\medskip Bien que l'on présente souvent la transformée de Fourier de manière autonome en
probabilités, l'essentiel de la théorie, et en particulier les théorèmes d'inversion,
sont plus complétement décrits grâce à la théorie des distributions. Voir par exemple
$\cite{Bo}$. Dans ce T.D. nous suivrons essentiellement $\cite{O}$ (chapitre  12) car la fonction caract\'eristique y est traitée pour
des v.a. à valeurs dans $\real^d$. Pour un traitement très élégant et rapide dans le
cas de v.a. réelles, voir le chapitre 16 de $\cite{W}$. On a besoin de v.a. vectorielles à cause, notamment, du traitement des vecteurs gaussiens.

\section{Généralités}

\begin{deff}
Soit $\mu$ une mesure bornée sur
$\RR^d$ et $X$ une variable aléatoire de loi $\PP_X=\mu$.  On appelle transformée de Fourier de $\mu$ l'application de $\RR^d$
dans $\CC$ définie par
$$({\cal F}\mu)(t)=\hat{\mu} (t)= {\mathbb E}( e^{iX.t})=\int_{\RR^d} e^{ix.t} d\mu(x).$$
(Ici, $x.t$ est le produit scalaire usuel de $x$ et $t\in \RR^d$)\\
On appelle fonction caractéristique d'une variable aléatoire $X$ la transformée de Fourier de sa loi $\mu=\Pro_X$. Elle est notée $\varphi_X$.
\end{deff}

\dexer  \textbf{Propriétés élémentaires}\\
Montrer que

\quest 1) $\hat{\mu}(0)=\mu(\real^d), \; \varphi_X(0)=1.$

\quest 2) $\forall t\in \real^d,\;  |\hat{\mu}(t)|\leq \mu(\real^d),\; \; |\varphi_X(t)|\leq 1.$

\quest 3) $\hat{\mu}(-t)=\overline{\hat{\mu}}(t),\;\;
\varphi_X(-t)=\overline{\varphi_X(t)}.$

\quest 4) Soient $A\in {\cal L}(\RR^d, \RR^k)$ et $b\in \RR^k$, alors
$$\varphi_{AX+b}(t)=\varphi_X(A^\star t)e^{ib.t},$$ où $A^\star$ désigne l'adjoint de
$A$.

\quest 5) Les fonctions $\hat{\mu}$ et $\varphi_X$ sont uniformément continues sur
$\RR^d$.\textit{Indication : Fixer $\varepsilon>0$ et choisir $n$ tel que
$\mu(B(0,n)^c)\leq \varepsilon$, montrer et utiliser l'inégalité
$|e^{ix.u}-e^{ix.t}|\leq ||u-t||\;||x||$}
\fexer


\dexer {\bf Exemple très important : la gaussienne}\\
On pose
$$g_\sigma(x)=\frac{1}{(\sigma \sqrt{2\pi})^d}e^{-\frac{||x||^2}{2\sigma^2}}.$$
Vous devez savoir démontrer sans aucune hésitation les relations suivantes :

\quest (a) La fonction $g_d$ est une densité de probabilité sur $\RR^d$. Se ramener
au cas de la dimension 1 et se souvenir comment l'on montre que $\int_{\RR}
e^{-x^2/2}dx =\sqrt{2\pi}.$


\quest (c) Pour tout $f\in C_b(\RR^d)$, $\lim_{\sigma \rightarrow 0} (f\ast g_\sigma)(x)=f(x).$ Pour cela, utiliser le
théorème de Lebesgue après changement de variable $y=\sigma z$.

\quest (d)  $\hat{g_1}(t)=e^{-\frac{||t||^2}2}=(\sqrt{2\pi})^d g_1(t)$

\textit{Pour montrer cette dernière formule riche en argument techniques, il est recommandé de la montrer par TROIS
arguments différents:}

\begin{itemize}\item  Commencer par se ramener au calcul en dimension $1$ par le théorème de Fubini.
\item Première méthode
très simple que l'on peut trouver dans le chapitre $9$ de $\cite{Bo}$ sur la transformée de Fourier. Poser $g(s)=\int
e^{isx}e^{-x^2}dx$ et montrer en utilisant le théorème de dérivation sous le signe somme que $g$ est $C^1$ et déduire
de l'expression de $g'$ en intégrant par parties que $g$ est solution de l'équation différentielle $2g'(s)+sg(s)=0$.

