\section{Lois de l'arc sinus pour les marches aléatoires}
{\it \cite{GS}, 3.10, pages 80-82.}
\newline Pour comprendre vraiment ce qui est démontré dans cette
section, il faut absolument que vous fassiez quelques simulations
longues de marches aléatoires et que vous visualisiez la fonction
$n\to S_n$. On observe  notamment que la marche aléatoire a
tendance à s'éloigner de zéro pour de longues périodes, et qu'il
est en particulier assez probable qu'une marche partant de zéro ne
revienne en zéro qu'après un temps assez long. Ceci ajoute une
explication de plus au mystère de l'existence des casinos, qui
peut se formuler ainsi : comment peut-on aller dans un endroit où
l'on est statistiquement sûrs de perdre son argent ? La réponse
est là encore dans la durée du plaisir obtenu à peu de frais : une
mise minime donne une chance importante de jouer longtemps.

 \dexer Soit une
marche aléatoire $S_n=X_1+...+X_n$ où les $X_i$ sont i.i.d. et Bernouilli.  On pose, pour indiquer le point de départ,
$S_0=0$. On suppose que $\Pro(X_i=1)=\Pro(X_i=-1)=\frac 12.$ On va montrer le théorème suivant.

\begin{thf} La probabilité que la dernière visite à 0 avant (et y compris) le
temps $2n$  se produise au temps $2k$ est
$\Pro(S_{2k}=0)\Pro(S_{2n-2k}=0).$

\end{thf}
Tout d'abord, interprétons cette relation.


\quest 1) On appelle $\alpha_{2n}(2k)$ la probabilité précédente.
On a donc $\alpha_{2n-2k}=u_{2k}u_{2n-2k}$, en posant
$u_{2k}=\Pro(S_{2k}=0).$  On rappelle que
$\Pro(S_{2k}=0)=C_{2k}^k2^{-2k}.$
 Montrer en utilisant la formule de Stirling $n!\approx
n^ne^{-n}\sqrt{2\pi n}$ que
$$\alpha_{2n}(2k)\approx \frac 1{\pi\sqrt{k(n-k)}}=\frac 1{\pi\sqrt{k(n-k)}}
(1+\varepsilon(\frac 1k, \frac 1{n-k})),$$ cette équivalence étant
valide quand $n\to \infty$, $k\to \infty, $ et $n-k\to \infty$
simultanément.

\quest 2) On note $T_{2n}$ le temps de la dernière visite en 0
avant le temps $2n$.  Montrer que
$$\Pro(\varepsilon n\leq T_{2n}\leq 2xn)\approx \sum_{\varepsilon n\leq k\leq xn}\frac
1{\pi\sqrt{k(n-k)}}\approx \int_{\varepsilon n}^{xn}\frac
1{\pi\sqrt{u(n-u)}}du=\frac 2\pi \arcsin\sqrt{x}-\frac 2\pi
\arcsin\sqrt{\varepsilon}.$$ En déduire que
$$\lim\inf_{n\to +\infty} \Pro(T_{2n}\leq 2xn)\geq \frac 2\pi
\arcsin\sqrt{x}.$$


\quest 3) En déduire qu'il y a, quand $n$ devient grand, plus
d'une chance sur deux que la marche aléatoire ne repasse pas par 0
entre $n$ et $2n$ et plus d'une chance sur 5 qu'elle ne repasse
pas par 0 entre $\frac n5$ et $2n$.

\quest 4)  Montrer la loi de l'arcsinus :
$$\lim_n \Pro(T_{2n}\leq 2xn) =\frac 2\pi \arcsin \sqrt{x}.$$


