta = \frac{1}{n}$, $n \in \NN^{\star}$, alors il existe une suite $(x_n)_n
\subset E$ telle que $d(x,x_n) \leq \frac{1}{n}$ et
$d(f(x),f(x_n)) > \ep$. Alors la suite $(x_n)_n$ converge vers $x \in E$ et la suite
$(f(x_n))_n$ ne converge pas vers $f(x)$, c'est absurde.
\fexo
\dexo
\hfill \newline
On suppose qu'il existe une suite $(x_{n_k})_k$ telle que $x_{n_k} \longrightarrow x$ alors $x$
est valeur d'adh\e rence de la suite
$(x_{n_k})_k$ et donc de la suite $(x_n)_n$.\\
Si $x$ est valeur d'adh\e rence de la suite $(x_n)_n$ alors $\forall \ep > 0$, $\forall n$,
$\exists i \geq n$ tel que
$d(x,x_i) \leq \ep$. En choisissant par exemple $\ep = \frac{1}{k}$, on construit une suite
$(n_k)_k$
strictement croissante telle que $d(x,x_{n_k}) \leq \frac{1}{k}$. La suite $(x_{n_k})_k$ tend
alors vers $x$.
\fexo
\dexo
\hfill \newline
On a d\e j\`a vu $(i) \Rightarrow (ii)$ dans l'exercice 3 et $(ii) \Leftrightarrow (iii)$
dans l'exercice 6. Il reste \`a montrer $(iii) \Rightarrow (i)$.\\
D\e montrons le point 1) par l'absurde, si pour tout $r>0$, il existe $x_r$ tel que, pour tout
$i$, $B(x_r,r) \not\subset O_i$,
en choisissant $r=\frac{1}{n}$, on construit une suite $(x_n)_n$ telle que $\forall i$, $B(x_n,
\frac{1}{n}) \not\subset O_i$. Par
hypoth\`ese, il existe une sous-suite $(x_{nk})_k$ convergeant vers un $x$ dans $E$. D'autre
part, il existe $i$ tel que $x \in O_i$ ouvert donc pour un certain $N$, $B(x,\frac{1}{N})
\subset O_i$.
Enfin, $\exists n \geq 2N$ tel que $x_n \in B(x,\frac{1}{2N})$. Alors
$$B(x_n,\frac{1}{n}) \subset B(x_n, \frac{1}{2N}) \subset B(x, \frac{1}{2N} + \frac{1}{2N})
\subset O_i,$$
ce qui est absurde.\\
D\e montrons le point 2).\\
Soit $y_1 \in E$, $\exists i_1$ tel que $B(y_1,r) \subset O_{i_1}$. Si $E= O_{i_1}$, c'est
fini.\\
Sinon, $\exists y_2 \in E \setminus O_{i_1}$ et $\exists i_2$ tels que $B(y_2,r) \subset
O_{i_2}$. Si $E = O_{i_1}\cup O_{i_2}$, c'est fini,
sinon $\exists y_3 \in E \setminus (O_{i_1}\cup O_{i_2})$ etc... Si le processus s'arr\ee te,
$E$ est compact. Sinon, il existe
une suite $(y_n)_n$ dans $E$ telle que $y_n \not\in O_{i_1}\cup ...\cup O_{i_{n-1}}$ et donc
$y_n \not\in B(y_1,r) \cup...\cup B(y_{n-1},r)$ pour tout $n$.
Par hypoth\ee se, une sous-suite converge or $d(y_n,y_m) \geq r > 0$ d\e s que $n>m$, c'est
absurde.
\fexo
\dexo
\hfill \newline
Soit $x \in E$, comme $\overline{X} = E$, il existe une suite $(x_n)_n \subset X$ telle que
$x_n \rightarrow x$.
En particulier, $(x_n)_n$ est de Cauchy et comme $f$ est uniform\e ment continue,
la suite $(f(x_n))_n$ est de Cauchy dans $F$ complet donc converge vers un \'el\e ment not\ea
$\tilde{f}(x)$.