\item Une autre méthode utilise la formule de Cauchy appliquée à la fonction holomorphe $g(z)=e^{-\frac{z^2}2}$ sur le
circuit composé des segments $[(-r,0), \; (r,0)]$, $[(r,0),\; (r,t)],$ $[(r,t), \; (-r,t)],$ $[(-r,t),\; (-r,0)].$

\item Une troisième méthode élégante consiste à remarquer que $$\hat{g}_1(t)=\frac 1{\sqrt{2\pi}}\int_{\RR} e^{-\frac
{(x-it)^2}2}e^{-\frac{t^2}2}. $$ On pose alors $$f(z):=\int_{\RR}e^{-\frac{(x-z)^2}2}dx.$$ On démontre \underline{très
soigneusement} en utilisant le théorème de dérivation sous le signe somme que $f$ est holomorphe. Comme $f$ est
constante et égale à  $\sqrt{2\pi}$ sur $\RR$ (pourquoi??) on conclut. \end{itemize}\fexer

\section{Injectivité de la transformée de Fourier}

\begin{deff} (Convolution  d'une mesure bornée et d'une fonction). Soit $\mu$ une mesure bornée sur ${\mathbb R}^d$ et $f$ une fonction
borélienne telle que, pour tout $x$, la fonction $y\to f(y-x)$ soit $\mu$-intégrable.
On pose $$(f\ast \mu)(x)=\int_{\real^d} f(x-y) d\mu(y).$$
\end{deff}

\dexer {\bf Théorème d'injectivité de la transformée de Fourier sur les mesures bornées}\\
Il s'agit de montrer que {\it deux mesures bornées sur $\real^d$ qui ont même transformée de Fourier sont égales.}  Cette démonstration suit $\cite{O}$, pp. 202-204.

\quest 1)   Soit $\mu$ une mesure bornée sur $\real^d$. Montrer en appliquant le
théorème de Fubini
  et la relation (d) de l'exercice précédent que
  $$(g_\sigma\ast \mu)(y)=\frac 1{(\sqrt{2\pi})^d}\int_{\real^d} \hat{\mu}(v)g_1(\sigma
  v)e^{-iy.v}dv.$$

\quest 2) Expliquer pourquoi une mesure bornée sur $\real^d$ est déterminée par la donnée pour tout $f\in C_K(\RR^d)$
des intégrales $\int_{\RR^d} fd\mu$. \textit{Indication : il suffit de montrer que ces mesures coïncident sur les
ouverts car ils forment un $\pi$-système des boréliens.  On montrera brièvement que toute fonction caractéristique
d'ouvert est une limite croissante de fonctions continues à support compact (En effet, soit $g_r(x)=\max(0, 1-r||x||)$.
Quand $r\to 0$, cette fonction tend en croissant vers 1. Posant $h_r(x)=\inf(1, \frac1rd(x,\Omega^c))$, puis
$k_r(x)=g_r(x)h_r(x)$, on vérifie que cette suite de fonctions convient, quand $r\to 0$).}\newline En déduire qu'il
suffit de donner une expression de $\int fd\mu $ en fonction de $\hat{\mu}$ pour montrer l'unicité.

\quest 3) Montrer  en appliquant le théorème de Lebesgue que $$\int_{\real^d} fd\mu=
\lim_{\sigma\to 0} \int_{\real^d} (f\ast g_\sigma)(x) d\mu(x).$$

\quest 4) En appliquant le théorème de Fubini, en déduire que
$$\int_{\real^d}fd\mu=\lim_{\sigma\to 0} \int_{\real^d} f(y)(g_\sigma\ast\mu)(y)dy.$$

\quest 5) En utilisant le 1), déduire que
$$\int_{\real^d}fd\mu=\frac 1{(\sqrt{2\pi})^d} \lim_{\sigma\to 0}\int
f(y)\left(\int\hat{\mu}(v)g_1(\sigma v)e^{-iy.v}dv\right) dy.$$

\quest 6) Enoncer le th\'eor\`eme d'injectivit\'e de la transform\'ee de Fourier.

