\section{TD Probabilit\'es : In\'egalit\'es maximales}

Ce td est composé d'un théorème relatif à une inégalité  maximale qu'il faut connaître et savoir démontrer. Le deuxième théorème est une conséquence du premier (à savoir retrouver). Le troisième théorème concerne la loi du log-itéré (dont on trouvera l'énoncé complet dans $\cite{W}$ en appendice) dans le cas ``facile'' des lois normales. On trouvera dans $\cite{F}$ un énoncé semblable avec cette fois-ci des lois de Bernoulli au lieu des lois normales. Enfin, le td se termine par un exercice modélisant un portefeuille d'actions tiré de $\cite{O}$ qui peut aussi servir à illustrer (y réfléchir) les exposés sur la loi des grands nombres et le TCL.\\


\begin{thf}
\textbf{In\'egalit\'e maximale de Doob : $\cite{W}$, chap. 14} \\
Soit $(Z_n)_n$ une sous martingale positive par rapport \`a une
filtration $({\cal F}_{n})_{n}$. Alors pour tout $c>0$, on a
$$c\Pro\left(\sup_{0\leq k \leq n}Z_{k}\geq c\right)\leq\mathbb{E}\left(Z_{n}\right)$$
\end{thf}

\quest 1) Soit pour tout $k\in \{0,\ldots,n\}$,
 $F_{k}=\{Z_{0}<c\}\cap\{Z_{1}<c\}\cap\ldots\cap\{Z_{k-1}<c\}\cap\{Z_{k}\geq c\}$
 avec $F_{0}=\{Z_{0}\geq c\}$. Montrer que $F=\left\{\sup_{0\leq k \leq n}Z_{k}\geq c\right\}$
  est la r\'eunion disjointe des $F_{k}$ et que pour tout $k$, $F_{k}\in {\cal F}_{k}$.\\

\quest 2) Utiliser la propri\'et\'e de sous-martingale  pour
montrer que $c\Pro(F_{k})\leq \E(Z_{n};F_{k})$ et conclure.\\

\dsolution \quest 1) Pour tout $\omega$, il y a une première
valeur de $k$ telle que $Z_k(\omega)\geq c$. Donc cet $\omega$ est
dans $F_k$. Les $Z_i$ sont $\FF_k$-mesurables pour $i\leq k$. Donc
les ensembles $Z_i<c$ et $Z_k\geq c$ sont $\FF_k$ mesurables et il
en est donc de même de $F_k$.

\quest 2) En vertu de la propriété de sous-martingale et comme
$F_k$ est $\FF_k$-mesurable,  $\E(Z_n;F_k)\geq \E(Z_k; F_k)\geq
c\Pro(F_k).$ On somme sur tous les $k=1,\;...,\;n$ et on obtient
le résultat parce que $F$ est l'union disjointe des $F_k$ et que
$\E(Z_n;F)\leq \E Z_n$.
 \fsolution



\dexer\textbf{In\'egalit\'e de Kolmogorov : $\cite{W}$, chap. 14}

\begin{thf}
Soit $(X_{n})_{n}$ une suite de variables al\'eatoires
ind\'ependantes centr\'ees et de variances respectives
${\sigma}_{n}^{2}$ finies. On pose $S_{n}=X_{1}+\ldots+X_{n}$ et
$V_{n}=Var(S_{n})={\sigma}_{1}^{2}+\ldots+{\sigma}_{n}^{2}$. Alors
pour tout $c$ strictement positif, on a :
$$c^{2}\Pro\left(\sup_{1\leq k \leq n}|S_{k}|\geq c\right)\leq V_{n}$$
\end{thf}

\quest 1) Montrer que $S_{n}^{2}$ est une sous-martingale.

\quest 2) \label{fonctionconvexedemartingale} Plus généralement,
montrer que si $M$ est une martingale et $c$ une fonction convexe
telle que $\forall n\;\E(|c(M_n)|)<\infty$, alors $c(M)$ est
sous-martingale.

\quest 3) Appliquer maintenant le th\'eor\`eme pr\'ec\'edent.
Comparer avec l'inégalité qu'on peut obtenir directement pour
$|S_n|$ par Tchebycheff et en déduire que l'inégalité est bien un
raffinement.