On d\e finit bien ainsi une application $\tilde{f} : E \rightarrow F$. Si $x \in X$ alors
$f(x_n) \rightarrow f(x)$ donc
$f(x)=\tilde{f}(x)$ et $\tilde{f}$ prolonge $f$.\\
Montrons que $\tilde{f}$ est uniform\e ment continue. Par hypoth\`ese, pour tout $\ep >0$, il
existe $\eta >0$ tel que $\forall x,y \in X$
 v\e rifiant $d(x,y) \leq \eta$ on ait
$d(f(x),f(y)) \leq \ep$. Soient $x, y \in E$ tels que $d(x,y) \leq \eta/2$, il existe deux suites
$(x_n)_n$, $(y_n)_n$ de points de $X$
convergeant respectivement vers $x$ et $y$
avec $d(x_n,y_n) \leq \eta$ pour $n$ assez grand. Les relations $d(f(x_n),f(y_n)) \leq \ep$,
$\tilde{f}(x) = \lim f(x_n)$,
$\tilde{f}(y) = \lim f(y_n)$ entrainent $d(\tilde{f}(x),\tilde{f}(y)) \leq \ep$
puisque la distance est continue. Donc $\tilde{f}$ est uniform\e ment continue. Enfin, si deux
applications
continues co\"{i}ncident sur une partie dense, elles sont \'egales donc $\tilde{f}$ est unique.
\fexo
\dexo
\hfill \newline
Pour n fix{é}, $E \subset \cup_{x \in E} B(x,\frac{1}{n})$ et $E$ est compact
donc $\exists k_n$ tel que $E \subset \cup_{i=1}^{k_n} B(x_i^n,\frac{1}{n})$.
Soit $D=\{ x_i^n, i=1,...,k_n, n \in \NN^{\star}\}$, $D$ est bien
d{é}nombrable, v{é}rifions que $D$ est dense dans $E$. Soient $x \in E$ et
$r>0$, $\exists N \in \NN^{\star}$ tel que $\frac{1}{N} < r$ et $\exists x_i^N$
tel que $x \in B(x_i^N,\frac{1}{N})$ alors $x_i^N \in B(x,r)\cap D$.
\fexo
\dexo
\hfill \newline
1) a)Soient $n = \dim E$ et $e_1,...,e_n$ une base de E. On d{é}finit pour $x
= \displaystyle{\sum_1^n} x_ie_i \in E$, la norme ${\Vert x \Vert}_1 = \displaystyle{\sum_1^n}
\vert x_i
\vert$. Soit $S_1 = \{x \in E : {\Vert x \Vert}_1 = 1 \}$ et soit $N$ une autre
norme sur E, de $N(x) \leq (\sup_i N(e_i)) {\Vert x \Vert}_1$ on d{é}duit la
continuit{é} de N sur $(S_1,{\Vert \, \Vert}_1)$ compact, donc N est
born{é}e et atteint ses bornes. Il existe $\alpha$ et $\beta \geq 0$ tels que
$\forall x \in S_1$, $\alpha \leq N(x) \leq \beta$. Comme $\alpha = N(y)$ pour
un $y \in S_1$, $y \not= 0$ et $\alpha > 0$. Enfin, $\forall x \not= 0$,
$\frac{x}{{\Vert x \Vert}_1} \in S_1$ donc $\alpha {\Vert x \Vert}_1 \leq N(x)
\leq \beta {\Vert x
\Vert}_1$.\\
b) Soit $x = \displaystyle{\sum_1^n} x_ie_i \in E$, on a ${\Vert u(x) \Vert}_F \leq (\sup_i
{\Vert u(e_i) \Vert}_F) {\Vert x \Vert}_1$ donc u est continue.\\
2) a) Il est clair que $N_0$ et $N_1$ sont des normes sur $E$ (elles le sont sur
$\RR$ et $\sqrt{2} \not\in \QQ$.)\\
On raisonne par r{é}currence, pour $n=1$, on a $a_1=-1$ et $b_1=1$ donc
$a_1b_1 <0$. On suppose que $x^n \in E$ et $a_nb_n < 0$ alors $x^{n+1} = a_{n+1}
+ b_{n+1} \sqrt{2}$ o{\`u} $a_{n+1} = 2b_n-a_n$ et $b_{n+1} = a_n - b_n$ donc
$a_{n+1}b_{n+1}
= b_n(a_n - b_n) - (a_n - b_n)^2 < 0$. \\
Enfin si $(\sqrt{2}+1)^n = \vert a_n \vert + \vert b_n \vert \sqrt{2}$ alors
$(\sqrt{2}+1)^{n+1} = (2\vert b_n \vert + \vert a_n \vert) + \sqrt{2} (\vert a_n
\vert + \vert b_n \vert)$. Or $a_{n+1} = 2b_n-a_n$ et $a_nb_n < 0$ montre que
$\vert a_{n+1} \vert = 2\vert b_n \vert + \vert a_n \vert$. De m{\^e}me pour
$b_{n+1}$, $\vert b_{n+1} \vert = \vert a_n \vert + \vert b_n \vert$, donc
$\forall n \geq 1$, $(\sqrt{2}+1)^n = \vert a_n \vert + \vert b_n \vert
\sqrt{2}$.\\
b) D'une part, $N_0(x^n) = \vert \sqrt{2}-1 \vert^n \rightarrow 0$ et d'autre
part, $N_1(x^n)(1+\sqrt{2}) \geq (\sqrt{2}+1)^n = \vert a_n \vert + \vert b_n
\vert \sqrt{2} \rightarrow +\infty$ donc les deux normes ne sont pas
{é}quivalentes.
