

\section{Fonctions caractéristiques}

  Bien que l'on présente souvent la transformée de Fourier de manière autonome en
probabilités, l'essentiel de la théorie, et en particulier les théorèmes d'inversion,
sont plus complétement décrits grâce à la théorie des distributions. Voir par exemple
le Cours d'Analyse de J.M. Bony (éditions Ellipses). Dans ce T.D. nous suivrons
essentiellement Ouvrard (chapitre  12) car la fonction génératrice y est traitée pour
des v.a. à valeurs dans $\real^d$. Pour un traitement très élégant et rapide dans le
cas de v.a. réelles, voir le chapitre 16 de Williams. On a besoin de v.a.
vectorielles à cause, notamment, du traitement des vecteurs gaussiens.




\begin{deff}
  Soit $\mu$ une mesure bornée sur
$\real^d$.  On appelle transformée de Fourier de $\mu$ l'application de $\real^d$
dans $\complex$ définie par
$$\hat{\mu} (t)=\int_{\real^d} e^{ix.t} d\mu(x).$$
(Ici, $x.t$ veut dire produit scalaire de $x$ et $t\in \real^d$.)
On appelle fonction caractéristique d'une variable aléatoire $X$
la transformée de Fourier de sa loi $\Pro_X$. Elle est notée
$\varphi_X$ et on a donc
$$\varphi_X(t)= \esp e^{iX.t}=\int_{\real^d} e^{ix.t}d\Pro_X(x).$$
\end{deff}

\dexer  Propriétés élémentaires.  Montrer que

\quest 1) $\hat{\mu}(0)=\mu(\real^d), \; \varphi_X(0)=1.$

\quest 2)Si $\mu\geq  0$, $\forall t\in \real^d,\;
|\hat{\mu}(t)|\leq \mu(\real^d),\; \; |\varphi_X(t)|\leq 1$

\quest 3) $\hat{\mu}(-t)=\overline{\hat{\mu}}(t),\;\;
\varphi_X(-t)=\overline{\varphi_X(t)}.$

\quest 4) Soient $A\in {\cal L}(\real^d, \real^k)$ et $b\in \real^k$, alors
$$\varphi_{AX+b}(t)=\varphi_X(A^\star t)e^{ib.t},$$ où $A^\star$ désigne l'adjoint de
$A$. (C'est un simple  changement de variable).

\quest 5) Les fonctions $\hat{\mu}$ et $\varphi_X$ sont uniformément continues sur
$\real^d$.   Indication : Fixer $\varepsilon>0$ et choisir $n$ tel que
$\mu(B(0,n)^c)\leq \varepsilon$, montrer et utiliser l'inégalité
$|e^{ix.u}-e^{ix.t}|\leq ||u-t||\;||x||.$ \fexer


\dexer {\bf Exemple très important : la gaussienne.} On pose
$$g_\sigma(x)=\frac{1}{(\sigma \sqrt{2\pi})^d}e^{-\frac{||x||^2}{2\sigma^2}}.$$
Vous devez savoir démontrer sans hésitation les relations suivantes :

\quest (a) La fonction $g_d$ est une densité de probabilité sur
$\real^d$. Se ramener au cas de la dimension 1 et se souvenir
comment l'on montre que $\int_{\real} e^{\frac{-x^2}2}dx
=\sqrt{2\pi}.$

\quest (b) Pour tout $\varepsilon >0$, $\lim_{\sigma\to 0}
\int_{||x||>\varepsilon} g_\sigma(y) dy=0.$

\quest (c) Pour tout $f\in C_b(\real^d)$, $(f\ast
g_\sigma)(x)\to_{\sigma\to 0} f(x).$ uniformément sur tout compact

