\section{Lemmes de Borel-Cantelli, loi du 0-1, mesurabilité relative}

\dexer{Application du th\'eor\`eme de Fubini, $\cite{Du}$ p. 473}
\newline
{\textit Rappel : Soit $F$ croissante sur ${\mathbb R}$, continue
à droite. Alors il y a une unique mesure $\mu=dF$ sur ${\mathbb
R}$ muni de la tribu borélienne telle que $\mu(]a,b])=F(b)-F(a).$
On dit que $F$ est une fonction de Stieltjes et $\mu$ une mesure
de Stieljes. La preuve est essentiellement la m\^eme que celle qui
donne l'existence de la mesure de Lebesgue.}

\quest 1) Rappeler pourquoi  l'ensemble des sauts d'une fonction
croissante est dénombrable. Peut-on énumérer ces sauts $x_n$ de
telle sorte que $x_{n+1}\leq x_{n}$, $n\in {\mathbb N} $ ?

\quest 2) Soit $(x_i)_{i\in I}$ l'ensemble des sauts de $F$ et
$\alpha_i$ la valeur du saut en $x_i$. Montrer que
$$dF=\sum_i\alpha_i \delta_{x_i} + d\tilde F,$$ où $\tilde F$ est
une fonction croissante continue.



\quest 3)  Soient $F, \; \mu$ et $G, \; \nu $ deux   couples de
Stieltjes. On note $\mu = dF$, $\nu=dG$. Montrer que $(\mu\times
\nu)(\{a<x=y\leq b\})=\sum_{x\in ]a,b]} \mu(\{x\})\nu(\{x\}).$ (On
appliquera le théorème de Fubini à l'intégrale  $\int\int
\indic_{y=x}d\mu\otimes\d\nu$).

\quest 4)  Montrer que pour $-\infty<a\leq b<+\infty$,
$$(i)\;\;\;\int_{]a,b]}(F(y)-F(a))dG(y)=(\mu\times\nu)(\{(x,y),\; a<x\leq y\leq b\});$$


 \quest 5) Déduire des deux questions précédentes que
$$(ii)\;\;\;\int_{]a,b]} F(y)dG(y) + \int_{]a,b]}G(y)dF(y)=F(b)G(b)-F(a)G(a)+\sum_{x\in
]a,b]}\mu(\{x\})\nu(\{x\}).$$ {\it (Indication :
 Dans $(\mu\otimes \nu)(\{(x,y),;
a<x\leq y\leq b\})+\mu\otimes \nu(\{(x,y),\; a<y\leq x\leq b\})$,
la diagonale apparaît deux fois !)}.


\quest 6)
 Vérifier sur un exemple comment apparaît le second
terme en posant $F(x)=G(x)=\indic_{[0, +\infty[}(x)$ en prenant
$a<0<b$.
$$(iii)\;\;\; \int_{]a,b]}2F(y)dF(y)=F^2(b)-F^2(a) \;\hbox{si } F=G\hbox{ est
continue}.$$
\fexer


\dsolution
\quest 1) et 2) : classique, poser $d\tilde F= dF-\sum_i
\alpha_i\delta_{x_i} $ et vérifier que $\tilde F$ n'a plus de
sauts.


\quest 3)  En  appliquant le théorème de Fubini on a
 $$\int\int
\indic_{y=x}d\mu\otimes\d\nu=\int(\int
\indic_{y=x}(y)d\nu(y))d\mu(x)=\int\nu(\{x\})d\mu(x)=\sum_{x}\nu(\{x\})\mu(\{x\}).$$
En effet, la deuxième  intégrale est en fait une somme dénombrable
puisque $d\mu(\{x\})$ est nulle sauf pour $x$ appartenant à
l'ensemble dénombrable des sauts de $F$. On intégre donc une
fonction nulle sauf en un  ensemble dénombrable de points par
rapport à la mesure  $d\nu$.


