Bibliographie : $\cite{W}$ chapitres 13 et 14, $\cite{Vi}$, section 1.3.

\section{L'uniforme intégrabilité}
\begin{remf} {\bf Fatou inverse} : Si $f_n\geq 0$ mesurables, $f_n\leq g$ et $g\in {\mathbb L}^1$, alors
$\int \lim\sup f_n\geq\lim\sup \int f_n$. Démonstration : appliquer Fatou à
$(g-f_n)$.
\end{remf}

\begin{thf} \label{uniformitepourunefonction} Soit $X\in {\mathbb L}^1={\mathbb L}^1(\Omega, \FF, \Pro).$ Alors pour tout $\varepsilon >0$
il existe $\delta>0$ tel que pour tout $F\in \FF$, $\Pro(F)<\delta$ implique $\E(|X|;
F)<\varepsilon$.

\end{thf}
\demo Sinon, il existe $\varepsilon_0>0$ et une suite $F_n$ d'éléments de $\FF$ tels
que $\Pro(F_n)<2^{-n}$ et $\E(|X|; F_n)\geq \varepsilon_0$. Soit $H:=\lim\sup F_n$.
Alors Borel Cantelli implique que $\Pro(H)=0$. En utilisant Fatou inverse:

$$0=\E(|X| ; H)\geq \lim\sup \E(|X|; F_n)\geq \varepsilon_0, \quad  \hbox{
contradiction.}$$
\enddemo

\begin{corf} \label{integralesurensembledeniveaupetite} Si $X\in {\mathbb L}^{1} $ et $\varepsilon>0$. Alors il existe $K\in [0, \infty)$
tel que $$\E(|X|; |X|>K)<\varepsilon.$$
\end{corf}

\demo On a $\Pro(|X|>K)\leq \frac{\E(|X|)}{K}$. Donc pour $K$ assez grand on peut
avoir $\Pro(|X|>K)<\delta$, où on fixe
 $\delta$ comme dans le théorème $\ref{uniformitepourunefonction}$.
\enddemo

\begin{deff} Une classe $\cal C$ de variables aléatoires est dite uniformément
intégrable  (UI) si pour tout $\varepsilon>0$, il existe $K\in [0,\infty)$ tel que
$$\E(|X| ; |X|>K)<\varepsilon, \; \forall X\in \cal C.$$
\end{deff}

\begin{remf} On a alors avec $K_1$ associé à $\varepsilon=1$,\newline
$\E(|X|)\leq \E(|X|; |X|> K_1)+\E(|X|; |X|\leq K_1)\leq 1+K_1$ et
donc une famille UI est aussi bornée dans ${\mathbb L}^{1}$. Il n'est pas vrai
qu'une famille bornée dans ${\mathbb L}^{1}$ est UI : prendre sur $[0,1]$ muni
de la mesure de Lebesgue, $f_n=n\indic_{0, \frac 1n}$.

\end{remf}
\begin{propf} Si $\cal C$ est bornée dans $\LL^p$ pour un $p>1$, alors elle est
uniformément intégrable. Si $\cal C$ a un chapeau intégrable $Y$ elle est
uniformément intégrable.
\end{propf}
\demo $$\E(|X|;|X|>K)\leq K^{1-p}\E(|X|^p;|X|>K)\leq K^{1-p} \sup_{\cal
C}\E(|X|^p);$$
$$\E(|X|; |X|>K)\leq \E(Y; |X|>K)\leq \E(Y;|Y|>K)$$
 et on applique le corollaire \ref{integralesurensembledeniveaupetite}.