\fexer

 \dsolution \quest 1) On remarque que $S_n-S_k$ et $S_k$
sont indépendantes et centrées.  On a donc
$\E(S_n^2|\FF_k)=\E((S_n-S_k)^2+S_k^2+2S_k(S_n-S_k)|\FF_k)$\\
$\geq \E(S_k^2|\FF_k)+2\E(S_k(S_n-S_k)|\FF_k)$\\
$=\E(S_k^2|\FF_k)+S_k\E(S_n-S_k|\FF_k)$ (par la propriété $(j)$ de
l'espérance conditionnelle)\\
$=\E(S_k^2|\FF_k)+S_k\E(S_n-S_k|\FF_k)=\E(S_n-S_k)=0$ $p.s.$ par
la propriété $(k)$.

\quest 2) Cela vient de la propriété $(h)$ de l'espérance
conditionnelle : si $c:\;\real \to \real$ est convexe et si
$\E|c(X)|<\infty$, alors $\E(c(X)|\GG)\geq c(\E(X|\GG)).$ On a
donc pour $k\leq n$, $\E(c(M_n)|\GG_k)\geq
c(\E(M_n|\GG_k))=c(M_k)$.

\quest 3)  On a $\E(S_n^2)=\Var(S_n)=\sigma_1^2+\dots +\sigma_n^2$
et donc l'application du 1) est directe. Pour $|S_n|$, on peut
directement appliquer l'inégalité de Tchebycheff : $\Pro
(|S_k|)\geq c) \leq \frac{\Var (S_k)}{c^2}$ et donc
$c^2\sup_k\Pro(|S_k|\geq c)\leq V_n$ pour tout $k$.  L'inégalité
de Doob est donc une amélioration nette : elle nous autorise à
commuter $\sup$ et $\Pro$ dans la formule précédente.
\fsolution


\begin{thf}
\textbf{Un cas particulier de la loi du log it\'er\'e : $\cite{W}$, chap. 14}\\
Soit $(X_{n})_{n}$ une suite i.i.d. de normales standard. On pose
$S_{n}=X_{1}+\ldots+X_{n}$. Alors, presque s\^urement, on a :
$$\limsup\cfrac{S_{n}}{(2n\log\log n)^{1/2}}=1$$
et
$$\liminf\cfrac{S_{n}}{(2n\log\log n)^{1/2}}=-1$$
\end{thf}


\quest 1) Montrer que la deuxième partie du théorème est équivalente à la première en considérant
$-X_i$ au lieu de $X_i$.

\quest 2) On pose $\phi(y)=(2\pi)^{-1/2}\exp(-y^{2} /2)$ et $\Phi (x)=\int_{-\infty}^{x}\phi(y)dy$.\\
\subquest a) En remarquant que $\phi^{'}(y)=-y\phi(y)$, montrer que pour tout $x$ strictement
positif, $x^{-1}\phi(x)\geq(1-\Phi(x))$.\\
\subquest b) En remarquant que $(y^{-1}\phi (y))^{'}=-(1+y^{-2})\phi(y)$,
montrer que pour tout $x>0$, $\phi(x)\leq (x+x^{-1})(1-\Phi(x))$.\\
\subquest c) En d\'eduire un encadrement de $\Pro (X>x)$ pour $x>0$.

\quest 3)  Montrer que $\Pro(S_n> \sqrt{2n\log\log n})\leq \frac
1{\log n\sqrt{4\pi \log\log n}}.$ Montrer que  cette inégalité est
aussi une équivalence. Comparer avec le résultat du théorème.

\quest 4) Obtention d'une borne exponentielle.
\subquest a) Soit $({\cal F}_{n})_{n}$ la filtration naturelle associ\'ee aux $X_{i}$.
Montrer  que $\exp(\theta S_n)$ est une sous-martingale relativement \`a cette filtration pour tout $\theta$ r\'eel.\\
\subquest b) En d\'eduire, en utilisant l'in\'egalit\'e maximale
de Doob, que pour $\theta>0$,
$$\Pro\left(\sup_{1\leq k \leq n}S_{k} \geq c\right) \leq e^{-\theta c +\cfrac{1}{2}\theta^{2}n}$$
\subquest c) En d\'eduire
$$\Pro\left(\sup_{1\leq k \leq n}S_{k} \geq c\right) \leq e^{-\cfrac{1}{2}c^{2}/n}$$

\quest 5) Obtention d'une borne sup.\\
On se donne un $K>1$ proche de $1$ et on pose $c_{n}=Kh(K^{n-1})$ o\`u $h(x)=\sqrt{2x\log\log x}$.\\
\subquest a) En utilisant BC1, montrer que presque s\^urement, pour $n$ assez grand,
si $k$ est un entier compris entre $K^{n-1}$ et $K^{n}$, $S_{k}\leq Kh(k)$.\\
\subquest b) En d\'eduire que $\limsup h(k)^{-1}S_{k} \leq 1$.