%\quest 3)   On a $dF=\sum_{i\in I}\alpha_i \delta_{x_i} +d\tilde
%F,$ $dG=\sum_{j\in J} \beta_j\delta_{y_j}  + d\tilde G.$ Donc
%$$
%(dF\otimes dG)(\{a<x=y\leq
%b\})=\sum_{i,j}\alpha_i\beta_j\delta_{x_i}\delta_{y_j}(\{a<x=y\leq
%b\}) + ((\sum_i\alpha_i\delta_{x_i})\otimes d\tilde G)(\{a<x=y\leq
%b\})$$
% $$+((\sum_j\beta_j\delta_{y_j})\otimes d\tilde
%F)(\{a<x=y\leq b\}) +(d\tilde F\otimes d\tilde G)(\{a<x=y\leq b\}).
%$$ Le premier terme donne $\sum_{x_i,y_j\in ]a,b]^2, \; x_i=y_j}
%\alpha_i\beta_j\delta_{x_i}\otimes\delta_{y_j}$, ce qui est notre
%résultat puisque $\left[\mu\otimes \nu\right](\{x\})=0$ quand $x$
%n'est un saut ni de $F$ ni de $G$. Reste à montrer que les autres
%termes sont nuls. Traitons par exemple le deuxième.  Comme $[a,b]$
%est compact, $\tilde G$ est uniformément continue sur $[a,b]$ et
%on a donc $G(x+t)-G(x)\leq \varepsilon$ pour $t$ assez petit et
%$x\in ]a,b].$ On considère un partage $(a_0=a,\;\dots,\; a_n=b)$
%de $]a,b]$ en $n$ intervalles égaux. On peut donc recouvrir la
%diagonale $\{a<x=y\leq b\}$ par les carr\'es $]a_k,a_{k+1}]^2.$
%Donc

%$$((\sum_i\alpha_i\delta_{x_i})\otimes d\tilde G)(\{a<x=y\leq b\})
%=\sum_k (\sum_i\alpha_i\delta_{x_i}(]x_k,x_{k+1}]))(\tilde
%G(x_{k+1}-\tilde G(x_k)))$$ $$\leq
%(\sum_i\alpha_i\delta_{x_i}(]a,b]) )\sup_k (G(x_{k+1}-G(x_k))\leq
%(F(b)-F(a))\varepsilon.$$ pour $n$ assez grand.

\quest 4) Preuve de (i) :
$$\int_{]a,b]}(F(y)-F(a))dG(y)=\int_{]a,b]}(\int_{]a,y]}dF(x))dG(y)
=\int_{]a,b]}(\int_{]a,b]}\indic_{x\leq
y}(x,y)dF(x))dG(y)=$$
$$\int\int_{]a,b]^2}\indic_{x\leq y}(x,y)(d\mu\otimes
d\nu)(x,y) =\left(\mu\otimes\nu\right)(\{(x,y),\; a<x\leq y\leq
b\}),$$
 où l'avant dernière égalité s'obtient par le théorème de
Fubini.

\quest 5) Preuve de (ii). En utilisant le (i),
$$\int_{]a,b]}F(y)dG(y)+\int_{]a,b]}G(y)dF(y)=F(a)\int_{]a,b]}dG(y)+G(a)\int_{]a,b]}
dF(x)+ $$
$$(\mu\otimes \nu)(\{a<x\leq y\leq b\})+(\mu\otimes
\nu)(\{a<y\leq x\leq b\})=$$
$$(\mu\otimes
\nu)(\{]a,b]^2)+F(a)(G(b)-G(a))+G(a)(F(b)-F(a))+(\mu\otimes
\nu)(\{a<x=y\leq b\})=$$ $$F(b)G(b)-F(a)G(a)+(\mu\otimes
\nu)(\{a<x=y\leq b\}).$$
\fsolution



\dexer{Un mod\`ele  pour le jeu de pile ou face ($\cite{O}$, 9.3., p. 53-59)}\\

\quest 1) Soit $x\in [0,1)$. On d\'efinit par r\'ecurrence les suites
de terme g\'en\'eral $$R_{0}(x)=x$$ et pour tout $n>0$
$D_{n}(x)=[2R_{n-1}(x)] \; \mbox{et} \;
R_{n}(x)=2R_{n-1}(x)-D_{n}(x)$ V\'erifier que l'on a pour tout
$n>0$ $x=\sum_{j=1}^{n}\cfrac{D_{j}(x)}{2^{j}} +
\cfrac{1}{2^{n}}R_{n}(x).$