\fexo
\dexo
\hfill \newline
a) Soit ${(f_n)}_n \subset {\cal {L}}(E,F)$ une suite de Cauchy alors
$$\forall \eps >0,\,\exists N \mbox{ tel que } \forall p,q \geq N,\quad \Vert f_p
- f_q \Vert \leq \eps. $$ En particulier, $\forall x \in E,$ ${\Vert f_p(x) -
f_q(x) \Vert}_F \leq \eps
{\Vert x \Vert}_E. \qquad (1)$. \\
Et $\forall x \in E$, la suite ${(f_n(x))}_n$ est de Cauchy dans $F$ complet donc
converge vers un {é}l{é}ment not{é} $f(x)$. la fonction $f$ est
lin{é}aire comme limite simple de fonctions lin{é}aires. On fixe $p$ dans
$(1)$ et on laisse $q \rightarrow \infty$, on obtient alors ${\Vert f_p(x) -
f(x) \Vert}_F \leq \eps {\Vert x \Vert}_E$, $\forall x \in E$, d'o{\`u}
$f=f-f_p+f_p$ est continue et $\Vert f_p - f\Vert \leq \eps.,$ d{è}s que $p
\geq N$ donc $f_n \rightarrow f$ dans
${\cal {L}}(E,F)$.\\
b) Par hypoth{è}se $\overline {B_E}$ est compact donc il existe $a_1,...,a_n
\in E$ tels que $\overline {B_E} \subset \cup_1^n B(a_i,\frac{1}{2})$. Soit $V =
\mbox{vect} \{a_1,...,a_n \}$, montrons que $E=V$. On raisonne par l'absurde,
s'il existe $x \in E$ tel que $d(x,V) = \alpha >0$ alors $\exists y \in V$ tel
que
$\alpha \leq d(x,y) \leq \frac{3}{2} \alpha.$\\
Soit $z = \frac{x-y}{\Vert x-y\Vert} \in \overline {B_E}$ alors pour un certain
$i_0$, $z \in B(a_{i_0}, \frac{1}{2})$ et on a $$\Vert x-y-a_{i_0} \Vert x-y
\Vert\,\Vert \leq \frac{1}{2} \Vert x-y\Vert \leq \frac{3}{4}\, \alpha$$ donc il
existerait un $y_0 \in V$ tel que $d(x,y_0) < \alpha$, ce qui est absurde.
\fexo
\dexo
\hfill \newline
1) $\forall x \in E$ et $\forall y \in H$, on a $\vert f(x)\vert = \vert
f(x-y)\vert\leq \Vert f \Vert  \Vert x-y \Vert$ d'o{\`u} le r{é}sultat.\\
2) $d(x,H) \leq \Vert x-y \Vert \leq \frac {\vert f(x) \vert}{\vert f(u) \vert}
\; \Vert u \Vert$ o{\`u} $u \in E\setminus H$. Comme $ f\not\equiv 0$, on peut
remarquer que $\Vert f \Vert = \sup_{u \in E \setminus H} \frac {\vert f(u)
\vert}{\Vert u \Vert}$.
