\section{TD Probabilit\'es : Th\'eor\`eme de Radon-Nykodim}


Le but de ce TD est de donner une d\'emonstration via les
martingales du th\'or\`eme de Radon-Nykodim (une autre
r\'ef\'erence pour ce th\'eor\`eme qui peut \^etre d\'emontr\'e
sans les martingales est bien-sûr $\cite{Rudin}$).\\



\begin{thf}
Soit $(\Omega,{\cal F},\Pro)$ un espace probabilis\'e et $\mathbb Q$ une mesure finie sur
$(\Omega,\cal F)$ absolument continue par rapport \`a $\Pro$, c'est-\`a-dire :
$$F\in {\cal F}, \; \; \Pro(F)=0 \Longrightarrow \mathbb{Q}(F)=0$$
Il existe alors  une v.a. dans ${\cal L}^{1}(\Omega,\cal F, \Pro)$ telle que $\mathbb{Q}=X\Pro$, c'est-\`a-dire :
$$\forall F \in {\cal F}, \; \mathbb{Q}(F)=\int_{F}Xd\Pro$$
$X$ est appel\'ee une version de la d\'eriv\'ee de Radon-Nikodym de $\mathbb Q$ par rapport \`a $\Pro$.
 Deux versions de $X$ sont \'egales $\Pro$-p.s. et $X$ est not\'ee :
$$\cfrac{d\mathbb{Q}}{d\Pro}=X$$
\end{thf}

Nous supposerons la tribu $\cal F$ s\'eparable,  c'est-\`a-dire
engendr\'ee par un nombre d\'enombrable d'\'ev\'enements
$(F_{n})_{n\geq 0}$. $\cite{W}$  montre comment, une fois ceci connu,
on passe au cas g\'en\'eral (grosso modo, on approxime la tribu
par des tribus s\'eparables) : s'y reporter pour plus de
d\'etails. Dans la suite, $\E$ d\'esignera l'esp\'erance
relativement \`a $\Pro$.

\quest 1) Montrer en raisonnant par l'absurde et en utilisant BC1
que pour tout $\epsilon >0$, il existe $\delta >0$ tel que pour
tout \'ev\'enement $F \in {\cal F}$,
$$\Pro(F)<\delta \Longrightarrow \mathbb{Q}(F)<\epsilon$$

\dsolution{}
Si tel n'\'etait pas le cas, on pourrait trouver une
suite $(G_{n})_{n}$ d\'ev\'enements tels que $\Pro(G_{n})\leq
2^{-n}$ et cependant $\mathbb{Q}(G_{n})\geq \epsilon$. On
consid\`ere $\overline{\lim}G_{n}$ qui par BC1 est de $\Pro$-
probabilit\'e $0$ mais par Fatou de $\mathbb Q$-probabilit\'e
superieure \`a $\epsilon$ d'o\`u la contradiction. \fsolution

\quest 2) On d\'efinit maintenant la filtration
${\cal F}_{n}=\sigma\{F_1, \ldots, F_{n}\}$. Un atome $A$ de ${\cal F}_{n}$
 est un \'el\'ement de ${\cal F}_{n}$ qui s'\'ecrit $H_{1}\cap H_{2}\cap \ldots \cap H_{n}$ ou $H_{i}$
  est soit $F_{i}$, soit $F_{i}^{c}$. Montrer que l'ensemble des $r(n)$ atomes de ${\cal F}_{n}$,
  not\'es $A_{n,1},\ldots,A_{n,r(n)}$ forment une partition de $\Omega$ et que ${\cal F}_{n}$ est
  constitu\'ee des $2^{r(n)}$ r\'eunions  (disjointes) possibles d'atomes.\\

\dsolution{}
Il est bien \'evident que deux atomes distincts sont
disjoints (puisqu'il existe un indice $i$ pour lequel l'un
intersecte $F_{i}$ et l'autre $F_{i}^{c}$). D'autre part, tout
\'el\'ement $\omega$ de $\Omega$ est contenu dans un atome
(composer l'atome de la mani\`ere suivante : pour chaque $i$,
prendre $F_{i}$ si $\omega\in F_{i}$ et prendre $F_{i}^{c}$
sinon). \fsolution