\quest Montrer que $x\in [0,1]$ s'écrit d'une manière unique sous
la forme précédente, $x=0,x_1x_2...x_k...$ avec $x_i\in \{0,1\}$
si et seulement si $x$ n'est pas un rationnel dyadique,
c'est-à-dire un rationnel de la forme $\frac p{2^q}$ avec $p, q\in
{\mathbb N}$ et $p\leq 2^q$. Préciser la forme  des $D_n(x)$ quand
$x$ est un rationnel dyadique. Le but de l'exercice est de montrer
la proposition suivante :

\begin{propf} Sur $[0,1)$ muni de la tribu des Boréliens et  la mesure de Lebesgue, la suite
$(D_n)_{n\in \natural^*}$ est une suite de variables aléatoires
indépendantes de même loi de Bernoulli de paramètre $\frac 12$. La
variable aléatoire $R_n$ est de loi uniforme sur $[0,1)$ et la
variable $R_n$ et les variables $(D_1,...,\; D_n)$ sont
indépendantes.
\end{propf}


\quest 2)  On va montrer que  $(D_{n})_{n\in {\mathbb{N}}^{*}}$
est
 une suite de variables al\'eatoires ind\'ependantes de m\^eme loi de Bernoulli
 de param\`etre $1/2$.  On note
 $\varepsilon^n=(\varepsilon_1,\; ...\varepsilon_n)$ un élément de
 $\{0, \; 1\}^n$ et $\varepsilon=(\varepsilon_1,\; ...,
 \varepsilon_n,...)$ un élément de $\{0,\; 1\}^{\mathbb N}.$

 \subquest 2a) Montrer que $\cap_{j=1}^n (D_j=\varepsilon_j)$ est
 un intervalle de $[0,1]$ que l'on  précisera et calculer sa
 probabilité. (On trouve $2^{-n}$).

 \subquest 2b) En déduire que pour toute partie non vide $J$ de
 $\{1,\; 2,..., \; n\}$ on a
$$\Pro(\cap_{j\in J}(D_j=\varepsilon_j))=\frac 1 {2^{|J|}}.$$
Conclure que les $D_n$ sont bien indépendantes.

\dsolution
\quest On a
$$\Pro(\cap_{j\in J}
(D_j=\varepsilon_j))=\sum_{\varepsilon^{n-|J|}\in
\{0,\;1\}^{J^c}}\Pro(\cap_{j\in
J}(D_j=\varepsilon_j)\cap(\cap_{k\in
J^c}(D_k=\varepsilon^{n-|J|}(k))))=$$
$$\sum_{\varepsilon\in\{0,1\}^{J^c}}\frac 1{2^n}2^{n-|J|}=\frac {1}{2^{|J|}}.$$
\fsolution

\quest 3) On va montrer que, pour tout $n \in {\mathbb{N}}^{*}$,
la variable al\'eatoire $R_{n}$ est de loi uniforme sur $[0,1)$ et
que les variables al\'eatoires $R_{n}$ et $(D_{1},D_{2},\ldots,
D_{n})$ sont ind\'ependantes.

\subquest 3a) Vérifier que $R_n(x)=2^n x-\sum_{j=1}^n
2^{n-j}D_j(x).$  Remarquer qu'en développement dyadique,
$R_n(x)=0,D_{n+1}(x)D_{n+2}(x)...$ et il est donc immediat que
$R_n\in \sigma(D_{n+1},\; D_{n+2},...)$ est indépendante de
$D_1,..., D_n.$


\subquest 3b)  Montrer  que la loi de $R_n$ est uniforme, i.e.
$$\E(f(R_n))=\int_{{\mathbb R}} \indic_{[0,1[}(y)f(y)dy.$$

\subquest 3c) D\'eduire des deux questions pr\'ec\'edentes que pour toute fonction
borélienne positive $f: {\mathbb R}\to {\mathbb R}$ et toute
partie $J$ de $\{1,\; 2, \; ...,n$\},
\begin{equation}\label{independancedeDnetRn}
\E\left[f(R_n)\Pi_{i\in J}
\indic_{D_i=\varepsilon_i}\right]=\Pro(\cap_{i\in J}
(D_i=\varepsilon_i))\left[\int_{{\mathbb R}}\indic_{[0,1[}(y)f(y)dy\right].
\end{equation}
 Remarquer que  le résultat du 3b) est  (\ref{independancedeDnetRn}) dans le
cas $J=\{1,\; 2,\; ...,\; n\}$. En déduire le cas général
(\ref{independancedeDnetRn}).