\quest (d)  $\hat{g_1}(t)=e^{-\frac{||t||^2}2}=(\sqrt{2\pi})^d
g_1(t).$ Indication : se ramener au calcul en dimension 1 par
Fubini.  Ensuite, il y a plusieurs méthodes. En voici une très
simple que l'on peut trouver dans le chapitre 9 sur la transformée
de Fourier de J.M. Bony, Cours d'analyse, ed. Ellipses.   Poser
$g(s)=\int e^{isx}e^{-x^2}dx.$ Montrer en utilisant le théorème de
dérivation sous le signe somme que $g$ est $C^1$ et déduire de
l'expression de $g'$ en intégrant par parties que $g$ est solution
de l'équation différentielle $2g'(s)+sg(s)=0$.  Une autre méthode
utilise la formule des résidus appliquée à la fonction  holomorphe
$g(z)=e^{-\frac{z^2}2}$ sur le circuit composé des segments
$[(-r,0), \; (r,0)]$, $[(r,0),\; (r,t)],$ $[(r,t), \; (-r,t)],$
$[(-r,t),\; (-r,0)].$

\fexer

\begin{deff} (Convolution d'une mesure bornée et d'une fonction). Soit $\mu$ une mesure bornée sur $\real^d$ et $f$ une fonction
borélienne telle que, pour tout $x$, la fonction $y\to f(y-x)$ soit $\mu$-intégrable.
On pose $$(f\ast \mu)(x)=\int_{\real^d} f(x-y) d\mu(y).$$
\end{deff}

  \dexer
   {\bf Premier théorème de Lévy : Théorème d'injectivité de la transformée de Fourier sur les mesures bornées}
 Il s'agit de montrer que {\it deux mesures bornées sur $\real^d$ qui ont
 même transformée de Fourier sont égales.}  Cette démonstration suit Ouvrard pages 202-204.

\quest 1)   Soit $\mu$ une mesure bornée sur $\real^d$. Montrer en appliquant le
théorème de Fubini
  et la relation (d) de l'exercice précédent que  la fonction $x\to
  g_\sigma(x-y)$ est $\mu$-intégrable et
  $$(g_\sigma\ast \mu)(y)=\frac 1{(\sqrt{2\pi})^d}\int_{\real^d} \hat{\mu}(v)g_1(\sigma
  v)e^{-iy.v}dv.$$

\quest 2) Expliquer pourquoi une mesure bornée sur $\real^d$ est
déterminée par la donnée pour tout $f\in C_b(\real^d)$ des
intégrales $\int_{\real^d} fd\mu$. Indication : il suffit de
montrer que ces mesures coïncident sur les ouverts car ils forment
un $\pi$-système des boréliens. On montrera brièvement que toute
fonction caractéristique d'ouvert est une limite croissante de
fonctions continues à support compact. (Indication : Soit
$g_r(x)=\max(0, 1-r||x||)$.  Quand $r\to 0$, cette fonction tend
en croissant vers 1.  Poser $h_r(x)=\inf(1, \frac
1rd(x,\Omega^c))$, puis $k_r(x)=g_r(x)h_r(x)$ et vérifier que
cette suite de fonctions convient, quand $r\to 0$.)
 En déduire qu'il suffit de donner
une expression de $\int fd\mu $ en fonction de $\hat{\mu}$ pour
montrer l'unicité.


\quest 3) Montrer  en appliquant le théorème de Lebesgue que $$\int_{\real^d} fd\mu=
\lim_{\sigma\to 0} \int_{\real^d} (f\ast g_\sigma)(x) d\mu(x).$$

\quest 4) En appliquant le théorème de Fubini, en déduire que
$$\int_{\real^d}fd\mu=\lim_{\sigma\to 0} \int_{\real^d} f(y)(g_\sigma\ast\mu)(y)dy.$$

\quest 5) En utilisant le 1), déduire que
$$\int_{\real^d}fd\mu=\frac 1{(\sqrt{2\pi})^d} \lim_{\sigma\to 0}\int
f(y)(\int\hat{\mu}(v)g_1(\sigma v)e^{-iy.v}dv) dy.$$

