\section{TD Probabilit\'es : Fubini}
\dexer  {Calcul de l'int\'egrale de Gauss}\newline
 D\'{e}montrer
que $\int_{{\mathbb R}} e^{-x^2}dx=\sqrt \pi$.  On prendra le carr\'{e}
de cette int\'{e}grale, le consid\'{e}rera par Fubini comme une
int\'{e}grale sur ${\mathbb R}^2$ que l'on calculera en coordonn\'{e}es
polaires.  Penser à justifier rigoureusement le changement de
coordonnées effectu\ea dans l'intégrale à l'aide du théor\ee me de
changement de variables. \fexer

\dexer{Propriétés de la convolution}

\quest 1)  Si $f$ et $g$ appartiennent \`{a} ${\mathbb L}^{1}({\mathbb R}^n)$, alors $f\ast
g$ d\'{e}finie par
$$(f\ast g)(x) = \int_{{\mathbb R}^n}f(y)g(x-y)dy$$ aussi (vérifier que la définition a un sens !),
et $\vert\vert f\ast g\vert\vert _{1} \leq \vert\vert
f\vert\vert _{1}\vert\vert g\vert\vert _{1}.$ (Application
directe du th\'{e}or\`{e}me de Fubini.) Montrer que $f\ast g=g\ast
f$ et que $(f\ast g)\ast h=f\ast(g\ast h).$

\quest 2)  On appelle ${\mathbb L}^{1}_{loc}({\mathbb R}^n)$ l'ensemble des
fonctions ${\mathbb L}^{1}$ sur tout born\'{e} de ${\mathbb R}^n$.  Montrer que si
$f\in {\mathbb L}^{1}_{loc}({\mathbb R}^n)$, et si $g\in {\mathbb L}^{1}({\mathbb R} ^n)$ est nulle en
dehors d'un born\'{e}, alors on peut d\'{e}finir $f\ast g$ et
$f\ast g \in {\mathbb L}^{1}_{loc}$.

\quest 3) On suppose que $1\leq p \leq \infty$, $f\in \LL^1 (\RR^n)$ et $g\in \LL^{p} (\RR^n)$. Montrer que $f*g$ d\'{e}finie par
$$(f*g)(x) = \int_{\RR^n}f(x-y)g(y)dy$$
existe pour presque tout $x$, appartient à $\LL^p(\RR^n)$ et vérifie $\|f*g\|_{p} \leq \|f\|_{1}\|g\|_{p}$.\\

\quest 4) On suppose maintenant que $f \in \LL^p (\RR^n)$, $g \in \LL^q (\RR^n)$ avec $p$ et $q$ des exposants conjugués. Montrer que $f*g$ est uniformément continue et que si $1<p<\infty$ alors $h=f*g$ est continue, nulle à l'infinie. Donner un contre-exemple dans le cas $p=1$.\

\quest 5)  Si $f\in {\mathbb L}^{1}_{loc}({\mathbb R}^n)$, $\varphi \in
C_0^m({\mathbb R}^n)$, alors $f\ast \varphi \in C^m({\mathbb R}^n)$ et,
$$\forall \vert \alpha\vert \leq m, \quad
\partial^\alpha(f\ast\varphi) = f\ast \partial^\alpha \varphi .$$
\fexer

 \dsolution\ Applications directes du théor\ee me de Fubini et du théor\ee me de dérivation sous le signe somme. Le
seul point un peu délicat est le 3). On mène le calcul en supposant $f$ et $g$ positives puisqu'on peut toujours
remplacer $f$ par  $|f|$ et  $g$ par $|g|$. On a
$$\int|f\ast g|^pdx=\int \left(\int f(y)g(x-y)dy\right)^pdx.$$
Or par l'inégalité de H\"{o}lder,
$$\int f(y)g(x-y)=\int f(y)^\frac 1pg(x-y)f^\frac{p-1}{p}(y)\leq\left(\int f(y)g(x-y)^p\right)^\frac 1p \left(\int
f(y)\right)^\frac {p-1}p.$$ Donc par le théorème de Fubini,
\begin{eqnarray*}
% \nonumber to remove numbering (before each equation)
  \int\left(\int f(y)g(x-y)\right)^p &\leq& \int\left(\int f(y)g(x-y)^pdy\right)\left(\int f(y)dy\right)^{p-1}dx \\
   &\leq& \int f(y)dy\int g(x)^pdx\left(\int f(y)\right)^{p-1} \\
   &\leq& \left(\int f(y)dy\right)^p\left(\int g(x)^pdx\right).
\end{eqnarray*}
Cela donne $||f\ast g||_{L^p}\leq ||f||_{L^1}||g||_{L^p}.$
 \fsolution