\quest 4) En vérifiant et utilisant la relation
$D_n=-R_n+2R_{n-1}$, montrer que la suite de v.a. $R_n$ n'est pas
une suite de variables aléatoires indépendantes.

 \quest 5)  Soit
$(\mu_{j})_{j>0}$ une suite de probabilit\'es sur $({\mathbb R},
{\cal B}(\mathbb{R}))$. On se propose de construire explicitement
des variables
 al\'eatoires $(X_{j})_{j>0}$ ind\'ependantes de lois respectives
 $({\mu}_{j})_{j>0}$.

\subquest 5a) Soit $(N_{j})_{j>0}$ une suite de sous-ensembles
infinis de ${\mathbb N}^{*}$  formant une partition. Pour tout
$j>0$, soit ${\phi}_{j}\in {\mathbb N}^{*}$ une énumération
  des $N_{j}$.  Pour tout $j>0$, on
pose
$$Y_{j}=\sum_{k=1}^{\infty}\cfrac{1}{2^{k}}D_{\phi_{j}(k)}$$
Montrer que les variables $(Y_{j})_{j>0}$ sont indépendantes.  On utilisera le théorème des coalitions ($\cite{O}$ p.
47) :
\begin{thf}
Soit une famille $({\cal C}_i)_{i\in I}$ de $\pi$-systèmes
 contenus dans $\cal A$ et indépendants ; on note $\FF_i$ la tribu
 engendrée par ${\cal C}_i$. Soit $(I_j)j\in J$ une partition de
 $I$ et ${\cal A}_j$ la tribu engendrée par $\cup_{i\in I_j}{\cal C}_i$.
 Alors les tribus $({\cal A}_j)_{j\in J}$ sont indépendantes.
\end{thf}

\subquest 5b) Montrer que la loi de $Y_{j,n}=\sum_{k=1}^n \frac
1{2^k} D_{\varphi_j(k)}$ est la même que celle de
$Z_n=\sum_{k=1}^n \frac 1{2^k}D_k$ et en déduire que la loi de
$Y_j$ est uniforme sur $[0,1]$.

\subquest 5c) (Voir exercice précédent \ref{calculsdensites}.) Soit $F_{j}$ la fonction de
r\'epartition de ${\mu}_{j}$. On d\'efinit la pseudo-inverse de
$F_{j}$ par
$$G_{j}(t)=\inf_{x\in \mathbb{R}}\{F_{j}(x)\geq t\}$$
On pose $X_{j}=G_{j}(Y_{j})$. Montrer que la loi de $X_{j}$ est
${\mu}_{j}$ et conclure. \fexer

\quest 6) Lecture : $\cite{O}$ pp. 59-60, modélisation du jeu de
 pile ou face.

%\dsolution La solution de cet exercice est contenue dans les pages
%53 à 58 de Ouvrard.