\\
3) a) Soit $(x^p)_p$ une suite de Cauchy dans $E={\cal C}_0$ alors
$$\forall \ep >0,\,\exists N,\,\forall p,q \geq N,\,\forall n\quad \vert x_n^p -
x_n^q \vert \leq \ep.\qquad (\star)$$ Donc $\forall n$, la suite
$(x_n^p)_p$ est de Cauchy dans $\RR$ et converge vers un $x_n$. Posons
$x=(x_n)_n$, alors de $(\star)$ on d{é}duit que $\forall n$, $\forall q \geq
N$, $\vert x_n-x_n^q\vert \leq \ep$ donc la suite $(x^p)$ converge vers $x$ en
norme $\Vert\,\Vert_{\infty}$. Il reste {à} voir que $x \in E$. De
l'in{é}galit{é} pr{é}c{é}dente on tire $\vert x_n \vert \leq \ep + \vert
x_n^N \vert$ donc pour n assez
grand $\vert x_n \vert \leq 2\ep,$ et $x \in E$.\\
 b) On a facilement $\vert f(x) \vert \leq \Vert x \Vert_{\infty}$ et f lin{é}aire
donc $f \in E^{\prime}$ et $\Vert f \Vert \leq 1$.\\
Soit $x^N \in E$ d{é}fini par $x_n^N = 1$ si $n \leq N$ et $x_n^N = 0$ sinon,
alors $\vert f(x^N) \vert = 1 - \frac{1}{2^N} \leq \Vert f \Vert$ et ceci
$\forall N \geq 1$
d'o{\`u} $\Vert f \Vert = 1$.\\
S'il existe $x = (x_n)_n \in E$ avec $\Vert x \Vert = 1$ et tel que $\vert f(x)
\vert = \Vert f \Vert =1$ alors $$ 1 = \vert f(x) \vert \leq \sum_1^{\infty}
\frac{1}{2^n} \vert x_n \vert \Longrightarrow \sum_1^{\infty} \frac{1}{2^n}
(1-\vert x_n \vert) \leq 0  \Longrightarrow \vert x_n \vert = 1,\,\forall n,$$
et $ x \not\in E$. Donc $\Vert f \Vert$ n'est pas atteint. Enfin $d(x,H)=\vert
\displaystyle{\sum_1^{\infty}} \frac{x_n}{2^n} \vert$.
\fexo
\dexo
\hfill \newline
1) On v{é}rifie facilement que si $x_{n+1} = f(x_n)$, $x_0 \in E$, on a
$d(x_{n+1},x_n) \leq k^n d(x_1,x_0)$ et $$d(x_{n+p},x_n) \leq
d(x_{n+p},x_{n+p-1})+...+d(x_{n+1},x_n) \leq k^n(k^{p-1}+...+k+1) d(x_1,x_0)
\leq \frac{k^n}{1-k} d(x_1,x_0).$$ Comme $k<1$, la suite $(x_n)_n$ est de Cauchy
donc converge vers $x \in E$. De $x_{n+1} = f(x_n)$ on d{é}duit $x = f(x)$
puisque $f$ est continue, et $x$ est un point
fixe.\\
Si $d(f(a),f(b)) = d(a,b) \leq k d(a,b)$ avec $k<1$, n{é}cessairement $a = b$,
d'o{\`u}
l'unicit{é} du point fixe.\\
2) $\forall \lambda,\,\lambda_0$, on a
\begin{eqnarray*}
d(a_{\lambda},a_{\lambda_0}) &=&
d(f_{\lambda}(a_{\lambda}),f_{\lambda_0}(a_{\lambda_0}))\\
 &\leq& d(f_{\lambda}(a_{\lambda}),f_{\lambda}(a_{\lambda_0})) +
d(f_{\lambda}(a_{\lambda_0}),f_{\lambda_0}(a_{\lambda_0})) \\
 &\leq& kd(a_{\lambda},a_{\lambda_0}) +
d(f_{\lambda}(a_{\lambda_0}),f_{\lambda_0}(a_{\lambda_0})),
 \end{eqnarray*}
 donc
 $$d(a_{\lambda},a_{\lambda_0}) \leq
\frac{1}{1-k}d(f_{\lambda}(a_{\lambda_0}),f_{\lambda_0}(a_{\lambda_0})).$$
 Ce qui montre que l'application
$\lambda \rightarrow a_{\lambda}$ est continue en $\lambda_0$.\\
3) Soit $\vfi(x) = d(x,f(x))$, $\vfi$ est continue sur $E$ compact donc atteint
son inf : $\exists x_0 \in E$ tel que $\vfi(x_0) \leq \vfi(x)$, $\forall x\in
E$. Si $\vfi(x_0) \not= 0$, on a $\vfi(f(x_0)) < \vfi(x_0)$ ce qui est absurde,
donc $\vfi(x_0) = 0$ et $x_0$ est un point fixe de $f$. Si il y en a un autre,
$x_1$, alors $d(f(x_0),f(x_1)) = d(x_0,x_1) < d(x_0,x_1)$ donc nécessairement
$x_0=x_1$.