\quest 6) Application : soit $\mu $ une mesure bornée sur $\real^d$ telle que $\hat
\mu$ soit Lebesgue-intégrable. Alors $\mu$ est absolument continue par rapport à la
mesure de Lebesgue et sa densité est donnée par
$$h(x)=\frac 1{(2\pi)^d}\int_{\real^d} \hat{\mu}(t)e^{-ix.t}dt.$$
Indication : Commencer par montrer en appliquant le théorème de Lebesgue que
$$\int_{\real^d} \hat{\mu}(v)g_1(\sigma v)e^{-iy.v}dv\to
\frac 1{(\sqrt{2\pi})^d}\int_{\real^d}\hat{\mu}e^{-iy.v}dv.$$
Puis, appliquer à nouveau le théorème de Lebesgue dans la relation
5).


 \fexer

 \dexer  {Transformée de Fourier et indépendance (Ouvrard, pages 204-208).}
 On considère des mesures bornées $\mu_1$ et $\mu_2$  sur $\real^{d_1}$ et
 $\real^{d_2}$ et la mesure produit $\mu_1\otimes\mu_2$.

 \quest 1)  Montrer en appliquant Fubini (on note $\cal F$ la tranformation de Fourier) que
 $${\cal F}({\mu_1\otimes\mu_2})(t_1, t_2)= \hat{\mu}(t_1)\hat{\mu}(t_2).$$

 \quest 2) Soit $X=(X_1, X_2)$ une v.a. à valeurs dans $\real^{d_1}\times
 \real^{d_2}$. Déduire du 1) que $X_1$ et $X_2$ sont indépendantes si et seulement
 si
$$\varphi_{X_1, X_2}(t_1, t_2)=\varphi_{X_1}(t_1)\varphi_{X_2}(t_2).$$

\quest 3) Remarquer que $\varphi_{X_1}(t_1)=\varphi_{X_1,X_2}(t_1,0)$.


\quest 4) Si $\mu_1 $ et $\mu_2$ sont des mesures bornées sur $\real^d$, on a ${\cal
F} (\mu_1\ast\mu_2)=\hat{\mu_1}\hat{\mu_2}$.
\newline Rappel (Ouvrard p. 63): la
convolée de deux mesures $\mu_1$ et $\mu_2$, $\mu_1\ast\mu_2$ est la mesure image de
$\mu_1\otimes\mu_2$ par l'application somme. Cela veut dire que pour toute fonction
mesurable positive,
$$\int_{\real^d}fd(\mu_1\ast\mu_2)=\int_{\real^d\times\real^d}f(x_1+x_2)
d(\mu_1\otimes\mu_2)(x_1,x_2).$$

\fexer

\dexer {Un contrexemple (Brémaud, page 134, exercice 13).} On considère le
sous-ensemble de $\real^2$,
$$C=\{(x,y)\in [0,1]^2, \; x-\frac 12\leq y\leq x \hbox{
ou } y\geq x+\frac 12.\}$$
Dessiner $C$.

\quest Soit $X$ et $Y$ deux v.a. de densité de probabilité $f_{X,Y}$ constante sur
$C$, nulle ailleurs. Calculer la valeur de la constante et les densités de $X$ et
$Y$.  En déduire que $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes.

\quest Calculer les fonctions caractéristiques de $X$, $Y$ et $X+Y$ pour montrer que
$$\varphi_X(t)\varphi_Y(t)=\varphi_{X+Y}(t).$$

\fexer

\dexer {(Williams page 238)} Calculer la fonction caractéristique
de la loi uniforme sur $[-1, 1]$. Montrer qu'il n'existe pas de
v.a.i.i.d. $X$ et $Y$ telles que $X-Y$ aie cette loi uniforme.
\fexer

\section{Théorème de convergence de Lévy}

 \noindent{\bf\large Rappels}
 On note, pour $b>0$, ${\cal M}(b)$ l'ensemble
des mesures positives telles que $\mu(\real^d)=b$.
\begin{deff}
(Rappel, Ouvrard Def 14.1) On dit qu'une suite $\mu_n$ de mesures
bornées converge vers la mesure $\mu$ :
\begin{itemize}
\item vaguement si $\lim_n\int fd\mu_n=\int f\d\mu$  pour tout
$f\in C_K(\real^d)$,