\dexer {Contrexemples pour le thèorème de Fubini, $\cite{Du}$, pp. 471-473}
\quest 1) On considère la mesure de comptage sur ${\mathbb N}\times{\mathbb N}$. On pose
pour $m\geq 1$, $f(m,m)=1$ et $f(m+1,m)=-1$, on pose sinon $f(m,n)=0$. Vérifier que
$$\Sum_m\Sum_n f(m,n)=1,\; \hbox{ mais que } \Sum_n\Sum_mf(m,n)=0.$$
Quelle est l'hypothèse du théorème de Fubini qui n'est pas vérifiée ?
\quest 2) On considère sur $[0,1]\times [1, +\infty[$ muni de la mesure de Lebesgue,
$f(x,y)=e^{-xy}-2e^{-2xy}.$ Montrer que
$$\int_0^1\int_1^\infty f(x,y)dydx= \int_0^1 x^{-1}(e^{-x}-e^{-2x})dx>0$$ et
$$\int_1^\infty\int_0^1f(x,y)dxdy=\int_1^{\infty} y^{-1}(e^{-2y}-e^{-y})dy<0.$$
  Quelle est
l'hypothèse du théorème de Fubini qui n'est pas vérifiée ?


\quest 3) Soit $X=[0,1]$ muni de la mesure de Lebesgue $\lambda$ et $Y=[0,1]$ muni de
la tribu des parties et de la mesure de comptage, $\mu$.  On pose $f(x,y)=1$ si $x=y$
et $f(x,y)=0$ sinon. Montrer que
$$\int_X\int_Y f(x,y)d\mu(y)d\lambda(x)=1 \hbox{  et }
\int_Y\int_X f(x,y)d\lambda(x)d\mu(y)=0.$$ Vérifier que $f$ est
bien mesurable pour la mesure produit. Quelle est l'hypothèse du
théorème de Fubini qui n'est pas vérifiée ? \fexer

\dsolution{}
Dans la première question, c'est l'hypothèse que $f$
soit sommable qui n'est pas vérifiée. Dans la seconde, aussi, car
si $f$ était sommable, l'ordre d'intégration serait indifférent.
On peut d'ailleurs vérifier directement que
$\int|f(x,y)|dxdy=\int_0^{+\infty}
(|e^{-y}-2e^{-y}|\int_0^{\min(1,y)}\frac 1 xdx)dy.$
 Dans la troisième, la
fonction $f$ est bien bornée, mesurable et sommable, mais la
seconde mesure n'est pas $\sigma$-finie.
\fsolution

\dexer On admet que l'on peut ordonner les réels  de $[0,1]$ par une relation d'ordre
total $<'$
 de telle manière que $\forall x\in [0,1],\; \{y,\; y <' x\}$ soit un ensemble
 dénombrable.\newline
 {\small (Cette propriété s'appelle l'hypothèse du continu. Il a été
 démontré par Kurt G\"{o}del qu'elle ne contredisait par les axiomes
 classiques de la théorie des ensembles et par  Paul Cohen que son contraire ne les
 contredisait pas non plus.)}\newline
On pose $X=Y=[0,1]$, munis de la tribu borélienne et de la mesure de Lebesgue. On
pose $f(x,y)=1$ si $x<'y$ et $f(x,y)=0$ sinon. Montrer que
$$\forall x\;\; \int_X f(x,y)dx=0, \;\hbox{ et } \; \forall y\;\;\int_Yf(x,y)dy=1.$$
Quelle est l'hypothèse du théorème de Fubini qui n'est pas vérifiée ?
\fexer

\dsolution{}
Toutes les hypothèses du théorème de Fubini sont
vérifiées, ... sauf une, la mesurabilité de $f$.
\fsolution

\dexer{Application directe du th\'eor\`eme de Fubini, $\cite{Du}$ p. 473}
Soit $X=\mathbb N$ muni de la mesure de comptage et $(Y,\; {\cal T},\;\mu)$ un espace
mesurable de mesure $\sigma$-finie. Si les fonctions $f_n$ sont $\cal T$-mesurables
et si $\Sum_n\int|f_n|d\mu<\infty,$ alors $$\Sum_n\int f_nd\mu=\int\Sum_n f_nd\mu.$$
\fexer

\dexer{Application directe du th\'eor\`eme de Fubini, \cite{Du} p. 473.}\newline Soit $g\geq 0$
mesurable sur $(X, {\cal T}, \mu)$ et $\lambda$ la mesure de Lebesgue sur ${\mathbb R}$.
  Montrer que
$$\int_Xgd\mu=(\mu\otimes\lambda)(\{(x,y),\; 0\leq y<g(x)\})=\int_0^\infty \mu(\{x,\;
g(x)>y\})dy.$$ {\it (Vérifier que $\{(x,y),\; 0\leq y<g(x)\}$ est mesurable en
remarquant que $(x,y)\to (g(x),y)$ mesurable et que $(a,b)\to b-a$ aussi.)}
\fexer

\dexer{Application 3 du th\'eor\`eme de Fubini, \cite{Du} p. 473.}
\newline Soit $\mu$ une mesure finie
sur ${\mathbb R}$ et $F(x)=\mu(]-\infty, x]).$ Montrer que $$\int
(F(x+c)-F(x))dx=c\mu({\mathbb R}).$$ \fexer

\dexer{Exercice 8.1 page 29 de $\cite{O}$ (calculs de densités de
v.a.) \label{calculsdensites}} \fexer