\\
4) Soit z fix{é} dans C, $f_n(C) \subset C$, $\forall n$, car C est convexe et
$f_n$ est $\frac{n}{n+1}$-lipschitzienne sur C. Donc, par 1), $\exists x_n \in
C$ tel que $x_n=f_n(x_n)$, $\forall n$. Maintenant C est compact donc il existe
une sous-suite not{é}e $(x_{n_k})_k$ telle que $x_{n_k} \rightarrow x \in C$,
alors en passant {à} la limite dans $x_{n_k}= f_{n_k}(x_{n_k})=\frac{1}{n_k+1}
z + \frac{n_k}{n_k+1} f(x_{n_k})$, on obtient $x=f(x)$ et $x$ est un point fixe
de $f$.
\fexo
\dexo
\hfill \newline
a) Il est clair que N d{é}rive d'un produit scalaire.\\
b) Par l'in{é}galit{é} de Cauchy-Schwarz, on a $\vert f(x) \vert \leq \vert
f(0) \vert + {(\int_0^1 f^{\prime}(t)^2 dt)}^{\frac{1}{2}}$. En {é}levant au
carr{é} et en utilisant l'in{é}galit{é} $2ab \leq a^2+b^2$, on obtient
facilement ${\vert f(x)
\vert}^2 \leq 2 N(f)$, $\forall x \in [0,1]$.\\
c) On choisit $f_n(x) = x^n$. Alors $\forall n$, $\Vert f_n {\Vert}_{\infty} =1$
et $N(f_n) = \frac{n}{\sqrt{2n-1}} \rightarrow + \infty$. Donc ces deux normes
ne sont pas {é}quivalentes.
\fexo
\dexo
\hfill \newline
Comme $E$ est m{é}trique, on va montrer que de toute suite de E, on peut
extraire une sous-suite convergente. Soit $(x_n)_n$ une suite de points de E.
Pour $\ep=\frac{1}{2}$, $E$ est recouvert par un nombre fini de boules de rayon
$\frac{1}{2}$ donc l'une d'entre elles contient une infinit{é} de $x_n$. On
peut donc extraire une sous-suite $(x_{\vfi_{1}(n)})_n$ telle que
$d(x_{\vfi_{1}(n)},x_{\vfi_{1}(p)}) \leq 1$. Et on recommence ce processus, pour
$\ep = \frac{1}{2p}$, $E$ est recouvert par un nombre fini de boules de rayon
$\frac{1}{2p}$ donc l'une d'entre elles contient une infinit{é} de
$x_{\vfi_{p-1}}(n)$. On peut donc en extraire une sous-suite
$(x_{\vfi_{p}}(n))_n$ telle que
$d(x_{\vfi_{p}}(n),x_{\vfi_{p}}(m)) \leq \frac{1}{p}$.
Soit $(x_{\vfi_{n}}(n))_n$ la suite diagonale, elle est bien
extraite de $(x_n)_n$ et v{é}rifie
$$d(x_{\vfi_{n}}(n),x_{\vfi_{m}}(m)) \leq
\frac{1}{m},\qquad \forall m,n,\,\,m \leq n.$$ Cette suite est donc de Cauchy
dans $E$ complet, elle converge, d'o{\`u} $E$ est compact.
\fexo

\end{document}