\enddemo

\medskip
Voici un excellent développement : Le théorème de de la
Vallée-Poussin  donne une caractérisation intuitive et facile à
montrer des familles UI de ${\mathbb L}^{1}$. ($\cite{Vi}$ p. 10).

\begin{thf}  $\cal C$ est UI si et seulement s'il existe une fonction mesurable
croissante $G: \real^+\to \real^+$ telle que
$$\lim_{t\to \infty} \frac{G(t)}t\to +\infty \hbox{  et  }\sup_{X\in \cal
C}E(G(|X|)<\infty.$$
\end{thf}
Il est aussi important de savoir donner une condition d'uniforme intégrabilité
adaptée à $\real^N$. C'est la suivante :

\begin{deff} On dit que ${\cal C}\subset {\mathbb L}^{1}(\real^N)$ est uniformément intégrable si pour
tout $\varepsilon>0$ il existe $R>0$ et $K>0$ tels que pour tout $f\in \cal C$,
$$\int_{|x|\geq R}f(x)dx <\varepsilon \hbox{ et } \; \int_{|f|\geq K}f(x)dx<\varepsilon.
$$
\end{deff}
La plupart des thèorèmes qui suivent se généralisent avec cette définiton de l'UI sur
$\real^N$.



\subsection{Les espérances conditionnelles d'une même variable $X$ sont équiintégrables}

\begin{thf} \label{espcondequiintegr}
Soit $X\in {\mathbb L}^{1}$. Alors la classe $\{\E(X|\GG):\; \GG $ est une
sous-tribu de $\FF\}$ est uniformément intégrable.
\end{thf}

\demo On fixe $\varepsilon>0$ et choisit $\delta$ tel que pour $F\in \FF$, on ait
$$\Pro(F)<\delta\Rightarrow \E(|X|;F)<\varepsilon.$$
Enfin, on choisit $K$ tel que $\frac {\E(|X|)}{K} <\delta.$ Soit $\GG$ une
sous-algèbre et $Y$ une version quelconque de $\E(X|\GG);$ Par Jensen appliquée à
l'espérance conditionnelle ,

\begin{equation}\label{Jensenespcond}|Y|=|\E(X|\GG)|\leq
\E(|X|\;|\GG), \hbox{ p.p.}\end{equation}

 Donc $\E(|Y|)\leq\E(|X|)$ et
$$K\Pro(|Y|>K)\leq \E(|Y|)\leq \E(|X|),$$
et donc $\Pro(|Y|>K)<\delta.$ Mais $\{|Y|>K\}\in \GG$, et donc par la définition de
probabilité conditionnelle et par (\ref{Jensenespcond}),
$$\E(|Y|;|Y|\geq K)\leq \E(\E(|X|\;|\GG); |Y|\geq K)=\E(|X|;|Y|\geq K) <\varepsilon.$$

\enddemo

\subsection {Convergence en probabilité }
\begin{lemf} (Vitali) \index{Vitali (lemme de)}  Soit $C$ un borné de $\real^N$
et $f_k$ est une suite de fonctions équiintégrable dans ${\mathbb L}^{1}(C)$ qui converge presque
partout vers une fonction $f$.  Alors $f_k$ converge vers $f$ dans ${\mathbb L}^{1}(C)$.
\end{lemf}


On peut faire mieux avec la convergence en probabilité et donner une équivalence
compléte !

\begin{deff} On dit que $X_n\to X$ en probabilité si pour tout $\varepsilon>0$,
$$\Pro(|X_n-X|>\varepsilon)\to 0 \hbox{ quand } n\to \infty.$$
\end{deff}

\begin{lemf}
Si $X_n\to X$ p.p. alors $X_n\to X$ en probabilité.
\end{lemf}
\demo Supposons que $X_n\to X$ p.p. (rappel : les lemmes Fatou, Beppo-Levy,
convergence monotone, s'appliquent aux fonctions caractéristiques d'ensembles avec
les correspondances suivantes :
\begin{itemize}
\item $\Pro (A)=\E (\indic_A)$,
\item à la limite sup de fonctions caractéristiques $\indic_{A_n}$ d'ensembles $A_n$
correspond l'évênement $[A_n,\; \mbox{\; infiniment souvent (i.s.)\;}]$
\item à leur limite inf :
$[A_n,\; \mbox{\; finalement (eventually)\;}]$.)
\end{itemize}

\medskip Par le lemme de Fatou appliqué aux ensembles,
$$0=\Pro((X_n\not\to  X))\geq \Pro(|X_n-X|>\varepsilon \hbox{ i.s. })=
\Pro(\lim\sup |X_n-X|>\varepsilon)\geq \lim\sup\Pro(|X_n-X|\geq
\varepsilon).$$
\enddemo

