\dexer {\bf Tribu engendrée par un nombre fini de v.a. discrètes }
 Pour modéliser le jeu de pile ou face et tous les jeux répétés, pour les chaînes de
Markov,  pour les marches aléatoires, etc., on est  amené à considérer une tribu
engendrée par un nombre fini de variables aléatoires discrètes, $\FF=\sigma(X_1,
\dots,\; X_n)$. Les $X_k$ sont  à valeurs dans un ensemble de valeurs fini ou
dénombrable. Pour fixer les notations et sans perte de généralité, on supposera que
l'ensemble de ces valeurs est $\natural$.

\quest On considère tous les  événements atomiques du type $A_m=[X_1=m_1\;\dots
X_{n}=m_n]$, où $m=(m_1,\dots,\; m_n)\in \natural^n$.  Remarquer que ceux de ces
événements qui sont non-vides  constituent une partition de $\Omega$ et montrer que
tout autre événement $\FF$-mesurable est une union finie ou dénombrable d'atomes.

\fexer




 \dexer {\bf Probabilité conditionnelle} Soit $A$ un événement de $(\Omega,\; \FF,\; \Pro)$ et $\GG$ une
sous-tribu de $\FF$. On appelle {\it probabilité conditionnelle de $A$ sachant} $\GG$
et on note $\Pro(A|\GG)$ la variable aléatoire définie par
$$\Pro(A|\GG)=\E(\indic_A|\GG).$$

\quest 1) On suppose que $\GG$ est engendrée par une partition finie  ou dénombrable
de $\Omega,$. Il existe donc $I$ fini ou dénombrable tel que tout élément $B$ de
$\GG$ puisse s'écrire sous la forme $B=\cup_{i\in J} B_i$ où $J\subset I$ ; les $B_i$
forment une partition dénombrable de $\Omega$. Montrer que

\begin{equation}
\label{probaconditionneepartribu} \Pro(A|\GG)=\sum_i \Pro(A | B_i)\indic_{B_i}.
\end{equation}

{\it \small \quest 1) Réponse :  On pose $X=\Pro(A|\GG)$ et $Y=\sum_i\Pro(A |
B_i)\indic_{B_i}$. $Y$ est évidemment $\GG$-mesurable.  Par unicité de l'espérance
conditionnelle, il suffit de montrer que $\forall B\in \GG$, $E(X; B)=E(Y; B)$. Or
par hypothèse, on peut écrire $B=\cup_{i\in J} B_i$, où $J$ est fini ou dénombrable.

Par les définitions de l'espérance conditionnelle et de la probabilité
conditionnelle, on a, puisque $B$ est $\GG$-mesurable,
 $$\int_B X=\int_B \E(\indic_A|\GG)=\int_B \indic_A=\sum_{i\in J} \Pro(A; B_i)\\
 =\int_B\sum_{J\in I} \frac{\Pro(A;B_i)}{\Pro(B_i)}\indic_{B_i}=\int_B Y.$$}
\fexer

\dexer \label{toutfinitunjour} {\bf "Tout ce qui a une chance raisonnable d'arriver se produira tôt ou tard"} ($\cite{W}$, exercice E10.5  p. 233)
\newline
Soit $\FF$ une filtration (avec $\FF_0=\{\emptyset, \; \Omega\}$ et $T$ un temps
d'arrêt tels que pour un certain $N\in \natural$ et un certain $\varepsilon>0$,
$$\forall n,\;\;\Pro(T\leq n+N| \FF_n)>\varepsilon, \hbox{ p.s.}$$

\quest 1) Montrer par récurrence en utilisant $\Pro(T>kN)=\Pro(T>kN ; T>(k-1)N)$ que
pour $k=1, 2, \dots, $, $$\Pro(T>kN)\leq (1-\varepsilon)^k.$$

{\it \small \quest 1) Réponse : On procède par récurrence. Quand $n=0$, on a bien la
propriété par hypothèse car $\FF_0=\{\emptyset, \Omega\}$ et donc $\Pro(T>
N)\indic_\Omega=\Pro(T> N|\FF_0)=1-\Pro(T\leq N|\FF_0)\leq 1-\varepsilon$.  De plus,
$$\Pro(T>kN)=\Pro(T>kN ;
T>(k-1)N)=\int_{T>(k-1)N}\indic_{T>kN}=\int_{T>(k-1)N}\E(\indic_{T>kN}|\FF_{(k-1)N})$$
(car l'ensemble $[T>(k-1)N]$ est $\FF_{(k-1)N}$-mesurable)
$$\leq (1-\varepsilon)\Pro(T>(k-1)N)\;  \hbox {  par hypothèse.}$$
}

\quest 2) En déduire que $\E(T)<\infty$.