\fexer


\dsolution{}  1), 2) et 3) viennent tous seuls. Montrons juste le
4).  On a
$$\lim_n \Pro(2\varepsilon n \leq T_{2n}\leq 2xn)=\frac
2\pi(\arcsin\sqrt{x}-\arcsin\sqrt{\varepsilon})\to 1,$$ quand
$x\to 1$ et $\varepsilon \to 0.$ Donc, pour tout $\varepsilon'$ il
existe $\eta$ tel que pour $x\geq 1-\eta$ et $\varepsilon \leq
\eta$ on ait
$$\lim_n (\Pro(T_{2n}\leq 2\varepsilon n)+\Pro(T_{2n}\geq 2xn))\leq
\varepsilon'\hbox{  et donc}$$
$$\lim\sup_n  \Pro(T_{2n}\leq 2\varepsilon n)\leq \varepsilon'.$$
On en déduit que $$\lim\sup_n |\Pro(T_{2n}\leq 2xn)-\frac 2\pi
\arcsin\sqrt{x}|\leq $$
$$\lim\sup_n |\Pro(2\varepsilon n\leq T_{2n}\leq 2xn)-\frac 2\pi
\arcsin\sqrt{x}+\frac  2\pi\arcsin\sqrt{\varepsilon}-\frac
2\pi\arcsin\sqrt{\varepsilon} +\Pro(T_{2n}\leq 2\varepsilon  n)|$$
$$\leq \lim\sup_n  |\Pro(2\varepsilon  n \leq T_{2n}\leq
2xn)-\frac 2\pi\arcsin\sqrt{x} +\frac 2\pi
\arcsin\sqrt{\varepsilon}|+\frac 2\pi\arcsin\sqrt{\varepsilon}
+\varepsilon'$$
$$=\frac 2\pi \arcsin\sqrt{\varepsilon} +\varepsilon'.$$
Cette dernière quantité étant arbitrairement petite, on obtient le
résultat. \fsolution


\dexer{\bf Preuve de la loi en arc sinus pour les retours  à
l'origine.}

\quest 1) Montrer que
$\alpha_{2n}(2k)=\Pro(S_{2k}=0)\Pro(S_1S_2...S_{2n-2k}\neq 0)$. On
pose dans la suite $m=2n-2k$.

\quest 2) On rappelle que $$\Pro(S_1S_2...S_n\neq 0,
\;S_n=b)=\frac {|b|}n\Pro(S_n=b)$$ et que
$\Pro(S_{2m}=2j)=C_{2m}^{m+j}\left( \frac 12\right)^{2m}.$  En
déduire que
$$\Pro(S_1S_2...S_{2m}\neq 0)=\Pro(S_{2m}=0).$$
Indication : vérifier et utiliser
$\frac{2k}{2m}C_{2m}^{m+k}=C_{2m-1}^{m+k-1}-C_{2m-1}^{m+k}.$

\fexer


\dsolution{}

\quest 1) \begin{eqnarray}
\alpha_{2n}(2k)&=&\Pro(S_{2k}=0)\Pro(S_{2k+1}S_{2k+2}...S_{2n}\neq
0|S_{2k}=0)\\
&=&\Pro(S_{2k}=0)\Pro(S_1S_2...S_{2n-2k}\neq 0).
\end{eqnarray}

 \quest 2) Par la loi des probabilités disjointes,
 \begin{eqnarray}\Pro(S_1S_2...S_{2m}\neq 0)&=&
 2\sum_{k=1}^m\frac{2k}{2m}\Pro(S_{2m}=2k)=2\sum_{k=1}^m\frac{2k}{2m}C_{2m}^{m+k}\left(\frac
 12\right)^{2m}\\
 &=& 2\left(\frac
 12\right)^{2m}\sum_{k=1}^m\left[C_{2m-1}^{m+k-1}-C_{2m-1}^{m+k}\right]\\
 &=& 2\left(\frac 12\right)^{2m}C_{2m-1}^m\\
 &=& C_{2m}^m\left(\frac 12\right)^{2m}=\Pro(S_{2m}=0).
\end{eqnarray}

\fsolution


\dexer{\bf Loi de l'arc sinus pour les périodes de gain} On dit
que la marche aléatoire passe l'intervalle $(k,\;k+1)$ à droite de
l'origine si $S_k>0$ ou $S_{k+1}>0$, ou les deux. On va montrer le
théorème suivant :

\begin{thf} La probabilité qu'une marche aléatoire symétrique
partant de 0 passe exactement $2k$ intervalles de temps  à droite
de l'origine jusqu'au temps $2n$ est égale à
$\Pro(S_{2k}=0)\Pro(S_{2n-2k}=0).$

\end{thf}

\quest 1) Interpréter le résultat dans les mêmes lignes que la loi
arc sinus pour les retours à l'origine.

\quest 2) Lire la solution page 81-82 du Grimmett.  Attention,
cette solution donne les idées mais a quelques petites erreurs à
corriger.

\fexer

\dsolution \quest Par les mêmes équivalents que pour la loi de l'arc sinus pour les retours  à l'origine, on obtient
que la probabilité que la marche passe $2xn$ unités de temps ou moins à droite de l'origine est de l'ordre de $\frac
2\pi \arcsin \sqrt {x}.$ Si on prend par exemple $x=\frac 15$, cette probabilité est de l'ordre de $\frac 15$. Du point
de vue du jeu de pile ou face, il y  a donc une chance sur cinq pour que l'un des joueurs soit gagnant pendant plus des
quatre cinquièmes du temps.

\fsolution
