

\medskip{\it Source : \cite{GS}}



\dexer{\bf Fonction génératrice}
On appelle transform\'ee de Laplace d'une variable
aléatoire $X$ de moyenne $\mu$  la fonction $M : \; \real\to \real^+$ définie par
$M(t)=\E(e^{tX}).$ Dans toute la suite, on supposera que pour les variables
aléatoires considérées, $M(t)$ est d\'efinie et bornée dans un intervalle ouvert contenant l'origine.

\quest 1) En utilisant le développement en série entière de l'exponentielle, vérifier
que $$M(t)=\sum_{k=0}^\infty \frac{\E(X^k)}{k!}t^k$$ sur  l'intervalle ouvert où elle
est bornée et que
$$\E X=M'(0), \; \;\E(X^k)=M^{(k)}(0), \;\; M'(t)=\E(Xe^{tX}),\; M''(t)=\E(X^2e^{tX}).$$
\textit{Indication. Soit $\mu_X$ la loi de $X$.  Ecrire
$$\E(e^{tX})=\int_{\real} \sum_k \frac{t^kx^k}{k!}d\mu_X =
\int_{\real^+} \sum_k \frac{t^kx^k}{k!}d\mu_X +\int_{\real^-}
\sum_k\frac{t^kx^k}{k!}d\mu_X.$$ On peut intervertir intégration et sommation dans le
premier terme de droite grâce au théorème de la convergence monotone (Beppo-Levi) et
on peut intervertir dans le second terme parce que  la série est alternée et donc
uniformément convergente.}

\quest 2) On pose $\Lambda(t)=\log M(t)$ la Log-Laplace de $X$. Montrer que
$$\Lambda(0)=\log M(0)=0,\quad \Lambda'(0)=\frac{M'(0)}{M(0)}=\mu.$$


\quest 3) Sur son intervalle de définition, $\Lambda(t)$ est convexe. Plus
précisément, montrer en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwartz que
$$\Lambda''(t)=\frac{M(t)M''(t)-M'(t)^2}{M(t)^2}\geq 0.$$

\quest 4) On rappelle que l'inégalité de Cauchy-Schwartz $(E(XY))^2\leq
E(X^2)E(Y^2))$ ne devient une égalité que s'il existe $\lambda$ tel que $X=\lambda
Y$. En déduire que si $X$ est de variance non nulle, alors $\Lambda(t)$ est
strictement convexe sur son intervalle de définition.

\quest 5) On définit la transformée de Fenchel-Legendre de $\Lambda$ par
$$\Lambda^*(a)=\sup_{t\in\real} (at -\Lambda(t)),\quad a\in\real.$$
Montrer que $\Lambda^*$ est convexe.
 \fexer

\dexer Notre but est de montrer l'estimation de grande déviation suivante :  \begin{thf}
Soient $X_1$, $X_2$,... des variables i.i.d. de moyenne $\mu$ et telles que
$M(t)=\E(e^{tX})$ soit fini dans un intervalle ouvert contenant $0$. On pose $S_n=
(X_1+\dots +X_n).$ Soit $a>\mu$ tel que $\Pro(X>a)>0$. Alors $\Lambda^*(a)>0$ et
$$-\frac 1n \log \Pro(S_n>an)\to \Lambda^*(a)\quad \hbox{ quand } n\to \infty.$$
\end{thf}
Faisons le point : la loi des grands nombres nous dit que $\frac 1nS_n\to \mu$
presque sûrement.  Le théorème central limite nous dit que les déviations typiques de
$S_n-n\mu$ sont de l'ordre de $c\sqrt n$. Donc, les probabilités $\Pro(S_n-\mu)\geq
n^{\alpha})$ avec $\alpha>\frac 12$ sont petites et le théorème nous donne une
estimation asymptotique précise de cette petitesse pour $\alpha=1$.

