



 \medskip Bien que l'on présente souvent la transformée de Fourier de manière autonome en
probabilités, l'essentiel de la théorie, et en particulier les théorèmes d'inversion,
sont plus complétement décrits grâce à la théorie des distributions. Voir par exemple
le Cours d'Analyse de J.M. Bony (éditions Ellipses). Dans ce T.D. nous suivrons
essentiellement Ouvrard (chapitre  12) car la fonction génératrice y est traitée pour
des v.a. à valeurs dans $\real^d$. Pour un traitement très élégant et rapide dans le
cas de v.a. réelles, voir le chapitre 16 de Williams. On a besoin de v.a.
vectorielles à cause, notamment, du traitement des vecteurs gaussiens.




\begin{deff}
  Soit $\mu$ une mesure bornée sur
$\real^d$.  On appelle transformée de Fourier de $\mu$ l'application de $\real^d$
dans $\complex$ définie par
$$\hat{\mu} (t)= E e^{iX.t}=\int_{\real^d} e^{ix.t} d\mu(x).$$
(Ici, $x.t$ veut dire produit scalaire de $x$ et $t\in \real^d$.)  On appelle
fonction caractéristique d'une variable aléatoire $X$ la transformée de Fourier de sa
loi $\Pro_X$. Elle est notée $\varphi_X$.
\end{deff}

\dexer  Propriétés élémentaires.  Montrer que

\quest 1) $\hat{\mu}(0)=\mu(\real^d), \; \varphi_X(0)=1.$

\quest 2) $\forall t\in \real^d,\;  |\hat{\mu}(t)|\leq \mu(\real^d),\; \;
|\varphi_X(t)|\leq 1$

\quest 3) $\hat{\mu}(-t)=\overline{\hat{\mu}}(t),\;\;
\varphi_X(-t)=\overline{\varphi_X(t)}.$

\quest 4) Soient $A\in {\cal L}(\real^d, \real^k)$ et $b\in \real^k$, alors
$$\varphi_{AX+b}(t)=\varphi_X(A^\star t)e^{ib.t},$$ où $A^\star$ désigne l'adjoint de
$A$.

\quest 5) Les fonctions $\hat{\mu}$ et $\varphi_X$ sont uniformément continues sur
$\real^d$.   Indication : Fixer $\varepsilon>0$ et choisir $n$ tel que
$\mu(B(0,n)^c)\leq \varepsilon$, montrer et utiliser l'inégalité
$|e^{ix.u}-e^{ix.t}|\leq ||u-t||\;||x||.$ \fexer


\dexer {\bf Exemple très important : la gaussienne.} On pose
$$g_\sigma(x)=\frac{1}{(\sigma \sqrt{2\pi})^d}e^{-\frac{||x||^2}{2\sigma^2}}.$$
Vous devez savoir démontrer sans hésitation les relations suivantes :

\quest (a) La fonction $g_d$ est une densité de probabilité sur $\real^d$. Se ramener
au cas de la dimension 1 et se souvenir comment l'on montre que $\int_{\real}
e^{-x^2}dx =\sqrt{2\pi}.$

\quest (b) Pour tout $\varepsilon >0$, $\lim_{\sigma\to 0} \int_{||x||>\varepsilon}
g_\sigma(x) dx=0.$

\quest (c) Pour tout $f\in C_b(\real^d)$, $(f\ast g_\sigma)(x)\to_{\sigma\to 0}
f(x).$

\quest (d)  $\hat{g_1}(t)=e^{-\frac{||t||^2}2}=(\sqrt{2\pi})^d g_1(t).$ Indication :
se ramener au calcul en dimension 1 par Fubini.  Ensuite, il y a plusieurs méthodes.
En voici une très simple que l'on peut trouver dans le chapitre 9 sur la transformée
de Fourier de J.M. Bony, Cours d'analyse, ed. Ellipses.   Poser $g(s)=\int
e^{isx}e^{-x^2}dx.$ Montrer en utilisant le théorème de dérivation sous le signe
somme que $g$ est $C^1$ et déduire de l'expression de $g'$ en intégrant par parties
que $g$ est solution de l'équation différentielle $2g'(s)+sg(s)=0$.

\fexer

\begin{deff} (Convolution d'une mesure bornée et d'une fonction). Soit $\mu$ une mesure bornée sur $\real^d$ et $f$ une fonction
borélienne telle que, pour tout $x$, la fonction $y\to f(y-x)$ soit $\mu$-intégrable.
On pose $$(f\ast \mu)(x)=\int_{\real^d} f(x-y) d\mu(y).$$
\end{deff}

  \dexer
   {\bf Théorème d'injectivité de la transformée de Fourier sur les mesures bornées}
 Il s'agit de montrer que {\it deux mesures bornées sur $\real^d$ qui ont
 même transformée de Fourier sont égales.}  Cette démonstration suit Ouvrard pages 202-204.