\subsection{Théorème de convergence bornée}
\begin{thf}
Soit $X_n$ une suite de v.a. et $X$ une v.a. Si $X_n\to X$ en probabilité et s'il
existe une borne $K\in \real^+$, telle que  $|X_n|\leq K$ pour tout $n$, alors
$$\E(|X_n-X|)\to 0.$$
\end{thf}


\demo On vérifie que $\Pro(|X|\leq K)=1$.  Or pour tout $k\in \natural^*$,
$$\Pro(|X|>K+k^{-1})\leq \Pro(|X-X_n|>k^{-1})\to 0.$$
Donc $\Pro(|X|>K)=\Pro(\cup_k[|X|> K+k^{-1}])=0.$ On a alors pour tout
$\varepsilon>0$,
$$\E(|X_n-X|=\E(|X_n-X|;|X_n-X|>\varepsilon)+\E(|X_n-X|;|X_n-X|\leq \varepsilon)\leq
2K\Pro(|X_n-X|>\varepsilon)+\varepsilon<2\varepsilon$$ pour $n$ assez grand.
\enddemo

\subsection{Condition nécessaire et suffisante de convergence ${\mathbb L}^{1}$.}
\begin{thf}
Soit $(X_n)$ une suite de ${\mathbb L}^{1}$ et $X\in {\mathbb L}^{1}$. Alors $X_n\to X$
dans ${\mathbb L}^{1}$ si et seulement si
\newline (i) $X_n\to X$ en probabilité.
\newline (ii) La suite $X_n$ est UI.
\end{thf}
\demo On tronque $X_n$ pour la rendre bornée en posant $X_n^k=\max(-k, \min(k,
X_n))$. Par définition de UI, on peut choisir $K$ tel que
$$\E(|X_n^k-X_n|)<\varepsilon,\quad \E(|X^k-X)|<\varepsilon.$$
Comme $|X_n^k-X^k|\leq |X_n-X|$,  $X_n^k \to X^k$ en probabilité.
Par le théorème de convergence bornée, on déduit que $X_n^k \to
X^k$ dans ${\mathbb L}^{1}$. L'inégalité triangulaire permet de conclure que
$X_n\to X$ dans ${\mathbb L}^{1}$.

\medskip Réciproque : Si $X_n\in {\mathbb L}^{1}$, $X_n \to X$ dans ${\mathbb L}^{1}$, alors $X_n\to X$ en
probabilité et $X_n$ est UI. La première relation est une conséquence de l'inégalité de Markov,
$$\Pro(|X_n-X|>\varepsilon)\leq \frac 1\varepsilon \E(|X_n-X|).$$
Montrons que $X_n $ est UI.  On choisit $N$ assez grand pour que
$\E(|X_n-X|)<\varepsilon$. On remarque que toute famille finie
dans ${\mathbb L}^{1}$ est UI et donc il nous suffit de régler le sort des
$X_n$ pour $n\geq N$. On fixe $\delta$ tel que
$\Pro(F)<\delta\Rightarrow \E(X; F)<\varepsilon.$ Par l'inégalité
de Markov à nouveau
$$\Pro(|X_n|>K)\leq K^{-1}\sup_n \E(|X_n|) <\delta$$ pour $K$ assez grand.
Donc pour $n\geq N$,

$$\E(|X_n|; |X_n|>K)\leq \E(|X|; |X_n|>K)+\E(|X-X_n|)<2\varepsilon.$$

\enddemo

\section{Martingales UI}

\begin{deff} On dit que $M$ est une martingale UI si c'est une martingale dans le
cadre habituel $(\Omega,\; \FF_n,\; \Pro)$ et si $M_n$ est une
suite UI. Comme $M$ est UI, elle est bornée dans ${\mathbb L}^{1}$ et donc
$M_\infty:=\lim M_n$ existe presque sûrement : $\E(|M_n-M_\infty|)
\to 0$.
\end{deff}

\begin{thf}
Soit $M $ une martingale UI. Alors $M_\infty:=\lim M_n$ vérifie
$$M_n = \E(M_\infty|\FF_n).$$
\end{thf}