 \item  faiblement si $\lim_n \int fd\mu_n=\int fd\mu$ pour tout
$f\in C_0(\real^d)$,

\item étroitement si $\lim_n \int fd\mu_n=\int fd\mu$ pour tout
$f\in C_b(\real^d)$.
\end{itemize}
\end{deff}
\begin{propf} \label{prop14.2}(Ouvrard, proposition 14.2)
${\cal M}(b)$ est métrisable et compact pour la topologie faible, c'est-à-dire la
topologie $\sigma (C_0(\real^d)', C^0(\real^d))$.
\end{propf}

\begin{propf}\label{prop14.3} (Proposition 14.3, Ouvrard) Soit $\mu_n$  une suite de mesures de ${\cal M}(b)$.
Si $\mu_n$ converge vaguement ou faiblement vers $\mu$, alors $\mu_n\to \mu$
étroitement si et seulement si $\lim_n\mu_n(\real^d)=\mu(\real^d).$
\end{propf}
\begin{propf}\label{cor14.7} (Corollaire 14.7, Ouvrard) Si $\mu_n\in{\cal M}(b)$ converge
étroitement vers $\mu\in {\cal M}(b)$, elle est \underline{tendue}, i.e.
$$\forall \varepsilon>0,\;\; \exists K \hbox{ compact }\subset \real^d\hbox{  tel que }
\sup_n\mu_n(K^c)\leq\varepsilon.$$
\end{propf}

\dexer\label{LemmeutilepourLevy} {\bf Lemme utile pour le théorème
de Lévy.} Soit $\varepsilon>0$. Montrer en utilisant le lemme de
Fubini qu'il existe une fonction $f_\varepsilon\in C_0(\real^d)$
telle que pour toute mesure bornée $\nu\in \real^d$ on ait
$$\int_{[0,\varepsilon]^d}\hat\nu(t)dt=\int_{\real^d} f_\varepsilon d\nu.$$

 \dsolution  \quest On a $f_\varepsilon(x)=\Pi_{j=1}^d
g_varepsilon(x_j)$ où $g_\varepsilon(u)=\frac{e^{i\varepsilon
u}-1}{iu}$  si $u\neq 0$, $=\varepsilon$ si $u=0$ est bien
continue.  \fsolution
 \fexer

\dexer Notre but est de montrer le fameux :

\begin{thf} Théorème de convergence de Lévy \newline
(a) Si $\mu_n\in{\cal M}(b)$ converge étroitement vers $\mu$, alors $\hat\mu_n\to
\hat\mu$ simplement.
\newline
(b) Inversement, si $\hat\mu_n \to \varphi$ et si $\varphi$ est
continue en 0, alors il existe une unique mesure $\mu\in {\cal
M}(b)$ telle que $\varphi=\hat\mu$. De plus, $\mu_n\to \mu$
étroitement.
\end{thf}

\quest 1) Montrer (a).  En effet, $e^{ix.t}$ est continue et
bornée, et $\hat \mu_n(t)=\int e^{ix.t}d\mu_n(x).$

\quest 2) En utilisant la proposition \ref{prop14.2}, montrer que
$\mu_n$ admet une sous-suite faiblement convergente, que l'on
notera $\mu_k$ ($k$ décrit  une sous-suite de $\natural$). On
appellera $\mu$ sa limite.   Montrer que pour montrer (b), il
suffit  de montrer que pour toute telle sous-suite, $\mu_k$
converge étroitement vers $\mu$.

