\usepackage{graphicx}

\dexer Deux exemples parlants de variables aléatoires deux à deux indépendantes et d'évènements deux à deux
indépendants.


\quest  On considère $\Omega_1=[0,1]^3$ muni de la mesure de
Lebesgue. Montrer que les coordonnées $X$, $Y$ et $Z$ sont des
variables aléatoires indépendantes.



\quest  On considère l'espace de probabilité $\Omega_2=\Omega_1\cup
(1,1,0)+\Omega_1 \cup (1,0,1)+\Omega_2\cup(0,1,1)+\Omega_1$ muni de
la mesure de Lebesgue divisée par 4. Dessiner $\Omega_2$. Montrer
que l'on a $\Pro(X\in [a,b])=b-a.$


\quest En déduire que $X, Y, Z$ sont  encore des variables aléatoires indépendantes deux à deux. En considérant
l'évènement $[X\geq 1, \; Y\geq 1\, Z\geq  1]$ montrer que $X,\; Y$ et $Z$ ne sont pas indépendantes.

\quest Version discrète du même exemple: $\Omega=\{0,1\}^3$ d'éléments $(x,y,z)$ avec $x,y,z\in \{0,1\}$ muni de la
probabilité vérifiant $\Pro((0,0,0))=\Pro((1,1,0))=\Pro((0,1,1))=\Pro((1,0,1))=\frac 14$ et tous les autres atomes de
probabilité nulle. Montrer que les évènements $X=1$, $Y=1$ et $Z=1$ sont indépendants deux à deux mais pas dans leur
ensemble.

\begin{figure}[htbp]
  \centering
  \includegraphics[width=4cm]{merging_4.jpg}
    \caption{L'ensemble $\Omega_2$. Les coordonnées ne sont aps
    indépendantes sur $\Omega_2$ mais le sont deux à deux.
\label{contrempleindependance}}
\end{figure}
 \fexer