\quest 3) On d\'efinit alors une fonction $X_{n}$ de $\Omega$ dans $[0,\infty)$ de la mani\`ere suivante :\\
Si $\omega \in A_{n,k}$ alors : $X_{n}(\omega)={\mathbb Q}(A_{n,k})/\Pro(A_{n,k})$ si $\Pro(A_{n,k})>0$ et $X_{n}(\omega)=0$ sinon.\\
\subquest a) Montrer que $X_{n} \in {\cal L}^{1}(\Omega, {\cal F}_{n}, \Pro)$ et que l'on a pour tout \'ev\'enement $F$ de ${\cal F}_{n}$
\begin{equation}
\label{mart}
\E(X_{n}1_{F})=\mathbb{Q}(F)
\end{equation}

\dsolution{} Il suffit d'\'ecrire $F$ comme la r\'eunion disjointe
d'\'ev\'enements atomiques et d'utiliser la lin\'earit\'e de
l'esp\'erance. On montre que $X_{n}$ est int\'egrable en
appliquant ceci \`a l'ensemble $F=\Omega$. \fsolution

\subquest b) Remarquer que $X_{n}$ est la d\'eriv\'ee de
Radon-Nikodym de ${\mathbb Q}$ restreinte \`a ${\cal F}_{n}$
relativement \`a $\Pro$ restreinte \`a ${\cal F}_{n}$.

\quest 4) Montrer que $X_{n}$ est une martingale positive relativement \`a la filtration ${\cal F}_{n}$ et prouver l'existence d'une v.a.r. $X_{\infty}$ telle que $\Pro$ p.s. :
$$\lim_{n\rightarrow +\infty}X_{n}=X_{\infty}$$

\dsolution{} Seule la preuve que $(X_{n})$ est une martingale est
\`a donner, le reste r\'esultant directement du th\'eor\`eme de
convergence des martingales born\'ees dans ${\cal L}^{1}$ (car
elle est positive). D'apr\`es $(\ref{mart})$, on a pour tout $F
\in {\cal F}_{n-1}$, puisque $F$ appartient \`a ${\cal F}_{n}$ :
$$\E(X_{n}1_{F})={\mathbb Q}(F)=\E(X_{n-1}1_{F})$$
\fsolution

\quest 5) Prouver que $X$ est une martingale uniform\'ement int\'egrable.\\

\dsolution{} On choisit $K$ tel que
$K^{-1}\mathbb{Q}(\Omega)<\delta$ (car $\mathbb Q$ est de masse
finie). Une in\'egalit\'e de Markov, suivie de l'utilisation de
$(\ref{mart})$ permet alors d'\'ecrire :
$$\Pro(X_{n}>K)\leq K^{-1}\E(X_{n})=K^{-1}\mathbb{Q}(\Omega)<\delta$$
En utilisant \`a nouveau $(\ref{mart})$ avec $F=\{X_{n}>K\}$ combin\'e avec le r\'esultat de la question 1), on obtient alors:
$$\E(X_{n}1_{\{X_{n}>K\}})<\epsilon$$
et la martingale $X$ est UI. \fsolution

\quest 6) Montrer que la convergence de $X_{n}$ vers $X_{\infty}$
se fait dans ${\cal L}^{1}$.

\quest 7) Conclure dans le cas o\`u ${\cal F}$ est s\'eparable.\\

\dsolution{} Les deux mesures $\mathbb Q$ et $F\rightarrow
\E(X_\infty 1_{F})$ coincident sur le $\pi$-syst\`eme $\cup {\cal
F}_{n}$ qui engendre ${\cal F}$ et sont de m\^eme masse : elles
coincident donc sur ${\cal F}$. \fsolution

\quest 8) Prouver l'unicit\'e $\Pro$ p.s. de la d\'eriv\'ee de Radon-Nikodym.\\

\dsolution{} C'est la machine standard
. \fsolution