%\fsolution

\bigskip

\noindent {\bf Quelques notations} ($\cite{W}$,  pp. 26-27). Soit $A_n$ une suite
d'év\'enements d'un espace de probabilités $(\O, {\cal F}, {\mathbb P})$. On écrit "$A_n,\; i.o.$"
({\it infinitely often}), pour l'év\'enement $$\{A_n\; i.o.\}=\lim\sup_n A_n =
\bigcap_n\bigcup_{k\geq n} A_k.$$
 On dit que $A_n$ se produit "infiniment souvent"
si $\Pro (A_n, \; i.o.)=1$.   On définit de même "$A_n, \; ev.$" ({\it eventually}),  par
$$\{A_n\; ev.\}=\lim\inf_n A_n = \bigcup_n\bigcap_{k\geq n}A_k.$$ Si $\Pro(A_n,\; ev.)=1$,
on dit que $A_n$ "finit presque sûrement par se produire". Remarquer que $\{A_n\; ev.\} =
\{A_n^c\; i.o.\}^c$. Avec ces notations, on rappelle les deux lemmes de Borel-Cantelli
($\cite{W}$ pp. 27 et 40)
\newline
(BC1) : Si $E_n$ est une suite d'\'ev\'enements telle que $\sum_n \Pro (E_n)<\infty$, alors
$\Pro (E_n, \; i.o.)=0.$
\newline
(BC2) :  Si $E_n$ est une suite d'év\'enements indépendants, alors
$$\sum_n \Pro(E_n)=+\infty \Rightarrow \Pro(E_n, \; i.o.)=1.$$
Le but des deux exercices suivants est de donner deux contrexemples  à la loi des grands nombres (chapitre suivant). Le premier exercice prouve que celle-ci peut être fausse si les v.a.  $X_n$ ne sont
pas équidistribuées. Le deuxi\`eme prouve que la loi des grands nombres peut être
fausse si $E(|X_1|)=+\infty.$


\dexer{\textit{Un jeu qui n'est équitable qu'en apparence ($\cite{W}$ p. 228)}   } Soient
$X_1,\;..., \; X_n$ des v.a.i. telles que $X_n=n^2-1$ avec probabilité $n^{-2} $ et
$X_n=-1$ avec probabilité $1-n^{-2}$. Démontrer que $\E(X_n)=0$, mais que si on pose
$S_n=X_1+X_2+...+X_n$, alors
$$\frac{S_n}n\to -1.$$
\fexer

\dsolution {} On a $\Pro(X_n=n^2-1)=n^{-2}$, et donc $\sum_n
\Pro(X_n=n^2-1)<\infty.$ Par (BC1), $\Pro(X_n=n^2-1, \; i.o.)=0$
et donc $\Pro(X_n=-1,\; \hbox{\`a partir d'un certain rang}.)=1$, ce qui
prouve le résultat. \fsolution



\dexer{\textit {Réciproque de la loi forte des grands nombres ($\cite{W}$, E4.6 p. 227)}}

\quest 1) Soit $Z\geq 0$ une v.a. et $Y$ sa partie entière. Montrer que
$$Y=\sum_{n\in \natural^\star}\indic_{Z\geq n}.$$

\quest 2) Déduire que $$\sum_{n\in \natural^\star}\Pro(Z\geq n)\leq \E(Z)\leq
\sum_{n\in\natural^\star}\Pro(Z\geq n)+1.$$


\quest 3) Soient $X_n$, v.a.i.i.d. telles que $\E(|X_n|)=+\infty.$ Démontrer que
$$\sum_n\Pro(|X_n|\geq kn)=\infty\; (k\in\natural) \hbox{  et que
}\lim\sup_n\frac{|X_n|}n=\infty, \; p.s.$$

\quest 4) En déduire que si $S_n=X_1+...+X_n$, alors $\lim\sup\frac{|S_n|}n=\infty\;
p.s.$
\fexer

\dsolution{} Le 1) est immédiat ; le 2) se déduit en utilisant les
inégalités $Y\leq Z\leq Y+1$ et en prenant l'espérance.  Pour le
3), posons $Z=X_0$. Alors on sait par le 2) que $\sum_n
\Pro(|Z|\geq n)=+\infty$. Comme $\Pro(|X_n|\geq n)=\Pro(|Z|\geq
n),$ on en déduit que $\sum_n \Pro(|X_n|\geq n)=+\infty.$  Les
év\'enements $\{|X_n|\geq n\}$ étant indépendants, on a par (BC2)
: $|X_n|\geq kn\;\; i.o.$ et donc
$\Pro(\lim\sup_n\frac{|X_n|}n\geq k)=1$. Ceci étant vrai pour tout
$k$, on conclut. 4) Utiliser : $\frac{S_n}n-\frac
{n-1}n\frac{S_{n-1}}{n-1}=\frac{X_n}n$ et minorer $\frac{|S_n|}n$.
\fsolution


\dexer{Limite supérieure d'une suite de variables normales indépendantes, $\cite{W}$, E4.5 p. 227}

\quest 1) Soit $G$ une v.a. normale ${\cal N}(0,1)$. On pose
$\varphi(y)=\frac 1{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{y^2}2}$ Démontrer que
pour $x>0$,
$$(x+x^{-1})^{-1}\varphi(x)\leq \Pro(G\geq x) \leq
\frac 1x \varphi(x).$$

\quest 2) Soit $(X_n)_n$ une suite de v.a.i. normales ${\cal N}(0,1)$.  Montrer qu'avec
probabilité 1, $L\leq 1$, où $L$ est définie par
$$L:=\lim\sup_n \frac {X_n}{\sqrt{2\log n}}.$$

\quest 3) Montrer que $\Pro(L=1)=1$.