\quest 6) Obtention d'une borne inf.\\
Soit $N$ un entier tr\`es grand. Soit $\epsilon$ un r\'eel strictement positif petit.
Soit $F_{n}=\{S_{N^{n+1}}-S_{N^n}>(1-\epsilon)h(N^{n+1}-N^{n})\}$.

\subquest a) En utilisant la question 1), montrer que
$$\Pro(F_{n})\geq (y+y^{-1})^{-1}\phi(y)$$
o\`u $y=(1-\epsilon)\{2\log\log (N^{n+1}-N^{n})\}^{1/2}$.

\subquest b) Utiliser BC2 pour montrer que presque sûrement, une infinit\'e de $F_{n}$ ont lieu.

\subquest c) En d\'eduire que l'on a presque sûrement  pour une
infinit\'e de $n$
$$S_{N^{n+1}}>(1-\epsilon)h(N^{n+1}-N^{n})+S_{N^{n}}$$

\subquest d) \textbf{attention : \'etape non expliqu\'ee dans
$\cite{W}$}.   En appliquant le résultat du 5)b) aux $-X_i$, on a
presque sûrement, pour tout $\varepsilon>0$,  $S(N^n)\geq
-(1+\varepsilon)h(N^n)$ pour $n$ assez grand.

\subquest e) Montrer alors que $\limsup h(k)^{-1}S_{k} \geq (1-\epsilon)(1-N^{-1})^{1/2}-2N^{-1/2}$. Conclure.


\dsolution
\quest 1)  Immédiat

\quest 2) a) En intégrant entre $x$ et $+\infty$ la relation
différentielle, on obtient $-\phi(x)=-\int_x^{+\infty}y\phi(y)\leq
-x\int_x^{+\infty} \phi(y)=-x(1-\Phi).$ Donc
$(1-\Phi)=\int_x^{+\infty}\phi(y)dy\leq \frac{\phi(x)}{x}.$
\newline b) En intégrant la relation proposée, on a
$-x^{-1}\phi(x)=\int_x^{+\infty}(1+y^{-2})\phi(y)\geq
-(1+x^{-2})(1-\Phi).$  En combinant a) et b), on obtient
$$\frac {x^{-1}}{1+x^2}e^{-\frac{x^2}2}\leq
\int_x^{+\infty}e^{-\frac {y^2}2}=\sqrt{2\pi}\Pro(X>x)\leq
x^{-1}e^{-\frac{x^2}2}.$$

\quest 3) Comme $S_n$ est une somme de $n$ variables i.i.d.n.c.,
elle est gaussienne centrée de variance $n$. Donc, en utilisant la
majoration donnée au 2),
$$\Pro(S_n>\sqrt{2n\log \log n})=\int_{\sqrt{2n\log\log n}}^{+\infty} \frac
 1{\sqrt{2\pi n}}e^{-\frac {x^2}{2n}}=$$
 $$
 \int_{\sqrt{2\log\log
n}}^{+\infty}\frac 1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}2}\leq \frac
1{\sqrt{2\pi}}\frac{e^{-\log\log n}}{\sqrt{2\log\log n}}=\frac
1{\log n\sqrt{4\pi \log\log n}}.$$ Les deux résultats sont
compatibles et complémentaires mais aucun des deux n'implique
l'autre, car on vient d'obtenir un ordre de grandeur pour la
probabilité que ne peut donner la loi du log itéré.

\quest 4) a) Ceci découle immédiatement de la convexité de
l'exponentielle et du résultat de l'exercice
\ref{fonctionconvexedemartingale}, question 2).