\demo  Pour $F\in \FF_n$,  et $r\geq n$, on a
$$\E(M_r; F)=\E(E(M_r|\FF_n); F)=\E(M_n;F).$$
Mais  $$|\E(M_r;F)-E(M_\infty;F)|\leq \E(|M_r-M_\infty|;F)\leq \E(|M_r-M_\infty|)\to
0 .$$ Donc
\begin{equation}\label{MnespdeMinfini} \E(M_\infty;F)=\E(M_n;F).\end{equation}
\enddemo


\subsection{Théorème "montant" de Lévy.}
\begin{thf}
Soit $\xi\in {\mathbb L}^{1}(\Omega, \FF, \Pro)$, et soit
$M_n:=\E(\xi|\FF_n).$ Alors $M$ est une martingale UI et
$$M_n\to \xi :=\E(\xi|\FF_\infty),\; \hbox{ p.s. et dans }{\mathbb L}^{1}.$$
\end{thf}
\demo $M$ est une martingale par la propriété des tours : si $r\geq n$,
$$\E(M_r|\FF_n)=\E(\E(\xi|\FF_r)|\FF_n)=\E(\xi|\FF_n)=M_n.$$
On sait que $M$ est UI (Théorème \ref{espcondequiintegr}) donc
$M_\infty:=\lim M_n$ existe p.s. et dans ${\mathbb L}^{1}$. Il reste  à
montrer que $M_\infty =\eta$ p.s. où $\eta:=\E(\xi|\FF_\infty).$
On suppose SPDG que $\xi\geq 0$ et on considère les mesures $Q_1$
et $Q_2$ telles que
$$Q_1(F):=\E(\eta;F),\; \; Q_2(F)=\E(M_\infty;F),\;\; F\in \FF_\infty.$$
Si $F\in \FF_n$, comme $\E(\eta|\FF_n)=\E(\E(\xi|\FF_\infty)|\FF_n)
=\E(\xi|\FF_n)(=M_n)$ par la propriété des tours, on a en utilisant
(\ref{MnespdeMinfini}),
$$\E(\eta; F)=\E(M_n;F)=\E(M_\infty;F).$$
Donc $Q_1$ et $Q_2$ coïncident sur le $\pi$-système $\cup_n \FF_n$ et donc aussi sur
$\FF_\infty=\sigma(\cup_n \FF_n).$

Mais $\eta $ et $M_\infty$ sont $\FF_\infty$-mesurables (poser $M_\infty:=\lim\sup
M_n$). Donc $F:=[\eta>M_\infty]\in \FF_\infty,$ et comme $Q_1(F)=Q_2(F)$,
$$\E(\eta-M_\infty; \eta>M_\infty)=0.$$
Donc $\Pro(\eta>M_\infty)=0$ et de même $\Pro(M_\infty>\eta)=0.$

\enddemo

 \begin{exem} Prendre $M\in {\mathbb L}^{1}([0,1]^2)$ et $\FF_n$ la tribu engendrée par la
 partition  de $[0,1]^2$ en carrés dyadiques d'arète $2^{-n}$.  Alors $M_n$ est la
 fonction en escalier égale à la moyenne de $M$ sur chaque cube dyadique. Dans ce
 cas, $\FF_\infty$ est la tribu des Boréliens, et $M_n\to M$. Remarque : si $f\in
 {\mathbb L}^{2}$, on savait déja qu'on a convergence ${\mathbb L}^{2}$ par le théorème des projections dans un
 Hilbert : pourquoi ?
 \end{exem}
\subsection {La loi du 0-1 par martingale}