\medskip

\quest{\textbf{PREMIÈRE PARTIE}}

\quest 1) Montrer que l'on peut supposer sans perte de généralité que $\mu=0$ : on
supposera le théorème démontré pour $\mu =0$ et si ce n'est pas le cas, on remplacera
$X_i$ par $X_i-\mu$.

\quest 2) En changeant $X_i$ en $-X_i$ et en appliquant le théorème, donner aussi la
limite de $\frac 1n \log \Pro(S_n<na), $ pour $a<\mu$.



\quest 3) On va montrer que $\Lambda^*(a)>0$. Soit $\sigma^2=var(X).$ Montrer que
$$at-\Lambda(t)=\log(\frac{e^{at}}{M(t)})=\log\frac{1+at+o(t)}{1+\frac
12\sigma^2t^2+o(t^2)}$$ pour $t$ petit et en déduire que $\Lambda^*(a)>0.$

\quest 4) Déduire de $\Lambda'(0)=E(X)=0$ que
$$\Lambda^*(a)=\sup_{t>0}(at-\Lambda(t)),\quad a>0.$$

\quest 5) Dans cette question et les suivantes, on procède comme pour l'inégalité de
Hoeffding.  Remarquer que $e^{tS_n}>e^{nat}\indic_{S_n>na}$ et en déduire que
$$\Pro(S_n>na)\leq e^{-n(at-\Lambda(t))}.$$

\quest 6) En déduire que
$$\frac 1n \log \Pro(S_n>na)\leq -\sup_{t>0}(at-\Lambda(t))=-\Lambda^*(a).$$
Cette majoration donne la "moitié" du théorème ; il va falloir maintenant minorer.

\medskip

\quest{\bf DEUXIÈME PARTIE} Dans cette partie, on va faire une hypothèse sur
$\Lambda^*$ qui est  vérifiée en pratique.
\begin{deff} On dira qu'on est dans le cas "régulier"  en $a$ si le maximum définissant
$\Lambda^(a)$ est atteint dans l'intérieur de l'intervalle de définition de $M(t)$.
On notera $\tau = \tau(a)$ cette valeur de $t$.

\end{deff}
Soit $T:=\sup\{t,\; M(t)<\infty.\}.$

\quest 1) Vérifier que
$$\Lambda^*(a)=a\tau -\Lambda(\tau),\;\;\; \Lambda'(\tau)=a.$$

\quest 2) On note $F(u)=\Pro(X \leq u)$ la fonction distribution de $X$. On va lui
associer une fonction auxiliaire par un "changement exponentiel de distribution"
défini comme suit. On pose $d\tilde F(u)=\frac{e^{\tau u}}{M(\tau)}dF(u)$, ou en
d'autres termes,
$$\tilde F(y)=\frac 1{M(\tau)}\int_{-\infty}^y e^{\tau u}dF(u).$$
  On considère  $\tilde X_1,\; \tilde X_2,\dots $ des variables al\'eatoires ind\'ependantes ayant toutes $\tilde F$
  comme distribution et on pose $\tilde S_n=\tilde X_1+\dots +\tilde X_n$.

\quest 3) En utilisant la formule générale $M(t)=\E(e^{tX})=\int_{\real}
e^{tu}dF(u)$, montrer que
$$\tilde M(t)=\frac{M(t+\tau)}{M(\tau)}.$$

\quest 4) En déduire que
$$\E(\tilde X_i)=\tilde M'(0)=a,$$
$$var(\tilde X_i)=\E(\tilde X_i^2)-\E(\tilde X_i)^2=\tilde M''(0)-\tilde
M'(0)^2=\Lambda''(\tau).$$

\quest 5) Montrer que la transform\'ee de Laplace de $\tilde S_n$ est

$$\left(\frac{M(t+\tau)}{M(\tau)}\right)^n=\frac
1{M(\tau)^n}\int_{\real}e^{(t+\tau)u}dF_n(u),$$ où $F_n$ est la fonction de
distribution de $S_n$. En déduire que la fonction de distribution $\tilde F_n$ de
$\tilde S_n$ vérifie
$$d\tilde F_n(u)=\frac{e^{\tau u}}{M(\tau)^n}dF_n(u).
$$