\quest 7) Application : soit $\mu$ une mesure bornée sur $\RR^d$ telle que $\hat
\mu$ soit Lebesgue-intégrable. Alors $\mu$ est absolument continue par rapport à la
mesure de Lebesgue et sa densité est donnée par
$$h(x)=\frac 1{(2\pi)^d}\int_{\RR^d} \hat{\mu}(t)e^{-ix.t}dt.$$
\textit{Indication : Commencer par montrer en appliquant le théorème de Lebesgue que
 $$\int_{\RR^d} \hat{\mu}(v)g_1(\sigma v)e^{-iy.v}dv\to
\frac 1{(\sqrt{2\pi})^d}\int_{\RR^d}\hat{\mu}e^{-iy.v}dv$$ Puis, appliquer à nouveau le théorème de Lebesgue dans la
relation 5) avec $f\in C_K (\RR^d)$.} \fexer

\dexer \textbf{Transformée de Fourier et indépendance} ($\cite{O}$, pp. 204-208).

On considère des mesures bornées $\mu_1$ et $\mu_2$  sur $\RR^{d_1}$ et $\RR^{d_2}$ et la mesure produit $\mu_1\otimes\mu_2$.

\quest 1)  Montrer en appliquant le théorème de Fubini (on rappelle que $\cal F$ désigne la tranformation de Fourier)
que
 $$\left[{\cal F}({\mu_1\otimes\mu_2})\right](t_1, t_2)= [{\cal F}{\mu_1}](t_1)[{\cal F}{\mu_2}](t_2).$$

\quest 2) Soit $X=(X_1, X_2)$ une v.a. à valeurs dans $\RR^{d_1}\times\RR^{d_2}$. Déduire du 1) que $X_1$ et $X_2$ sont indépendantes si et seulement si
$$\varphi_{(X_1, X_2)}(t_1, t_2)=\varphi_{X_1}(t_1)\varphi_{X_2}(t_2).$$
On utilisera l'injectivité de la transformée de Fourier.

\quest 3) Remarquer que $\varphi_{X_1}(t_1)=\varphi_{X_1,X_2}(t_1,0)$.

\quest 4) Si $\mu_1 $ et $\mu_2$ sont des mesures bornées sur $\RR^d$, on a ${\cal F} (\mu_1\ast\mu_2)={\cal F}{\mu_1}{\cal F}{\mu_2}$.
\newline \textit{Rappel ($\cite{O}$ p. 63)} : la convolée de deux mesures $\mu_1$ et $\mu_2$, $\mu_1\ast\mu_2$ est la mesure image de $\mu_1\otimes\mu_2$ par l'application somme. Cela signifie que pour toute fonction mesurable positive,
$$\int_{\RR^d}fd(\mu_1\ast\mu_2)=\int_{\RR^d\times\real^d}f(x_1+x_2) d(\mu_1\otimes\mu_2)(x_1,x_2).$$
{\it (Appliquer cette formule avec $f(x)=e^{ix.t}$ et utiliser le théorème de Fubini).} \fexer

\dexer {Un contrexemple ($\cite{Brpf}$, p. 134, exercice 13).}\\
On considère le sous-ensemble de $\RR^2$,
$$C=\{(x,y)\in [0,1]^2, \; x-\frac 12\leq y\leq x \hbox{\; ou \;} y\geq x+\frac 12.\}$$


\quest 1) Dessiner $C$.

\quest 2) Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires de densité de probabilité $f_{X,Y}$ constante sur $C$, nulle
ailleurs. Calculer la valeur de la constante et les densités de $X$ et $Y$.  En déduire que $X$ et $Y$ ne sont pas
indépendantes.

\quest 3) Calculer les fonctions caractéristiques de $X$, $Y$ et $X+Y$ pour montrer que
$$\varphi_X(t)\varphi_Y(t)=\varphi_{X+Y}(t).$$
\fexer

\dsolution{}

 \quest Un calcul élémentaire montre que la constante vaut $2$. On désigne par $f_X$ la densité de $X$ et
par $f_Y$ celle de $Y$. On a
$$f_X (x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f_{X,Y}(x,y)dy=\indic_{[0,1]}(x)$$
et
$$f_Y (y)=\indic_{[0,1]}(y).$$
$X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes puisque
$$f_{X}(x)f_{Y}(y)\neq f_{X,Y}(x,y).$$
Or on a
$$\varphi_{X+Y}(u)=\left(\cfrac{e^{iu}-1}{iu}\right)^2,\; \varphi_{X}(u)=\varphi_{Y}(u)=\left(\cfrac{e^{iu}-1}{iu}\right).$$

