\section{Espérance
conditionnelle, poules et oeufs} {\bf Grimmett-Stirzaker,
Probability and Random Processes, 3d edition, Oxford U. Press pp.
67-68}

\dexer{\bf Définition de l'espérance conditionnelle}
\begin{deff}
Soient $X$ et $Y$ deux variables discrètes sur $(\Omega, \; \FF,
\; \Pro)$. Pour tout $x$ tel que $\Pro(X=x)>0$, la distribution
conditionnelle de $Y$ sachant $X=x$, notée $F_{Y|X}(.|x)$, est
définie par
$$F_{Y|X}(y|x)=\Pro(Y\leq y|X=x).$$
 La loi conditionnelle de $Y$
sachant $X=x$, notée $f_{Y|X}(.|x)$ est définie par
$$f_{Y|X}(y|x)=\Pro(Y=y|X=x).$$
\end{deff}

\quest 1) On note $f_X(x)=\Pro(X=x)$ et de même
$f_{X,Y}(x,y)=\Pro(X=x ; Y=y)$ la densité jointe de $X $ et $Y$.
Vérifier que $f_{Y|X}=\frac {f_{X,Y}}{f_X}$ et que $X$ et $Y$ sont
indépendantes si et seulement si $f_{Y|X}=f_Y.$

\begin{deff}\label{definitionesperanceconditionnellediscrete}
 On appelle espérance conditionnelle de $Y$ sachant $X$
la fonction $\psi(x)$ notée et définie  de la manière suivante :
$$\psi(x)=\esp(Y|X=x)=\sum_yf_{Y|X}(y|x).$$

\end{deff}


\quest 2) (L'espérance de l'espérance conditionnelle est encore
l'espérance).  Remarquer que $\psi(X)=\esp(Y|X)$ est une variable
aléatoire et démontrer que
\begin{equation} \label{conservationdelesperance}
\esp(\esp(Y|X))=\esp Y.
\end{equation}
On peut réécrire cette relation
$$\esp(Y)=\sum_x\esp(Y|X=x)\Pro(X=x).$$

\fexer

\dexer Application : une poule pond $N$ oeufs, $N$ suivant une loi
de Poisson de paramètre $\lambda$, c'est-à-dire
$f_N(n)=\Pro(N=n)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^n}{n!}$.  Chaque oeuf
éclôt avec probabilité $p$, indépendamment des autres oeufs. On
note $q=1-p$. Soit $K$ le nombre de poussins. Notre but est de
calculer, puis d'interpréter les valeurs de $\esp(K|N)$, $\esp K $
et $\esp(N|K)$.


\quest 1) Montrer que $f_{K|N}(k|n)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$ et que
$\esp(K|N)=p N.$  En déduire que $\esp (K)=p\lambda$. {\underbar
Interpréter.}

\quest 2) Si vous ne l'avez jamais vue, montrer la règle de Bayes
(disposer d'un moyen mnémotechnique pour s'en souvenir).
$$\Pro(A|B)=\frac{\Pro(B|A)\Pro(A)}{\Pro(B)}.$$
 \quest 3) En utilisant la règle de Bayes,  montrer que si $n\geq
k$,
$$f_{N|K}(n|k)=\Pro(N=n|K=k)=\frac{(q\lambda)^{n-k}}{(n-k)!}e^{-q\lambda}.$$
Conclure que $\esp(N|K)=K+q\lambda$. {\underline Interpréter}.

\fexer

\dsolution
$$\Pro(N=n|K=k)=\frac{\Pro(K=k|N=n)\Pro(N=n)}{\Pro(K=k)}=$$
$$\frac{C_n^kp^k(1-p)^{n-k}(\frac{\lambda}{n!})e^{-\lambda}}{\sum_{m\geq
k}C_m^k
p^k(1-p)^{m-k}(\frac{\lambda^m}{m!})e^{-\lambda}}=\frac{(q\lambda)^{n-k}}{(n-k)!}e^{-q\lambda}.$$
Donc
$$\esp(N|K=k)=\sum_{n\geq
k}n\frac{(q\lambda)^{n-k}}{(n-k)!}e^{-q\lambda}=k+q\lambda.
$$
Donc $\esp(N|K)=K+q\lambda$. On a $\esp N=\lambda$, $\esp
K=p\lambda$. A titre de vérification des résultats, remarquer que
$$\lambda=\esp N=\esp(\esp(N|K))=\esp(K+q\lambda)=p\lambda
+q\lambda=\lambda.$$ L'espérance du nombre d'oeufs  sachant le
nombre d'oeufs éclos est égale à la somme du nombre, connu,
d'oeufs éclos, $K$, plus l'espérance du nombre d'oeufs non éclos,
soit $q\lambda$.


\fsolution

\dexer {\bf Formule générale caractérisant l'espérance
conditionnelle} Montrer que $\Z=\esp(Y|X)$ vérifie
\begin{equation}\label{formulecaracterisantlesperanceconditionnelle}
\esp (Zg(X))=\esp(Yg(X))
\end{equation}
 pour toute fonction $g$
telle que les deux espérances existent. Montrer qu'il y a une
unique fonction $Z=\psi(X)$ vérifiant
(\ref{formulecaracterisantlesperanceconditionnelle}) et que c'est
donc  $Z=\esp(Y|X)$.
 \fexer

 \dsolution
 $$\esp(\esp(Y|X)g(X))=\sum_x
 yg(x)f_{Y|X}(y|x)f_X(x)=\sum_{x,y}yg(x)f_{X,Y}(x,y)=\esp(Yg(X)).$$
Unicité : soit $Z=\psi(X)$ vérifiant
(\ref{formulecaracterisantlesperanceconditionnelle}). On choisit
$g(X)=\indic_{X=x_0}$. Cela donne
$$\psi(x_0)\Pro(X=x_0)=\sum_{x,y}y\indic_{x=x_0}\Pro(X=x ;
Y=y)=\sum_y y\Pro(X=x_0 ; Y=x).$$ Donc
$$\psi(x_0)=\sum_y y\Pro(Y=y|X=x_0),$$
ce qui est bien la définition
\ref{definitionesperanceconditionnellediscrete}.

 \fsolution

 \dexer (Grimmett-Stirzaker, exercice 3.7.7 p. 69). Une usine
 produit $n$ lampes. Chacune est défectueuse avec probabilité
 $\phi$. On teste chaque lampe pour détecter un éventuel défaut.
 La probabilité de détecter le défaut quand il est présent est
 $\delta$.  Montrer que
 $$\esp(X|Y)=\frac{n\phi (1-\delta)+(1-\phi)Y}{1-\phi\delta}.$$

 \fexer
\dsolution Une lampe est défectueuse avec probabilité
$\pi=\frac{\phi(1-\delta)}{1-\phi\delta}.$ Donc le nombre de
lampes défectueuses sachant $Y$ est $\BB(n-Y,\pi)$ et a pour
moyenne $\frac{(n-Y)(phi(1-\delta))}{1-\phi\delta}.$ Donc
$$\esp(X|Y)=Y+\frac{(n-Y)\phi(1-\delta)}{1-\phi\delta}.$$


\fsolution