\subquest 4)b) On a  en utilisant l'inégalité de Doob
$$\Pro(\sup_{k\leq n}S_k\geq c)=\Pro(\sup_{k\leq n}e^{\theta
S_k}\geq e^{\theta c})\leq e^{-\theta c} \E(e^{\theta S_n}).$$
Comme les $X_i$ sont indépendantes, on a $\E e^{\theta S_n}=(\E
e^{\theta X})^n.$ De plus, $\E e^{\theta X}=\int e^{\theta x}
\frac 1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}2}dx=e^{\frac {\theta^2}2},$ ce
qui donne le résultat.

\subquest 4) c) Il suffit de choisir la valeur de $\theta$ qui
donne la meilleure inégalité,  à savoir $\theta=\frac cn$.

\quest 5)  On a
$$\Pro(\sup_{k\leq K^n} S_k\geq c_n)\leq e^{-\frac
{c_n^2}{2K^n}}=(n-1)^{-K}(\log K)^{-K}.$$ Cette série étant
convergente,  Borel-Cantelli 1 nous dit que presque sûrement, pour
$n$ assez grand et $K^{n-1}\leq k\leq K^n$,
$$S_k\leq \sup_{k\leq K^n}\leq c_n=Kh(K^{n-1})\leq Kh(k).$$
Donc pour $K>1$, $$\lim\sup_k h(k)^{-1}S_k\leq K, \;\;p.s.,$$ ce
qui donne la première majoration en faisant tendre $K$ vers 1.

\quest 6)a) On écrira $S(n)$ pour $S_n$ pour des raisons
typographiques. $S(N^{n+1})-S(N^{n})$ est une variable gaussienne
dont on note la variance   $J=N^{n+1}-N^n$. Par l'inégalité
prouvée au 1)b), on a donc
$$\Pro(F_n)=\int^{+\infty}_{(1-\varepsilon)\sqrt{2K\log\log K}}\frac 1{\sqrt{2\pi
K}}e^{-\frac{x^2}{2K}}=\int_y^{+\infty}\frac
1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}2}\geq
\frac{y+y^{-1}}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac {y^2}2}.$$

\quest 6) b)c) On a  pour une constante $C$, $\Pro(F_n)\geq
\frac{C}{\log\log N^{n+1}}\frac
1{[\log(N^{n+1}-N^n)]^{(1-\varepsilon)^2}}$, clairement une série
divergente. Or, les $F_n$ sont indépendants. Donc, presque
sûrement, un nombre infini de $F_n$ se produit, c'est-à-dire
$$S(N^{n+1})>(1-\varepsilon)h(N^{n+1}-N^n)+S(N^n)$$
pour une infinité de $n$.

\quest 6) e) On obtient donc
$$\lim\sup_n\frac{S(N^{n+1})}{h(N^{n+1})}\geq \lim\sup_n
\frac{(1-\varepsilon)h(N^{n+1}-N^n)-2(1+\varepsilon)h(N^n)}{h(N^{n+1})}=$$
$$\lim\sup_n
\frac{(1-\varepsilon)\sqrt{N^{n+1}-N^n}\sqrt{\log\log(N^{n+1}-N^n)}-2(1+\varepsilon)\sqrt{2N^n\log\log
N^n}}{\sqrt{N^{n+1}\log\log N^{n+1}}}$$ $$\approx
(1-\varepsilon)(1-N^{-\frac 12})^\frac
12-2(1+\varepsilon)N^{-\frac 12}.$$ Il suffit alors de faire $N$
arbitrairement grand et $\varepsilon$ arbitrairement petit.
\fsolution



\dexer \textbf{Un mod\`ele de portefeuille d'actions : $\cite{O}$ pp. 405-410}\\
$S=(S_{n})_{n\geq 0}$ est un processus stochastique d\'ecrivant
l'\'evolution temporelle (le temps est discret) d'une action
boursi\`ere avec bruit. Plus exactement, la suite de v.a.
$(S_{n})_{n}$ est d\'efinie par : $$S_{0}=s_{0}>0, \; \;\mbox{et
si \;} n\in {\mathbb N}^{*}, \; S_{n}=(1+\mu)S_{n-1}+\sigma
S_{n-1}\epsilon_{n}$$ o\`u $(\epsilon_{n})_{n}$ est un processus
de bruits qui est ici une suite de Bernoulli ind\'ependantes
prenant les valeurs $\pm 1$ avec m\^eme probabilit\'e. $\mu$ et
$\sigma$ sont deux param\`etres v\'erifiant $|\sigma| <1+\mu$. On
note $\lambda=\sqrt{(1+\mu)^{2}-\sigma^{2}}$. Et enfin soit ${\cal
F}_{n}$ la filtration naturelle associ\'ee au processus $S$.