\fsolution

\dexer {($\cite{W}$ p. 238)} Calculer la fonction caractéristique de la loi uniforme sur $[-1, 1]$. Montrer qu'il n'existe pas de variables aléatoires i.i.d. $X$ et $Y$ telles que $X-Y$ ait cette loi uniforme sur $[-1,1]$.
\fexer


\section{Le Théorème de convergence de  Lévy}

On note, pour $b>0$, ${\cal M}_b$ l'ensemble
des mesures positives telles que $\mu(\RR^d)\leq b$.
\begin{propf} \label{prop14.2}($\cite{O}$, proposition 14.2)
${\cal M}_b$ est métrisable et compact pour la topologie faible (ou vague), c'est-à-dire la
topologie $\sigma (C_0(\real^d)', C_0(\real^d))$.
\end{propf}

\begin{propf}\label{prop14.3} ($\cite{O}$, proposition 14.3) Soit $\mu_n$  une suite de mesures de ${\cal M}_b$.
Si $\mu_n$ converge vaguement ou faiblement vers $\mu$, alors $\mu_n\to \mu$
étroitement si et seulement si $\lim_n\mu_n(\real^d)=\mu(\real^d).$
\end{propf}
\begin{propf}\label{cor14.7} ($\cite{O}$, corollaire 14.7) Si $\mu_n\in{\cal M}_b$ converge
étroitement vers $\mu\in {\cal M}_b$, elle est \underline{tendue}, i.e.
$$\forall \varepsilon>0,\;\; \exists K \hbox{ compact }\subset \real^d\hbox{  tel que }
\sup_n\mu_n(K^c)\leq\varepsilon.$$
\end{propf}
\dexer\label{LemmeutilepourLevy}  Soit $\varepsilon>0$. Montrer en utilisant le lemme
de Fubini qu'il existe une fonction $f_\varepsilon\in C_0(\real^d)$ telle que pour
toute mesure bornée $\nu\in \real^d$ on ait
$$\int_{[0,\varepsilon]^d}\hat\nu(t)dt=\int_{\real^d} f_\varepsilon d\nu.$$
\fexer

\dsolution{} \quest On a $f_\varepsilon(x)=\Pi_{j=1}^d g_\varepsilon(x_j)$ où $g_\varepsilon(u)=\frac{e^{i\varepsilon
u}-1}{iu}$  si $u\neq 0$, $=\varepsilon$ si $u=0$ est bien continue. \fsolution


\dexer Notre but est de montrer le théorème de Lévy :

\begin{thf} Théorème de convergence de Lévy \newline
(a) Si $\mu_n\in{\cal M}_b$ converge étroitement vers $\mu$, alors $\hat\mu_n\to
\hat\mu$ simplement.
\newline
(b) Inversement, si $\hat\mu_n \to \varphi$ simplement et si $\varphi$ est continue en 0, alors il existe une unique
mesure $\mu\in {\cal M}_b$ telle que $\varphi=\hat\mu$. De plus, $\mu_n\to \mu$ étroitement.

\end{thf}

\quest 1) Montrer (a).  A partir de la question suivante on s'attache à démontrer (b) et on prend les hypothèses de
(b).

\quest 2) En utilisant les propositions précédentes, montrer que $\mu_n$ admet une
sous-suite faiblement convergente, que l'on notera $\mu_{\psi(n)}$. On appellera $\mu$ sa limite.