{\it \small \quest 2) Réponse : On a
\begin{eqnarray*}
\E(T)=\sum_n n \Pro(T=n) &\leq \sum_n n\Pro(T>n-1)\\
&\leq &\sum_k\sum_{(k-1)N\leq n\leq kN}n\Pro(T>n-1)\\
&\leq &N\sum_k kN\Pro(T>(k-1)N-1)\\
&\leq &N\sum_k kN\Pro(T>(k-2)N)\\
&\leq &N^2\sum_k k(1-\varepsilon)^{k-2}<\infty
\end{eqnarray*}}
\fexer

\dexer{\bf ABRACADABRA : une très longue attente
(Grimmett-Stirzaker One thousand exercises in probability,
exercice 16 p. 124 et $\cite{W}$, exercice E10.6 p. 233)} On va
résoudre par martingale le problème suivant
:\newline\underline{Quelle est l'attente moyenne au jeu de pile ou
face pour qu'une séquence préfixée  se produise ?}\newline Prenons
l'exemple de la séquence $PPP$ (pile trois fois).
\newline Un très grand casino contient une infinité de joueurs $G_1,\; G_2,\dots$ qui
disposent chacun d'une fortune de 1 euro. Un croupier tire à pile
ou face (probabilités $p$ et $q=1-p$ toutes les secondes. Au temps
$n$, le joueur $G_n$ se met à parier de la manière suivante : il
place $1$ sur Pile. Le casino étant équitable, il touche en cas de
succès $\frac 1p$ (expliquer pourquoi). Il place alors à nouveau
cette fortune sur Pile. Il continue ainsi à parier toute sa
fortune sur Pile jusqu'à ce qu'il aie gagné trois fois de suite
($PPP$) ou qu'il perde tout. Dans les deux cas, il quitte alors le
casino.

\quest 1) Soit $S_n$ le profit (ou la perte) cumulé(e) du casino après le $n$-ième
tirage. Montrer que $S_n$ est une martingale.

{\it \small \quest 1) Réponse : Soit $Y_n$ la v.a. associée au $n$-ième tirage
($Y_n=F$ ou $P$) et $\FF_n=\sigma(Y_1,\dots, \; Y_n)$. Soit $X_n$ la somme des gains
et pertes des joueurs après le $n$-ième coup.  Comme $X_n$ est une fonction
déterministe  des résultats $Y_n$ des $n$ coups précédents, elle est
$\FF_n$-mesurable. Comme le jeu est équitable, la moyenne de $X_n$ est nulle. De
plus, le nombre de joueurs est plus petit que $3$ et leur enjeu plus petit que
$p^{-3}$. Donc $X_n$ est sommable. $S_n$ est donc l'exemple classique de martingale,
à savoir une somme de v.a. sommables indépendantes et de moyenne nulle $X_n$. }


 \quest 2) Soit $T$ le nombre de tirages
effectués avant la première apparition de $PPP$.  Montrer que $T$ est un temps
d'arrêt, montrer que $E(T)<\infty$. Utiliser le résultat de l'exercice
\ref{toutfinitunjour}.


{\it \small \quest 2) Réponse : La décision $T=n$ est une fonction
déterministe des résultats de $Y_1,\dots,\;Y_n$ et est donc
$\FF_n$-mesurable. C'est donc un temps d'arrêt. Pour montrer que
$E(T)<\infty$, il suffit de vérifier que l'hypothèse de l'exercice
\ref{toutfinitunjour} est vérifiée : $\Pro(T\leq n+N|
\FF_n)>\varepsilon, \hbox{ a.s.}$. On le montre pour $N=3$. Notons
$\Omega_n=\{P, F\}^n$ l'ensemble des résultats possibles pour les
$n$ premiers tirages. La tribu $\FF_n$ est engendrée par la
partition en événements atomiques $B_i=[(Y_1,\dots,\; Y_n)=i]$,
$i$ décrivant $\Omega_n$. Par la formule
(\ref{probaconditionneepartribu}), on a pour tout événement $A$,
$\Pro(A|\FF_n)=\sum_{i\in \Omega_n} \Pro(A | B_i )\indic_{B_i}.$
On choisit $A=[T\leq n+3]$. En  effet, une séquence $PPP$ peut se
produire aux trois coups suivants avec probabilité
$\varepsilon=p^3$ et on a $$ \Pro(T\leq n+3|\FF_n)\geq\sum_{i\in
\Omega_n} \Pro([(X_{n+1}X_{n+2}X_{n+3})=(PPP)] | B_i)\indic_{B_i}=
p^{3}\sum_i \indic_{B_i}=p^3.$$}


\quest 3)  En déduire que $\E (T)=p^{-1}+p^{-2}+p^{-3}$.

{\it \small \quest 3) Réponse : On applique le théorème de temps d'arrêt de Doob
(10.10 (c) de Williams page 100-101). Donc $E(S_T)=0$. Mais, au moment où le jeu
s'arrète, les joueurs $G_1,\dots,\; G_n$ ont misé chacun -1 et seuls $G_{n-2},
\;G_{n-1}$ et $G_n$ ont gagné respectivement $p^{-3}$, $p^{-2}$ et $p^{-1}.$  Donc
$E(S_T)=0$ donne
 $p^{-1}+p^{-2}+p^{-3}-\E T=0$.}

\quest 4) Adapter le raisonnement pour calculer le temps moyen d'attente de $PFP$.

