\section{Williams ou Ouvrard ?}

Ouvrard ($\cite{O}$) et Williams ($\cite{W}$) démontrent le théorème de convergence des martingales bornées dans ${\mathbb L}^2$ et le théorème de convergence des martingales bornées dans ${\mathbb L}^1$ de deux manièrent différentes.\\

Williams commence par montrer le théorème général de convergence presque sûre des martingales bornés dans ${\mathbb L}^1$, qui se prouve facilement dès que l'on a établi le lemme de passage. Quand il considère une martingale bornée dans ${\mathbb L}^{2}$, il montre alors que c'est une suite de Cauchy dans ${\mathbb L}^2$ (mettant à profit l'orthogonalité des accroissements) puis utilise le lemme de Fatou conjugué au théorème de convergence des martingales bornées dans ${\mathbb L}^1$.\\

Ouvrard opère différement. Il ne démontre pas le théorème de convergence des martingales bornées dans ${\mathbb L}^1$. Il commence par prouver le théorème d'inégalité maximale de Doob. Il en déduit l'inégalité de Doob qui dit que si $(X_n)_n$ est une martingale bornée dans ${\mathbb L}^2$ alors $X^{*}=\sup_{n}|X_n|$ est dans ${\mathbb L}^2$ et de plus on a l'inégalité de Doob
$$\|X^*\|_{{\mathbb L}^2}\leq 2\sup_{n}\|X_n\|_{{\mathbb L}^2}$$
Le théorème de convergence pour les martingales bornées dans ${\mathbb L}^2$ apparaît alors comme un corolaire de cette inégalité. Plus exactement, comme Williams, il montre que la martingale est de Cauchy dans ${\mathbb L}^2$, et il démontrer qu'il y a convergence presque sûre de la martingale grâce à l'inégalité de Doob.\\
Il démontre ensuite le théorème de convergence presque sûre des martingales bornées dans ${\mathbb L}^1$ et le voit comme une conséquence du théorème de convergence des martingales bornées dans ${\mathbb L}^{2}$. La démonstration est assez longue et fastidieuse.\\

En résumé, Williams commence par ${\mathbb L}^1$ pour en déduire ce qui se passe dans ${\mathbb L}^2$ alors qu' Ouvrard fait le contraire. Votons Williams!
 