\quest 1)   Soit $\mu$ une mesure bornée sur $\real^d$. Montrer en appliquant le
théorème de Fubini
  et la relation (d) de l'exercice précédent que  la fonction $x\to
  g_\sigma(x-y)$ est $\mu$-intégrable et
  $$(g_\sigma\ast \mu)(y)=\frac 1{(\sqrt{2\pi})^d}\int_{\real^d} \hat{\mu}(v)g_1(\sigma
  v)e^{-iy.v}dv.$$

\quest 2) Expliquer pourquoi une mesure bornée sur $\real^d$ est déterminée par la
donnée pour tout $f\in C_b(\real^d)$ des intégrales $\int_{\real^d} fd\mu$.
Indication : il suffit de montrer que ces mesures coïncident sur les ouverts car
elles forment un $\pi$-système des boréliens. En déduire qu'il suffit de donner une
expression de $\int fd\mu $ en fonction de $\hat{\mu}$ pour montrer l'unicité.

\quest 3) Montrer  en appliquant le théorème de Lebesgue que $$\int_{\real^d} fd\mu=
\lim_{\sigma\to 0} \int_{\real^d} (f\ast g_\sigma)(x) d\mu(x).$$

\quest 4) En appliquant le théorème de Fubini, en déduire que
$$\int_{\real^d}fd\mu=\lim_{\sigma\to 0} \int_{\real^d} f(y)(g_\sigma\ast\mu)(y)dy.$$

\quest 5) En utilisant le 1), déduire que
$$\int_{\real^d}fd\mu=\frac 1{(\sqrt{2\pi})^d} \lim_{\sigma\to 0}\int
f(y)(\int\hat{\mu}(v)g_1(\sigma v)e^{-iy.v}dv) dy.$$

\quest 6) Application : soit $\mu $ une mesure bornée sur $\real^d$ telle que $\hat
\mu$ soit Lebesgue-intégrable. Alors $\mu$ est absolument continue par rapport à la
mesure de Lebesgue et sa densité est donnée par
$$h(x)=\frac 1{(2\pi)^d}\int_{\real^d} \hat{\mu}(t)e^{-ix.t}dt.$$
Indication : Commencer par montrer en appliquant le théorème de Lebesgue que
$$\int_{\real^d} \hat{\mu}(v)g_1(\sigma v)e^{-iy.v}dv\to
\int_{\real^d}\hat{\mu}e^{-iy.v}dv.$$ Puis, appliquer à nouveau le théorème de
Lebesgue dans la relation 5).


 \fexer

 \dexer  {Transformée de Fourier et indépendance (Ouvrard, pages 204-208).}
 On considère des mesures bornées $\mu_1$ et $\mu_2$  sur $\real^{d_1}$ et
 $\real^{d_2}$ et la mesure produit $\mu_1\otimes\mu_2$.

 \quest 1)  Montrer en appliquant Fubini (on note $\cal F$ la tranformation de Fourier) que
 $${\cal F}({\mu_1\otimes\mu_2})(t_1, t_2)= \hat{\mu}(t_1)\hat{\mu}(t_2).$$

 \quest 2) Soit $X=(X_1, X_2)$ une v.a. à valeurs dans $\real^{d_1}\times
 \real^{d_2}$. Déduire du 1) que $X_1$ et $X_2$ sont indépendantes si et seulement
 si
$$\varphi_{X_1, X_2}(t_1, t_2)=\varphi_{X_1}(t_1)\varphi_{X_2}(t_2).$$

\quest 3) Remarquer que $\varphi_{X_1}(t_1)=\varphi_{X_1,X_2}(t_1,0)$.


\quest 4) Si $\mu_1 $ et $\mu_2$ sont des mesures bornées sur $\real^d$, on a ${\cal
F} (\mu_1\ast\mu_2)=\hat{\mu_1}\hat{\mu_2}$.
\newline Rappel (Ouvrard p. 63): la
convolée de deux mesures $\mu_1$ et $\mu_2$, $\mu_1\ast\mu_2$ est la mesure image de
$\mu_1\otimes\mu_2$ par l'application somme. Cela veut dire que pour toute fonction
mesurable positive,
$$\int_{\real^d}fd(\mu_1\ast\mu_2)=\int_{\real^d\times\real^d}f(x_1+x_2)
d(\mu_1\otimes\mu_2)(x_1,x_2).$$

\fexer

\dexer {Un contrexemple (Brémaud, page 134, exercice 13).} On considère le
sous-ensemble de $\real^2$,
$$C=\{(x,y)\in [0,1]^2, \; x-\frac 12\leq y\leq x \hbox{
ou } y\geq x+\frac 12.\}$$
Dessiner $C$.

\quest Soit $X$ et $Y$ deux v.a. de densité de probabilité $f_{X,Y}$ constante sur
$C$, nulle ailleurs. Calculer la valeur de la constante et les densités de $X$ et
$Y$.  En déduire que $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes.

\quest Calculer les fonctions caractéristiques de $X$, $Y$ et $X+Y$ pour montrer que
$$\varphi_X(t)\varphi_Y(t)=\varphi_{X+Y}(t).$$

\fexer

\dexer {(Williams page 238)} Calculer la fonction caractéristique de la loi uniforme
sur $[-1, 1]$. Montrer qu'il n'existe pas de v.a.i.i.d. $X$ et $Y$ telles que $X-Y$
aie cette loi uniforme.

\fexer