{\it \small\quest 4) Réponse : on trouve $\E(N)=p^{-1}+p^{-2}q^{-1}.$ }

 \quest 5)  Dans le même esprit : le casino possède un
singe qui tape au hasard sur les 26 touches majuscules à la vitesse de 60 caractères
par minute. Montrer que le temps moyen d'attente de la séquence ABRACADABRA est
$26^{11}+26^4+26$. Donner un ordre de grandeur en années du temps d'attente.


\quest 6)  Un paradoxe ?  Les calculs précédents prouvent que le
temps moyen d'attente de $PP$ (deux  fois Pile) dans le cas
$p=\frac 12$ est égal à $2+4=6$ alors que le temps d'attente de
$PF$ est de 4.  Ceci peut paraître contreintuitif, puisque les
séquences $PP$ et $PF$ sont équiprobables !  De même, on vient de
voir que le temps d'attente de ABRACADABRA est supérieur au temps
d'attente de, disons, ABCDEFGHIJK, qui est une séquence de même
longueur et donc équiprobable.  Discuter ce paradoxe. Vous
convaincre par une simulation de pile ou face (utiliser
directement une monnaie) que l'expérience confirme bien la
différence de temps d'attente pour $PP$ et $PF$.
 \fexer

\dexer{\bf La ruine du joueur : quelles chances de gagner et au bout de combien de
temps?}
\newline
Soient $X_1,\; X_2, \dots$ des v.a.i.i.d. avec $P(X=1)=p$, $P(X=-1)=q=1-p$ et
$0<p<1$. Supposons que $a$ et $b$ soient deux entiers avec $0<a<b$. On définit
$$S_n:= a+X_1+\dots +X_n,\quad T:=\inf\{n, \; S_n=0 \hbox{ ou } S_n=b\}.$$
La fortune initiale du joueur de pile ou face est représentée par a et il compte
s'arréter s'il a atteint $b$. On peut aussi interpréter ce modèle comme un jeu à deux
: alors la fortune initiale du premier joueur est $a$ et celle du second est $b-a$.
 $S_n-a$ représente alors le gain cumulé
du premier joueur et $a-S_n$ les pertes cumulées du second. Chacun des joueurs stoppe
quand il est ruiné, i.e. quand $S_n=0 $ ou $S_n=b$. Soit $\FF_n=\sigma(X_1,\dots,\;
X_n)$ et $\FF_0=\{\emptyset,\;\Omega\}$.

\quest 1) Vérifier que la condition de l'exercice \ref{toutfinitunjour} est vérifiée.

{\it\small \quest 1) Réponse : On procède comme au 2) de l'exercice 4, avec $N=b$. On
note $\Omega_n=\{-1, +1\}^n.$  Alors $\FF_n$ est engendrée par les évênements
atomiques $B_i=[(X_1,\dots X_n]=i]$, $i\in \Omega_n$.  On applique la formule
(\ref{probaconditionneepartribu}) avec $A=[T\leq n+b]$:

\begin{equation}\label{justetechnique}
\Pro(T\leq n+b|\FF_n)=\sum_{i\in \Omega_n}P(T\leq n+b|B_i)\indic_{B_i}.
\end{equation}

 On a $\Pro(T\leq n+b|B_i)=\Pro(T\leq n|B_i)+\Pro(n<T\leq n+b|B_i).$ Or :
$T>n\Rightarrow a+i_1+\dots + i_n\in ]0, b[.$ Donc $[n<T\leq n+b]\cap B_i\supset
[X_{n+1}=\dots=X_{n+b}=1]\cap B_i$. Donc
$$\Pro(T\leq n+b | B_i)\geq \Pro(X_{n+1}=\dots =X_{n+b}=1|B_i)=\Pro(X_{n+1}=\dots
=X_{n+b}=1)=p^b.$$ En effet, $B_i\in \FF_n$ est indépendant des $X_{n+k}, \; k\geq
1$. Donc ($\ref{justetechnique}$) donne $\Pro(T\leq n+b|\FF_n)\geq p^b$. En fait, comme
dans l'exercice 4, ce long raisonnement conduit à une inégalité  évidente, mais il
était bon de détailler sa preuve pour vérifier que nos impressions sur la probabilité
conditionnelle sont justes. }


\quest 2) On pose $M_n=(\frac qp)^{S_n}$ et $N_n=S_n-n(p-q)$. Montrer que ce sont des
martingales et déduire les valeurs de $\Pro(S_T=0)$ et $E(T)$.

{\it \small \quest 2) Réponse : $M_n$ est un produit de v. a. indépendantes,
positives et de moyenne 1.  $N_n$ est une somme de v.a. aléatoires indépendantes
sommables  et de moyenne nulle.  La suite tout seul.} \fexer