\quest 4) On pose $S_n = X_1+...+X_n$ et on rappelle que $\frac {S_n}{\sqrt n}$ est
encore normale ${\cal N}(0,1)$. Montrer que $\Pro(|S_n|<2\sqrt{n\log n},\; ev. )=1$. (voir la section 14.7 de $\cite{W}$ pour un résultat plus précis: \textit{la loi du Logarithme Itéré}).
Remarquer que cela implique la loi forte des grands nombres dans ce cas particulier :
$\Pro(\frac{S_n}n\to 0)=1$. \fexer


\dsolution \quest 1) Pour l'inégalité de droite, utiliser $\varphi'(y)=-y\varphi(y)$
et pour l'inégalité de gauche, $(\frac{\varphi(y)}y)'=-(1+\frac 1{y^2})\varphi(y).$

\quest 2) Par l'inégalité de droite de la question 1), on a
$$\Pro(|X_n|\geq L\sqrt{2\log n})\leq \frac 1{L\sqrt{4\pi\log n}}e^{- L^2 \log
n} = \frac 1{L\sqrt{4\pi\log n}} n^{-L^2}.$$ Si $L>1$, alors
$\sum_n\Pro(|X_n|\geq L\sqrt{2\log n})<\infty$ et, par (BC1),
$\Pro(|X_n|\geq L\sqrt{2\log n} \; i.o.)=0$, et donc
$\Pro(\lim\sup_n \frac{|X_n|}{\sqrt{2\log n}} \leq L)
=\Pro(|X_n|\leq L\sqrt{2\log n}\; ev.)=1.$

\quest 3) On par l'inégalité de gauche du 1),
$$\Pro(X_n\geq \sqrt{2\log n})\geq (L\sqrt{2\log n}+\frac 1{L\sqrt{2\log
n}})n^{-L^2}.$$ Donc, si $L\leq 1$, on obtient $\sum_n \Pro(|X_n|\geq L\sqrt{2\log
n})=+\infty$, et donc, par (BC2),  $\Pro(|X_n|\geq L\sqrt{2\log n}, \; i.o.)=1$.
Utilisant ceci, et le résultat du 2), on conclut que $L=1$, p.s.


\quest 4) Les $S_n$ ne sont pas indépendantes, mais on peut toujours invoquer le
résultat du 2), qui n'utilise pas l'indépendance des $X_n$. On a donc
$$\lim\sup_n (\frac {S_n}{\sqrt{2n\log n}})\leq 1, \; p.s.$$ Cela implique que pour
tout $C>\sqrt 2$, $\Pro(\frac {S_n}{\sqrt{n\log n}}\leq C, \; ev.)=1$ et on obtient le
résultat annoncé en prenant par exemple $C=2>\sqrt 2$.
\fsolution

\noindent
{\bf Exercices 9.10, 9.11, 9.12 de $\cite{O}$, p. 84-85.}\\

\dexer {\textit{mesurabilité relative, très important ! ($\cite{W}$, p. 206)}} Soient   $X$ et
$Y$ deux variables aléatoires réelles $\Omega \to {\mathbb R}$. On note $\sigma (Y)$ la
tribu engendrée par les ensembles $Y^{-1}(E)$, où $E$ est un borélien quelconque de
${\mathbb R}$. On va montrer le
\newline
{\bf Théorème} : $X$ est $\sigma (Y)$-mesurable si et seulement si elle est
une fonction $X=f(Y)$ de $Y$, où $f:\; {\mathbb R}\to {\mathbb R}$ est borélienne.

\begin{remf}
Cet énoncé n'a rien à voir avec le fait que $X$ et $Y$ soient réelles
et que l'on considère la tribu de Borel. On l'énonce avec des variables réelles pour
le rendre plus intuitif. Se reporter \`a $\cite{W}$ (loc. cit.) pour la formulation générale.
\end{remf}

\quest 1)  Expliquer pourquoi  il suffit de prouver que $X$ est bornée et $\sigma(Y)$ mesurable si et seulement s'il existe $f$ borélienne bornée telle que $X=f(Y)$.