 \dsolution  L'application de la proposition \ref{prop14.2}
est immédiate car $\mu_n$ est bornée puisque
 $||\mu_n||_{C_0'}=\sup_{||\varphi||\leq 1} \int \varphi
d\mu_n\leq  \mu_n(\real^d)=b.$  On  remarque que si $\mu_k$ tend
étroitement vers  $\mu$, alors par le (a) $\hat \mu_k$ tend
simplement vers $\hat \mu$. Mais comme par hypothèse  $\hat \mu_k$
tend simplement vers $\varphi$, on déduit que $\hat\mu=\varphi$.
Ce raisonnement s'appliquant  à toute sous-suite extraite, toutes
les sous-suites  faiblement convergentes de $\mu_n$ ont la même
limite par le théorème d'injectivité de la  Transformée
 de Fourier. Donc la suite $\mu_n$ de l'espace métrique compact ${\cal M}(b)$ a une unique limite et donc
 toute la suite converge.
 \fsolution

\quest 3) En utilisant la proposition \ref{prop14.3}, montrer que
pour prouver (b), il suffit de montrer $\hat\mu(0)=\varphi(0)$.

 \dsolution
  Par la proposition mentionnée, il suffit de montrer  $\lim_k\mu_k(\real^d)=\mu(\real^d)$. Or
 $\lim_k\mu_k(\real^d)=\lim_k \hat\mu_k(0)=\varphi(0).$ et $\mu(\real^d)=\hat\mu(0)$.  Il suffit donc de montrer
 $\hat\mu(0)=\varphi(0).$
 \fsolution

\quest  4) Montrer en appliquant le théorème de Lebesgue que $\lim_n
\int_{[0,\varepsilon]^d}\hat{\mu_n}(t)dt=\int_{[0,\varepsilon]^d}\varphi(t)dt.$
 En effet, les fonctions $\hat \mu_n$ sont bornées par $b$ et et convergent simplement vers $\varphi$.



 \quest 5) Soit $f_\varepsilon$ définie dans l'exercice
\ref{LemmeutilepourLevy}. Montrer successivement en utilisant le
4) que
$$\lim_k \int f_\varepsilon d\mu_k=\int f_\varepsilon d\mu,$$
$$\lim_n \int_{[0,\varepsilon]^d}\hat
\mu_k(t)dt=\int_{[0,\varepsilon]^d}\hat\mu(t)dt,$$
$$\frac 1{\varepsilon^d}\int_{[0,\varepsilon]^d}\hat\mu(t)dt=\frac
1{\varepsilon^d}\int_{[0,\varepsilon]^d}\varphi(t)dt,$$

$$\hat\mu(0)=\varphi(0).$$
 Conclure en utilisant le 3).

 \dsolution
 La première relation découle de la convergence faible de $\mu_k$ et de $f_varepsilon \in C_0(\real^d)$.
 La seconde découle du lemme utile car
 $$\int_{[0,\varepsilon]^d}\hat\mu_k(t)dt=\int f_\varepsilon d\mu_k\to \int f_\varepsilon d\mu=
 \int_{[0,\varepsilon]^d}\hat \mu(t)dt.$$
 La troisième relation vient immédiatement de la précédente et du 4).
 Conclusion : On passe  à la limite dans la dernière relation du 5),
 $\varphi$ étant continue par hypothèse, et $\hat \mu$
 comme transformée de Fourier de mesure bornée. Donc $\hat\mu(0)=\varphi(0)$ ce qui est la dernière relation.
 Enfin $$_k\mu_k(\real^d)=\lim_k\hat\mu_k(0)=\varphi(0)=\hat\mu(0)=\mu(\real^d.$$
 Donc $\mu_k$ converge étroitement vers l'unique $\mu$ telle $\hat\mu=\varphi$ et on a terminé par le 3).
 \fsolution

\quest 6) Sous l'hypothèse (a) ou (b), montrer que la suite des
fonctions $\hat \mu_n$ est équicontinue : on utilisera la
proposition \ref{cor14.7} et l'inégalité (que l'on démontrera)
$|e^{ix.t}-e^{ix.t'}|\leq |x.(t-t')|$, où $x.t$ désigne le produit
scalaire dans $\real^d$ de $x$ et de $t$.  En déduire que la suite
$\hat\mu_n(t)$ converge uniformément sur tout compact vers $\hat
\mu$.  Rappel : si $\mu_n$ converge étroitement, elle est tendue.
\fexer