\quest 6) Soit $b>a$. Déduire de la question précédente que

$$\Pro(S_n>na)\geq e^{-n(\tau b-\Lambda(\tau))}\Pro(na<\tilde S_n<nb).$$

\quest 7) En utilisant le fait que la moyenne des $\tilde X_i$ est $a$ et le théorème
central limite et la loi des grands nombres, montrer que $\Pro(na<\tilde S_n<nb)\to
\frac 12$. Déduire de ce fait et de la question précédente que
$$\lim\inf_{n\to \infty}\frac 1n \log\Pro(S_n>na)\geq -(\tau b-\Lambda(\tau))\to
-\Lambda^*(a)  \;\; \hbox{ quand } b\to a.$$

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\quest {\bf TROISIÈME PARTIE}


\quest 1) On se place sous les mêmes hypothèses que dans la deuxième partie, sauf que
l'on considère  maintenant le cas non régulier. Pour se ramener au cas régulier, on
fixe $c>a$ et on pose $X^c=\inf (X, c)$. On note $M^c(t) $ la transform\'ee de Laplace associée et on pose $\Lambda^c(t)=\log M^c(t)$.

\quest 2) Montrer que $M^c(t)<\infty$ pour tout $t>0$, que $\E(X^c)\to 0 $ quand
$c\to \infty$ et que $\E(X^c)\leq 0$.


\quest 3) Montrer qu'il existe $b\in ]a, c[$ tel que $\Pro(X>b)>0$ et en déduire que
$$at-\Lambda^c(t)\leq at-\log(e^{tb}\Pro(X>b))\to -\infty\hbox{ quand } t\to\infty.$$

\quest 4) En conclure que la suite $X_i^c$ est dans le "cas régulier" de la partie
précédente c'est à dire  que le sup de $at-\Lambda^c(t)$ pour $t>0$ est atteint en
une valeur $\tau^c\in ]0, \infty[$, et finalement que
$$\frac 1n \log\Pro(\sum_{i=1}^nX_i^c>na)\to -(\Lambda^{c})^*(a)  \hbox{ quand } t\to
\infty.$$ (On pose
$\Lambda^{c^*}:=\sup_{t>0}(at-\Lambda^c(t))=a\tau^c-\Lambda^c(\tau^c)$).

\quest 5)  Montrer que $\Lambda^{c*}(a)\downarrow \Lambda^{\infty *} \hbox{ quand }
c\to + \infty.$ et que $0\leq \Lambda^{\infty*}<\infty.$

\quest 6) Montrer que $$\frac 1n\log \Pro\left(S_n>na\right)\geq \frac 1n\log
\Pro\left(\sum_{i=1}^nX_i^c>a\right).
$$

\quest 7) Expliquer pourquoi il suffit, pour conclure le théorème dans le cas
irrégulier, de montrer que $\Lambda^{\infty*}\leq \Lambda^*(a).$

\quest 8) Pour montrer cette dernière relation, procéder comme suit : Montrer que
l'ensemble $I_c=\{t\geq 0,\;\; at-\Lambda^c(t)\geq \Lambda^{\infty *}\}$ est non
vide. Montrer que $I_c$ est un intervalle fermé compact. Montrer que les intervalles
$I_c$ sont emboîtés quand $c$ croît et en déduire qu'il existe $\zeta\in
\cap_{c>a}I_c$. Montrer finalement que $\Lambda^c(\zeta)\to \Lambda(\zeta)$ quand
$c\to \infty$ et que $a\zeta-\Lambda(\zeta)=\lim_{c\to
\infty}(a\zeta-\Lambda^c(\zeta))\geq \Lambda^{\infty * }$. Conclure.
 \fexer