\dsolution
\quest L'application de la proposition \ref{prop14.2}
est immédiate car $\mu_n$ est bornée puisque
 $$||\mu_n||_{C_0'}=\sup_{||\varphi||\leq 1} \int \varphi
d\mu_n\leq  \mu_n(\real^d)=b.$$ \fsolution


\quest  3) Montrer en appliquant le théorème de Lebesgue que $\lim_n
\int_{[0,\varepsilon]^d}\hat{\mu_{\psi(n)}}(t)dt=\int_{[0,\varepsilon]^d}\varphi(t)dt.$

\dsolution
\quest  Par la proposition mentionnée, il suffit de montrer  $\lim_k\mu_k(\real^d)=\mu(\real^d)$. Or
 $\lim_k\mu_k(\real^d)=\lim_k \hat\mu_k(0)=\varphi(0).$ et $\mu(\real^d)=\hat\mu(0)$.  Il suffit donc de montrer
 $\hat\mu(0)=\varphi(0).$
 \fsolution


\quest 4) Soit $f_\varepsilon$ définie dans  l'exercice \ref{LemmeutilepourLevy}.
Montrer successivement en utilisant le 3) que
$$\lim_k \int f_\varepsilon d\mu_{\psi(k)}=\int f_\varepsilon d\mu,$$
$$\lim_k \int_{[0,\varepsilon]^d}\hat
\mu_{\psi(k)}(t)dt=\int_{[0,\varepsilon]^d}\hat\mu(t)dt,$$
$$\frac 1{\varepsilon^d}\int_{[0,\varepsilon]^d}\hat\mu(t)dt=\frac
1{\varepsilon^d}\int_{[0,\varepsilon]^d}\varphi(t)dt.$$

\dsolution {du 4)}\quest  La première relation découle de la convergence faible de $\mu_k$ et de $f_\varepsilon \in
C_0(\real^d)$. La seconde découle du lemme utile car
 $$\int_{[0,\varepsilon]^d}\hat\mu_k(t)dt=\int f_\varepsilon d\mu_k\to
  \int f_\varepsilon d\mu= \int_{[0,\varepsilon]^d}\hat \mu(t)dt.$$
 La troisième relation vient immédiatement de la précédente et du 3).
\fsolution


\quest 5) \subquest a) D\'eduire de la question pr\'ec\'edente que $\hat{\mu} (0)=\phi(0)$ et remarquer que $\lim_{n} {\hat \mu}_{\psi(n)}(0)=\phi(0)={\hat \mu} (0)$.

\subquest b) En utilisant la proposition \ref{prop14.3}, montrer que $(\mu_{\psi(n)})_n$ converge \'etroitement vers $\mu$. En d\'eduire que $\hat\mu = \phi$.

\subquest c) En d\'eduire que $(\mu_n)_n$ converge faiblement vers $\mu$ puis que $(\mu_n)_n$ converge \'etroitement vers $\mu$.


\dsolution{du 5)}  On passe  à la limite dans la dernière relation du 4), $\varphi$ étant continue par hypothèse, et
$\hat \mu$ comme transformée de Fourier de mesure bornée. Donc $\hat\mu(0)=\varphi(0)$. Enfin
$$\lim_n\mu_{\psi(n)}(\real^d)=\lim_n\hat\mu_{\psi(n)}(0)=\varphi(0)=\hat\mu(0)=\mu(\real^d.)$$ Donc $\mu_{\psi(n)}$
 converge étroitement vers
l'unique $\mu$ telle $\hat\mu=\varphi$. Mais  remarque que si $\mu_{\psi(n)}$ tend étroitement vers  $\mu$, alors par
le (a) $\hat \mu_{\psi(n)}$ tend simplement vers $\hat \mu$. Mais comme par hypothèse  $\hat \mu_{\psi(n)}$ tend
simplement vers $\varphi$, on déduit que $\hat\mu=\varphi$. Ce raisonnement s'appliquant  à toute sous-suite extraite,
toutes les sous-suites faiblement convergentes de $\mu_n$ ont la même limite par le théorème d'injectivité de la
Transformée
 de Fourier. Donc la suite $\mu_n$ de l'espace métrique compact ${\cal M}(b)$ a une unique limite et donc toute la suite
 converge.\fsolution

\quest 6) Sous l'hypothèse (a) ou (b), montrer que la suite des fonctions $\hat
\mu_n$ est équicontinue : on utilisera la proposition \ref{cor14.7} et l'inégalité
(que l'on démontrera) $|e^{ix.t}-e^{ix.t'}|\leq |x.(t-t')|$, où $x.t$ désigne le
produit scalaire dans $\real^d$ de $x$ et de $t$.  En déduire que la suite
$\hat\mu_n(t)$ converge uniformément vers $\hat \mu$ sur tout compact.
\fexer