\quest 1) Soit $f$ la fonction d\'efinie sur ${\mathbb R}^{2}$ par
$f(x,y)=(1+\mu)x+\sigma xy$. Montrer que pour tout $x\geq 0$,
$f(x,1)\geq 0$ et $f(x,-1)\geq 0$.\\

\quest 2)
\subquest a) Calculer $\E(S_n|{\cal F}_{n-1})$ et montrer que $S$ est une martingale pour $\mu =0$, une sous-martingale pour $\mu >0$ et une sur-martingale pour $\mu <0$.\\
\subquest b) On se place dans le cas $\mu <0$. Montrer que $(S_n)_n$ converge presque sûrement. Etablir une relation de récurrence sur $\E(S_n)$ et en déduire que la limite de $(S_n)_n$ est nulle.\\

\quest 3) Vérifier que $S_n$ est de carré intégrable et montrer que $\E(S_n^2)=s_0^2\left[(1+\mu)^2+\sigma^2\right]^n$.\\

\quest 4) Soit $Z$ le processus $\log(S)$. Montrer que selon que $\lambda$ est supérieur, égal ou inférieur à $1$, $Z$ est une sous-martingale, une martingale, ou une sur-martingale.\\
\subquest a) Montrer que pour tout entier $n \geq 1$,
$$Z_n=Z_0+\sum_{j=1}^{n}\log(1+\mu+\sigma\epsilon_j)$$
\subquest b) En déduire, en utilisant la loi des  grands nombres,
que $(Z_n)_n$ converge presque sûrement vers $+\infty$ et $\frac
{Z_n}n$ converge presque sûrement vers 0
si $\lambda>1$, $0$ si $\lambda=1$ et $-\infty$ si $\lambda <1$.\\

\quest 5) On se place dans le cas particulier $|\sigma|<2^{-1/2}$ et $(1+\mu)^2+\sigma^2<1$.\\
\subquest a) Vérifier que l'on est dans le cas où $-S$ est une sous-martingale.\\
\subquest b) Ecrire la décomposition de Doob de $-S=M+A$ avec $M$ martingale de carré intégrable et $A$ processus croissant prévisible nul en $0$ de carré intégrable. Plus exactement, montrer que :
$$A_n=-\mu\sum_{j=0}^{n-1}S_j$$
$$M_{0}=s_{0}, \; \mbox{et si $n\geq 1$,} \; M_n=-S_n + \mu \sum_{j=1}^{n-1}S_j$$
\subquest c) Montrer que le crochet de $M$ s'écrit :
$$<M>_n=\sigma^2\sum_{j=0}^{n-1}S_{j}^2$$
\subquest d) En utilisant la question 3), montrer que $(M_n)_n$ converge presque sûrement.

\quest 6) On définit le processus $R$ par $R_n=\lambda^{-\sqrt{n}}S_n^{1/\sqrt{n}}$ et on pose $\rho^2=\cfrac{1}{4}\left\{\log\left(\cfrac{1+\mu+\sigma}{1+\mu-\sigma}\right)\right\}^2$.\\
\subquest a)  Montrer que
$$\log(R_n)=\cfrac{1}{\sqrt{n}}\left[Z_0+\sum_{j=1}^{n}(\log(1+\mu+\sigma\epsilon_j)-\log(\lambda))\right]$$
\subquest b) Montrer à l'aide du TCL que la suite des lois $(\Pro_{\log R_{n}})_{n}$ converge étroitement vers une loi ${\cal N}(0,\rho^2)$.\\
\subquest c) En déduire que $(R_n)_{n}$ converge étroitement vers la probabilité de densité par rapport à la mesure de Lebesgue
donnée par :
$$1_{y>0}\cfrac{1}{|\rho|y\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\cfrac{(\log y)^2}{2\rho^2}\right)$$
C'est la loi Log-normale de paramètres $0$ et $\rho^2$.
\fexer