\quest 2)  Soit $\cal H$ la classe de toutes les fonctions bornées $X$ sur $\Omega$ telles que $X=f(Y)$ pour une fonction $f$ borélienne bornée. On va appliquer à $\cal H$ le théorème de la classe monotone.

\subquest 2a) Montrer que $\cal H$ contient les fonctions indicatrices d'éléments de $\sigma(Y)$.

\subquest 2b) Montrer que $\cal H$ est un espace vectoriel contenant les constantes et que si $X_n\geq 0, \; X_n\in {\cal H}$, tend en croissant vers $X$ bornée, alors $X\in {\cal H}.$

\quest 3) Conclure. Après avoir terminé l'exercice, lire attentivement les pages 206 et 207 de $\cite{W}$.
\fexer

\dsolution
\quest 1) Remplacer $X$ par $\arctan(X)$ par exemple.

\subquest 2a) Si $F\in \sigma(Y)$, alors $F=Y^{-1}(B)$ où $B$ est borélien. Donc $\indic_F=\indic_B(Y)$.

\subquest 2b) On a $X_n =f_n(Y)$ et $f_n$ boréliennes. En appliquant $\lim\sup_n$ à cette relation, on obtient $X=\lim\sup_n f_n(Y)=(\lim\sup_n f_n)(Y).$  Donc $X=f(Y)$ avec $f=:\lim\sup_n f_n$, qui  est encore borélienne. (On pose $f=0$, par exemple, sur le complémentaire de l'image de $Y$.)

\quest 3) Par le théorème de la classe monotone, $\cal H$ contient toutes les fonctions bornées et $\sigma(Y)$-mesurables. En appliquant le 1), on obtient le théorème.
\fsolution

\newpage

\dexer Deux exemples parlants de variables aléatoires deux à deux indépendantes et d'évènements deux à deux
indépendants.


\quest 1) On considère $\Omega_1=[0,1]^3$ muni de la mesure de
Lebesgue. Montrer que les coordonnées $X$, $Y$ et $Z$ sont des
variables aléatoires indépendantes.



\quest 2)  On considère l'espace de probabilité
$\Omega_2=\Omega_1\cup (1,1,0)+\Omega_1 \cup
(1,0,1)+\Omega_2\cup(0,1,1)+\Omega_1$ muni de la mesure de Lebesgue
divisée par 4. Dessiner $\Omega_2$. Montrer que l'on a $\Pro(X\in
[a,b])=b-a.$


\quest 3) En déduire que $X, Y, Z$ sont  encore des variables aléatoires indépendantes deux à deux. En considérant
l'évènement $[X\geq 1, \; Y\geq 1\, Z\geq  1]$ montrer que $X,\; Y$ et $Z$ ne sont pas indépendantes.

\quest 4) Version discrète du même exemple: $\Omega=\{0,1\}^3$ d'éléments $(x,y,z)$ avec $x,y,z\in \{0,1\}$,  muni de
la probabilité vérifiant $\Pro((0,0,0))=\Pro((1,1,0))=\Pro((0,1,1))=\Pro((1,0,1))=\frac 14$ et tous les autres atomes
de probabilité nulle. Montrer que les évènements $X=1$, $Y=1$ et $Z=1$ sont indépendants deux à deux mais pas dans leur
ensemble.

\bigskip


\bigskip


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\bigskip






\begin{figure}[htbp]
  \centering
  \includegraphics[width=0.7cm]{ContrexempleIndep0001.jpg}
    \caption{L'ensemble $\Omega_2$. Les coordonnées ne sont pas
    indépendantes sur $\Omega_2$ mais le sont deux à deux.
\label{contrempleindependance}}
\end{figure}
 \fexer