\begin{thf}  Soit $X_1,\; X_2, \dots$  une suite de v.a. indépendantes. On pose
$$\TT_n:=\sigma(X_{n+1},\; X_{n+2},\dots), \quad \TT=\cap_n \TT_n.$$
Alors si $F\in \TT$, $\Pro(F)=0$ ou $1$.
\end{thf}
\demo Soit $\FF_n=\sigma(X_1,\; X_2,\dots, X_n).$ Soit $F\in \TT$ et
$\eta:=\indic_F$. Comme $\eta$ est sommable, on a par le théorème "montant" de Lévy
que $$\eta=\E(\eta|\FF_\infty)=\lim \E(\eta|\FF_n), \; \hbox{ p.s. }
$$
Mais pour tout $n$, $\eta$ est $\TT_n$-mesurable et donc indépendant de $\FF_n$. Donc
par la propriété  (k) de l'espérance conditionnelle,
$$\E(\eta|\FF_n)=\E(\eta)={\mathbb P}(F), \;\; \hbox{ p.s.}$$
Donc $\eta=\Pro(F)$, p.s. et comme $\eta$ ne prend que les valeurs 0 et 1, c'est fini.
\enddemo

\subsection{Théorème de Lévy "descendant"}
\begin{thf}
Soit $(\Omega,\FF, \Pro)$ et $\{\GG_{-n};\; n\in\natural\}$ une suite de sous-tribus
de $\FF$ telles que
$$\GG_{-\infty}:=\cap_k\GG_{-k}\subset\dots\subset\GG_{-(n+1)}\subset\dots\subset
\GG_{-1}.$$ Soit $\gamma\in {\mathbb L}^{1}(\Omega,\FF,\Pro)$ et posons
$$M_n:=\E(\gamma|\GG_n).$$
Alors
$$M_{-\infty}:= \lim M_{-n} \quad\hbox{ existe p.s. et dans } {\mathbb L}^{1}, $$
et $$M_{-\infty}=\E(\gamma|\GG_{-\infty}), \quad \hbox{ p.s.}$$
\end{thf}

\demo En appliquant le lemme de passage de Doob à la
martingale\newline $(M_k,\; \GG_k,\;-N\leq k\leq -1)$, on montre
exactement comme pour le théorème de convergence de Doob que
$M_{-n}$ converge presque partout. Du théorème
\ref{espcondequiintegr}, on déduit que $M_{-n}$ est
équiintégrable, et donc que $ M_{-n}$ converge  dans ${\mathbb L}^{1}$. Reste
à montrer que $M_{-\infty}=\E(\gamma|\GG_{-\infty})$. On pose
$M_{-\infty}=\lim\sup M_{-n} $ pour avoir que $M$ est
$\GG_{-\infty}$-mesurable. Soit $G\in \GG_{-\infty}\subset
\GG_{-r}.$ :
$$\E(\gamma; G)=\E(M_{-r};G)\to \E(M_{-\infty};G)$$
car $M_{-r}\to M_{-\infty}$ dans ${\mathbb L}^{1}$.

\enddemo

\subsection{Preuve de la LGN par martingale}

\begin{thf} Soient $X_1,\; X_2,\dots$ des v.a.i.i.d. avec pour tout $k$, $\E(X_k)<\infty.$
Soit $\mu=\E(X_k)$ et $S_n :=X_1+\dots +X_n$. Alors
$$\frac{S_n}n\to \mu, \quad \hbox{p.s. et dans } {\mathbb L}^{1}.$$

\end{thf}

\demo On pose $$\GG_{-n}=\sigma(S_n,\;S_{n+1},\dots),\quad
\GG_{-\infty}=\cap_n\GG_{-n}.$$ On sait que
$$E(X_1|\GG_n)=\frac 1n S_n, \hbox{ p.s.}$$
Par le lemme de Lévy descendant, $L:=\lim \frac 1n S_n$ existe
p.s. et dans ${\mathbb L}^{1}$. On pose $L:=\lim\sup \frac 1n S_n$ pour avoir
une définition partout.  Or, pour tout $k$,
$$L=\lim\sup \frac{X_{k+1}+\dots +X_{k+n}}n,$$
ce qui veut dire que $L$ est $\TT_k$ mesurable, où $\TT_k=\sigma(X_{k+1},\dots).$ Par
la loi du 0-1, il existe $c\in \real$ tel que $\Pro(L=c)=1$.  Reste à calculer $c$:
$$c=\E(L)= \lim \E(\frac 1n S_n)=\mu.$$


\enddemo
